Bài 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn A Lý thuyết 1 Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y[.]
Bài Hệ bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Khái niệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn - Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung tất bất phương trình gọi nghiệm hệ bất phương trình cho - Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm (x 0; y0) có tọa độ nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn gọi miền nghiệm hệ bất phương trình Ví dụ: x + 2y hệ bất phương trình hai ẩn x, y gồm hai bất phương trình x + 2y < y − 2x y – 2x > x + y2 hệ bất phương trình bậc hai ẩn x + y2 < bất x − y phương trình bậc hai hai ẩn x + y - Cho hệ bất phương trình hai ẩn x − y 10 Thay x = 10 y = vào bất phương trình x + y > ta có: 10 + = 12 > mệnh đề nên cặp số (x; y) = (10; 2) nghiệm bất phương trình x + y > Thay x = 10 y = vào bất phương trình x – y < 10 ta có: 10 – = < 10 mệnh đề nên cặp số (x; y) = (10; 2) nghiệm bất phương trình x – y < 10 Cặp (x; y) = (10; 2) nghiệm bất phương trình x + y > nghiệm bất phương trình x – y < 10 Nên cặp (x; y) = (10; 2) nghiệm hệ bất phương trình cho Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng tọa độ Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực sau: - Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ - Phần giao miền nghiệm miền nghiệm hệ bất phương trình Chú ý: Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm đa giác lồi phần nằm bên đa giác gọi miền đa giác x Ví dụ: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn: y : x + y 150 Trên mặt phẳng Oxy: Bước 1: Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ gạch bỏ phần miền lại - Đường thẳng x = trục tọa độ Oy - Miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D2 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trục Ox Bước 3: Miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 150: - Vẽ đường thẳng d: x + y = 150 - Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 150 mệnh đề nên tọa độ điểm O (0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150 Do đó, miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 150 nửa mặt phẳng bờ d (kể bờ d) chứa gốc tọa độ O Từ ta có miền nghiệm khơng bị gạch giao miền nghiệm bất phương trình hệ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F = ax + by miền đa giác Người ta chứng minh F = ax + by đạt giá trị lớn nhỏ đỉnh đa giác x y Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc hai ẩn: x + y 100 2x + y 120 Và F(x; y) = 3,5x + 2y Tìm giá trị lớn F(x; y) Hướng dẫn giải: Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình - Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x + y ≤ 100: + Vẽ đường thẳng d1: x + y = 100 + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 100 mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100 Do đó, miền nghiệm D1 bất phương trình x + y ≤ 100 nửa mặt phẳng bờ d (kể bờ d1) chứa gốc tọa độ O - Miền nghiệm D2 bất phương trình 2x + y ≤ 120: + Vẽ đường thẳng d2: 2x + y = 120 + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 120 mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120 Do đó, miền nghiệm D2 bất phương trình 2x + y ≤ 120 nửa mặt phẳng bờ d2 (kể bờ d2) chứa gốc tọa độ O - Xác định miền nghiệm D3 bất phương trình x ≥ + Đường thẳng x = trục tọa độ Oy + Miền nghiệm D3 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy (kể trục Oy) nằm bên phải trục Oy - Tương tự, miền nghiệm D4 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trục Ox Từ ta có miền nghiệm khơng bị gạch giao miền nghiệm bất phương trình hệ Miền nghiệm miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) C(60;0) Bước 2: Tính giá trị biểu thức F(x; y) = 3,5x + 2y đỉnh tứ giác: Tại O(0; 0): F = 3,5.0 + 2.0 = 0; Tại A(0; 100): F = 3,5.0 + 2.100 = 200; Tại B(20; 80): F = 3,5.20 + 2.80 = 230; Tại C(60; 0): F = 3,5.60 + 2.0 = 210; Bước 3: So sánh giá trị thu Bước 2, kết luận giá trị lớn F (x; y) 230 B Bài tập tự luyện Bài Hệ bất phương trình sau hệ bất phương trình bậc hai ẩn? x a) y − x + y b) y − x c) y – 2x < 2x − y d) 10 4x + 3y 10 Hướng dẫn giải x - Hệ bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn có hai bất phương y − trình x < y - > bất phương trình bậc hai ẩn x + y - Hệ bất phương trình khơng hệ bất phương trình bậc hai ẩn có bất y − x phương trình x2 + y < khơng bất phương trình bậc hai ẩn - y – 2x < khơng hệ bất phương trình bậc hai ẩn có bất phương trình bậc hai ẩn 2x − y Hệ bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn có hai bất 10 4x + 3y 10 phương trình 2x – y < 4x + 3y > 1010 bất phương trình bậc hai ẩn 2x − y x Vậy có hệ hệ bất phương trình bậc hai ẩn 10 4x + 3y 10 y − x + 5y Bài Cho hệ bất phương trình Hỏi có phải hệ bất phương trình bậc 5x − 4y hai ẩn khơng? Khi cho y = 0, x nhận giá trị nguyên nào? Hướng dẫn giải x + 5y hệ bất phương trình bậc hai ẩn có bất phương trình x + 5y < 5x − 4y 5x – 4y > bất phương trình bậc hai ẩn x x Khi y = 0, hệ trở thành: (vơ lí) 5x x Vậy khơng có giá trị ngun x thoả mãn để y = x y Bài Cho hệ bất phương trình x + y 80 2x + y 120 a) Tìm hai nghiệm hệ b) Cho F (x; y) = 2x + 2y Tìm giá trị lớn F (x; y) Hướng dẫn giải a) Chọn (x; y) = (1; 1) Thay x = y = vào bất phương trình x ≥ ta ≥ mệnh đề Do cặp (1; 1) nghiệm bất phương trình x ≥ Thay x = y = vào bất phương trình y ≥ ta ≥ mệnh đề Do cặp (1; 1) nghiệm bất phương trình y ≥ Thay x = y = vào bất phương trình x + y ≤ 80 ta + = ≤ 80 mệnh đề Do cặp (1; 1) nghiệm bất phương trình x + y ≤ 80 Thay x = y = vào bất phương trình 2x + y ≤ 120 ta + = ≤ 120 mệnh đề Do cặp (1; 1) nghiệm bất phương trình 2x + y ≤ 120 x y Vậy (x; y) = (1; 1) nghiệm hệ bất phương trình x + y 80 2x + y 120 x y Tương tự ta chọn (x; y) = (2; 2) nghiệm hệ bất phương trình x + y 80 2x + y 120 Vậy hai cặp số (1; 1), (2; 2) nghiệm hệ bất phương trình b) - Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ + Đường thẳng x = trục tọa độ Oy + Miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy (kể trục Oy) nằm bên phải trục Oy - Tương tự, miền nghiệm D2 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox (kể trục Ox) nằm bên trục Ox - Miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 80: + Vẽ đường thẳng d1: x + y = 80 + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 80 mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 80 Do đó, miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 80 nửa mặt phẳng bờ d1 (kể bờ d1) chứa gốc tọa độ O - Miền nghiệm D4 bất phương trình 2x + y ≤ 120: + Vẽ đường thẳng d2: 2x + y = 120 + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 120 mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120 Do đó, miền nghiệm D4 bất phương trình 2x + y ≤ 120 nửa mặt phẳng bờ d2 (kể bờ d2) chứa gốc tọa độ O Từ ta có miền nghiệm khơng bị gạch giao miền nghiệm bất phương trình hệ Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OABC với: O(0; 0), A(0; 80), B(40; 40), C(60; 0) Tại O(0; 0): F = 2.0 + 2.0 = 0; Tại A(0; 80): F = 2.0 + 2.80 = 160; Tại B(40; 40): F = 2.40 + 2.40 = 160; Tại C(60; 0): F = 2.60 + 2.0 = 120; Vậy giá trị lớn F (x; y) 160 (x; y) = (0; 80) (x; y) = (40, 40) Bài Bác An cần phải làm nến vịng khơng q để bán Nến loại A cần 30 phút để làm xong cây, nến loại B cần để làm xong Gọi x, y số nến loại A, B bác An làm Lập hệ bất phương trình mơ tả điều kiện x y biểu diễn miền nghiệm hệ Tìm số nến nhiều mà bác An làm Hướng dẫn giải Số bác An làm xong x nến loại A là: 0,5x (giờ) Số bác An làm xong y nến loại B là: y (giờ) Tổng số để bác An làm x nến loại A y nến loại B là: 0,5x + y (giờ) Do bác An cần phải làm nến vịng khơng q nên 0,5x + y ≤ Số nến bạn An làm không âm nên x ≥ 0, y ≥ x Ta có hệ bất phương trình sau: y 0,5x + y Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: - Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ + Đường thẳng x = trục tọa độ Oy + Miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy (kể trục Oy) nằm bên phải trục Oy - Tương tự, miền nghiệm D2 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox (kể trục Ox) nằm bên trục Ox - Miền nghiệm D3 bất phương trình 0,5x + y ≤ 8: + Vẽ đường thẳng ∆: 0,5x + y = + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0,5 + = ≤ mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 0,5x + y ≤ Do đó, miền nghiệm D3 bất phương trình 0,5x + y ≤ nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể bờ ∆) chứa gốc tọa độ O Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OAB với: O(0; 0), A(0; 8), B(16; 0) Số nến bác An làm là: F (x; y) = x + y Tại O(0; 0): F = + = 0; Tại A(0; 8): F = + = 8; Tại B(16; 0): F = 16 + = 16; Do giá trị lớn F(x; y) 16 x = 16 y = Vậy bác An làm nhiều 16 nến bác làm 16 nến loại A không làm nến loại B