hoa 12 - Tiếng Anh 8 - Bùi Nguyệt - Thư viện Đề thi & Kiểm tra

Phương Án Bài Giảng Phương Án Bài Giảng I Tên bài Định nghĩa ánh xạ tuyến tính II Vị trí bài giảng Sơ đồ chỉ dẫn III Đối tượng học tập Sinh viên Đại học IV Mục tiêu học tậ[.]

Phương Án Bài Giảng I Tên bài: Định nghĩa ánh xạ tuyến tính II Vị trí bài giảng: Sơ đồ chỉ dẫn III Đối tượng học tập: Sinh viên Đại học IV Mục tiêu học tập: - Kiến thức: Trình bày khái niệm và các ví dụ về ánh xạ tuyến tính, khái niệm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính - Kỹ năng: Sinh viên vận dụng được định nghĩa để chứng minh một ánh ánh xạ là ánh xạ tuyến tính; tìm nhân và ảnh của một ánh xạ tuyến tính - Thái độ: Rèn luyện tính tự giác, tích cực học tập, tạo lòng say mê tìm tòi, hứng thú học tập V Trọng tâm bài - Định nghĩa ánh xạ tuyến tính và ví dụ - Đinh nghĩa nhân và ảnh, ví dụ VI Phương pháp - Phương pháp vấn đáp và đàm thoại - Phương pháp thuyết trình - Kết hợp các phương pháp thông qua hoạt động điều khiển tư duy, gợi động giải quyết vấn đề VII Phương tiện dạy học Bảng, phấn, giáo án, đề cương bài giảng, đồ dùng dạy học VIII Phướng án cụ thể STT Các bước lên lớp Phương án Ôn định lớp Kiểm tra bài cu Giảng bài mới - Vấn đáp - Thuyết trình Thời gian phút phút 39 phút - Gợi mở, vấn đáp Tổng kết hệ thống hóa bài Giao nhiệm vụ về nhà hướng dẫn tự học - Giảng giải - Thuyết trình - Hướng dẫn phút phút Nam Đinh, Ngày 24 tháng năm 2008 Người giảng Dương Việt Thông Giáo Án Lý Thuyết Môn Toán Cao Cấp 2 Giáo án số: Lớp Tên bài: Thời gian thực hiện: 45 phút, tiết Số giờ đã giảng: Thực hiện: ngày tháng năm 2008 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Mục tiêu học tập: - Kiến thức: Trình bày khái niệm và ví dụ về ánh xạ tuyến tính, khái niệm nhân và ảnh.của ánh xạ tuyến tính - Kỹ năng: Sinh viên vận dụng được định nghĩa để kiểm tra ánh ánh xạ có phải là ánh xạ tuyến tính hay không; xác định được nhân và ảnh của một ánh xạ tuyến tính - Thái độ: Rèn luyện tính tự giác, tích cực học tập, tạo lòng say mê tìm tòi, hứng thú học tập I Ổn định lớp (1 phút ) Sĩ số lớp: / Số sinh viên vắng: Tên: II Kiểm tra kiến thức cũ (1 phút) Câu hỏi: Định nghĩa không gian vectơ Cho ví dụ Dự kiến sinh viên kiểm tra Họ và tên Điểm III Giảng bài mới (39 phút) Đồ dùng và phương tiện: Giáo trình tham khảo, bảng, phấn Trọng tâm bài: Khái niệm ánh xạ tuyến tính, định nghĩa nhân và ảnh Nội dung và phương pháp TT Nội dung dạy học Phuơng pháp dạy học Thời gìan (phút) Phương Phương pháp dạy Thuyết Mở đầu pháp học Nghe giảng 14 Rất nhiều môn toán đề cập đến sự nghiên trình: Nếu cứu của các hàm hàm đa thức, hàm số mu vấn đề ex, hàm lnx, hàm lượng giác sinx và cosx có vai trò bản phép tính vi phân và phép tính tích phân cung là các lĩnh vực khác của toán học Nếu V,W là hai tập hợp concủa R,ánh xạ (hay hàm số) từ V vào W được viết f : V  W là một quy tắc với mỗi x V xác định nhất một phần tử f ( x )  W Bây giờ chứng ta se xem xét V và W là hai không gian vectơ Trong số các ánh xạ từ V vào W có một lớp rất quan trọng là lớp ánh xạ tuyến tính mà ta se trình bày dưới đậy Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Thuyết Lắng nghe 2.1 Định nghĩa trình ghi Nếu V và W là hai không gian vectơ, ánh xạ chép,lấy ví dụ khác T :V  W được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay là phép biến đổi tuyến tính) nếu nó thỏa mãn hai tiên đề sau: T T ( x  y) T ( x)  T ( y ), x, y V T T (rx) rT ( x), x V va   r  R Một ánh xạ tuyến tính T :V  V (tức là W trùng với V) được gọi là một toán tử tuyến tính V Tiên đề T1 đưa điều kiện T bảo toàn phép cộng vectơ Tiên đề T2 là điều kiện bảo toàn phép nhân vô hướng véctơ 2.2 Ví dụ Giảng giải, Theo Ví dụ 2.2.1 Xét ánh xạ T : R  R xác định gợi vấn đáp bởi: mở, ghi thấu dõi, chép, hiểu, T ( x, y ) ( x, x  y, x  y ) ghi nhớ Nếu u ( x1 , y1 ), v ( x2 , y2 ) thì u  v ( x1  y1 , x2  y2 ) nên T (u  v) ( x1  x2 , x1  x2  y1  y2 , x1  x2  y1  y2 ) ( x1 , x1  y1 , x1  y1 )  ( x2 , x2  y2 , x2  y2 ) T (u )  T (v) Vậy tiên đề T1 được thỏa mãn Kiểm tra tiên đề T2: Nếu k  R thì ku (kx1 , kx2 ) nên T (ku ) (kx1 , kx1  ky1 , kx1  ky1 ) k ( x1 , x1  y1 , x1  y1 ) kT (u ) Vậy tiên đề T1và tiên đề T2 được thỏa mãn vậy ánh xạ T đã cho là ánh xạ tuyến tính Ví dụ 2.2.2 Xét ánh xạ T : R  R xác định bởi T ( x)  x Khi đó T không là ánh xạ tuyến tính Thật vậy, ta chi tiên đề T1 không thỏa mãn Ta có T(1+1)=T(2)=22= 4, mặt khác T(1)=1 vậy T(1+1) T(1)+T(1) Do đó tiên đề T1 không thoả mãn, vậy ánh xạ không là ánh xạ tuyến tính Ví dụ 2.2.3 Xét ánh xạ T : R  R là một ánh xạ nh ân với ma trận 1 0 A   1 1 Nếu  x v ( x, y )  R tức là  v    thì phép nhân với  y ma trận A tạo ánh xạ xác định bởi 1 0  x   x  T [v]  A[v]       1 1  y   x  y  Chỉ T là ánh xạ tuyến tính Cho  x1   x  y  va  y   R , tính    1   x  x     x  x1    x1  y1  T        T         y   y1     y  y1    ( x1  y1 )  ( x2  y2 )  x   x   x1   x   T    T      x  y   x1  y1   y  y1  Tiên đề T1 được thỏa mãn Tiên đề T2 được chứng minh sau:   x   rx   rx  T  r    T      ry   rx  ry    y   x   x r  rT     x  y  y Vậy T bảo toàn tính cộng và phép nhân vô hướng nên T là ánh xạ tuyến tính Ví dụ 2.2.4 Giả sử V và W là hai không gian véctơ ánh xạ : a) T : V  V xác định bởi T(v)=v, với mọi v  V ; ánh xạ được gọi là ánh xạ đồng nhất V, b) T : V  W xác định bởi T(v)=  , với mọi v  V ; ánh xạ được gọi là ánh xạ không, là các ánh xạ tuyến tính Thậy vậy, ta kiểm tra với ánh xạ đồng nhất Với mọi u , v  V thi  T (u  v ) u  v Tu  Tv (tiên đề T1 thoả mãn) Với mọi k  R, v V thi T (kv ) kv k T (v) (tiên đề T2 thỏa mãn) Câu b) được kiểm tra tương tự Các phép toán về ánh xạ tuyến tính Giảng giải, Lắng nghe, 3.1 Giả sử V và W là hai không gian vectơ và thuyết trình ghi chép f : V  W va  g :V  W là hai ánh xạ tuyến tính từ V tới W Ta định nghĩa tổng f  g của hai ánh xạ tuyến tính và tích kf của một ánh xạ tuyến tính với một số thực k sau: u  V , ( f  g )(u ) : f (u )  g (u )  W u  V , ( kf )(u ) :kf (u )  W Khi đó dễ thấy f  g và kf cung là những ánh xạ tuyến tính từ V tới W (sinh viên tự kiểm tra) 3.2 Bây giờ giả sử V, W, U là ba không gian vectơ và f :V  W , g :W  U là hai ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ hợp g  f xác đinh bởi v V , g  f (v ) g ( f (v )) U là một ánh xạ tuyến tính từ V tới U f V  W   g U Tính chất của ánh xạ tuyến tính Giảng giải, Lắng nghe, 4.1 Định lý thuyết trình ghi chép Giả sử V và W là hai không gian vectơ Nếu T : V  W là một ánh xạ tuyến tính thì a ) T ( )  b) T (  v)  T (v), v  V c) T (v  w) T (v)  T ( w), v, w  V Phần chứng minh tham khảo tài liệu “Toán cao cấp” tập tác giả Nguyễn Đình Trí trang 286 Khái niệm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến Giảng giải, Lắng nghe, 16 tính thuyết trình ghi chép 5.1 Định nghĩa Giải sử V và W là hai không gian vectơ và T : V  W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó nhân của T, kí hiệu là Ker(T) được xác định bởi Ker (T ) :{x | x  V , T ( x)  } Và ảnh của T, kí hiệu là Im(T) được xác định bởi Im(T ) :{ y | y  W , x  V choT ( x )  y} Như vậy Im(T)=T(V) 5.2 Ví dụ Giảng giải, Theo Ví dụ 5.2.1 Nếu T : R  R xác đinh bởi gợi vấn đáp T(x,y)=(x+y,x-y) thấu chép, hiểu, ghi nhớ Tìm ker(T) và Im(T) Giải *) Tìm Ker(T) Sử dụng định nghĩa ta có: Ker (T ) {( x, y )  R | T ( x, y ) ( x  y, x  y )  } đó để tìm Ker(T) ta giải hệ phương trình  x  y 0  x 0    x  y 0  y 0 Vậy Ker(T)={(0,0)} *) Xác đinh Im(T) Để tìm Im(T) ta tìm ( y1 , y2 )  R để tồn tại ( x1 , x2 )  R cho T ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) vậy ta giải hệ phương trình: y y  x1   x  x  y      x1  x2  y2  x  y1  y2  2 đó với mọi ( y1 , y2 )  R tồn tại ( x1  mở, ghi dõi, y1  y2 y  y , x2  )  R cho 2 T ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) Do đó Im(T) ={ ( y1 , y2 )  R } Ví dụ 5.2.2 Cho ánh xạ tuyến tính T : R  R xác đinh bởi T(x,y,z)=(x-2y,-x+y+z,x+y-3z) Xác định Ker(T) và Im(T) Giải *) Tìm Ker(T) Theo định nghĩa: Ker (T ) {( x, y, z )  R | T ( x, y, z )  } {( x, y, z )  R | ( x  y, z  y  x, y  x  z)  } Vậy để tìm Ker(T) ta giải hệ phương trình  x  y 0  x 2 y    x  y  z 0   z y  x  y  3z 0  Vậy Ker (T ) {(2 y, y, y); y  R} *)Tìm Im(T) Theo định nghĩa để tìm Im(T) ta tìm ( y1 , y2 , y3 )  R để tồn tại ( x1 , x2 , x3 )  R cho T ( x1 , x2 , x3 ) ( y1 , y2 , y3 ) Vậy ta giải hệ phương trình  x1  x2  y1    x1  x2  x3  y2  x  x  3x  y  hệ tương đương  x1  x2  y1    x2  x3  y1  y2 0 2 y1  y2  y  Vậy Im T {( y, y, y)  R | y1  y2  y3 0} 5.3 Tính chất của nhân và ảnh Giảng giải, Lắng nghe, 5.3.1 Định lý thuyết trình ghi chép Giải sử V và W là hai không gian vectơ và T : V  W là một ánh xạ tuyến tính đó a) Ker(T) là một không gian V b) Im(T) là một không gian của W Chứng minh a) Chứng minh Ker(T) là một không gian Ta phải chứng minh Ker(T) kín đối vơi phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số V Giải sử u , v  Ker (T ) va  k  R ta có: T(u+v)=T(u)+T(v)=     vậy u  v  Ker (T ) nên Ker(T) kín đối phép cộng hai vectơ T(ku)=kT(u)=k   nên ku  Ker (T ) Điều này chứng tỏ Ker(T) kín đối với phép nhân vectơ với một số V Phần a) được chứng minh xong Phần b) được chứng minh tương tự IV Tổng kết bài (2 phút) - Định nghĩa ánh xạ tuyến tính - Định nghĩa nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính V Bài tập về nhà (2 phút) Cho ánh xạ T : R  R xác định sau: T(x,y,z)=(-2x-2y+2z; -2x+5y+z; 2x+y+5z) a) Chứng tỏ T là ánh xạ tuyến tính b) Xác định không gian Ker(T) Cho ánh xạ T : R3  R xác đinh sau: T(x,y,z)=(x+y+z; x-y-z+2m) Xác định m để T là một ánh xạ tuyến tính, sau đó tìm Ker(T) và số chiều của Ker(T) Cho ánh xạ T : R  R3 xác định sau: T(x,y)=(x-y,x+2y,-2x+y) 10 Xác định Ker(T) và Im(T) VI Rút kinh nghiệm Khoa-Bô Môn (Duyệt) Ngày 24 tháng năm 2008 Người giảng Dương Việt Thông Đề Cương Bài Giảng Nhắc lại kiên thức cũ: Định nghĩa ánh xạ 11 Cho V và W là hai tập của R ánh xạ T : V  W là một quy tắc cho bởi mỗi phần tử v  V có nhất một phần tử Tv  W Bây giờ chúng ta xem V và W là hai không gian vectơ đó ta có một lớp ánh xạ rất quan trọng là lớp các ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ánh xạ tuyến tính 2.1 Định nghĩa Nếu V và W là hai không gian vectơ, ánh xạ T :V  W được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay là phép biến đổi tuyến tính) nếu nó thỏa mãn hai tiên đề sau: T T ( x  y ) T ( x)  T ( y ), x, y V T T (rx) rT ( x), x V va   r  R Một ánh xạ tuyến tính T :V  V (tức là W trùng với V) được gọi là một toán tử tuyến tính V Tiên đề T1 đưa điều kiện T bảo toàn phép cộng vectơ Tiên đề T2 là điều kiện bảo toàn phép nhân vô hướng véctơ 2.2 Ví dụ Ví dụ 2.2.1 Xét ánh xạ T : R  R3 xác định bởi: T ( x, y ) ( x, x  y , x  y ) Chỉ T là ánh xạ tuyến tính Nếu u ( x1 , y1 ), v ( x2 , y2 ) thì u  v ( x1  y1 , x2  y2 ) nên T (u  v) ( x1  x2 , x1  x2  y1  y2 , x1  x2  y1  y2 ) ( x1 , x1  y1 , x1  y1 )  ( x2 , x2  y2 , x2  y2 )  T (u )  T ( v ) Vậy tiên đề T1 được thỏa mãn Kiểm tra tiên đề T2: Nếu k  R thì ku (kx1 , kx2 ) nên T (ku ) ( kx1 , kx1  ky1 , kx1  ky1 ) k ( x1 , x1  y1 , x1  y1 ) kT (u ) Vậy tiên đề T1 và tiên đề T2 được thỏa mãn vậy ánh xạ T đã cho là ánh xạ tuyến tính Ví dụ 2.2.2 Xét ánh xạ T : R  R xác định bởi T ( x)  x 12 Khi đó T không là ánh xạ tuyến tính Thật vậy, ta chi tiên đề T1 không thỏa mãn Ta có T(1+1)=T(2)=22= 4, mặt khác T(1)=1 vậy T(1+1) T(1)+T(1) đó tiên đề T1 không thoả mãn, vậy ánh xạ không là ánh xạ tuyến tính 1 0  Nếu 1 1 Ví dụ 2.2.3 Xét ánh xạ T : R  R là một ánh xạ nh ân với ma trận A   x v ( x, y )  R tức là  v    thì phép nhân với ma trận A tạo ánh xạ xác định bởi:  y  0  x   x  T [v]  A[v]       1 1  y   x  y   x  x1  Chỉ T là ánh xạ tuyến tính Cho   va    R , tính  y  y1    x  x     x  x1    x1  y1  T        T         y   y1     y  y1    ( x1  y1 )  ( x2  y2 )  x   x   x1   x   T    T      x  y   x1  y1   y  y1  tiên đề T1 được thỏa mãn Tiên đề T2 được chứng minh sau:   x   rx   rx  T  r    T      ry   rx  ry    y   x   x r  rT     x  y  y Vậy T bảo toàn tính cộng và phép nhân vô hướng nên T là ánh xạ tuyến tính Ví dụ 2.2.4 Giả sử V và W là hai không gian véctơ ánh xạ : a) T : V  V xác định bởi T(v)=v, với mọi v  V ; ánh xạ được gọi là ánh xạ đồng nhất V b) T : V  W xác định bởi T(v)=  , với mọi v  V ; ánh xạ được gọi là ánh xạ không là các ánh xạ tuyến tính.Thậy vậy, ta kiểm tra với ánh xạ đồng nhất với mọi u , v V thi  T (u  v ) u  v Tu  Tv (tiên đề T1 thoả mãn) với mọi k  R, v  V thi T (kv ) kv k T (v) (tiên đề T2 thỏa mãn) Vậy T : V  V là một ánh xạ tuyến tính Câu 2.2.3.b chứng minh tương tự Các phép toán về ánh xạ tuyến tính 3.1 Giả sử V và W là hai không gian vectơ và 13 f : V  W va  g :V  W là hai ánh xạ tuyến tính từ V tới W Ta định nghĩa tổng f  g của hai ánh xạ tuyến tính và tích kf của một ánh xạ tuyến tính với một số thực k sau: u  V , ( f  g )(u ) : f (u )  g (u ) W u  V , ( kf )(u ) :kf (u ) W Khi đó dễ thấy f  g và kf cung là những ánh xạ tuyến tính từ V tới W (sinh viên tự kiểm tra) 3.2 Bây giờ giả sử V, W, U là ba không gian vectơ và f :V  W , g :W  U là hai ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ hợp g  f xác đinh bởi v  V , g  f (v )  g ( f (v ))  U là một ánh xạ tuyến tính từ V tới U f V  W  g U  4.Tính chất của ánh xạ tuyến tính 4.1 Định lý Giả sử V và W là hai không gian vectơ Nếu T : V  W là một ánh xạ tuyến tính thì a ) T ( )  b) T ( v )  T (v), v  V c) T (v  w) T (v)  T ( w), v, w V Phần chứng minh tham khảo tài liệu “Toán cao cấp” tập tác giả Nguyễn Đình Trí trang 286 Khái niệm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 5.1 Định nghĩa Giải sử V và W là hai không gian vectơ và T : V  W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó nhân của T, kí hiệu là Ker(T) được xác định bởi: Ker (T ) :{x | x  V , T ( x)  } và ảnh của T, kí hiệu là Im(T) được xác định bởi: Im(T ) :{ y | y  W , x  V choT ( x)  y} Như vậy Im(T)=T(V) 5.2 Ví dụ Ví dụ 5.2.1 Nếu T : R  R xác đinh bởi: 14 T(x,y)=(x+y,x-y) Tìm ker(T) và Im(T) Giải *) Tìm Ker(T) Sử dụng định nghĩa ta có: Ker (T ) {( x, y )  R | T ( x, y ) ( x  y, x  y )  } để tìm Ker(T) ta giải hệ phương trình  x  y 0  x 0    x  y 0  y 0 Vậy Ker(T)={(0,0)} *) Xác đinh Im(T) Để tìm Im(T) ta tìm ( y1 , y2 )  R để tồn tại ( x1 , x2 )  R cho T ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) đó ta giải hệ phương trình: y  y2  x1   x  x  y      x1  x2  y2  x  y1  y2  2 Vậy với mọi ( y1 , y2 )  R tồn tại ( x1  y1  y2 y  y , x2  )  R cho 2 T ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) Do đó Im(T) ={ ( y1 , y2 )  R } Ví dụ 5.2.2 Cho ánh xạ tuyến tính T : R  R xác đinh bởi T(x,y,z)=(x-2y,-x+y+z,x+y-3z) Xác định Ker(T) và Im(T) Giải *) Tìm Ker(T) Theo định nghĩa: Ker (T ) {( x, y, z )  R | T ( x, y, z ) ( x  y, z  y  x, y  x  3z )  } đó để tìm Ker(T) ta giải hệ phương trình  x  y 0  x 2 y    x  y  z 0   z y  x  y  3z 0  Vậy Ker (T ) {(2 y, y, y ); y  R} *)Tìm Im(T) 15 Theo định nghĩa để tìm Im(T) ta tìm ( y1 , y2 , y3 )  R để tồn tại ( x1 , x2 , x3 )  R cho T ( x1 , x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 ) Vậy ta giải hệ phương trình  x1  x2  y1    x1  x2  x3  y2  x  x  3x  y  Xét ma trận mở rộng của hệ   y1      1 y2    1 3 y  3  1  y1      1 y1  y2   0 3  y  y  3  1  y1    y1  y2 0 1   0 y 3y  y  3  đó hệ tương đương  x1  x2  y1    x2  x3  y1  y2 0 2 y1  y2  y  Vậy Im T {( y, y, y )  R | y1  y2  y3 0} 5.3 Tính chất của nhân và ảnh 5.3.1 Định lý Giả sử V và W là hai không gian vectơ và T : V  W là một ánh xạ tuyến tính đó a) Ker(T) là một không gian V b) Im(T) là một không gian của W Chứng minh a) Chứng minh Ker(T) là một không gian Ta phải chứng minh Ker(T) kín đối vơi phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số V Giải sử u , v  Ker (T ) va  k  R ta có: T(u+v)=T(u)+T(v)=     vậy u  v  Ker (T ) nên Ker(T) kín đối phép cộng hai vectơ T(ku)=kT(u)=k   nên ku  Ker (T ) Điều này chứng tỏ Ker(T) kín đối với phép nhân vectơ với một số V Vậy phần a) được chứng minh xong Phần b) được chứng minh tương tự 16 ... phút) - Định nghĩa ánh xạ tuyến tính - Định nghĩa nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính V Bài tập về nhà (2 phút) Cho ánh xạ T : R  R xác định sau: T(x,y,z)= (-2 x-2y+2z; -2 x+5y+z;... tuyến tính Thậy vậy, ta kiểm tra với ánh xạ đồng nhất Với mọi u , v  V thi  T (u  v ) u  v Tu  Tv (tiên đề T1 thoả mãn) Với mọi k  R, v V thi T (kv ) kv k T (v) (tiên... 20 08 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Mục tiêu học tập: - Kiến thư? ?c: Trình bày khái niệm và ví dụ về ánh xạ tuyến tính, khái niệm nhân và ảnh.của ánh xạ tuyến tính -