Bài 16 Hàm số bậc hai Bài 6 11 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2 Cho đồ thị của hai hàm số bậc hai như dưới đây Với mỗi đồ thị, hãy a) Tìm toạ độ đỉnh của đồ thị; b) Tìm khoảng đồng biến và khoảng nghịch biế[.]
Bài 16: Hàm số bậc hai Bài 6.11 trang 13 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đồ thị hai hàm số bậc hai Với đồ thị, hãy: a) Tìm toạ độ đỉnh đồ thị; b) Tìm khoảng đồng biến khoảng nghịch biến hàm số: c) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số; d) Tìm tập xác định tập giá trị hàm số Lời giải: a) Dựa vào hình vẽ ta thấy: Hình 6.14: Tọa độ đỉnh (3; 4) Hình 6.15: Tọa độ đỉnh (1; –4) b) Hình 6.14: Đồ thị lên từ trái sang phải khoảng (– ∞; 3), đó, hàm số đồng biến khoảng (– ∞; 3) Đồ thị xuống từ trái sang phải khoảng (3; +∞), đó, hàm số nghịch biến khoảng (3; +∞) Hình 6.15: Đồ thị lên từ trái sang phải khoảng (1; +∞), đó, hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) Đồ thị xuống từ trái sang phải khoảng (–∞; 1), đó, hàm số nghịch biến khoảng (–∞; 1) c) Hình 6.14: Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số tung độ đỉnh là: Vậy hàm số có đồ thị Hình 6.14 có giá trị lớn x = Hình 6.15: Hàm số khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tung độ đỉnh là: –4 Vậy hàm số có đồ thị Hình 6.15 có giá trị nhỏ –4 x = d) Hình 6.14: Tập xác định: D = ℝ Tập giá trị: T = (–∞; 4] Hình 6.15: Tập xác định: D = ℝ Tập giá trị: T = [–4; +∞) Bài 6.12 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Với hàm số bậc hai cho đây: y = f(x) = –x2 – x + 1; y = g(x) = x2 – 8x + 8; thực yêu cầu sau: a) Viết lại hàm số bậc hai dạng y = a(x – h)2 + k; b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số; c) Vẽ đồ thị hàm số Lời giải: a) * Xét hàm số: y = f(x) = –x2 – x + = –(x2 + x – 1) 1 1 5 1 = x .x 1 x .x x 4 4 2 Với a = –1, h = , k = * Xét hàm số: y = g(x) = x2 – 8x + = (x2 – 2.4.x + 16) – 16 + = (x – 4)2 – Với a = 1, h = 4, k = –8 b) 1 - Xét hàm số: y = f(x) = –x – x + = x 2 Ta có: 1 x với số thực x 2 1 x với số thực x 2 x 1 5 với số thực x 2 4 f (x) với số thực x Dấu “=” xảy x = Vậy giá trị lớn hàm số y = f(x) x = - Xét hàm số: y = g(x) = x2 – 8x + = (x – 4)2 – Ta có: (x – 4)2 ≥ với số thực x ⇔ (x – 4)2 – ≥ –8 với số thực x ⇔ g(x) ≥ –8 Dấu “=” xảy x = Vậy giá trị nhỏ hàm số y = g(x) –8 x = c) - Xét hàm số: y = f(x) = –x2 – x + Ta có a = –1 < nên parabol quay bề lõm xuống 5 Đỉnh I ; 4 Trục đối xứng x Giao điểm với Oy (0; 1) Điểm đối xứng với điểm (0; 1) qua trục đối xứng x (–1; 1) Vẽ đường cong qua điểm ta đồ thị hàm số y = f(x) hình - Xét hàm số: y = g(x) = x2 – 8x + Ta có a = > nên parabol quay bề lõm lên Đỉnh I(4; – 8) Trục đối xứng x = Giao điểm với Oy (0; 8) Điểm đối xứng với điểm (0; 8) qua trục đối xứng x = (8; 8) Vẽ đường cong qua điểm ta đồ thị hàm số y = g(x) hình Bài 6.13 trang 14 SBT Tốn 10 Tập 2: Tìm tập xác định tập giá trị hàm số bậc hai sau: a) f(x) = –x2 + 4x – 3; b) f(x) = x2 – 7x + 12 Lời giải:: a) Xét hàm số f(x) = –x2 + 4x – có tập xác định D = ℝ Ta có: f(x) = –x2 + 4x – = –(x2 – 4x + 3) = –(x2 – 2.2.x + – + 3) = –(x – 2)2 + Mà: (x – 2)2 ≥ ⇔ –(x – 2)2 ≤ ⇔ –(x – 2)2 + ≤ ⇔ f(x) ≤ Vậy tập giá trị f(x) = –x2 + 4x – là: T = (–∞; 1] b) Xét hàm số f(x) = x2 – 7x + 12 có tập xác định D = ℝ Ta có: 49 49 7 12 x f(x) = x – 7x + 12 x .x 4 2 2 Mà: 7 x 2 7 1 x 2 4 f (x) Vậy tập giá trị hàm số f(x) = x2 – 7x + 12 là: T = ; Bài 6.14 trang 14 SBT Tốn 10 Tập 2: Tìm parabol y = ax2 + bx + 2, biết parabol a) qua hai điểm M(1; 5) N(–2; 8); b) qua điểm A(3; –4) có trục đối xứng x ; c) có đỉnh I(2; –2) Lời giải: a) Do parabol y = ax2 + bx + qua M(1; 5) nên ta có: a.12 + b.1 + = ⇔ a + b = (1) Do parabol y = ax2 + bx + qua N(–2; 8) nên ta có: a.(–2)2 + b.(–2) + = ⇔ 4a – 2b = (2) a b a b a Từ (1) (2) ta có: 4a 2b 2a b b Vậy parabol cần tìm là: y = 2x2 + x + b) Do parabol y = ax2 + bx + qua A(3; –4) nên ta có: a.32 + b.3 + = –4 ⇔ 9a + 3b = –6 (3) Do parabol y = ax2 + bx + có trục đối xứng x nên ta có: b ⇔ –2b = –6a ⇔ 6a – 2b = (4) 2a 9a 3b 6 3a b 2 a Từ (3) (4) ta có: 6a 2b 3a b b 1 Vậy parabol cần tìm là: y = x x c) Do parabol y = ax2 + bx + có đỉnh I(2; –2) nên ta có: b ⇔ –b = 4a ⇔ 4a + b = (5) 2a Và a.22 + b.2 + = –2 ⇔ 4a + 2b = –4 (6) 4a b a Từ (5) (6) ta có: 4a 2b 4 b 4 Vậy parabol cần tìm là: y = x2 – 4x + Bài 6.15 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm phương trình parabol có đỉnh I(– 1; 2) qua điểm A(1; 6) Lời giải: Gọi phương trình parabol là: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) + Parabol có đỉnh I(–1; 2) nên ta có: b 1 ⇔ –b = –2a ⇔ 2a – b = (1) 2a Và a.(–1)2 + b.(–1) + c = ⇔ a – b + c = (2) + Parabol qua điểm A(1; 6) nên ta có: a.12 + b.1 + c = ⇔ a + b + c = (3) Lấy (3) trừ vế theo vế với (2) ta được: 2b = ⇔ b = Thay b = vào (1) ta có: 2a – = ⇔ a = (t/m) Thay a = b = vào (2) ta có: – + c = ⇔ c = Vậy phương trình parabol cần tìm là: y = x2 + 2x + Bài 6.16 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Xác định dấu hệ số a, b, c dấu biệt thức ∆ = b2 – 4ac hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, biết đồ thị có dạng Hình 6.16 Lời giải: Từ đồ thị hàm số ta thấy: + Đồ thị quay bề lõm quay lên nên a > + Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương nên ta có: a.02 + b.0 + c > ⇔ c > + Hoành độ đỉnh x b có giá trị dương nên a b trái dấu Vì a > nên b < 2a + Mặt khác, đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox hai điểm phân biệt, tức phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt nên ∆ = b2 – 4ac > Vậy a > 0, b < 0, c > ∆ = b2 – 4ac > Bài 6.17 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Bác Hùng dùng 200 m hàng rào dây thép gai để rào miếng đất đủ rộng thành mảnh vườn hình chữ nhật a) Tìm cơng thức tính diện tích S(x) mảnh vườn hình chữ nhật rào theo chiều rộng x (m) mảnh vườn b) Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn rào Lời giải: a) Chiều dài dây thép 200 m chu vi mảnh vườn hình chữ nhật Nửa chu vi mảnh vườn là: 100 m Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) chiều dài là: 100 – x (m) Diện tích mảnh vườn là: S(x) = (100 – x).x = –x2 + 100x (m2) b) Do cơng thức tính diện tích S(x) hàm số bậc hai có a = –1 < nên đồ thị hàm S(x) parabol có bề lõm hướng xuống dưới, đó, giá trị lớn S(x) tung độ đỉnh parabol có phương trình: y = S(x) = –x2 + 100x Hồnh độ đỉnh parabol là: b 100 50 2a 2.(1) Tung độ đỉnh parabol là: –502 + 100.50 = 500 Vậy diện tích lớn mảnh vườn 2500 m2 chiều rộng 50 m chiều dài là: 100 – 50 = 50 (m), tức mảnh vườn có dạng hình vng có độ dài cạnh 50 m Bài 6.18 trang 15 SBT Toán 10 Tập 2: Một bóng ném lên theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 14,7 m/s Khi bỏ qua sức cản khơng khí, độ cao bóng so với mặt đất (tính mét) mơ tả phương trình h(t) = –4,9t2 + 14,7t a) Sau ném giây bóng đạt độ cao lớn nhất? b) Tìm độ cao lớn bóng c) Sau ném giây bóng rơi chạm đất ? Lời giải: a) Cơng thức tính độ cao bóng so với mặt đất (tính mét) mơ tả phương trình h(t) = –4,9t2 + 14,7t hàm số bậc hai có a = –4,9 < nên có đồ thị parabol có bề lõm hướng xuống, đó, bóng đạt độ cao lớn tung độ đỉnh parabol thời gian ứng với hoành độ đỉnh parabol là: t0 b 14,7 1,5 (giây) 2a 2.(4,9) Vậy sau ném 1,5 giây bóng đạt độ cao lớn b) Dựa vào phần a ta có: h(1,5) = –4,9 (1,5)2 + 14,7 1,5 = 11,025 Độ cao lớn bóng 11,025 m c) Quả bóng chạm đất tức h(t) = ⇔ –4,9t2 + 14,7t = ⇔ t = (loại) t = (thỏa mãn) Vậy sau ném giây bóng chạm đất Bài 6.19 trang 15 SBT Toán 10 Tập 2: Một đá ném lên theo phương thẳng đứng Khi bỏ qua sức cản khơng khí, chuyển động hịn đá tn theo phương trình sau: y = –4,9t2 + mt + n với m, n số Ở t = thời điểm đá ném lên, y(t) độ cao đá thời điểm t (giây) sau ném y = ứng với bóng chạm đất a) Tìm phương trình chuyển động hịn đá, biết điểm ném cách mặt đất 1,5 m thời gian để đá đạt độ cao lớn 1,2 giây sau ném b) Tìm độ cao hịn đá sau giây kể từ bắt đầu ném c) Sau kể từ ném, đá rơi xuống mặt đất (Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) ? Lời giải: a) Theo giả thiết điểm ném độ cao 1,5 m so với mặt đất nên n = 1,5 Cơng thức tính độ cao bóng so với mặt đất (tính mét) mơ tả phương trình y = –4,9t2 + mt + 1,5 hàm số bậc hai có a = –4,9 < có đồ thị parabol có bề lõm hướng xuống, đó, bóng đạt độ cao lớn tung độ đỉnh parabol thời gian ứng với hoành độ đỉnh parabol là: t0 b m 1,2 (giây) ⇔ m = 11,76 2a 2.(4,9) Vậy phương trình chuyển động hịn đá là: y = –4,9t2 + 11,76t + 1,5 b) Khi t = ta có y = –4,9 22 + 11,76 + 15 = 5,42 Vậy sau giây, hịn đá có độ cao 5,42 m c) Hòn đá rơi xuống mặt đất tức y = Xét phương trình –4,9t2 + 11,76t + 15 = ⇔ t ≈ 2,52 t ≈ –0,12 (loại) Vậy sau khoảng 2,52 giây kể từ ném hịn đá rơi xuống mặt đất Bài 6.20 trang 15 SBT Toán 10 Tập 2: Một rạp chiếu phim có sức chứa 000 người Với giá vé 40 000 đồng, trung bình có khoảng 300 người đến rạp xem phim ngày Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim khảo sát thị trường thấy giá vé giảm 10 000 đồng có thêm 100 người đến rạp ngày a) Tìm cơng thức hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé ngày rạp chiếu phim giá vé x nghìn đồng b) Tìm mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé ngày rạp lớn Lời giải: a) Giá vé x nghìn đồng Khi giá vé x (nghìn đồng) số tiền giảm giá vé so với mức giá cũ 40 – x (nghìn đồng) Do giá vé giảm 10 000 đồng có thêm 100 người đến rạp ngày nên số người tăng lên sau giảm giá vé là: 100 40 x 10 40 x 10 Ban đầu chưa giảm giá vé số người đến rạp ngày 300 người Số người đến rạp chiếu phim ngày sau giảm giá là: 300 + 10(40 – x) = 700 – 10x Công thức hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé ngày giá vé x (nghìn đồng) là: R(x) = x.(700 – 10x) = –10x2 + 700x (nghìn đồng) b) Cơng thức hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé ngày giá vé x (nghìn đồng) là: R(x) = –10x2 + 700x hàm số bậc hai có a = –10 < nên có đồ thị parabol có bề lõm hướng xuống, giá trị lớn hàm số tung độ đỉnh parabol Vậy mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé ngày rạp lớn hoành độ đỉnh parabol là: b 700 35 (nghìn đồng) 2a 2.(10) Khi đó, R(35) = –10 352 + 700 35 = 12 250 (nghìn đồng) Vậy giá bán vé 35 000 đồng doanh thu từ tiền bán vé ngày rạp lớn 12 250 000 đồng ... giảm giá vé so với mức giá cũ 40 – x (nghìn đồng) Do giá vé giảm 10 000 đồng có thêm 100 người đến rạp ngày nên số người tăng lên sau giảm giá vé là: 100 40 x 10 40 x 10 Ban đầu... mảnh vườn là: 100 m Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) chiều dài là: 100 – x (m) Diện tích mảnh vườn là: S(x) = (100 – x).x = –x2 + 100 x (m2) b) Do công thức tính diện tích S(x) hàm số bậc hai có a =... S(x) = –x2 + 100 x Hoành độ đỉnh parabol là: b 100 50 2a 2.(1) Tung độ đỉnh parabol là: –502 + 100 .50 = 500 Vậy diện tích lớn mảnh vườn 2500 m2 chiều rộng 50 m chiều dài là: 100 – 50 =