phương trình toán lý,lê xuân đại,dhbkhcm CHUỖI FOURIER TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP HCM — 2015 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER[.]
CHUỖI FOURIER TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2015 ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 1/1 Hàm liên tục khúc Định nghĩa Hàm số f (x) gọi hàm liên tục khúc đoạn [a, b] tồn điểm a = x1 < x2 < < xn = b cho hàm số f liên tục khoảng (xi , xi+1) tồn hữu hạn giới hạn từ phía f (xi +) f (xi+1−), ∀i = 1, 2, , n − ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 2/1 Hàm liên tục khúc Tính chất Ví dụ 1 Hàm sin không hàm liên tục x x khúc [0, 1], khơng tồn giới hạn f (0+) Hàm liên tục khúc [a, b] bị chặn khả tích [a, b] Tích hai hàm liên tục khúc hàm liên tục khúc ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 3/1 Hàm trơn khúc Định nghĩa Nếu hàm f (x) liên tục khúc [a, b] có thêm điều kiện, đạo hàm cấp f 0(x) liên tục khoảng xi < x < xi+1, giới hạn f 0(xi +), f 0(xi −) tồn tại, hàm f (x) gọi hàm trơn khúc Nếu có thêm điều kiện, đạo hàm cấp hai f 00(x) liên tục khoảng xi < x < xi+1, giới hạn f 00(xi +), f 00(xi −) tồn tại, hàm f (x) gọi hàm trơn khúc ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 4/1 Hàm tuần hoàn Định nghĩa Hàm liên tục khúc f (x) đoạn [a, b] goi hàm tuần hoàn tồn số thực dương p cho f (x + p) = f (x), ∀x Lúc này, p gọi chu kỳ f , số nhỏ số p gọi chu kỳ ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 5/1 Hàm tuần hồn Tính chất Nếu f (x) hàm tuần hồn với chu kỳ p f (x + np) = f (x), ∀n ∈ N Nếu f1(x), f2(x), , fk (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ p ck ∈ R, f (x) = c1f1(x) + c2f2(x) + + ck fk (x) hàm tuần hồn với chu kỳ p Ví dụ Hàm a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + + b1 sin x + b2 sin 2x + hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π ng.com https://fb.com/tailieudientucntt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 6/1 Hệ hàm trực giao Định nghĩa Dãy hàm {ϕn (x)} gọi hệ trực giao theo hàm trọng q(x) đoạn [a, b] Z b ϕm (x).ϕn (x).q(x)dx = 0, m 6= n a Định nghĩa s Nếu m = n ta có ||ϕn (x)|| = Rb ϕ2n (x)q(x)dx a gọi chuẩn ϕn (x) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 7/1 Hệ hàm trực giao Ví dụ Dãy hàm {sin mx}, m = 1, 2, hệ trực giao đoạn [−π, π] Z π 0, m 6= n sin mx sin nxdx = π, m = n −π Ở hàm trọng q(x) ≡ Chuẩn √ || sin mx|| = π ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 8/1 Hệ hàm trực giao Định nghĩa Dãy hàm trực giao {ψn (x)} gọi hệ trực chuẩn theo hàm trọng q(x) đoạn [a, b] Z b 0, m 6= n ψm (x).ψn (x).q(x)dx = 1, m = n a Chú ý Hệ trực chuẩn thu từ hệ trực giao cách chia hàm số hệ cho chuẩn ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 9/1 Hệ hàm trực giao Ví dụ Dãy hàm 1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx hệ trực giao [−π, π] Z π 0, m 6= n sin mx sin nxdx = π, m = n −π Z π sin mx cos nxdx = 0, ∀m, n −π Z π cos mx cos nxdx = −π 0, m 6= n π, m = n Để thu hệ trực chuẩn, ta chia hàm cho chuẩn cos nx sin x cos x sin x √ , √ , √ , , √ , √ π π π π 2π ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 10 / ... https://fb.com/tailieudientucntt k=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 11 / Chuỗi Fourier Ta xác định hệ số a0, ak , bk cho sn (x) xấp xỉ tốt hàm f (x) theo nghĩa bình phương cực tiểu, có nghĩa... hội tụ chuỗi Fourier: hội tụ theo điểm, hội tụ đều, hội tụ theo giá trị trung bình bình phương ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 16 /... https://fb.com/tailieudientucntt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 18 / Sự hội tụ chuỗi Fourier Định nghĩa ∞ P Chuỗi fn (x) gọi hội tụ theo giá trị n=1 trung bình bình phương (hội tụ khơng