Một số bài toán tích phân

Một số bài toán tích phân. Được viết và biên soạn bởi thầy Lê Văn Chánh, (Aki Lê). Một số bài toán tích phân. Được viết và biên soạn bởi thầy Lê Văn Chánh, (Aki Lê). Một số bài toán tích phân. Được viết và biên soạn bởi thầy Lê Văn Chánh, (Aki Lê). Một số bài toán tích phân. Được viết và biên soạn bởi thầy Lê Văn Chánh, (Aki Lê).

Một vài ‘tích phân’ kinh dị Aki Lê Ngày 21 tháng năm 2020 Một số tốn tích phân ’kinh dị’ bàn luận viết nhỏ Một số vấn đề liên quan bất đẳng thức tích phân đưa Mọi thứ trị chơi giải trí (khơng thương mại, khơng định hướng giảng dạy, không định hướng thi cử, không chạy theo ) Và tôi, Aki Lê, hi vọng vấn đề (được cư dân mạng quan tâm) không đưa vào thi cử Hầu hết toán nhận từ nhiều nguồn, từ nhiều người phần lớn tốn khơng biết nguồn tác giả Chính Aki Lê khơng chịu trách nhiệm vấn đề quyền Mọi ý kiến đóng góp sai sót đóng góp cách nhìn tốt xin gửi email 0711052@gmail.com Cảm ơn! LATEX by AKI LÊ Tóm tắt nội dung MỤC LỤC MỤC LỤC Mục lục Một số kết quan trọng Một số toán Một số toán ’đặt sai’ 30 Phương trình vi phân 48 * Số phức 55 TMP 58 LATEX by LE VAN CHANH Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG Bài toán (Trường Chun Lê Q Đơn, SGD Quảng hàm f có hàm cấp Z Trị) Cho Z đạo 2 23 MỘT SỐ BÀI TOÁN LATEX by LE VAN CHANH Áp dụng BĐT Cauchy, ta thu Z Z Z 1 [ f (x)]2 dx (1 − x) dx + (1 − x) f (x)dx ≤ = f (0) − 0 Z [ f (x)]2 dx − f (0) ≥ − Dấu đạt f (x) = − x Suy Vì thế, GTNN cần tìm − Nhận xét Nếu áp dụng BĐT Holder ta phải lòng vòng Áp dụng BĐT Holder, ta thu  Z  Z Z 1 1 f (0) − (1 − x) f (x)dx ≤ (1 − x)2 dx [ f (x)]2 dx = 0  Z Z 1 1 ≤ 2√ [ f (x)]2 dx ≤ + [ f (x)]2 dx 3 0 Z Do đó, [ f (x)]2 dx − f (0) ≥ − Dấu đạt tồn số thực không âm Z 1 λ cho f (x) = λ (1 − x) (1 − x)2 f (x)dx = − ; f (x) = − x Vì thế, GTNN cần tìm − Bài toán tương tự: Bài toán (Nguồn Vted): Cho hàm f nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (1) = 2018 f (0) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = Z Z 1 [ f (x)] dx + dx 0 [ f (x)] Một số sai lầm: Z (a) Tìm GTNN biểu thức cách thay việc tìm GTNN [ f (x)]2 dx ’cho rằng’ f (0) số (b) Thiết kế câu hỏi trắc nghiệm GTNN GTNN số: Z 1 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] (1 − x)2 f (x)dx = − Tính giá Z trị nhỏ [ f (x)]2 dx A f (0) + B f (0) + C f (0) − D f (0) − Một toán đặt sai tương tự: Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (x) ≥ Z 1 f (x) > với x ∈ [0, 1] Giá trị lớn biểu thức dx f (x) A f (0) B f (1) C 1 − f (0) f (1) MỘT SỐ BÀI TOÁN D f (0) f (1) − Nguồn toán Bài tốn Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (x) ≥ f (x) > với x ∈ [0, 1] Z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức f (0) dx f (x) Lời giải Với t ∈ [0, 1], từ f (x) ≥ với x ∈ [0, 1], ta có f (x) Z t Z t f (x) 1dx dx ≥ 0 f (x) f (t) ≥ t Do đó, f (t) ≥ f (0)et f (0) Z Z −x Z 1 − 1e e 1 Vì thế, dx ≥ dx = Do đó, f (0) dx ≤ − Dấu f (0) e f (x) f (0) f (x) xảy f (x) = ex Suy GTLN cần tìm − e Nhận xét 6.Z (a) Ta thu thơng tin f (t) ≥ f (1)et , ∀t ∈ [0, 1], hướng t khác: [e−x f (x)]dx ≥ 0 f (x) f (x) [ f (x)]2 [ f (x)]2 = ≤ , ta thu (d) Từ đánh giá f (x) f (x) f (x) Z 1 1 dx ≤ − f (0) f (1) f (x) Z 1 1 Có thể có sai lầm cho − GTLN biểu thức dx !!! f (0) f (1) f (x) (c) Bài toán sau không tồn giá trị lớn nhất: Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (x) ≥ f (x) > với x ∈ [0, 1] Tìm giá trị lớn (nếu có) biểu thức Z 1 dx f (x) Thật vậy, với hàm f cho trước thỏa điều kiện tốn fn (x) = f (x) thỏa nZ Z Z 1 1 điều kiện tốn Khi đó, dx = n dx Vì dx > nên fn (x) f (x) f (x) 0 Z Z 1 lim dx = ∞ Do đó, khơng tồn GTLN biểu thức dx n→∞ f n (x) f (x) (d) Lập luận tương tự (b) với gn (x) = n f (x), ta dẫn đến Bài tốn sau khơng tồn giá trị nhỏ nhất: Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (x) ≥ f (x) > với Z 1 x ∈ [0, 1] Tìm giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức dx f (x) LATEX by AKI LÊ Do đó, ln MỘT SỐ BÀI TỐN LATEX by LE VAN CHANH Bài tốn Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (x) ≥ f (x) > với x ∈ [0, 1] Z 1 1 Tìm giá trị lớn biểu thức dx + − f (1) f (0) f (x) MỘT SỐ BÀI TỐN Bài tốn Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 2] f (2) − f (0) = Tìm giá trị nhỏ Z [ f (x)]2 dx Nguồn toán: Lời giải Với hàm h, g liên tục [a, b], ta có bất đẳng thức sau ñZ b Z b Z b 2 k (x)dx ≥ h (x)dx a a ô2 h(x)k(x)dx a Áp dụng bất đẳng thức với a = 0, b = 2, h(x) = 1, k(x) = f (x), ta thu Z [ f (x)] dx ≥ Z đZ 2 ơ2 ≥ f (x)dx 12 dx [ f (2) − f (0)]2 = 2 3x Do đó, GTNN cần tìm 2 Bài tốn 10 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [a, b], a < b, thỏa f (a) = max | f (x)| = x∈[a,b] Z b M Tìm giá trị nhỏ [ f (x)]2 dx a Nguồn toán: Lời giải Với hàm h, g liên tục [c, d], ta có bất đẳng thức sau đZ d Z d Z d h2 (x)dx k2 (x)dx ≥ c c ô2 h(x)k(x)dx c Áp dụng bất đẳng thức với c = a, d = x0 , h(x) = 1, k(x) = f (x), x0 ∈ [a, b] : | f (x0 )| = M, ta thu Z b Z b Z d Z d 2 dx [ f (x)] dx ≥ dx [ f (x)]2 dx a a a a đZ d ơ2 f (x)dx ≥ a Do đó, Z a b [ f (x)] dx ≥ Z đZ d ơ2 f (x)dx b dx a M2 = [ f (d) − f (a)] = b−a b−a a Dấu đạt f (x) = M(x − a) M2 Do đó, GTNN cần tìm b−a b−a LATEX by AKI LÊ Dấu đạt f (x) = MỘT SỐ BÀI TOÁN f (x)dx = Giá trị Bài toán 11 Cho hàm f liên tục [0, 1] ≤ f (2) ≤ Z ß ™ dx nhận giá trị tập , , , ? 10 11 f (x) Nguồn toán: Z Lời giải Bài toán 12 (Bài toán tổng quát) Cho trước hàm g(x) liên tục [a, b], a < b, số thực A, B Z b Z b với A > Tìm f liên tục [a, b] thỏa hai điều kiện [ f (x)] dx = A g(x) f (x)dx = B a a Ở đây, ta giả sử hàm g thỏa thêm số điều kiện: (a) Điều kiện 1: Tồn số thực số thực α cho α Z b [g(x)]2 dx − 2αB + A = a (b) Điều kiện 2: α Z b [g(x)]2 dx = A α Z LATEX by LE VAN CHANH a [ f (x) − αg(x)] dx = α Lời giải Ta có [g(x)]2 dx = B A = αB a b Z b Z a b [g(x)]2 dx − 2αB + A = nên f (x) = αg(x) a [a, b] Ta dễ dàng kiểm tra hàm αg(x) hàm cần tìm Do đó, có hàm αg(x) thỏa điều kiện toán Nhận xét (a) Khi điều kiện xảy ba điều kiện liệt kê ’điều kiện 2’ tương đương (b) Các điều kiện điều kiện đảm bảo tồn nghiệm cho toán (c) Bài toán ’tổng quát’ phát triển thêm chút nữa: Cho trước hàm g(x), h(x) liên tục [a, b], a < b, số thực A, B,C với A > Tìm f liên tục [a, b] thỏa hai Z b Z b Z b điều kiện [ f (x)] dx = A, g(x) f (x)dx = B h(x) f (x)dx = C Ở đây, ta giả a a a sử hàm g thỏa thêm số điều kiện: Điều kiện 1: Tồn số thực hai số thực α β cho A + Z b Z b Z b 2 2 α [g(x)] dx + β [h(x)] dx − 2αB − 2βC + 2αβ h(x)g(x) = a a Z Điều kiện 2: a b Z [αg(x)+β h(x)] dx = A, a b Z [αg(x)+β h(x)]g(x)dx = B , a b [αg(x)+ a β h(x)]h(x)dx = C (Điều kiện thứ chưa ’tối giản’, lược bỏ điều kiện.) Các toán liên quan: Bài toán 31, 27, 34, 35, 28 (d) Một số toán đặt không tuân theo điều kiện điều kiện nên dẫn đến sai sót Các tốn sai sót xuất mạng: 10 Z Bài toán (sai): Cho f hàm liên tục [0, 1] thỏa Z f (x)dx Tính 4036 MỘT SỐ BÀI TỐN Z x f (x)dx = [ f (x)]2 dx = Nguồn toán: (e) Một số tốn địi hỏi phải biến đổi thơng tin tìm mơ Bài toán 12 (như Bài toán 13) Nhận xét: Ta tiếp cận cách tạo tích phân ’bình phương’ hàm khơng âm (dựa vào Nhận xét 1) bất đẳng thức Holder (dựa vào Nhận xét 2) Ở bước đầu tiên, ta biến đổi thông tin đề ’qua’ hàm f (x): Dùng tích phân phần, ta chuyển thơng tin đề thành Z π   f (x) cos xdx = 1,  Z0 π   [ f (x)]2 dx =  π Lời giải 1: (Lời giải dựa vào Nhận xét 2- BĐT Holder) Áp dụng BĐT Holder cho hai hàm f (x) cos x, ta nhận ò2 π ïZ 1= Z π ≤ f (x) cos xdx Z [ f (x)] dx 0 π cos2 xdx = Z Do đó, dấu xảy Do đó, tồn số thực λ : f (x) = λ cos x Hơn nữa, π f (x) cos xdx = nên f (x) = cos x Z ππ Do đó, x f (x)dx = − π Lời giải (Phân tích bình phương hệ số bất định sử dụng nhận xét 1) Vì giả thiết chứa thơng tin [ f (x)]2 cos x f (x) nên ta liên kết với [ f (x) + α cos x]2 Vì thế, ta xét hàm h(x) = [ f (x) + α cos x]2 ≥ 0, số thực α chọn thích hợp Hàm h sử dụng hàm tổ hợp hàm [ f (x)]2 , cos x f (x) cos2 x Tích phân hàm vừa liệt kê [0, π] biết Khi đó, Z π Z h(x)dx = π Z [ f (x)] dx + 2α = f (x) cos xdx + α πα 2 + 2α + π 11 π Z π cos2 x LATEX by AKI LÊ (e) Một số toán tìm phải tìm kiếm hàm f suy hàm f Bài toán 49 Z π Bài tốn 13 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, π] thỏa f (x) sin xdx = −1 Z π Z π 2 x f (x)dx [ f (x)] dx = Tính π 0 Nguồn toán: Z Ta chọn α cho [h(x)]2 dx = 0, nghĩa MỘT SỐ BÀI TOÁN πα 2 + 2α + = hay α = − Vì π π f (x) = cos x∀x ∈ [0, π] π Z π x f (x)dx = − π Do đó, Z Bài tốn 14 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, π] thỏa Z π Z π 2A2 [ f (x)] dx = Tính f (2x)dx π 0 π f (x) cos xdx = A, f π  =0 Nguồn toán: Lời giải Z π π  f (x) cos xdx = A, f Sử dụng π LATEX by LE VAN CHANH Z = tích phân phần, ta có f (x) sin xdx = −A Khi đó, Z π Z 2 π f (x) + α sin x dx = Z [ f (x)] dx + 2α 0 2A2 = π f (x) sin xdx + α − 2αA + πα 2 π Z π sin2 x Z πï ò2 2A 2A 2A sin x dx = Do đó, f (x) Vì f (x) = − sin x∀x ∈ [0, π] Chọn α = , ta có f (x) + π π π Z π π  2A A Do đó, f (x) = cos x (do f = 0) Suy f (2x)dx = π π Bài toán 15 (Đề Minh họa THPTQG 2018) Cho f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa Z Z Z 1 2 điều kiện: f (1) = 0, [ f (x)] dx = 7, x f (x)dx = Tính f (x)dx 0 Lời giải Dùng tích phân phần, ta chuyển giả thiết thành hàm ’liên quan’ f (x): Z   x3 f (x)dx = −1,  Z0    [ f (x)]2 dx = ỵ ó2 Sự xuất hàm [ f (x)]2 , x3 f (x), ta liên kết với bình phương f (x) − αx3 Với số thực α, ta có Z 1ỵ ó2 α2 f (x) − αx3 dx = + 2α + 12 Ta chọn α cho Z 1ỵ f (x) − αx3 ó2 dx = 0, nghĩa 7+ 2α + đó, Z 1ỵ f (x) + 7x3 ó2 MỘT SỐ BÀI TỐN α2 = Hay α = Khi dx = 0 7x4 Do đó, f (x) = −7x Hơn nữa, f (1) = nên f (x) = − + Suy 4 Z f (x)dx = LATEX by AKI LÊ 13 MỘT SỐ BÀI TOÁN Z Bài tốn 16 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (1) = 0, [ f (x)]2 dx = Z Z f (x) 3 f (x)dx − ln dx = ln − Tính 2 (x + 1) Nguồn toán: Nhận xét: Ta sử dụng hai hướng tiếp cận lời giải Bài toán 13 Ở bước đầu tiên, ta biến đổi thông tin đề ’qua’ hàm f (x): Dùng tích phân phần (u = f (x), dv = dx), ta chuyển thông tin đề thành (x + 1)2 Z    [ f (x)]2 dx = − ln 2, Z0  f (x)   dx = ln − − f (0) x+1 LATEX by LE VAN CHANH Hay Z    [ f (x)]2 dx = − ln 2, Z0 ï ò    − f (x)dx = ln − x+1 − (hoặc dùng BĐT Holder), Áp dụng Bài toán tổng quát cho hàm f (x) g(x) = x + 1Z Å ã 1 f (x) ta thu f (x) = λ − Nhờ vào f (1) = dx = ln − , ta x+1 (x +Z1) 1 có f (x) = x − ln (x + 1) + ln − Từ đó, ta tìm giá trị biểu thức f (x)dx = − ln 2 14 Z f (x) dx = , x+1 10 Bài toán 17 Cho hàm f thỏa Z f (x)dx f (4) = ln + Tính Z MỘT SỐ BÀI TOÁN  2 27 x f (x) dx = ln − , f (1) = 10 Lời giải Các thông tin đề biến đổi: Z   f (x)dx = ln ,     Z1 f (x) dx = ,  10  Z1 x +      27   x f (x) dx = ln − 10 Do đó, Chọn số thực α cho ò dx = x f (x) − α x+1 Å Å Å ã ã ã 27 Hay ln − − ln − α + ln − α = 10 10 10 Suy (αï − 3)2 = Doò đó, α = 3 Vì thế, x f (x) − = [1, 4] Suy f (x) = x+1 x+1 Vậy f (x) = ln(x + 1) + − ln Z ï (-7) Bài toán 18 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (1) = 0, f (1) = Z 1 [ f (x)]2 dx = ex e−1 Z Tính f (x)dx Nguồn tốn: Z Vì f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa f (1) = 0, f (1) = nên f (x)dx = f (1) − f (0) = Đặt g(x) =Với số thực α, ta có Z 1ï ò2 f (x) x/2 − αe dx = − 2α + (e − 1)α x/2 e−1 e Z 1 x ex − e−2 Chọn α = , ta có f (x) = e Suy f (x) = f (x)dx = e−1 e−1 e−1 e−1 15 LATEX by AKI LÊ Z x   f (x) dx = ln − ,  x+1 10 Z1    27   x f (x) dx = ln − 10 Nhận xét Áp dụng bất đẳng thức Holder cho hai hàm f (x) = kex MỘT SỐ BÀI TOÁN f (x) ex/2 , ta nhận ex/2 Bài tốn 19 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [1, 8] thỏa điều kiện Z 2 Z [ f (x )] dx + Z f (x )dx = 3 Z f (x)dx − 38 15 f (x)dx Tính LATEX by LE VAN CHANH Lời giải Đầu tiên, ta chuyển tồn sang thơng qua tích phân liên quan hàm f (x3 ) Khi đó, Z Z 3 dùng phương pháp đổi biến (t = x ), ta chuyển giả thiết [ f (x )] dx + f (x3 )dx = 1 Z 38 f (t)dt − thành 15 Z Z Z f (x )dx − [ f (x )] dx + 2 1 x2 f (x3 )dx = − 38 15 (-8) ỵ ó2 Từ hàm [ f (x3 )]2 , f (x3 ), x2 f (x3 ) đẳng thức (2), ta nhận “mơ hình”: [ f (x3 )] + αx2 + β Các “hệ số” đẳng thức cho ta thông tin α = −1, β = Do đó, đẳng thức (2) tương đương Z 2ỵ Z ó2 38 f (x ) − x + = − + (1 − x2 )2 dx = 15 0 √ Do đó, f (x3 ) = x2 − với x ∈ [1, 2] Suy f (x) = x2 − với x ∈ [1, 8] Z f (x)dx = Z Bài toán 20 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa điều kiện x[ f (x)]2 dx = Z Z 1 x2 f (x)dx − Tính f (x)dx 16 0 Lời giải x Hàm f (x) = hàm thỏa đề Hàm ’bình phương’ khơng thơng thường [ f (x)]2 , [ f (x)]2 Ở hàm xuất √ 2 √ dấu tích phân x f (x) √, x2 f (x) Do đó, ta tìm hàm g(x) cho 2g(x) x f (x) = x3 x2 f (x) Do đó, ta chọn g(x) = Do đó, giả thiết viết lại √ ơ2 Z 1đ Z Ç√ å2 √ x3 x x f (x) − = dx − = 2 16 0 16 (-8) MỘT SỐ BÀI TOÁN √ x3 x x = 0∀x ∈ [0, 1] Suy f (x) = ∀x ∈ (0, 1] Vì f liên tục nên f (x) = 2 Z 1 f (x)dx = [0, 1] Vì thế, √ Do đó, x f (x) − Z Nhận xét Nếu đề câu hỏi trắc nghiệm ta suy luận từ đáp án f (x)dx số với hàm f thỏa đề ta tìm kiếm hàm f thỏa đề thông qua việc chọn hàm f có mẫu mã đơn giản: f (x) = ax + b, Ç a, b chọn å để đảm bảo Z Z Å ã 2 b a 2b b x[ f (x)]2 dx = x2 f (x)dx − Khi đó, + − a+ − + = Hay 16 4 16 0 Å a 2b + − ã2 + b2 = 18 Bài tốn 21 Cho hàm f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa điều kiện f (1) = Z Z Z f (x)dx 0, [ f (x)] dx = −7 x f (x)dx − Tính 0 Lời giải Z Z [ f (x)] dx+7 Từ giả thiết, ta có 0 Z 1ï x f (x)dx+ 0 x ò2 Z 1ï = Hay 7x4 7 + Vì f (x) = − x3 Hơn nữa, f (1) = nên f (x) = − 8 Z f (x) + x3 f (x)dx = ò2 dx = 10 Bài tốn 22.Ä Cho hàm ä f có đạo hàm liên tục [0, 1] thỏa điều kiện: f (1) = 1,
2 f (x) + 6x − f (x) = 40x6 − 44x4 + 32x2 − 4, ∀x ∈ [0; 1] Tích phân vế dùng tích phân phần, ta có Z
2 f (x) dx − 0 Z 1 Z Ä ä ä 2x − dx + f (x)(2x − x) = 40x6 − 44x4 + 32x2 − dx (-7) Ä 0 Do đó, Z 1ỵ Z Ä Ä äó2 ä2 376 −4+ 2x3 − dx f (x) − 2x − x dx = 105 0 Z 1ỵ Ä äó2 f (x) − 2x3 − x dx = 0 Ä ä Suy f (x) = 2x3 − x Suy f (x) = x4 − x2 + Suy ra, 17 (-6) LATEX by AKI LÊ x Do đó, b = 0, a = Vậy hàm f (x) = thỏa mãn đề 2 ... lục Một số kết quan trọng Một số toán Một số toán ’đặt sai’ 30 Phương trình vi phân 48 * Số phức 55 TMP 58 LATEX by LE VAN CHANH Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG Bài. .. Tính 4036 MỘT SỐ BÀI TỐN Z x f (x)dx = [ f (x)]2 dx = Nguồn toán: (e) Một số tốn địi hỏi phải biến đổi thơng tin tìm mơ Bài toán 12 (như Bài toán 13) Nhận xét: Ta tiếp cận cách tạo tích phân ’bình... đạt f (x) = MỘT SỐ BÀI TOÁN f (x)dx = Giá trị Bài toán 11 Cho hàm f liên tục [0, 1] ≤ f (2) ≤ Z ß ™ dx nhận giá trị tập , , , ? 10 11 f (x) Nguồn toán: Z Lời giải Bài toán 12 (Bài toán tổng quát)