phương trình toán lý,lê xuân đại,dhbkhcm PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN ELIP MỘT CHIỀU Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứ[.]
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN ELIP MỘT CHIỀU Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán biên loại Bài toán biên loại với điều kiện biên Xét toán biên loại phương trình vi phân cấp Lu = −(pu 0)0 + qu = f (x), a < x < b u(a) = u(b) = 0, (1) (2) p, q, f hàm số cho trước thỏa mãn p, p 0, q, f ∈ L2(a, b) (3) C0 p(x) C1, |p 0| C1, q(x) C2, (4) C0, C1, C2 số dương ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán biên loại Bài toán biên loại với điều kiện biên Yêu cầu Tìm hàm số u ∈ W (2)(a, b) thỏa mãn phương trình vi phân (1) điều kiện biên (2) Tìm hàm số (2) u ∈ W0 (a, b) = {u : u ∈ W (2)(a, b), u(a) = 0, u(b) = 0} thỏa mãn phương trình vi phân (1) Nghiệm u tốn vi phân định nghĩa gọi nghiệm cổ điển hay nghiệm giải tích tốn (1), (2) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán biên loại Bài tốn biên với điều kiện biên khơng Trong trường hợp điều kiện biên (2) không u(a) = A 6= 0, u(b) = B 6= ta phải đổi biến để đưa điều kiện biên Xét g (x) = k(x − a) + A có g (a) = A, g (b) = B, B −A với k = b−a Đặt v (x) = u(x) − g (x) Khi v (a) = u(a) − g (a) = A − A = 0, v (b) = u(b) − g (b) = B − B = Lv = Lu − Lg = f − [−(pg 0)0 + qg ] = f − [−p 0k + q(k(x − a) + A)] = F (x) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán biên loại Bài tốn biên với điều kiện biên khơng Vậy tốn biên với điều kiện biên khơng trở thành Lv = F (x), v (a) = v (b) = ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu Giả sử tốn (1), (2) có nghiệm giải tích u ∈ W02(a, b), Lu, f ∈ L2(a, b) Nhân vô hướng L2(a, b) vế (1) với v ∈ L2(a, b) ta Z b Z b [−(pu 0)0 + qu]vdx = fvdx, ∀v ∈ L2(a, b) a a (5) Chú ý v gọi hàm thử ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu Ngược lại, u ∈ W (a, b) thỏa mãn (5) Rb 0 a [−(pu ) + qu − f ]vdx = 0, ∀v ∈ L2 (a, b) nên −(pu 0)0 + qu − f = u thỏa mãn (1), (2) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu (1) Xét hàm thử v ∈ W0 (a, b) ⊂ L2(a, b) Lấy tích phân phần ta Z b Z b b −(pu 0)0vdx = −pu 0v |a + pu 0v 0dx = a Rb a (1) pu 0v 0dx, v ∈ W0 (a, b) nên a v (a) = v (b) = Vậy (5) viết lại thành Z b Z b (1) (pu 0v + quv )dx = fvdx, ∀v ∈ W0 (a, b) a ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 (6) / 59 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu Trong (6) khơng có đạo hàm cấp u mà có đạo hàm cấp Do tốn ban đầu trở (1) thành: tìm u ∈ W0 (a, b) thỏa mãn (6) Đặt Rb 0 (1) α(u, v ) = (pu v + quv )dx, ∀u, v ∈ W0 (a, b) L(v ) = a Rb (1) fvdx, ∀v ∈ W0 (a, b) a (1) Bài tốn trở thành: tìm u ∈ W0 (a, b) thỏa mãn (1) α(u, v ) = L(v ), ∀v ∈ W0 (a, b) Đây toánhttps://fb.com/tailieudientucntt yếu ứng với toán (1), (2) (7) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TỐN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài tốn yếu nghiệm suy rộng Nghiệm suy rộng Nghiệm toán yếu (7) gọi nghiệm suy rộng tốn (1), (2) (1) Vì khơng gian thử W0 (a, b) hẹp L2(a, b), (1) cịn khơng gian chứa nghiệm W0 (a, b) rộng (2) W0 (a, b) nên nghiệm suy rộng dễ tồn dễ tìm nghiệm giải tích ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM MỘT — CHIỀU 2013 10 / 59 ... ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu Giả sử toán (1),... b) Đây toánhttps://fb.com/tailieudientucntt yếu ứng với toán (1), (2) (7) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM MỘT—CHIỀU 2013 / 59 Bài toán yếu... (2)(a, b) thỏa mãn phương trình vi phân (1) điều kiện biên (2) Tìm hàm số (2) u ∈ W0 (a, b) = {u : u ∈ W (2)(a, b), u(a) = 0, u(b) = 0} thỏa mãn phương trình vi phân (1) Nghiệm u toán vi phân định