SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn TOÁN Ngày thi /3/2019 Câu 1 (4đ) 1 Cho biểu thức với Rút gọn biểu thức M Và tìm x để M=6 2 Gọi a là nghiệm dương của phương trình x2 + x – 1 = 0 Không giải phương trình, hãy[.]
Mơn: TỐN - Ngày thi /3/2019 Câu (4đ) Cho biểu thức M x 16 x x 1 với x 0; x 4; x 16 x x 8 x x Rút gọn biểu thức M Và tìm x để M=6 Gọi a nghiệm dương phương trình x2 + x – = 2a Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức Q 2(2a 2a 3) 2a Câu (4điểm) a) Giải phương trình: x x3 x x x x 10 2 x 2(1 ) 3 x y 1 b) Giải hệ phương trình: y 2(1 ) 1 x y 1 Câu (4điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y xy x y 0 , Xác định tất cặp số (a; b), với a, b số nguyên dương, cho: a 2b a b chia hết cho ab b Câu (6điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B) Gọi H hình chiếu C AB, I trung điểm AC Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH K a) Chứng minh MC tiếp tuyến của (O; R) b) Chứng minh IK song song với AB c) Xác định vị trí điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn Câu 5(2điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q a b3 c3 Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 Môn: TOÁN - Ngày thi /3/2019 II Hướng dẫn chi tiết Câu Đáp án Điểm x 16 x x 1 với x 0; x 4; x 16 x x 8 x x + Rút gọn biểu thức M Cho biểu thức M x x 1 x x 0.25đ x 16 ( x 4)( x 4) (2 x 1)( x 2) ( x 2)( x 4) 0.25đ x x ( x 2)( x 4) 0.25đ ( x 2)( x 1) ( x 2)( x 4) 0.25đ - Ta có M Câu 1(2đ ) x 16 ( x 2)( x 4) x 1 x 0.25đ + Tìm x để M = Ta có: M 6 x 1 6 x x 6( x 4) x 5 x 25 Câu Giải phương trình, a) GPT: x x x x x x 10 2 - Điều kiện x R (hoặc x x 10 0 ) - Phương trình ( x x x ) ( x x 1) x x 10 3 ( x x) ( x 1) ( x 1) 3 Câu ( x x )2 0 ( x x) ( x 1) ( x 1) 3 Do x R : ( x 1) 0 ( x 1) 3 ( x x) 0 x (tmđk) Dấu xẩy ( x 1) 0 ( x 1) 3 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = -1 3a) GPT: x y xy x y 0 , x, y số nguyên dương Viết lại pt dạng: x x( y 2) y y 0 (*) 0.25đ 0.25đ 0.25đ (2,0 điểm) 0.25đ 0.25đ 0.25đ 5đ 5đ 0.25đ (2,0 điểm) 0.25đ Coi (*) pt bậc hai ẩn x Pt (*) có nghiệm nên ' 0 ( y 2) (2 y y 2) 0 y y 0 y 2 0.25đ Do y số nguyên dương nên y 1; 2 0.25đ x +) TH1: y 1 x x 0 x 3 Cặp số x = 3; y = thỏa mãn pt ban đầu +) TH2: y 2 x 0 x 0 (ktm : x 0) - Vậy nghiệm pt: ( x; y ) (3, 1) x 2(1 ) 3 x y 1 2b) Giải hệ : y 2(1 ) 1 x y 1 0.25đ 0.25đ 0.25đ (2,0 điểm) ; x y 0 1 Từ hệ phương trình suy x ; y 2 1 x y x (a) - Hệ phương trình 1 1 (b ) x y 4y - Điều kiện: x ; y (1) 4x 4y 2 (2) Trừ vế theo vế pt (a) cho pt (b), ta được: x y 4x 4y 2 Nhân tương ứng hai vế (1) (2): x y 1 x y 4(4 x 2)(4 y 2) ( x y 1)( x 36 y 16) 0.25đ 5đ Cộng vế theo vế pt (a) pt (b), ta được: 0.25đ 0.25đ x xy y 5( x y ) 0 ( x y )( x y 5) 0 +) TH1: x y Thay vào (a): 4y 1 y 1 (4y 2) 3 4y 2y 4y 4y 2 y 1 1 1 1 1 1 y x (tm : x ; y ); y x (tm : x ; y ) 4 2 2 2 1 +) TH2: x y 0 loại x ; y 2 1 1 1 );( , ) - Vậy nghiệm hệ là: ( x; y ) ( , 2 0.25đ 0.25đ 0,25đ 2/ (2điểm) Xác định tất cặp số (a; b), với a, b số nguyên dương, cho a 2b a b chia hết cho ab b 0.5đ Do ( a 2b a b ) ( ab b ) b(a 2b a b) - a (ab b 7) ( ab b ) ( b a ) ( ab b ) Vì b a b ab b nên: 0,5đ TH1: b a = : chọn a 7m , b 7m , m N * TH2: b a < 0: ( b 7a ) ab b nên 7a b ab b (7 b ) a b b b b = b = + với b = 1: (a a 1)(a 8) (a 8)(a 7) 57 a 57a a > nên a = 49, a = 11 + với b = 2: (2a a 2)(4a 9) 8(2a a 2)4a (4a 9)(4a 7) 794a 794a : không thỏa mãn Vậy (a, b) = (7 m ; 7m) , (11;1), (49;1), m N * Câu 4(6đ ) 0,5đ 0.5đ Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B) Gọi H hình chiếu C AB, I trung điểm AC Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH K M C a) Chứng minh MC tiếp tuyến của (O; R) I Tam giác OAC cân O, có OI đườngK trung tuyến nên OI đường trung trực Mà M OI MA MC A B O H OC OA Xét hai tam giác AMO CMO có OM chung OAM OCM (c.c.c) MA MC Vì MAO 900 MCO 900 MC CO , hay MC tiếp tuyến (O;R) b) Chứng minh IK song song với AB CH AB KH BH BH KH / / MA (1) MA AB R MA AB 1,5 điểm) 0.5đ 0.5đ 0.5đ (2,5 điểm) Ta có 5đ Do ACB 900 BC AC BC / / OM Xét hai tam giác BCH OMA có 5đ BHC OAM CH BH BH BCH OMA (2) MA OA R MOA CBH Từ (1) (2) suy CH 2 KH K trung điểm CH IC IA IK đường trung bình CAH IK / / AH IK / / AB CAH có: KC KH 0.7 0.2 0.5đ c) Xác định vị trí điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn (2,0 điểm) (2 P ) AB BC CA R ( CB CA ) Chu vi tam giác ABC 0.25đ 2 2 2 Mặt khác ta có (CB CA) (CB CA )(1 ) 2 AB 8R 5đ 0.25đ CA CB 2 R Suy (2 P) 2 R 2 R (2 2) R Dấu “=” xảy CA CB C điểm cung AB Vậy: Max(2 P) 2(1 2) R C điểm cung AB Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q a b c (2,0 điểm) a, b, c 0 a, b, c 3 a b c 3 0.25đ 0.25đ 5đ Do 0.25đ Ta có b3 c3 (b c)3 3bc (b c) (3 a)3 3(a 3)bc 0.25đ Câu a 0 3 5(2đ) Do 3(a 3)bc (a 3)(3 a ) (3 a )3 b c 2 4 bc ( ) (3 a) Suy b3 c3 (3 a)3 (3 a)3 (27 27 a 9a a ) 4 Khi Q a b3 c3 a3 (27 27a 9a a3 ) (a3 3a 9a 9) 4 3 (a 3a 9a 5) (a 1) ( a 5) 3 4 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ a 0 a 0 a a b c 1 Dấu xẩy b c a b c 1 a 0 a b c 3 0.25đ Vậy giá trị nhỏ Q a = b = c = 0.25đ 2a a Vì a = – a nên < a < a (2a 3) 2(2a 2a 3) 2a Từ đó, ta có: Q 4 2(2a 2a 3) 4a câu ý2 (2a 3) 2(2a 2a 3) 2a 2(2 a) 2a 2 2(2a 3) (2,0đ) 2 a a 1 a a2 2 2 Vậy Q 2 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,25 đ ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: TỐN - Ngày thi /3/2019 II Hướng dẫn chi tiết Câu Đáp án Điểm x 16 x... b 7) ( ab b ) ( b a ) ( ab b ) Vì b a b ab b nên: 0,5đ TH1: b a = : chọn a 7m , b 7m , m N * TH2: b a < 0: ( b 7a ) ab b nên 7a b ab b (7