Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 Đề bài Câu 1 ( 2điểm ) So sánh 2008 2009 99 1 99 1 với 2009 2010 99 1 99 1 Câu 2 ( 3 điểm ) Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức[.]
Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Đề bài: Câu 1: ( 2điểm ) 992009 992008 So sánh 2009 với 99 992010 Câu 2: ( điểm ) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y Câu 3: (3 điểm) Cho ( x + x )( y + y2 1 ) = Tính giá trị biểu thức A = x 2009 + y 2009 Câu :(3 điểm ) Giải phương trình sau x 5x - x x = 9x - Câu 5:(2 điểm ) Cho a,b,c số đo ba cạnh tam giác , chứng minh : a2(b + c) + b2(c + a) +c2(a + b) ≤ a3 + b3 + c3 + 3abc Câu 6: (7 điểm ) Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O) cất đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng EA AF a Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA b Hai đường kính AB CD có vị trí tương đối tam giác BPQ có diện tích nhỏ Chứng minh hệ thức sau : CE.DF.EF = CD3 BE CE BF DF Lời giải: Câu 1:(2điểm ) Đặt 992008 = a , xét hiệu A hai phân thức : A= a 1 99a - 99a 99 a (0,25 điểm ) A= 992 a 992 a a 992 a 198a (99a 1)(992 a 1) (0,5 điểm ) A= 992 a 197a 99a 1 (992 a 1) ( 0,5 điểm ) Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Tốn lớp 6, 7, 8, Vì a > nên 992a – 197a > Vậy (0,5 điểm) 992008 992009 > 992009 992010 ( 0,25 điểm) Câu 2: (3 điểm ) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( x + y = 1) (0,25điểm) M= x2 y x2 y2 x y xy (x y2 ) ( ) 2 2 2 (0,5điểm) Suy M ( x y ) (0,25điểm) Mặt khác : x + y =1 x2 + y2 +2xy = 2(x2 + y2) – (x – y )2 = (0,5điểm) 2(x2 + y2) (0,25điểm ) : x2 + y2 Do (0,25 điểm) Dấu “ = “ xảy x = y = ( 0,25 điểm) Ta có M ( x y ) x2 + y2 1 1 M 2 (0,5 điểm) Vậy M 1 , nên giá trị nhỏ biểu thức M x = y = 4 (0,25điểm) Câu (3 điểm ) x x 1 y y 1 = x x 1 x x 1 y Do : y y x x y Ta có 2 2 2 y 1 y y2 x x2 y2 1 2 y y x x 2 x x y y (0,75 điểm ) (0,25điểm) - (x + y) = (x + y ) (0,25 điểm) x=-y (0,75điểm) Do : A = x2009 + y2009= (- y )2009 + y2009 = - y2009 + y2009 = (0,75 điểm) Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Vậy : A = x2009 + y 2009 = (0,25 điểm ) Câu 4: (3 điểm ) Đặt a = x 5x , b = (0,25điểm) x2 x ( a ≥ , b = (2 x 1)2 ) a b x 2 2 a b x x x x x Ta có điểm) (0,25 điểm) ( 0,5 (a2 – b2) – (a – b) = (a – b)(a + b – 1) = a ≥ ; b > 1nên a + b – > (0,25điểm) Do : a – b = a = b (0,25điểm) x2 5x = x2 x (0,5điểm) 4 x x 2 4 x x x x (0,5điểm) (2 x 1) 5 x x ( 0,25điểm) x Vậy nghiệm phương trình x = (0,25điểm Câu 5: (2 điểm ) Giả sử a ≥ b ≥ c > a2(b + c) + b2(c + a) +c2(a + b) ≤ a3 + b3 + c3 + 3abc 3abc + a3 + b3 +c3 – a2(b + c) – b2 (c + b ) – c2( a + b) ≥ (1) (0,25 điểm) Biến đổi vế trái (1 ) ta có VT = 3abc + a3 + b3 +c3 – a2b – b2a – a2c – b2c – c2a – c2b điểm) (0,25 Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, VT = a2(a - b) + b2(b - a) + c(2ab –a2 –b2) + c(c2 –bc + ab – a) điểm) (0,25 VT = (a – b)(a2 – b2 ) – c(a – b)2 + (c – a )(c – b) điểm) (0,25 VT = ( a – b)(a + b – c) + c(b – c )(a – c ) ≥0 điểm) ( 0,5 ( a ≥ b, a + b > c , a ≥ c , b ≥ c , c > ) Do ta có (1 ) điểm) (0,25 Vậy a2(b + c) + b2(c + a) +c2(a + b) ≤ a3 + b3 + c3 + 3abc (0,25điểm) B k C I H E Câu 6: (7điểm) D O P A Q F Vẽ hình (0,5điểm) a (2,5 điểm ) Vẽ PI BQ PI cắt BA H (0,5điểm) Ta có H trực tâm (0,25điểm) BPQ Q,O trung điểm cạnh AF, AB OQ đường trung bình ABF ABF OQ // FB CBD 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) (0,25điểm) (0,25điểm) OQ // FB , BE FB QO BE (0,25điểm) BEQ có BA VÀ QO hai đường cao cắt O O trực tâm BEQ EO BQ EO BQ , PI BQ EO //PI (0,25điểm) (0,25 điểm) AEO có P trung điểm EA EO // PH H trung điểm OA (0,5điểm) b (2 điểm ) BEF vuông B, BA đường cao nên AE AF =BA2 = 4R2 (0,25điểm) Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, S BPQ = AE AF AE AF = R BA PQ R R AE AF R 2 2 (1điểm ) Dấu “ = “ xảy AE = AF BEF vuông cân B (0,25điểm) AB CD điểm) Vậy AB CD S BPQ nhỏ (0,25điểm) c (2 điểm) AB = CD( = 2R) CD2 =AB2 = AE AF (0,25điểm) CD4 = AB4 =AE2 AF2 = CE DF EF AB (0,5điểm) Suy (0,25điểm) AB2 = CE DF EF CD3 = CE DF EF (0,25điểm) Ta có : BE EA EF AE BE AE CE BE BF FA EF AF BF AF DF BF (0,5điểm) BE CE Suy BF DF (0,25điểm) (0,25 ...Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Vì a > nên 99 2a – 197 a > Vậy (0,5 điểm) 99 2008 99 20 09 > 99 20 09 99 2010 ( 0,25 điểm) Câu 2: (3 điểm ) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2... x=-y (0,75điểm) Do : A = x20 09 + y20 09= (- y )20 09 + y20 09 = - y20 09 + y20 09 = (0,75 điểm) Toancap2.com - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Vậy : A = x20 09 + y 20 09 = (0,25 điểm ) Câu 4: (3... trực tâm (0,25điểm) BPQ Q,O trung điểm cạnh AF, AB OQ đường trung bình ABF ABF OQ // FB CBD 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) (0,25điểm) (0,25điểm) OQ // FB , BE FB QO BE (0,25điểm)