Điều kiện tối ưu tập chấp nhận được lồi xác định bởi vô hạn ràng buộc bất đẳng thức

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019) 39 46 39 DOI 10 22144/ctu jvn 2019 005 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TẬP CHẤP NHẬN ĐƯỢC LỒI XÁC ĐỊNH BỞI VÔ HẠN RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Lê Thanh Tùng1*,[.]

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 DOI:10.22144/ctu.jvn.2019.005 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU TẬP CHẤP NHẬN ĐƯỢC LỒI XÁC ĐỊNH BỞI VÔ HẠN RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Lê Thanh Tùng1*, Trần Thiện Khải2, Phạm Thanh Hùng3 Phạm Lê Bạch Ngọc3 Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ Trung tâm Đào tạo Hợp tác Doanh nghiệp, Trường Đại học Trà Vinh Khoa Sư phạm Xã hội Nhân văn, Trường Đại học Kiên Giang *Người chịu trách nhiệm viết: Lê Thanh Tùng (email: lttung@ctu.edu.vn) Thông tin chung: Ngày nhận bài: 22/05/2018 Ngày nhận sửa: 03/08/2018 Ngày duyệt đăng: 27/02/2019 Title: Optimality conditions in convex optimization with the convex feasible set defined by infinite inequality constraints Từ khóa: Bài tốn tối ưu nửa vô hạn, vi phân Michel-Penot, điều kiện tối ưu, tối ưu lồi, tối ưu trơn không trơn Keywords: Semi-infinite programming, Michel-Penot subdifferential, optimality conditions, convex optimization, smooth and nonsmooth optimization ABSTRACT The paper deals with the necessary and sufficient optimality conditions for the convex optimization problem with convex feasible set defined by infinite inequality constraints in the both cases, smooth and nonsmooth data The results enhance some recent KKT type theorems by Lasserre for differentiable functions and by Dutta and Lalitha for Lipschitz functions TÓM TẮT Bài báo khảo sát điều kiện tối ưu cần đủ cho tốn tối ưu lồi có tập chấp nhận lồi định nghĩa vô hạn ràng buộc bất đẳng thức trường hợp trơn không trơn Kết phát triển số định lý điều kiện tối ưu dạng KKT gần Lasserre lớp hàm khả vi Dutta Lalitha lớp hàm Lipschitz Trích dẫn: Lê Thanh Tùng, Trần Thiện Khải, Phạm Thanh Hùng Phạm Lê Bạch Ngọc, 2019 Điều kiện tối ưu tập chấp nhận lồi xác định vô hạn ràng buộc bất đẳng thức Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ 55(1A): 39-46 tiếp tuyến, đề xuất nghiên cứu Pshenichnyi (1971) Một vài phát triển hàm lồi suy rộng nghiên cứu Giorgi (2013) Quyen (2017) Kết nghiên cứu Dutta Lalitha (2013) mở rộng sang cho toán tối ưu đa mục tiêu có tập ràng buộc lồi Kuroiwa Yamamoto (2016) Một số định tính ràng buộc cho toán tối ưu với tập ràng buộc lồi khảo sát Chieu et al (2018) MỞ ĐẦU Tối ưu lồi chủ đề quan trọng lý thuyết tối ưu ứng dụng (Rockafellar, 1970; Hiriart-Urruty Lemarechal, 1993) Trong báo gần đây, Lasserre (2011) thu định lý dạng KKT cách ràng buộc tập chấp nhận lồi thay hàm ràng buộc lồi Kết mở rộng trường hợp hàm không trơn Dutta Lalitha (2013) theo hướng sử dụng vi phân Clarke Matinez-Legaz (2015) thống lại kết cách sử dụng vi phân Tuy nhiên, kết nêu xét tập chấp nhận lồi xác định hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức Trong trường hợp tổng 39 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46  quát, tập lồi xác định hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức lẫn vô hạn ràng buộc bất đẳng thức Chẳng hạn, Boyd Vandenberghe (2004) với tập lồi S xác định giao vô hạn ràng buộc bất đẳng thức    t  x     x1 cost  x cos t  1,  3  biểu diễn sau Từ quan sát nêu trên, báo này, nghiên cứu điều kiện cần đủ tối ưu cho toán tối ưu lồi tập chấp nhận lồi định nghĩa vô hạn ràng buộc bất đẳng thức thực Bài báo xếp sau: Phần nhắc lại khái niệm kiến thức chuẩn bị; Phần 3, điều kiện tối ưu KKT xây dựng cho trường hợp hàm trơn; Phần 4, điều kiện tối ưu KKT nghiên cứu trường hợp hàm Lipschitz theo hướng sử dụng vi phân MichelPenot; số ví dụ đưa minh họa cho kết Với x  cho trước, U x họ lân cận x    0 , Với  B x ,  : xn x  x   kí hiệu  hình cầu đóng tâm x , bán kính  Nón cực âm nón cực âm chặt S định nghĩa   S  : x*n x* , x 0, xS ,  KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  S s : x*n x* , x  0, xS \{0} Các ký hiệu định nghĩa sau sử dụng suốt báo Ký hiệu n cho không Đạo hàm theo hướng bên phải hàm  :n   xn theo hướng dn kí hiệu gian định chuẩn hữu hạn chiều Ký hiệu n không * gian đối ngẫu n x* , x giá trị ánh xạ    '( x, d )   * n n tuyến tính liên tục x* n x   Với S   xác định    ' x , d : lim , ta gọi intS, clS, bdS coS phần trong, bao đóng, biên bao lồi S Kí hiệu S lực      x  hd  x h h Định nghĩa 2.1 (Clarke, 1983) Giả sử xn  :n   hàm Lipschitz địa phương Đạo hàm theo hướng Clarke  :n   x theo hướng lượng S, tức số phần tử S Nón lồi chứa gốc sinh S kí hiệu posS, định nghĩa sau: u k   pos S :  xn x   i xi , xi S , i  0, i 1, ,k  i 1   40 xác định Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ     x  hu   x   o x, u : limsup h h0, x x Dưới vi phân Clarke   x*  n C   x : Tập 55, Số 1A (2019): 39-46  ,v (iii)    x, v  max   MP  x   x  x , d  , d  n  * o x ,d   Hàm  gọi quy Clarke x        o x , d  ' x, d tồn  ' x, d lim sup  x, u  : vsup n h0    Ví dụ 2.1 Giả sử  :  xác định sau  ì ï ï x sin + x , x¹0 f ( x )=ï x í ï ï 0, x=0 ï ỵ h Dưới vi phân MP     x    Khi đó, với x0 , ta có   MP x : x*n x* , d   x , u ,  d n   MP x 1 ,  gọi quy MP x Hàm    Bổ đề 2.1 (vi) cho thấy điều kiện cần tối ưu sử dụng vi phân MP rõ ràng so với điều kiện tối ưu thông qua sử dụng vi phân Clarke (Ye, 2004; Kanzi, 2014; Carsiti Ferrara 2017; Tung 2017) Ví dụ sau cho thấy quan hệ bao hàm Bổ đề 2.1 (vi) chặt xác định  x  Định nghĩa 2.2 (Michel Penot, 1984; Michel Penot, 1992) Giả sử xn  :n   hàm Lipschitz địa phương Đạo hàm theo hướng MichelPenot (MP)  :n   x theo hướng u   quy Clarke x  (vi)  MP x C x d    x  hv (v) Nếu quy MP với n  xh uv  khả vi Gateaux x  MP  x   x  Nếu  lồi  MP  x   x  (iv) Nếu  C x  1,3,      ' x, d tồn   x , d  ' x, d với dn   MP x   C  x đó,   Các tính chất sau đạo hàm theo hướng MP vi phân MP sử dụng phần (Michel Penot, 1984; Michel Penot, 1992) Bổ đề 2.2 (Rockafellar, 1970) Cho Ct t họ tùy ý tập lồi khác rỗng Bổ đề 2.1 Giả sử hàm :n  Lipschitz n x Khi đó, ta có khẳng   K  pos  Ct  Khi đó, vectơ khác khơng    t  (i) Hàm v   x, v hữu hạn, dương, K biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính khơng âm n vectơ độc lập tuyến tính, vectơ thuộc Ct khác lân cận điểm định sau đây:     cộng tính n ,   x ,0 0  Trong báo này, toán tối ưu lồi xét có dạng sau   0 MP  x ,    x, (P)  vi phân theo nghĩa giải tích f , gt , tT hàm từ lồi  (ii)  MP x tập khác min f ( x ), gt ( x )0, tT , n vào  T tập khác rỗng bất kỳ, không cần thiết hữu hạn Kí hiệu tập chấp nhận (P) rỗng, lồi compact n 41 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ  Tập 55, Số 1A (2019): 39-46  gt  x  , gt  x 0 n  : x   g t ( x )  0, t  T Chú ý điều kiện Slater, (A) tự động thỏa gt lồi Trong báo này, giả sử  tập lồi, T tập compact ánh xạ đa trị  x ,t  gt  x  nửa Bổ đề 3.1 Giả sử (SC) thỏa (A) thỏa với liên tục n T Điểm x Khi đó,  tập lồi với tT : x gọi nghiệm địa phương (P) gt  x , y  x 0, x , y với gt  x 0  tồn U U x cho Chứng minh: Khi gt ,tT liên tục,  đóng với phần khác rỗng Việc chứng minh tương tự với chứng minh Bổ đề 2.2 (Lasserre, 2011) □  f  x  f x , xU Nếu U  n , cụm từ “địa phương” bỏ đi, tức có khái niệm tồn cục Bài tốn (P) thỏa mãn điều kiện Slater (SC) Định nghĩa 3.2 Một điểm x gọi điểm KKT (P) tồn   x  cho  tồn x   cho gt x  0, t  T n Kí hiệu  |T | tập hợp tất hàm :T  lấy giá trị dương t Mệnh đề 3.1 Giả sử (SC) thỏa (A) thỏa với x Nếu x nghiệm địa phương (P) x diểm KKT (P) số hữu hạn điểm T khơng điểm cịn lại, tức tồn tập số hữu hạn khác rỗng J :1, 2, , kT cho t 0 với t  J Chứng minh: Giả sử x nghiệm địa phương (P) Điều kiện tối ưu Fritz-John phát biểu (Lopez Still, 2007) tồn 0   x  với   t 1 cho t 0 với tT \ J Với x cho trước, kí hiệu    T x  tT gt x 0 tập số tất ràng tT buộc theo số hoạt x Tập nhân tử ràng    f x   t gt x 0 tT buộc theo số hoạt x    f x   t gt x 0 tT  (1) Ta chứng minh  Giả sử ngược lại 0 |T |  x :    t g t x  0, t  T   Khi đó, tập J : tT t 0, x  khác rỗng   hạn I :1, 2, , mT  x  cho t 0 với tI cho B x ,  , gt  x 0 với t 0 với tT \ I gt  x 0 với xB x , Từ (1) suy gt x 0 với tJ Khi (SC) thỏa, tồn  Lưu ý  x tồn tập số hữu t  T ,   Nhận xét 2.1 Khi f gt , tT hàm lồi, (P) gọi tốn tối ưu nửa vơ hạn lồi (Goberna Lopez, 1998; Goberna et al., 2016; Goberna Kanzi, 2017) Trong trường hợp này, thấy tập chấp nhận  hiển nhiên tập lồi     t gt x , x  x 0, xB x , tT Do đó, theo Bổ đề 3.1, suy    gt x , x  x 0 với tJ x  B x ,  Điều dẫn đến gt  x 0 với tJ , mâu thuẫn với TRƯỜNG HỢP HÀM TRƠN (A) Vì 0 , khơng tính tổng qt lấy 1 □ Trong phần này, ta giả sử f , gt , tT khả n vi liên tục  Định nghĩa 3.1 Ta nói giả thiết (A) thỏa x với tT , 42 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 TRƯỜNG HỢP HÀM LIPSCHITZ Định nghĩa 3.3 f gọi giả lồi x xn cho với  Trong phần này, ta giả sử f , gt , tT hàm Lipschitz địa phương không cần thiết phải lồi Giả sử x , ta đặt f x , x  x 0 , ta có  f  x  f x Mệnh đề 3.2 Giả sử x điểm KKT (P) Khi đó, x nghiệm (P) điều kiện sau thỏa: G x :   MP gt  x  tT  x  Bổ đề 4.1 (Caristi Ferrara, 2017) Giả sử MP  gt  x  ánh xạ đa trị nửa liên tục theo t x Ta kí hiệu   x :max gt  x ,x tT (i) f giả lồi x     lồi (ii) Lf x : xn f  x  f x Chứng minh : (i) Chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.3 (Giorgi, 2013) (i) co G x (ii) Chứng minh tương tự chứng minh Định lý (ii) (Quyen, 2017) □ (ii)    tập compact, Ví dụ 3.1 Giả sử f :2  định nghĩa  ánh xạ đa trị nửa liên tục theo t x Nếu x nghiệm địa phương tốn (P), tồn  x2 gt  x  0,tT  0,1 , g0  x  x1 gt  x t  x12 x2 , t 0,1  0  x  cho    t 1 thỏa mãn tT Dễ thấy  tập lồi gt , t 0,1 không hàm lồi Với x1,1 , ta có x T  x   1 Ta kiểm 0 MP f  x   t  MP gt  x  tT tra giả thiết Mệnh đề 3.1 thỏa Giả sử :T  định nghĩa Chứng minh Từ Bổ đề 4.1 (i), suy G x  t 1, t 0,1 tập compact Điều dẫn đến  MP f  x G x  Khi   x     Mệnh đề 4.1 Giả sử  MP gt  x  Và tập chấp nhận  cho sau 1,  t    0,   x  co G x Bây giờ, ta thiết lập điều kiện cần tối ưu dạng Fritz-John cho nghiệm địa phương toán (P) sau f  x1, x2  x1 x2  MP     tập compact, co  MP f  x  G  x   f x    t g t x  2,1  2, 1  tT  tập đóng Tiếp theo ta chứng minh   0co  MP f  x G x  Ngược lại, hàm f lồi, giả sử Mệnh đề 3.2 thỏa Do đó, điểm KKT x lả nghiệm (P) Kết luận kiểm tra trực tiếp sau Với x , ta có (2)   Giả sử ngược lại 0co  MP f  x G x  Áp dụng Định lý tách chặt tồn f x  x1  x2  x1  x1   u  n thỏa mãn    * * MP x , u  0, x  co  f x G x 1  x1  x1   3 x1 x1 x1 x1 Suy ra,  3 f x 43 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ   u  co  MP     Tập 55, Số 1A (2019): 39-46 0 MP gt  x , gt  x 0 s f x G x Bổ đề 4.2 Giả sử (SC) (B) xảy với tất x Giả sử với gt , tT , MP quy Khi đó,  tập lồi với  f  x   G  x  s s MP f  x    G  x      s MP gt  x, y x 0,x, y với gt  x 0 s Từ Bổ đề 4.1 (ii) u G x   suy   Chứng minh Bởi gt ,tT liên tục  tập đóng với phần khác rỗng Chứng minh bổ đề tương tự với cách chứng minh Mệnh đề 2.2 (Dutta Lalitha, 2013) □ s s u co G x     MP  x  , x* ,u 0,x* MP  x  Điều nghĩa Định nghĩa 4.2 Một điểm gọi điểm MP KKT (P) tồn  x  thỏa mãn dẫn đến    x 0 Do đó, ta có limsup h0       x  hu   x sup limsup vn h0  h   x h uv     x  hv  h quy  MP gt  x  nửa liên tục theo biến  Chứng minh Giả sử x nghiệm địa phương toán (P) Suy từ Mệnh đề 4.1 tồn    x  cho    t 1 thỏa tT mãn Do  x hu 0,h 0, , nghĩa   gt x  hu  0, t  T , h  0,   Tương tự, từ u  MP f  x   s 0 MP f  x   t  MP gt  x  tT ta suy tồn    f   x ,d   t gt  x ,d 0,dn f  x hu  f  x 0,h 0,  đặt, từ  :min , , tT ta (3) Áp dụng tính tốn hàm tựa, ta có thỏa mãn Ta t x Nếu x nghiệm địa phương (P) điểm MP KKT (P)  x hu  x  h,h 0,   f  x    t  MP gt  x   tT Mệnh đề 4.2 Giả sử (SC) (B) xảy x Giả sử với gt , tT , MP Suy tồn  0  0 thỏa mãn  MP (4) Tiếp theo ta cần chứng minh   Giả sử ngược lại  0 Khi đó, ta có tập J :tT |t 0, x  tập khác rỗng có x hu,h 0,  f  x hu  f  x  Suy mâu thuẫn Vậy (2) không xảy Suy từ (2) Bổ đề 2.2, Mệnh đề 4.1 chứng minh hoàn toàn □ gt  x 0 với tất tJ Bởi (SC) xảy nên tồn   thỏa mãn B x, , gt  x 0 với tất Định nghĩa 4.1 Ta nói giả thiết (B) xảy x với tất tT nghiệm địa phương tJ gt  x0,xB x,  Từ (4) suy tốn (P), tồn  0  x  cho   t gt  x , x x 0,xB x ,   tJ    t 1 thỏa mãn tT 44 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46   Do đó, từ Mệnh đề 4.1 suy gt  x , x x 0 với tJ xB x,  Với w  n gt  x t max x , x3 1,t 0,1 Ta có , ta có  x|x1, xhwB x,  với h0 đủ nhỏ Do đó, với tT , ta có      MP gt  x min t ,3tx2 ,max t ,3tx2 ,t 0,1   gt  x , x  x hgt  x ,w gt  x , x hw x 0 Do đó,  tập lồi gt ,t 0,1, hàm lồi Với x 1, ta có x , T  x 1 Vì Từ xB x, , ta có gt  x ,w0,tT Suy 0 MP gt  x ,tT Suy mâu thuẫn với (B) Vậy mệnh đề chứng minh □ gt ,tT quy Clarke gt , tT cịn quy MP Ta thấy tất điều kiện Mệnh đề 4.2 thỏa mãn Định nghĩa 4.3 (Ye, 2004) f gọi giả Giả sử :T  xác định lồi MP x với tất xn thỏa mãn f   x , x x 0 ta có f  x f  x  1, 0,   t   Mệnh đề 4.3 Giả sử (SC) (B) xảy x Giả sử f giả lồi MP x với gt ,tT , MP quy Nếu MP KKT (P), x x x điểm MP KKT Ngược lại, từ f hàm lồi, điều kiện Mệnh đề 4.3 thỏa mãn Do đó, ta có điểm KKT cịn nghiệm (P)  MP f  x   t  MP gt  x 0 tT KẾT LUẬN Trong báo này, điều kiện tối ưu cần đủ cho tốn tối ưu lồi có tập chấp nhận lồi định nghĩa vô hạn ràng buộc bất đẳng thức khảo sát cho trường hợp trơn không trơn Do tập lồi xác định giao vô hạn tập lồi giao vô hạn tập không lồi, kết báo mở rộng tự nhiên kết nghiên cứu Lasserre (2011); Dutta Lalitha (2013) Khảo sát điều kiện tối ưu cho toán tối ưu với tập ràng buộc lồi dùng vi phân tiếp tuyến (MartinezLegaz, 2015; Tung, 2018) vi phân Mordukhovich (2006) chủ đề thú vị nghiên cứu Thì với x , ta có   x , x x    t gt  x , x x  tT max x* , x  x  * MP MP x  f  x   t  gt  x  tT  x  , theo Mệnh đề 4.2 suy Từ gt  x , xx 0,tT Suy f   x , x x 0 Do tính giả lồi MP f x , mệnh đề chứng minh □ TÀI LIỆU THAM KHẢO Ví dụ 4.1 Giả sử hàm f :  xác định Boyd, S and Vandenberghe, L., 2004 Convex Optimization Cambridge University Press, Cambridge Caristi, G and Ferrara, M., 2017 Necessary conditions for nonsmooth multiobjective semiinfinite problems using Michel-Penot subdifferential Decisions in Economics and Finance 40(1): 103-113 f  x  x 1, tập chấp nhận  cho  t 0,1 0 MP f  x   t  MP gt  x  1,11.1,3 0,4 tT (P), tồn  x  thỏa mãn f t 1, Khi  x  điểm nghiệm (P) Chứng minh Giả sử  MP f  x  1,1,   x2 | gt  x 0,tT  0,1 , 45 ... này, điều kiện tối ưu cần đủ cho tốn tối ưu lồi có tập chấp nhận lồi định nghĩa vô hạn ràng buộc bất đẳng thức khảo sát cho trường hợp trơn không trơn Do tập lồi xác định giao vơ hạn tập lồi giao... Thơ Tập 55, Số 1A (2019): 39-46  quát, tập lồi xác định hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức lẫn vô hạn ràng buộc bất đẳng thức Chẳng hạn, Boyd Vandenberghe (2004) với tập lồi S xác định giao vô hạn. .. lồi định nghĩa vô hạn ràng buộc bất đẳng thức thực Bài báo xếp sau: Phần nhắc lại khái niệm kiến thức chuẩn bị; Phần 3, điều kiện tối ưu KKT xây dựng cho trường hợp hàm trơn; Phần 4, điều kiện tối