1 CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG VẬN DUNG CAO TRONG CÁC ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1 MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2021 2022 2 BÀI 1 Cho phương trình x2 +2(1−m)x+m2 −2m−3= 0 (1), với m là tham số 1 Chứng minh phương trình ([.]
1 CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DUNG CAO TRONG CÁC ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2021-2022 BÀI Cho phương trình x2 + 2(1 − m) x + m2 − 2m − = (1), với m tham số Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi x1 , x2 ( x1 > x2 ) hai nghiệm phương trình (1) Tính x1 , x2 theo m Với giá trị tham số m x12 − x2 = 11 Lời giải Phương trình x2 + 2(1 − m) x + m2 − m − = có biệt thức ¡ ¢ ∆′ = (1 − m)2 − m2 − m − = − m + m2 − m2 + m + = > 0, ∀ m ∈ R Vậy phương trình x2 + 2(1 − m) x + m2 − 2m − = ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi x1 , x2 ( x1 > x2 ) hai nghiệm phương trình (1) Ta có x1 = −(1 − m) + = m + 1; x2 = −(1 − m) − = m − 3 Với x1 = m + 1, x2 = m − x12 − x2 = 11 trở thành m2 + m + − 2( m − 3) = 11 ⇔ m2 = ⇔ m = ±2 Vậy m = ±2 giá trị thỏa mãn yêu cầu toán □ BÀI Biết đồ thị hàm số y = x − 4(m + 2) x − 8m − 22 cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 x1 > x2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x1 + x2 − x1 x2 − x12 − x22 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = x2 − 4( m + 2) x − 8m − 22 trục hoành x2 − 4( m + 2) x − m − 22 = (∗) Phương trình (∗) có biệt thức ¡ ¢ ¡ ¢ ∆′ = m2 + m + + m + 22 = m2 + m + + = 4( m + 3)2 + > 0, ∀ m ∈ R Vì thế, phương trình (∗) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (với x1 > x2 ) với giá trị m hay đồ thị hàm số y = x2 − 4( m + 2) x − m − 22 ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt với giá trị m Theo định lí Vi-ét ta có x1 + x2 = 4m + x1 x2 = −8 m − 22 Khi P = x1 + x2 − x1 x2 − x12 − x22 = ( x1 + x2 ) − ( x1 + x2 )2 + x1 x2 = −12 − ( x1 + x2 )2 ≤ −12, ∀ m ∈ R Đẳng thức xảy x1 = m + 12 x1 = m + 12 x1 + x2 = p x + x = 4m + x2 = −2 m − x2 = −2 m − −10 + 22 ⇔ ⇔ ⇔ m = − 3(2 m + 4)2 = −8 m − 22 12 m2 + 40 m + 26 = x1 x2 = −8 m − 22 x1 > x2 m + 12 > −2 m − m > −2 Vậy giá trị lớn biểu thức P = x1 + x2 − x1 x2 − x12 − x22 p −10 + 22 −12 m = BÀI Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt ¡p ¢ p x2 + ( m − 1) x + = x + x + m − | x − 2| Lời giải Điều kiện xác định phương trình cho x ≥ Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ¡p ¢ p x2 + ( m − 1) x + = x + x + m − | x − 2| p p x2 − x + + ( m − 1) x − | x − 2| x − ( m − 1)| x − 2| = £ p p Ô | x 2|2 | x − 2| x − ( m − 1)| x − 2| − ( m − 1) x = ¡ ¡ p ¢ p ¢ | x − 2| | x − 2| − x − ( m − 1) | x − 2| − x = ¢ ¡ p | x − 2| − x (| x − 2| − m + 1) = □ " ⇔ | x − 2| − p x=0 | x − 2| − m + = p Trước hết, ta giải phương trình | x − 2| − x = | x − 2| − p x = ⇔ | x − 2| = p ( x⇔ x≥0 x − 5x + = " ⇔ x=1 x = Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình | x − 2| − m + = có hai nghiệm phân biệt khơng âm, khác khác Lại có m−1 ≥ m≥1 " " | x − 2| − m + = ⇔ | x − 2| = m − ⇔ x−2 = m−1 ⇔ x = m+1 x−2 = 1−m x = − m Yêu cầu toán thỏa mãn m≥1 m ≥ m + ̸= − m m ̸= m +1 ≥ m ≥ −1 ( 3 − m ≥ m ≤ 1 + m · − ̸= Vậy với m ̸= ⇔ ( m2 + > (luôn với m ∈ R) m − ̸= ⇔ m ̸= ¡ ¢ phương trình ( x − 1) x2 + 4mx − = có ba nghiệm phân biệt Chọn đáp án C □ x−m x−2 = có nghiệm nhất? x+1 x−1 C m ̸= m ̸= −1 D m ̸= Câu Với tất giá trị tham số m phương trình A m ̸= −1 B Khơng có m Lời giải Với x ̸= −1 x ̸= 1, phương trình cho biến đổi thành ( x − m)( x − 1) = ( x − 2)( x + 1) ⇔ x2 − ( m + 1) x + m = x2 − x − ⇔ mx = m + (∗) x−m x−2 = có nghiệm phương trình (∗) có nghiệm khác −1 1, x+1 x−1 nghĩa m ̸= m ̸= ( m+2 m ̸= ̸= −1 ⇔ + ̸= −1 ⇔ m m m ̸= −1 m+2 1 + ̸= ̸= (luôn đúng) m m x−m x−2 = có nghiệm Vậy với m ̸= m ̸= −1 phương trình x+1 x−1 □ Chọn đáp án C Phương trình Câu Có giá trị nguyên m ∈ [−2022; 2022] để phương trình p (2 m + 1) x2 − ( mx + x + m) có ba nghiệm phân biệt? A 4044 Lời giải Ta có B 4043 x2 + + ( m + 1) x + m = C 4042 D 4041 p (2 m + 1) x2 − ( mx + x + m) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x2 + + ( m + 1) x + m = ³p ´ (2 m + 1) x2 − ( mx + x + m) x2 + − x − + ( m + 1) x + m − ( mx + x + m)( x + 1) = ³p ´ (2 m + 1) x2 − ( mx + x + m) x − ( mx + x + m) x2 + − x − = ´ ³p ¡ ¢ x2 + − x − = m x2 − x − ( mx + x + m) ³p ´ ³p ´ ³p ´ m x2 + − x − x2 + + x + − ( mx + x + m) x2 + − x − = ³p ´ h ³p ´ i x2 + − x − m x2 + + x + − mx − x − m = p x2 + = x + (1) ³p ´ m x2 + + x + − mx − x − m = (2) Lại có " x ≥ −1 " x=0 (1) ⇔ ⇔ ⇔ x=0 ⇔ 2 x = x − 2x = 2x + = x + 2x + x=2 ( x+1 ≥ ( x ≥ −1 Phương trình (2) tương đương với p m x2 + + mx + m − mx − x − m = ⇔ m ³p ´ x2 + − = x (3) Rõ ràng x = nghiệm phương trình (3) Với x ̸= 0, phương trình (3) biến đổi thành p x2 + + m= p ⇔m= 2x x2 + − x (4) p x2 + + Xét hàm số f ( x) = vi mi x = 2x p ả x2 + + 1 1 – Trường hợp Trên khoảng (0; +∞), hàm số f ( x) = biến đổi thành f ( x) = 2+ + 2x x x Với x1 , x2 ∈ (0; +∞) x1 < x2 ta có à ! 1 1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = 2+ − 2+ + − < x2 x1 x2 x1 10 Do hàm số f ( x) = ả 1 nghch biến khoảng (0; +∞) + x2 x Yêu cầu tốn thỏa mãn phương trình (4) có nghiệm khác 2, nghĩa p p 2 m> m> ⇔ m ̸= f (2) m ̸= 2+ (∗) Vì m số nguyên thuộc [−2022; 2022] thỏa mãn (∗) nên m ∈ {2; 3; ; 2022} p µ… ¶ 1 x2 + + biến đổi thành f ( x) = − 2+ − – Trường hợp Trên khoảng (−∞; 0), hàm số f ( x) = 2x x x Với x1 , x2 ∈ (−∞; 0) x1 < x2 ta có à ! 1 1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = − < 2+ − 2+ − + x2 x1 x2 x1 Do hàm số f ( x) = − µ… ¶ 1 nghịch biến khoảng (−∞; 0) − x2 x Yêu cầu toán thỏa mãn phương trình (4) có nghiệm, nghĩa 2+ p m ⇔ m2 + 12 > (luôn với m ∈ R) Vì thế, đường thẳng d ln cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A ( x A ; yA ) B ( xB ; yB ), x A , xB hai nghiệm phương trình (∗) Khi x A + xB − = m trở thành m − = m ⇔ m = −3 Vậy S = {−3} Chọn đáp án A □ Câu Cho hàm số y = x − x − có đồ thị parabol (P ) đường thẳng d có phương trình y = x − m Giá trị m để đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A , B cho O A + OB2 đạt giá trị nhỏ A m=− B m=− C m= Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P ) đường thẳng d x − x − = x − m ⇔ x − x + m − = D m= (∗) 11 Đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt, tức (−3)2 − 4( m − 2) > ⇔ 17 − m > ⇔ m < 17 17 đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A ( x1 ; x1 − m) B ( x2 ; x2 − m), x1 , x2 hai nghiệm phương trình (∗) Với m < Khi ¢ ¡ O A + OB2 = x12 + ( x1 − m)2 + x22 + ( x2 − m)2 = x12 + x22 − m ( x1 + x2 ) + m2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 − m ( x1 + x2 ) + m2 µ ¶ 27 2 = · − 4( m − 2) − m · + m = m − 10 m + 26 = m − + 2 27 ả 17 ng thức xảy m − = hay m = thỏa mãn m < 2 Vậy m = giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D □ Câu Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hai điểm A (2; 4) B(1; 1) Điểm C ( x0 ; y0 ) thỏa mãn tam giác ABC vuông cân C với x0 > Khi giá trị x0 + y0 A B C D Lời giải # » # » Ta có AC = ( x0 − 2; y0 − 4) BC = ( x0 − 1; y0 − 1) Vì tam giác ABC vng cân C nên ( AC = BC # » # » AC · BC = ( ⇔ ( x0 − 2)2 + ( y0 − 4)2 = ( x0 − 1)2 + ( y0 − 1)2 ( x0 − 2) ( x0 − 1) + ( y0 − 4) ( y0 − 1) = ⇔ ( x0 + y0 = 18 (1) x02 + y02 − x0 − y0 + = (2) Từ (1) suy x0 = − y0 Thay vào phương trình (2) ta " (9 − x0 ) + y02 − (9 − x0 ) − y0 + = ⇔ 10 y02 − 50 y0 + 60 = ⇔ y0 = y0 = Với y0 = x0 = (thỏa mãn x0 > 1) Với y0 = x0 = (khơng thỏa mãn x0 > 1) Vậy C (3; 2) Do x0 + y0 = Chọn đáp án A □ p Câu 10 Với điều kiện tham số m phương trình x2 + x + m + x = có nghiệm? A m ∈ (−∞; −24) B m ∈ (−24; +∞) C m ∈ (−∞; −24] D m ∈ [−24; +∞) Lời giải Ta có ( ( p p 3− x ≥ x≤3 x2 + x + m + x = ⇔ x2 + x + m = − x ⇔ x2 + x + m = (3 − x)2 ⇔ − 11 x + = m p Phương trình x2 + x + m + x = có nghiệm phương trình −11 x + = m có nghiệm x ≤ Với x ≤ 3, ta có −11 x ≥ −33 ⇔ −11 x + ≥ −24 Do đó, phương trình −11 x + = m có nghiệm x ≥ m ≥ −24 Vậy m ∈ [−24; +∞) giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D □ Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho parabol (P ) : y = x2 − x + đường thẳng d : y = mx + 3, với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để d cắt (P ) hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác O AB (O gốc tọa độ) Tổng tất phần tử S C A −6 B −8 D Lời giải 12 Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P ) đường thẳng d " 2 x − x + = mx + ⇔ x − ( m + 4) x = ⇔ x( x − m − 4) = ⇔ x=0 x = m + Đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt m + ̸= hay m ̸= −4 Với m ̸= −4 đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A ( x1 ; mx1 + 3), B ( x2 ; mx2 + 3), x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − (m + 4) x = # » # » Ta có O A = ( x1 ; mx1 + 3) OB = ( x2 ; mx2 + 3) Theo giả thiết, diện tích tam giác O AB nên " m = −2 | x1 ( mx2 + 3) − x2 ( mx1 + 3)| = ⇔ |3 x1 − x2 | = ⇔ | x1 − x2 | = ⇔ | m + 4| = ⇔ (thỏa mãn m ̸= −4) m = −6 Do đó, S = {−6; −2} Vậy tổng tất phần tử S −8 Chọn đáp án B p x 2+1 Câu 12 Với điều kiện tham số m hàm số y = có tập xác định R? x + 2x − m + A m < B m ≥ C m > D m ≤ □ Lời giải p x 2+1 Hàm số y = có tập xác định R x2 + x − m + ̸= với x ∈ R hay phương trình x + 2x − m + x2 + x − m + = vô nghiệm, tức 12 − (− m + 1) < ⇔ + m − < ⇔ m < p x 2+1 Vậy với m < hàm số y = có tập xác định R x + 2x − m + Chọn đáp án A □ ¯ # » # » # »¯¯ ¯¯ # » # »¯¯ ¯ Câu 13 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn đẳng thức ¯3 M A − MB + MC ¯ = ¯ M A − MB¯ Tập hợp điểm M A đoạn thẳng B nửa đường tròn Lời giải #» # » # » #» Gọi I điểm thỏa mãn đẳng thức I A − IB + IC = Vì A , B, C cố định nên I điểm cố định Ta có D đường thẳng C đường tròn ¯ # » AB #» # » # »¯¯ ¯¯ # » # »¯¯ ¯¯ # » # » # »¯¯ ¯¯ # »¯¯ ¯ (không đổi) ¯3 M A − MB + MC ¯ = ¯ M A − MB¯ ⇔ ¯2 M I + I A − IB + IC ¯ = ¯ AB¯ ⇔ M I = AB ⇔ M I = ¯ # » AB # » # »¯¯ ¯¯ # » # »¯¯ ¯ Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức ¯3 M A − MB + MC ¯ = ¯ M A − MB¯ đường tròn tâm I bán kính Chọn đáp án C □ Câu 14 Cho hàm số bậc hai f ( x) = ax2 + bx + c có bảng biến thiên hình vẽ bên x −∞ +∞ y −∞ −∞ Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−2020; 2020] để phương trình | f ( x)| = m có hai nghiệm? A 2015 B 2017 C 2024 D 2016 Lời giải Số nghiệm phương trình | f ( x)| = m số giao điểm đồ thị hàm số y = | f ( x)| đường thẳng y = m ( f ( x) f ( x) ≥ Ta có y = | f ( x)| = − f ( x) f ( x) < Đồ thị hàm số y = | f ( x)| gồm hai phần Phần đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trục hồnh Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trục hoành 13 Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x) đồ thị hàm số y = f ( x) ln cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ a, b, a < < b Do đó, ta có bảng biến thiên hàm số y = | f ( x)| sau x −∞ a +∞ +∞ b +∞ y 0 Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = | f ( x)|, phương trình | f ( x)| = m có hai nghiệm m = m > (∗) Vì m số nguyên thuộc [−2020; 2020] thỏa mãn (∗) nên m ∈ {0; 5; 6; , 2020} Vậy có 2017 số nguyên m thuộc [−2020; 2020] thỏa mãn yêu cầu toán □ Chọn đáp án B Câu 15 Cho parabol (P ) : y = − x2 + 2mx − 3m2 + 4m − (m tham số) có đỉnh I Gọi A , B hai điểm thuộc trục hoành Ox cho AB = 2022 Khi tam giác I AB có diện tích nhỏ A 2022 B 1011 C 4044 D 1010 Lời giải ¡ ¢ Parabol (P ) : y = − x2 + mx − 3m2 + m − ¯có đỉnh I m; −¯2 m2 + 4m − Khoảng cách từ I đến trục hoành h = ¯−2m2 + 4m − 3¯ Diện tích tam giác I AB S= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 AB · h = · 2022 ¯−2 m2 + m − 3¯ = 1011 ¯−2 m2 + m − 3¯ = 1011 ¯−2( m − 1)2 − 1¯ = 2022( m − 1)2 + 1011 ≥ 1011 2 Đẳng thức xảy m − = hay m = Vậy tam giác I AB có diện tích nhỏ 1011 m = Chọn đáp án B Câu 16 Khi bóng đá lên, đạt đến độ cao rơi xuống đất Biết quỹ đạo bóng cung parabol mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, x thời gian (tính giây) kể từ bóng đá lên; y độ cao (tính mét) bóng Giả thiết bóng đá từ độ cao 1,0 m Sau giây, bóng đạt độ cao m giây sau đá lên, độ cao 4m (xem hình vẽ) Hỏi sau bóng đạt độ cao lớn kể từ đá lên (tính xác đến hàng phần trăm)? A 2,51 giây B 2,50 giây C 2,52 giây D 2,53 giây □ y O x Lời giải Vì quỹ đạo bóng cung parabol mặt phẳng tọa độ Ox y nên phương trình quỹ đạo bóng có dạng y = ax2 + bx + c, a ̸= Theo giả thiết, ta có a=− c = c = a+b+c =3 ⇔ a+b =2 ⇔ b = 4a + b + c = 4a + b = c = 1 Vì vậy, phương trình quỹ đạo bóng y = − x2 + x + 2 Mặt khỏc, ta cú ả ả 5 25 33 33 33 y = − x2 + x + = − x2 − · x + − =− x− + ≤ , ∀ x ≥ 2 2 4 2 8 Đẳng thức xảy x − 5 = hay x = = 2,50 2 Vậy sau 2,50 giây bóng đạt độ cao lớn kể từ đá lên Chọn đáp án B □ 14 p Câu 17 Phương trình −3 x4 + (2 m − 1) x2 + m2 + = 0, với m tham số, có nghiệm thực? A B C D Lời giải p Đặt t = x2 , với t ≥ 0, phương trình −3 x4 + (2m − 1) x2 + 2m2 + = trở thành p −3 t2 + (2 m − 1) t + m2 + = ∗ p ¡p ¢ Vì 2m2 + > với m ∈ R nên −3 2m2 + < với m ∈ R Do đó, phương trình (∗) ln có hai nghiệm trái dấu t = a < (loại) t = b >p (nhận) Với t = b x2 = b hay x = ± b, với b p > Vậy phương trình −3 x4 + (2 m − 1) x2 + m2 + = ln có hai nghiệm thực với m ∈ R, □ Chọn đáp án A Câu 18 Giả sử phương trình x2 − (2 m + 1) x + m2 + m = (m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 Giá trị biểu thức P = | x1 − x2 | tính theo m A m B m + C D ±1 Lời giải Phương trình x2 − (2m + 1) x + m2 + m = (m tham số) có có biệt thức ¡ ¢ ∆ = (2 m + 1)2 − m2 + m = m2 + m + − m2 − m = > 0, ∀ m ∈ R Do đó, phương trình x2 − (2 m + 1) x + m2 + m = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo định lí Vi-ét, ta có x1 + x2 = 2m + x1 x2 = m2 + m Khi » » » P = | x1 − x2 | = ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = ¡ ¢ (2 m + 1)2 − m2 + m = Vậy P = Chọn đáp án C □ ¯ ¯ Câu 19 Với giá trị tham số m phương trình ¯2 x2 − x − 5¯ = m có hai nghiệm phân biệt? A m ∈ [0; 7] B m ∈ (7; +∞) C m ∈ (7; +∞) ∪ {0} D m ∈ (−7; +∞) Lời giải ¯ ¯ ¯ ¯ Số nghiệm phương trình ¯2 x2 − x − 5¯ = m số giao điểm đồ thị hàm số y = ¯2 x2 − x − 5¯ đường thẳng y = m Trước hết, ta vẽ bảng biến thiên hàm số y = f ( x) = x2 − x − Đồ thị hàm số y = f ( x) = x2 − x − có đỉnh I (1; −7) Bảng biến thiên hàm số y = f ( x) = x2 − x − x −∞ +∞ +∞ +∞ f ( x) −7 Đồ thị hàm số y = g( x) = ¯2 x2 − x − 5¯ gồm hai phần ¯ ¯ Phần đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trục hồnh Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trục hồnh Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x) đồ thị hàm số y = f ( x) ln cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ a, b, a < < b ¯ ¯ Do đó, bảng biến thiên hàm số y = g( x) = ¯2 x2 − x − 5¯ sau x −∞ a +∞ +∞ b +∞ g ( x) 0 Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = g( x) = ¯2 x2 − x − 5¯, phương trình ¯2 x2 − x − 5¯ = m có hai nghiệm phân biệt m = m > Vậy m ∈ (7; +∞) ∪ {0} giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C □ ¯ ¯ ¯ ¯ 15 Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho parabol (P ) : y = x2 − x − 10 đường thẳng d : y = mx − 10, với m tham số thực Tổng tất giá trị tham số m để d cắt (P ) hai điểm phân biệt A , K cho diện tích tam giác O AK (O gốc tọa độ) A −2 B −4 D −3 C −1 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P ) đường thẳng d " x2 − x − 10 = mx − 10 ⇔ x2 − ( m + 2) x = ⇔ x( x − m − 2) = ⇔ x=0 x = m + Đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt m + ̸= hay m ̸= −2 Với m ̸= −2 đường thẳng d cắt parabol (P ) hai điểm phân biệt A ( x1 ; mx1 − 10), K ( x2 ; mx2 − 10), x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − (m + 2) x = # » # » Ta có O A = ( x1 ; mx1 − 10) OK = ( x2 ; mx2 − 10) Theo giả thiết, diện tích tam giác O AK nên " m = −1 | x1 ( mx2 − 10) − x2 ( mx1 − 10)| = ⇔ |10 x2 − 10 x1 | = 10 ⇔ | x2 − x1 | = ⇔ | m + 2| = ⇔ (thỏa mãn m ̸= −2) m = −3 Do đó, m = −1, m = −3 giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Vậy tổng tất giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán −1 + (−3) = −4 Chọn đáp án B ( Câu 21 Cho hệ phương trình mx + y = x + my = □ , với m tham số thực Có giá trị tham số m để hệ phương trình cho vơ nghiệm? A B C Lời giải Khi m = hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y) = (2; 1) Khi m ̸= 0, hệ phương trình cho vô nghiệm D m = m = 1 m ⇔ m = ±1 ⇔ m ̸= m ̸= 2 Vậy m = ±1 hệ phương trình cho vô nghiệm Chọn đáp án A □ Câu 22 Cho hai phương trình mx − y = −4 − m x − (m + 1) y = −m, với m tham số thực Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [−2; 2021] để hai phương trình dã cho có nghiệm chung? A 2021 B 2022 C 2023 D 2024 Lời giải Yêu cầu tốn tương đương với việc tìm giá trị ngun tham số m thuộc đoạn [−2; 2021] để hệ phương trình sau có nghiệm ( mx − y = −4 − m x − ( m + 1) y = − m Khi m + = hay m = −1 hệ phương trình (I) trở thành x = − x − y = −3 ⇔ 2x = y = ( Do m = −1 thỏa mãn yêu cầu toán Với m ̸= −1 ta xét hai trường hợp sau Trường hợp ( m ̸= m ̸= ⇔ m + m − ̸= ⇔ m+1 m= ̸ −2 Trường hợp này, hệ phương trình (I) có nghiệm Trường hợp Với m = hay m = 1, m = −2 m+1 (I) 16 1 = +1 – Với m = ta có tỉ số nên hệ (I) vô nghiệm trường hợp −4 − ̸= −1 −2 −4 − (−2) – Với m = −2 ta có tỉ số = = nên hệ (I) có vô số nghiệm trường hợp −2 + −(−2) Như vậy, với m ̸= hai phương trình cho có nghiệm chung Vì m ̸= m số nguyên thuộc đoạn [−2; 2021] nên m ∈ {−2; −1; ; 2021} \ {1} Vậy có 2023 giá trị nguyên m thuộc đoạn [−2; 2021] thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C ( Câu 23 Cho hệ phương trình a| x| + 2| y| = a + 2| x| + a| y| = 2a + □ , với a tham số thực Có giá trị nguyên dương nhỏ 20 tham số a để hệ cho có bốn nghiệm phân biệt? A 18 B 17 C 15 Lời giải Đặt | x| = u, | y| = v, với u ≥ 0, v ≥ Hệ phương trình cho trở thành ( D 19 au + 2v = a + (I) u + av = 2a + Nhận xét Nếu hệ (I) có vơ số nghiệm hệ cho có vơ số nghiệm Nếu hệ (I) có nghiệm (0; v) ( u; 0) (với u ≥ 0, v ≥ 0) hệ cho có tối đa hai nghiệm phân biệt Do đó, hệ phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt hệ (I) có nghiệm (u; v) với u > 0, v > Với a = hệ (I) trở thành ( 2v = 2u = ( ⇔ u=2 v = Vì a = thỏa mãn yêu cầu toán Theo giả thiết a > nên ta loại a = Với a > yêu cầu toán thỏa mãn a>0 a>0 a ̸= a2 − ̸= " " a a−2 " a − a0 a−2 a>2 (∗) Vì a số nguyên dương nhỏ 20 thỏa mãn (∗) nên m ∈ {5; 6; ; 19} Vậy có 15 giá giá trị nguyên dương nhỏ 20 a thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C □ p Câu 24 Với tất giá trị tham số thực m phương trình x2 + m = x + có hai nghiệm phân biệt? A −2 ≤ m < Lời giải Ta có B −2 ≤ m ≤ p p C m ≤ −2 m > ( x2 + m = x + ⇔ ( x+1 ≥ 2 2x + m = x + 2x + ⇔ D m > −2 x ≥ −1 − x2 + x + = m Phương trình x2 + m = x + có hai nghiệm phân biệt phương trình − x2 + x + = m có hai nghiệm phân biệt lớn −1 Số nghiệm phương trình − x2 + x + = m số giao điểm đồ thị hàm số y = − x2 + x + đường thẳng y = m Xét hàm số y = − x2 + x + nửa khoảng [−1; +∞) Đồ thị hàm số y = − x2 + x + có đỉnh I (1; 2) Bảng biến thiên hàm số y = − x2 + x + nửa khoảng [−1; +∞) 17 x −1 +∞ y −2 −∞ Dựa vào bảng biến thiên trên, yêu cầu toán thỏa mãn −2 ≤ m < Chọn đáp án A □ Câu 25 Cho tam giác ABC cạnh a k số thực âm thay đổi Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức # » # » # » #» 3(1 − k) M A + MB − k MC = a A đường trịn có bán kính a B đoạn thẳng có độ dài C đoạn thẳng có độ dài Lời giải Ta có a D đoạn thẳng có độ dài a ³ # » # »´ # » # » # » #» # » # » 3(1 − k) M A + MB − k MC = ⇔ M A + MB = k M A + MC (∗) # » # » #» # » # » #» Gọi I điểm thỏa mãn I A + IB = J điểm thỏa mãn J A + JC = # » # » #» Vì I A + IB = nên # » # » #» # » #» #» 1# » I A + AB = ⇔ AB = AI ⇔ AI = 4 A AB J I Do I thuộc đoạn thẳng AB AI = AB Tương tự, J thuộc đoạn thẳng AC A J = AC B C a Suy I J ∥ BC I J = BC = 4 Ta có ³ # » # » #» # » # »´ # » # » # » # » # » (∗) ⇔ M I + I A + IB = k M J + J A + JC ⇔ M I = k M J ⇔ M I = k M J Mà k < nên M thuộc đoạn thẳng thẳng I J có độ dài a Chọn đáp án C □ 2 Câu 26 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M điểm Tổng S = M A + MB − MC đạt giá trị nhỏ A a2 B − a2 C a2 Lời giải #» # » # » #» Gọi I điểm thỏa mãn I A + IB − IC = Gọi H chân đường cao kẻ từ B tam giác ABC Khi H trung điểm AC hay # » 1# » AH = AC Ta có #» # » # » #» #» # » #» 1# » #» # » I A + IB − IC = ⇔ IB = AC ⇔ IB = D − a2 I B A H AC ⇔ IB = AH Cho nên tứ giác AHBI hình bình hành Do p p p a AC a a 2 I A = BH = ; IB = AH = = ; IC = I A + AC = 2 2 C Ta có S = ³ # » # »´2 ³ # » # »´2 # » # » # » ³ # » # »´2 M A + MB2 − MC = M A + MB2 − MC = M I + I A + M I + IB − M I + IC # » # »³# » # » # »´ # » #» #» M I + M I I A + IB − IC + I A + IB2 − IC = M I + I A + IB2 − IC ≥ I A + IB2 − IC = = a2 a2 a2 a2 +2· − =− 4 Đẳng thức xảy M ≡ I Vậy tổng S = M A + MB2 − MC đạt giá trị nhỏ − Chọn đáp án B a2 □ 18 Câu 27 Có giá trị nguyên tham s thc m phng trỡnh ả  ¡ 2 x4 + x3 + x2 − m − x + x + − 2m = có ba nghiệm thuộc đoạn [−2; 1]? A B Lời giải Phương trình cho tương đương với phương trình C D ¡ ¢2 ¡ ¢ x2 + x − (4 m − 3) x2 + x + − m = (∗) Bảng biến thiên hàm số f ( x) = x2 + x đoạn [−2; 1] x −2 −1 f ( x) −1 Đặt t = x2 + x, với x ∈ [−2; 1] t ∈ [−1; 3] Phương trình (∗) trở thành 2 t − (4 m − 3) t + − m = ⇔ t + t + = mt + m ⇔ ( t + 1)(2 t + 1) = m(2 t + 1) ⇔ (2 t + 1)( t + − m) = ⇔ t = m − t=− phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 −2 < x1 < −1 < x2 < Vì thế, phương trình cho có ba nghiệm phân biệt phương trình x2 + x = 2m − có nghiệm thuộc đoạn [−2; 1] khác x1 , x2 Điều tương đương với Dựa vào bảng biến thiên trên, với t = − " m − = −1 < 2m − ≤ ⇔ m=0 ⇔ 1 < 2m ≤ < m ≤ 2 " 2m = (∗∗) Vì m số nguyên thỏa mãn (∗∗) nên m ∈ {0; 1; 2} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C □ Câu 28 Cho hàm số y = − x − 2mx + với m tham số Với tất giá trị m hàm số cho nghịch biến khoảng (1; +∞)? C m > −1 A m ≤ B m < D m ≥ −1 Lời giải Trục đối xứng đồ thị hàm số y = − x2 − 2mx + đường thẳng x = −m Bảng biến thiên hàm số y = − x2 − mx + x −∞ −m +∞ m2 + y −∞ −∞ Hàm số y = − x2 − 2mx + nghịch biến khoảng (1; +∞) (1; +∞) ⊂ (− m; +∞) ⇔ − m ≤ ⇔ m ≥ −1 Vậy m ≥ −1 giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án D □ Câu 29 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho hình thang ABCD có đáy AB = µ I (5; 5) Điểm G A 13 CD hai đường chéo AC , BD ct ả ả 11 17 ; , G′ ; trọng tâm tam giác ABD BCD Giả sử A (a; b), tổng a + b 3 B C D 12 19 Lời giải Gọi M trung điểm BD MG MG ′ Theo giả thiết, ta có = = nên GG ′ ∥ AC hay GG ′ ∥ AI MA MC GG ′ MG AC ′ Lại có = = nên GG = AC MA 3 AC I A AB = = , suy I A = Vì AB ∥ CD nên IC CD AC Tứ giác AGG ′ I có GG ′ ∥ AI GG ′ = AI = nên tứ giác AGG ′ I hình bình hành Khi ( 11 17 a=3 − # » # ′ » a − = 3 ⇔ IA =G G ⇔ b = b−5 = 5−4 B A I G M G′ D Do A (3; 6) Vậy a + b = Chọn đáp án B C □ Câu 30 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình x − (m + 1) x + m = có hai nghiệm, có nghiệm gấp ba lần nghiệm Tích phần tử S C −12 A B 12 D Lời giải Phương trình x2 − (m + 1) x + m = có biệt thức ∆ = ( m + 1)2 − m = m2 + m + − m = m2 − m + = ( m − 1)2 ≥ 0, ∀ m ∈ R Do đó, phương trình x2 − (m + 1) x + m = có hai nghiệm x1 , x2 với giá trị thực tham số m Theo giả thiết, không tính tổng quát ta giả sử x1 = x2 Mặt khác, x1 + x2 = m + x1 x2 = m Ta có hệ phương trình ( x1 = ( m + 1) ⇔ ⇔ x1 + x2 = m + x2 = m + x2 = ( m + 1) ( x1 = x2 x1 = x2 Lại có x1 x2 = m nên m=3 ¡ ¢ ( m + 1)2 = m ⇔ m2 + m + = 16 m ⇔ m2 − 10 m + = ⇔ 16 m= ẵ Do ú S = ắ ;3 Vậy tích phần tử S · = Chọn đáp án A □ Câu 31 Điều kiện tham số m để hàm số y = A m>1 m≤ B m≥1 m≤ x + 10 xác định nửa khoảng (0; 1] x − 2m + 1 m< m< 2 C D m≥1 m>1 Lời giải x + 10 xác định nửa khoảng (0; 1] x − 2m + ̸= với x ∈ (0; 1] Điều tương x − 2m + đương phương trình x − 2m + = vơ nghiệm nửa khoảng (0; 1] x+1 Phương trình x − 2m + = tương đương với phương trình = m x+1 x+1 Số nghiệm phương trình = m số giao điểm đồ thị hàm số y = đường thẳng y = m 2 x+1 Bảng biến thiên hàm số y = nửa khoảng (0; 1] Hàm số y = x 1 y 20 Dựa vào bảng biến thiên trên, yêu cầu toán thỏa mãn m ≤ Chọn đáp án A m > □ ... + 10 x − 16 = m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 > x2 ≥ Số nghiệm phương trình − x2 + 10 x − 16 = m số giao điểm đồ thị hàm số y = − x2 + 10 x − 16 đường thẳng y = m Đồ thị hàm số. .. trình = m x+1 x+1 Số nghiệm phương trình = m số giao điểm đồ thị hàm số y = đường thẳng y = m 2 x+1 Bảng biến thi? ?n hàm số y = nửa khoảng (0; 1] Hàm số y = x 1 y 20 Dựa vào bảng biến thi? ?n trên, yêu... số y = − x2 + 10 x − 16 có đỉnh I (5; 9) Bảng biến thi? ?n hàm số y = − x2 + 10 x − 16 nửa khoảng [4; +∞) x +∞ y −∞ Dựa vào bảng biến thi? ?n trên, yêu cầu toán thỏa mãn ≤ m < Vì m số nguyên m ∈