ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN Bài giảng LÝ THUYẾT MÔĐUN (Dành cho sinh viên năm thứ hai) Trương Công Quỳnh Đà Nẵng 2007 i MỤC LỤC MỤC LỤC 1 CHƯƠNG 1 MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU 2 1 Định nghĩa[.]
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN Bài giảng: LÝ THUYẾT MƠĐUN (Dành cho sinh viên năm thứ hai) Trương Công Quỳnh Đà Nẵng - 2007 i MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU Định nghĩa môđun Môđun môđun thương Đồng cấu môđun Bài tập 2 13 CHƯƠNG MÔĐUN TỰ DO VÀ TÍCH TENXƠ Tích tổng trực tiếp mơđun Mơđun tự Tích Tenxơ Bài tập 15 15 19 21 27 CHƯƠNG Dãy khớp Dãy khớp ngắn Dãy nửa khớp Bài tập 29 29 33 41 CHƯƠNG Môđun nội xạ xạ ảnh M -xạ ảnh M -nội xạ môđun xạ ảnh nội xạ Bao nội xạ bao xạ ảnh môđun Bài tập 43 43 45 51 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 CHƯƠNG MÔĐUN VÀ ĐỒNG CẤU Trong toàn giảng này, ta qui ước vành R có đơn vị khác khơng kí hiệu 1 Định nghĩa môđun 1.1 Định nghĩa tính chất ĐỊNH NGHĨA 1.1 Cho R vành Một R-mơđun phải M là: (1) nhóm cộng aben M với (2) ánh xạ M × R −→ M (m, r) 7−→ mr gọi phép nhân môđun, thoả điều kiện sau: (i) qui tắc kết hợp : (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) (ii) qui tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 (iii) qui tắc unita: m1 = m m, m1 , m2 phần tử tuỳ ý M , r1 , r2 ∈ R Lúc R gọi vành sở Nếu M R-mơđun phải ta thường kí hiệu M = MR Tương tự ta định nghĩa R-môđun trái Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S-bên trái (ký hiệu S MR ) (a) M R-môđun phải M S-mơđun trái (b) Ta phải có (sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M ) Từ định nghĩa ta suy kết sau: MỆNH ĐỀ 1.2 Cho MR Lúc ta có: 0M r = 0M , m0R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r) với m ∈ M, r ∈ R CHỨNG MINH Với r ∈ R, ta cố định r, ánh xạ M −→ M m 7−→ mr đồng cấu nhóm điều kiện (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r Vì 0M r = 0M (−m)r = −mr Mặt khác nhờ điều kiện m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 , cố định m ánh xạ R −→ M r 7−→ mr đồng cấu nhóm cộng Vì ta có m0R = 0M m(−r) = −mr Đó điều phải chng minh Ô V D 1.3 (1) Khụng gian vect mơđun trường R (2) Mọi nhóm aben cộng xem ZZ-mơđun Ngược lại, ZZmơđun thu từ nhóm aben cộng (3) Vành R xem mơđun phải (trái) Nhờ trường hợp người ta nghiên cứu nhiều tính chất vành thơng qua mơđun vành (4) Xét R vành giao hốn có đơn vị Lúc vành R[x] đa thức ẩn x lấy hệ tử R Xét R[x] với phép cộng thông thường với phép nhân môđun xác định sau: r(a0 + a1 x + + an xn ) = ra0 + ra1 x + + ran xn với r ∈ R, a0 , a1 , , an ∈ R Lúc dễ dàng kiểm chứng R[x] R-môđun (5) Giả sử R = IR trường số thực, M tập hợp véctơ thơng thường có gốc điểm O không gian thông thường Ta định nghĩa tổng hai véctơ → quy tắc hình bình hành, tích véctơ − x gốc O với số thực r véctơ − → vị tự x phép vị tự tâm O tỉ số r Ta dễ dàng chứng minh M với phép cộng phép nhân R-môđun (6) Cho R vành, MR môđun X 6= ∅ Gọi N tập tất ánh xạ f : X −→ M Ta định nghĩa tổng f, g ∈ N ánh xạ f + g : X −→ M x 7−→ f (x) + g(x) tích phần tử f ∈ N với phần tử r ∈ R ánh xạ f r : X −→ M x 7−→ f (x)r Khi N với hai phép tốn R-mơđun phải Ta sử dụng nhiều đến Bổ đề sau nhiều chứng minh lý thuyết vành môđun Bổ đề sau tương đương với Tiên đề chọn BỔ ĐỀ 1.4 (Bổ đề Zorn) Giả sử A tập thứ tự Nếu tập thứ tự toàn phần cuả A có cận A, A có phần tử cực đại Môđun môđun thương 2.1 Môđun ĐỊNH NGHĨA 2.1 Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M (kí hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR ), A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân môđun hạn chế A Chú ý kí hiệu A ≤ M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp t A ⊂ M Ngoài ta viết A < M có nghĩa A mơđun thực M A 6≤ M có nghĩa A khơng môđun M Sau đặc trưng mơđun ĐỊNH LÍ 2.2 Giả sử M R-môđun phải Nếu A tập khác ∅ M , điều kiện sau tương đương: i) A ≤ M ii) A nhóm nhóm cộng mơđun M với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A iii) với a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A CHNG MINH Theo nh ngha ca mụun Ô Ta có nhận xét thú vị là: vành xét R-môđun phải (trái), nên ta ý iđêan phải (trái) vành R mơđun RR (R R) VÍ DỤ 2.3 1) Mỗi mơđun M có hai mơđun tầm thường {0} (ta kí hiệu 0) M , mơđun có phần tử phần tử không môđun M (2) Cho MR m0 ∈ M Lúc dùng Định lý 2.2 ta thấy m0 R := {mo r |r ∈ R} môđun M (3) Cho M không gian vectơ trường K Lúc mơđun khơng gian vectơ Chứng minh dãy sau khớp id ⊗f id ⊗g X X −→ X ⊗ A −→ X ⊗ B −→ X ⊗ C −→ BÀI TẬP 24 Chứng minh môđun X xạ ảnh nếu, với đồng cấu f : X −→ B toàn cấu g : A −→ B với A nội xạ, tồn đồng cấu h : X −→ A cho gh = f BÀI TẬP 25 Chứng minh môđun X nội xạ nếu, với đồng cấu f : A −→ X đơn cấu g : A −→ B với B xạ ảnh, tồn đồng cấu h : B −→ X cho gh = f 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W Anderson K.R Fuller, Rings and Categories of Modules, 1992, Springer-Verlag, New York [2] Sze-Tse-Hu, Nhập môn đại số đồng điều (bảng dịch tiếng Việt), 1973, NXB ĐH THCN [3] Ngô Thúc Lanh, Đại số, 1982, NXBGD [4] S Lang, Đại số (bảng dịch tiếng Việt), 1978, NXB ĐH THCN [5] Lê Văn Thuyết, Bài giảng: Lý thuyết vành môđun, 2007, ĐH Huế [6] R Wisbauer , Foundations of Module and Ring Theory, 1991, Gordon and Breach 58 ... 1982, NXBGD [4] S Lang, Đại số (bảng dịch tiếng Việt), 1978, NXB ĐH THCN [5] Lê Văn Thuyết, Bài giảng: Lý thuyết vành môđun, 2007, ĐH Huế [6] R Wisbauer , Foundations of Module and Ring Theory,... thương Đồng cấu môđun Bài tập 2 13 CHƯƠNG MƠĐUN TỰ DO VÀ TÍCH TENXƠ Tích tổng trực tiếp mơđun Mơđun tự Tích Tenxơ Bài tập 15 15 19 21 27 CHƯƠNG Dãy khớp Dãy khớp ngắn Dãy nửa khớp Bài tập 29 29 33... 7−→ f (x)r Khi N với hai phép tốn R-mơđun phải Ta sử dụng nhiều đến Bổ đề sau nhiều chứng minh lý thuyết vành môđun Bổ đề sau tương đương với Tiên đề chọn BỔ ĐỀ 1.4 (Bổ đề Zorn) Giả sử A tập thứ