PHÖÔNG TRÌNH A CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Phaàn naøy ñeà caäp ñeán caùc phöông phaùp giaûi caùc phöông trình coù baäc nhoû hôn 5 I Phöông trình baäc nhaát Daïng toång quaùt ax b c+ = Bieän luaän • 0a ≠[.]
PHƯƠNG TRÌNH A CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phần đề cập đến phương pháp giải phương trình có bậc nhỏ I Phương trình bậc Dạng tổng quát : ax + b = c Biện luận : • a ≠ : phương trình có nghiệm x = − • a = : phương trình có dạng 0x = −b b ≠ : phương trình vô nghiệm b = : phương trình có vô số nghiệm II Phương trình bậc hai Dạng tổng quát : ax + bx + c = b a ( a ≠ ) (1) Biện luận : Ta xét ∆ = b − 4ac • ∆ < : phương trình vô nghiệm • ∆ = : phương trình có nghiệm keùp : x1 = x2 = − b 2a −b + ∆ −b − ∆ , x2 = 2a 2a Ví dụ Chứng minh phương trình x + ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = vô nghiệm với • ∆ > : phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = a, b, c cạnh tam giác Giải Ta có ∆ = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = a + b + c − ( ab + bc + ca ) Maø ∆ < a, b, c ba cạnh tam giác ( xem phần bất đẳng thức hình học) Định lý Viet số ứng dụng Giả sử ∆ ≥ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) : S = x1 + x = P = x1.x = −b a c a Bằng định lý Viet xét dấu nghiệm sau - Phương trình có hai nghiệm dương ⇔ ∆ ≥ P > S > - Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ ≥ P < - Phương trình có hai nghiệm aâm ⇔ ∆ ≥ vaø P > vaø S < Thí dụ Tìm m cho phương trình x − ( m + ) x + 6m + = (*) coù hai nghiệm không nhỏ Giải Đặt t = x − phương trình cho trở thành t − 2mt + 2m − = (**) Phương trình (*) có hai nghiệm lớn ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm không aâm m − 2m + ≥ ∆'≥ ⇔ S ≥ ⇔ 2m ≥ ⇔m≥ 2m − ≥ P ≥ Vậy m ≥ phương trình (*) có hai nghiệm lớn 2 III Phương trình bậc ba Dạng tổûng quát : ax + bx + cx + d = ( a ≠ 0) Ta đưa dạng : x + ax + bx + c = (2) a Đặt x = y − phương trình (2) viết lại dạng y − py − q = (2’) 3 a −2a ab p = − b vaø q = + − c Công thức nghiệm phương trình (2’) : 27 3 q q p q q p gọi công thức Cardano , lấy tên nhà y= − + + + − − + 27 27 toán học Italia Cardan theo học trưòng đai học Pavie, đại học Padoue nhận tốt nghiệp Y khoa năm 1526 Cardan viết nhiều Toán, số ngành khác Ơng đặt vấn đề giải phương trình bậc ba cụ thể x + x = 20 Bây ta nói tổng quát x + px = q Phương pháp Cardan sau: thay x = u − v đặt u, v để tích uv = ( hệ số x phương trình bậc ba khảo sát ) Nghĩa = uv Từ phương trình x + x = 20 ta có (u − v)3 + 3uv ( u − v ) = u − v = 20 Khử v từ = uv từ u − v3 = 20 ta có u = 20u + ⇒ u = 108 + 10 Từ x = u − v u − v = 20 , ta có x = 108 + 10 − 108 − 10 Cardan cho công thức tương đương phương trình x + px = q là: 3 q q q p q p x = −3 − + + +3− − + 27 27 Các dạng phương trình bậc ba thường gặp phương pháp giải Giải phương trình biết nghiệm phương trình Giả sử ta biết nghiệm x0 phương trình (2) cách đoán nghiệm ( thường nghiệm nguyên đơn giản từ –3 đến +3 ) tức laø ax03 + bx02 + cx0 + d = Khi phương trình (2) ⇔ ax + bx + cx + d = ax03 + bx02 + cx0 + d ⇔ ( x − x0 ) ( ax + ( ax0 + b ) x + ax02 + bx0 + c ) = x = x0 ⇔ 2 ax + ( ax0 + b ) x + ax0 + bx0 + c = Xeùt ∆ = ( ax0 + b ) − 4a ( ax02 + bx0 + c ) i) Nếu ∆ < phương trình (2) có nghiệm x = x0 ii) Nếu ∆ ≥ phương trình (2) có nghiệm x = x0 x = −(ax0 + b) ± ∆ 2a Thí dụ Giải phương trình x − x + x − 10 = Giải Nhận thấy x = nghiệm phương trình Phương trình ( x − ) ( x + x + ) = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2 Phương trình bậc ba đối xứng Dạng tổng quát ax + bx + bx + a = ( a ≠ 0) Phương trình bậc ba đối xứng nhận x = −1 làm nghiệm Thật vậy, ta có phương trình ⇔ ( x + 1) ( ax + ( b − a ) x + a ) = x = −1 ⇔ ax + ( b − a ) x + a = Mở rộng Một số tính chất phương trình hệ số đối xứng (PT HSĐX) Dạng tổng quát PT HSÑX an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = Tính chất PT HSĐX có nghiệm x0 x0 ≠ vaø ( an = a0 , an −1 = a1 , ) nghiệm x0 Tính chất PT HSĐX bậc lẻ ( n = 2k + ) nhận x = −1 nghiệm Tính chất Nếu f ( x ) đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng f ( x ) = ( x + 1) g ( x ) , g ( x ) đa thức bậc chẵn có hệ số đối xứng Thật vậy, ta xét đa thứ c bậc làm thí dụ ax + bx + cx3 + cx + bx + a = ( x + 1) ( ax + ( b − a ) x3 + ( c + a − b ) x + ( b − a ) x + a ) Vậy việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n lẻ tương ứng với việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n − chẵn Phương trình bậc ba hồi quy Dạng tổng quát ax + bx + cx + d = ( a, d ≠ 0, ac = db3 ) q Từ điều kiện ta thấy c = b = ⇒ phương trình (2b) có nghiệm x = q Nếu c ≠ b ≠ , điều kiện ⇔ −d a d c = a b c = −t c = −bt vaø d = − at b phương trình trở thành ax + bx − btx − at = ⇔ ( x − t ) ax + ( at + b ) x + at = Ñaët x = t ⇔ 2 ax + ( at + b ) x + at = c Vậy x = − nghiệm phương trình Nếu ∆ = ( at + b ) − 4a ≥ phương trình có b −(at + b) ± ∆ thêm nghiệm x = 2a Thí dụ Giải phương trình x − x − x + = Đáp số x = − IV Phương trình bậc bốn Dạng tổng quát at + bt + ct + dt + e = ( a ≠ 0) Ta đưa dạng t + at + bt + ct + d = (3) a Đặt t = x − phương trình (3) đưa dạng x = px + qx + r (3’) 3a p = −b a q = − + ab − c r = 256 ( 3a − 16a b + 64ac − 256d ) Phương trình (3’) x + 2α x + α = ( p + 2α ) x + qx + ( r + α ) ⇔ ( x + α ) = ( p + 2α ) x + qx + ( r + α ) (α ∈ R ) (3*) Ta tìm α thỏa hệ thức q = ( p + 2α ) ( r + α ) để viết vế phải thành q ( p + 2α ) x + 2( p + 2α ) Khi ta (x +α ) q = ( p + 2α ) x + ( p + 2α ) (3**) § Nếu p + 2α = phương trình (3*) ⇔ ( x + α ) = r + α (Baïn đọc tự biện luận tiếp) § Nếu p + 2α < phương trình (3**) vô nghiệm ( VT ≥ VP < 0) § q Nếu p + 2α > phương trình (3**) ⇔ x = ± p + 2α x + −α 2 p + α ( ) Đây phương trình bậc theo x , bạn tự biện luận Thí dụ Giải phương trình x − x − x − = (*) Giải Phương trình (*) ⇔ x = x + x + Ta chọn α thỏa 64 = ( + 2α ) ( + α ) Dễ dàng nhận thấy α = thoả Phương trình (*) ⇔ x + x + = x + x + ( cộng vế lượng x + ) ⇔ ( x + 1) = ( x + 1) 2 x + = ( x + 1) ⇔ x + = −2 ( x + 1) Vậy nghiệm phương trình cho x = ± Các dạng phương trình bậc bốn thường gặp phương pháp giải Phương trình bậc bốn trùng phương: Dạng tổng quát ax + bx + c = ( a ≠ ) Phương pháp giải đơn giản cách đặt y = x ≥ phương trình bậc hai ay + by + c = biện luận Phương trình bậc bốn đối xứng Dạng tổng quát ax + bx + cx + bx + a = để đưa phương trình dạng ( a ≠ 0) Do a ≠ neân x = không nghiệm phương trình, ta chia vế phương b a trình cho x ≠ ax + bx + c + + = x x 1 ⇔ a x + + b x + + c = (*) x x 1 Đặt y = x + ( điều kiện : y ≥ ) ⇒ y = x + + ⇒ x + = y − x x x Khi phương trình (*) trở thành ay + by + c − 2a = dễ dàng giải + =6 x 2y 10 = − y + 42 x x 2y 15 ⇒ = − y + 42 x x y ⇒ 15 xy = ( y − x )( y + 42 x ) ⇒ y + 25 xy − 84 x = ⇒ (3x − y )( y + 28 x ) = 3x = y ⇒ y + 28 x = Trường hợp thứ hai ta loại không thỏa điều kiện x, y > Thay vào hệ ban đầu ta thu nghiệm sau: 5+ 5+ ( x, y ) = , 27 Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ x + + y + = x + + y + = Bài 2: Giải hệ − x + y + xy + = − ( x − 1)( y − 1) = Bài 3: Giải hệ x y = y +1 + y − x +1 + x − 2 y + x + ( x + 1)( y + 1) = Kết thúc viết phần tập tổng hợp mục hệ phương trình mà ta xem xét: III)Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải hệ phương trình sau: x y + xy = a) xy + x + y = x + x y + y = 21 b) 2 x − xy + y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau: x + y + x2 + y = x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau: 2 x + y + x + x y + xy + y = x y = −2 Bài 4:Giải hệ phương trình sau: x− y =6 3 x − y = 126 Bài 5:Giải hệ phương trình sau: x + y = 2a xy + = 2a ... thức tương đương phương trình x + px = q là: 3 q q q p q p x = −3 − + + +3− − + 27 27 Các dạng phương trình bậc ba thường gặp phương pháp giải Giải phương trình biết nghiệm phương trình Giả sử ta... Vaäy x = − nghiệm phương trình Neáu ∆ = ( at + b ) − 4a ≥ phương trình có b −(at + b) ± ∆ thêm nghiệm x = 2a Thí dụ Giải phương trình x − x − x + = Đáp số x = − IV Phương trình bậc bốn Dạng... gặp phương pháp giải Phương trình bậc bốn trùng phương: Dạng tổng quát ax + bx + c = ( a ≠ ) Phương pháp giải đơn giản cách đặt y = x ≥ phương trình bậc hai ay + by + c = biện luận Phương trình