Chuyên đề Đường kính và dây của đường tròn Toán 9 A Lý thuyết 1 So sánh độ dài của đường kính và dây Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính Ví dụ Gọi AB là một dây bất kỳ của đườ[.]
Chun đề Đường kính dây đường trịn - Toán A Lý thuyết So sánh độ dài đường kính dây Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính Ví dụ: Gọi AB dây đường tròn (O; R) Chứng minh AB ≤ 2R + Trường hợp 1: AB đường kính ⇒ AB = 2R + Trường hợp 2: AB khơng đường kính Xét tam giác AOB, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: AB < AO + OB = R + R = 2R Vậy ta ln có AB ≤ 2R Quan hệ vng góc đường kính dây + Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây B Bài tập I Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB dây CD không qua tâm Khẳng định sau đúng? A AB > CD B AB = CD C AB < CD D AB ≤ CD Lời giải: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Chọn đáp án A Câu 2: Cho đường trịn (O) có hai dây AB, CD không qua tâm Biết khoảng cách từ tâm đến hai dây Kết luận sau A AB > CD B AB = CD C AB < CD D AB // CD Lời giải: Trong đường tròn: Hai dây cách tâm Chọn đáp án B Câu 3: “Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm thì…với dây ấy” Điền vào dấu…cụm từ thích hợp A nhỏ B C song song D vng góc Lời giải: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Chọn đáp án D Câu 4: Chọn khẳng định sai khẳng định sau Trong hai dây đường trịn A Dây lớn dây xa tâm B Dây nhỏ xa tâm C Dây gần tâm dây lớn D Hai dây cách tâm Lời giải: Trong đường trịn: + Hai dây cách tâm - Trong hai dây đường tròn: + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn Nên phương án B, C, D Chọn đáp án A Câu 5: Cho đường trịn (O) có bán kính R = cm Khoảng cách từ tâm đến dây AB cm Tính độ dài dây AB A AB = cm B AB = cm C AB = 10 cm D AB = 12 cm Lời giải: Kẻ OH ⊥ AB H suy H trung điểm AB Xét tam giác OHB vuông H có OH = 3; OB = Theo định lý Pytago ta có: Mà H trung điểm AB nên AB = 2HB = cm Vậy AB = cm Chọn đáp án B Câu 6: Cho đường trịn (O) có bán kính OA = 3cm Dây BC đường trịn vng góc với OA trung điểm OA Tính BC Lời giải: Gọi H trung điểm BC Do dây BC vng góc với OA H nên ta có: Áp dụng định lí Pytgo vào tam giác OHB vng H ta có: Theo định lí quan hệ vng góc đường kính dây ta có: H trung điểm BC nên: Chọn đáp án A Câu 7: Cho ΔABC, đường cao BD CE Tìm mệnh đề sai A Bốn điểm B, E, D C nằm đường tròn B DE < BC C Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDE trung điểm BC D Tất sai Lời giải: Gọi I trung điểm BC Tam giác BCE vng E có đường trung tuyến EI ứng với cạnh huyền BC nên: (1) Tam giác BCD vng D có DI đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên: (2) Từ ( 1) (2) suy ra: Do đó, I tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCDE Khi đó, BC đường kính DE dây khơng qua tâm nên: BC > DE Chọn đáp án D Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD Tìm khẳng định A AC < BD B AB > AC C AC > CD D AB > BC Lời giải: Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD, Theo tính chất hình chữ nhật ta có: Do đó, I tâm đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có AC BD đường kính AB, BC, CD DA dây Chọn đáp án C Câu 9: Cho đường trịn tâm O , bán kính R = 5cm , có dây AB = 8cm M trung điểm AB Tính khoảng cách từ O đến AB ? A 3cm B 4cm C 2cm D cm Lời giải: Vì M trung điểm AB nên ta có: Theo quan hệ vng góc đường kính dây ta có: OM ⊥ AB Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OAM ta có: OM2 = OA2 - AM2 = 52 - 42 = ⇒ OM = cm Chọn đáp án A Câu 10: Cho đường trịn tâm O có dây AB = 16cm Gọi M trung điểm AB Biết khoảng cách từ O đến AB Tính bán kính đường trịn A 7cm B 8cm C 10cm D 12 cm Lời giải: Vì M trung điểm AB nên ta có: Theo quan hệ vng góc đường kính dây ta có; Mà khoảng cách từ O đến AM cm nên OM = cm Áp dụng định lí pytago vào tam giác OAM vng ta có: OA2 = OM2 + AM2 = 62 + 82 = 100 nên OA = 10 cm Suy ra: bán kính đường trịn cho R = 10 cm Chọn đáp án C II Bài tập tự luận có lời giải Câu 1: Cho hình vẽ sau, tính độ dài dây AB biết OA = 13cm; AM = MB; OM = 5cm Ta có: tam giác EBC DBC tam giác vng có chung cạnh huyền BC ⇒ Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác có tâm F (F trung điểm BC) với bán kính FB ⇒ Các điểm B, E, D, C thuộc đường tròn Trong đường trịn đường kính BC có ED dây cung nên ED < BC Câu 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD khơng cắt AB Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B lên CD Chứng minh: CH = DK Lời giải: Dựng OE vng góc với CD (E thuộc CD) Khi ta có: E trung điểm CD (theo định lí 2): EC = ED (1) Xét tứ giác ABKH có Do tứ giác ABKH hình thang Xét hình thang ABKH có O trung điểm AB OE // AH // BK ⇒ E trung điểm HK : EH = EK Từ (1) (2) ta có: EH – EC = EK – ED hay CH = DK Câu 4: Gọi AB dây đường tròn (O; R) Chứng minh AB ≤ 2R Lời giải: + Trường hợp 1: AB đường kính ⇒ AB = 2R + Trường hợp 2: AB khơng đường kính Xét tam giác AOB, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: AB < AO + OB = R + R = 2R Vậy ta ln có AB ≤ 2R Câu 5: Cho hình vẽ sau, tính độ dài dây AB biết OA = 13cm; AM = MB; OM = 5cm Lời giải: Áp dụng định lý: “ Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây “ Khi ta có: OM ⊥ AB Áp dụng định lý Py – ta – go ta có: ⇒ AB = 2.AM = 2.12 = 24 (cm) Câu 6: Cho tam giác ABC, đường cao BH CK Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, C, H, K thuộc đường tròn b) HK < BC Lời giải: Gọi I trung điểm BC Xét tam giác BCH vuông H HI trung tuyến I trung điểm BC ⇒HI=CI=BI=BC2 (1) (tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) Xét tam giác BCK vuông K KI trung tuyến I trung điểm BC ⇒KI=CI=BI=BC2 (2) (tính chất đường trung tuyến tam giác vng) Từ (1) (2) ta có: KI=HI=CI=BI=BC2 Do đó, K, H, C, B nằm đường tròn tâm I bán kính R=BC2 b) Trong đường trịn tâm I ta có KH dây cung khơng qua tâm, BC đường kính nên: KH < BC Câu 7: Tứ giác ABCD có B^=D^=90o a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn b) So sánh độ dài AC BD Nếu AC = BD tứ giác ABCD hình gì? Lời giải: a) Gọi I trung điểm AC Xét tam giác ABC vuông B BI đường trung tuyến I trung điểm AC ⇒BI=AI=CI=AC2 (1) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Xét tam giác ADC vuông D DI đường trung tuyến I trung điểm AC ⇒DI=AI=CI=AC2 (2) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Từ (1) (2) ta có: BI=DI=CI=AI=AC2 Do đó, bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn tâm I bán kính R=AC2 b) Trong đường trịn tâm M ta có BD dây cung khơng qua tâm, AC đường kính nên: BD < AC AC = BD BD đường kính ⇒I∈BD⇒IA=IB=IC=ID Xét tứ giác ABCD có AC giao BD I IA=IB=IC=ID Khi đó, ABCD hình chữ nhật Câu 8: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB dây EF khơng cắt đường kính Gọi I K chân đường vng góc kẻ từ A B đến EF Chứng minh IE = KF Lời giải: Xét tứ giác IKBA có: AI vng góc với IK BK vng góc với IK ⇒ AI // BK Do đó, IKBA hình thang Kẻ OH vng góc với IK H Nên OH // AI // BK (cùng vng góc với IK) Mà O trung điểm AB AB đường kính O tâm nửa đường trịn Do đó, H trung điểm IK ⇒IH=KH ⇒IE+EH=HF+FK (1) Mặt khác, ta có: OH phần đường kính qua tâm O OH vng góc với dây cung EF Do đó, H trung điểm EF ⇒HE=HF (2) Từ (1) (2) ta suy IE = KF Câu 9: Cho đường trịn (O), đường kính AD = 2R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung cắt đường tròn (O) B C a) Tứ giác OBDC hình gì? Vì sao? b) Tính số đo góc CBD, CBO, OBA c) Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải: Xét đường trịn tâm O đường kính AD = 2R Ta có: OA = OC = OB = OD = R (1) (do bán kính nửa đường kính) Xét cung trịn tâm D bán kính R Do cung tròn tâm D cắt đường tròn tâm O B C nên DB = DC = R (2) Từ (1) (2) ta có: OB = OC = DB = DC Do đó, tứ giác OBDC hình thoi b) Xét tam giác OBD có: OB = OD = BD = R ...2 Quan hệ vng góc đường kính dây + Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây + Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây B Bài tập I... Cho đường trịn (O) đường kính AB dây CD không qua tâm Khẳng định sau đúng? A AB > CD B AB = CD C AB < CD D AB ≤ CD Lời giải: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính Chọn đáp án A Câu 2: Cho đường. .. Hai dây cách tâm - Trong hai dây đường tròn: + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn Nên phương án B, C, D Chọn đáp án A Câu 5: Cho đường trịn (O) có bán kính R = cm Khoảng cách từ tâm đến dây