Nguyễn Nam 11CT THPT chuyên Nguyễn Du SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2021 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 120 phút, không kể[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,5 điểm) 1) Giải phương trình: 2𝑥 + 5𝑥 − = 2) Cho hàm số 𝑦 = (𝑚 − 1)𝑥 + 2021 Tìm tất giá trị tham số 𝑚 để hàm số đồng biến ℝ 3) Cho 𝑎 = + √2 𝑏 = − √2 Tính giá trị biểu thức 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: 𝑃= 2√ 𝑥 − 𝑥 − 5√ 𝑥 + − √ 𝑥 + 2√ 𝑥 + + 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4, 𝑥 ≠ √𝑥 − √𝑥 − 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm tất giá trị 𝑥 để 𝑃 > Câu (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm 𝐴(1; −2) song song với đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 − 2) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho Parapol (𝑃): 𝑦 = 𝑥 đường thẳng (𝑑): 𝑦 = 2(𝑚 − 1)𝑥 − 𝑚 + Gọi 𝑥1 , 𝑥2 hoành độ giao điểm đường thẳng (𝑑) Parapol (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 𝑀 = 𝑥12 + 𝑥22 Câu (3,5 điểm) Trên nửa đường trịn tâm O đường kính AB với 𝐴𝐵 = 2022, lấy điểm C (C khác A B), từ C kẻ CH vng góc AB (𝐻 ∈ 𝐴𝐵) Gọi D điểm đoạn CH (D khác C H), đường thẳng AD cắt nửa đường tròn điểm thứ hai E 1) 2) 3) 4) Chứng minh tứ giác BHDE tứ giác nội tiếp Chứng minh: 𝐴𝐷 𝐸𝐶 = 𝐶𝐷 𝐴𝐶 Chứng minh: 𝐴𝐷 𝐴𝐸 + 𝐵𝐻 𝐵𝐴 = 20222 Khi điểm C di động nửa đường tròn (C khác A,B điểm cung AB), xác định vị trí điểm C cho chu vi tam giác COH đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) Cho 𝑎 ≥ 1348, 𝑏 ≥ 1348 Chứng minh rằng: 𝑎2 + 𝑏 + 𝑎𝑏 ≥ 2022(𝑎 + 𝑏) Hết Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu (1,5 điểm) 1) Xét phương trình 2𝑥 + 5𝑥 − = Ta có ∆= 52 − 4.2 (−3) = 49 > nên phương trình cho có hai nghiệm: 𝑥1 = −5 + √49 −5 − √49 = ; 𝑥2 = = −3 2.2 2.2 Vậy, tập nghiệm phương trình cho 𝑆 = {−3: } 2) Hàm số 𝑦 = (𝑚 − 1)𝑥 + 2021 đồng biến ℝ chi 𝑚 − > 𝑚 > Kết luận: 𝑚 > 3) Ta có: 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 = (1 + √2) + (1 − √2) − 2(1 + √2) (1 − √2) = − (1 − 2) = Vậy: P=4 Câu (2,0 điểm) 1) 𝑃= = = 2) 𝑉ớ𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4, 𝑥 ≠ biểu thức P xác dịnh ta biến đổi P sau: 2√ 𝑥 − 𝑥 − 5√ 𝑥 + − √𝑥 − (√𝑥 + 3)(√𝑥 − 3) (2√𝑥 + 1)(√𝑥 − 2) √ 𝑥 + 2√ 𝑥 + + = − + (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3) (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3) (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3) √𝑥 − √𝑥 − 2√𝑥 − − (√𝑥 + 3)(√𝑥 − 3) + (2√𝑥 + 1)(√𝑥 − 2) (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3) 𝑥 − √𝑥 − (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3) = = 2√𝑥 − − (𝑥 − 9) + (2𝑥 − 3√𝑥 − 2) (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3) (√𝑥 + 1)(√𝑥 − 2) √𝑥 + = (√𝑥 − 2)(√𝑥 − 3) √𝑥 − 𝑉ớ𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4, 𝑥 ≠ 𝑃 > 1⇔𝑃−1 >0 ⇔ √𝑥 + −1 >0⇔ > ⇔ √𝑥 − ⇔ 𝑥 ≥ √𝑥 − √𝑥 − Kết hợp với điều kiện 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 4, 𝑥 ≠ ta 𝑥 > tất giá trị 𝑥 cần tìm Câu (2,0 điểm) 1) Vì đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 − nên phương trình đường thẳng (Δ) có dạng (Δ): 𝑦 = 2𝑥 + 𝑎 với a số Vì điểm 𝐴(1; −2) thuộc đường thẳng điểm (Δ) nên −2 = 2.1 + 𝑎 hay 𝑎 = −4 Vậy: Phường trình đường thẳng (Δ): 𝑦 = 2𝑥 − 2) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: 𝑥 − 2(𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚 − = (∗) Vì 𝑥1 , 𝑥2 hồnh độ giao điểm (P) (d) nên 𝑥1 , 𝑥2 nghiệm phương trình (*) Do Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du Δ′∗ = (𝑚 − 1)2 − (𝑚 − 3) ≥ ⇔ (𝑚 − ) + ≥ (𝐿𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔) 𝑥1 + 𝑥2 = 2(𝑚 − 1) Theo hệ thức Viet ta có: { Khi đó: 𝑥1 𝑥2 = 𝑚 − 𝑀 = 𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 𝑥2 = 4(𝑚 − 1)2 − (𝑚 − 3) = (4𝑚 − 5)2 + Dấu “=” xảy chi 𝑚 = Vậy, giá trị nhỏ biểu thức M 15 𝑚 = 15 15 ≥ 4 Câu (3,5 điểm) E C D A H O B 1) Xét tứ giác BHDE có: ∡𝐷𝐻𝐴 = 90𝑜 (𝑔𝑡) ; ∡𝐷𝐸𝐵 = 90𝑜 (𝑔ó𝑐 𝑛ộ𝑖 𝑡𝑖ế𝑝 𝑐ℎắ𝑛 𝑛ử𝑎 đườ𝑛𝑔 𝑡𝑟ò𝑛) nên ∡𝐷𝐻𝐴 = ∡𝐷𝐸𝐵 tứ giác BHDE nội tiếp 2) Xét hai tam giác ∆𝐴𝐷𝐶 𝑣à ∆𝐴𝐶𝐸 có: ∡𝐶𝐴𝐷 𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔; ∡𝐴𝐶𝐷 = 90𝑜 − ∡𝐶𝐴𝐻 = ∡𝐶𝐸𝐴 𝐴𝐷 𝐴𝐶 Nên ∆𝐴𝐷𝐶 ~ ∆𝐴𝐶𝐸 (𝑔 𝑔) = hay AD.EC= CD AC 𝐷𝐶 𝐶𝐸 3) HD: Dựa vào ý (1) để chứng minh ∆𝐴𝐷𝐻 ~ ∆𝐴𝐵𝐸 (𝑔 𝑔) đó: 𝐴𝐷 𝐴𝐸 + 𝐵𝐻 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 𝐴𝐸 + 𝐴𝐵 𝐵𝐻 = 𝐴𝐵2 = 20222 4) Tam giác CHO vuông H nên theo định lí Pytago ta có: 1 𝑂𝐶 = 𝑂𝐻2 + 𝐻𝐶 = (𝑂𝐻 + 𝐻𝐶)2 + (𝑂𝐻 − 𝐻𝐶)2 ≥ (𝑂𝐻 + 𝐻𝐶)2 2 Hay 𝑂𝐻 + 𝐻𝐶 ≤ 𝑂𝐶√2 nên 𝐶𝑣𝐶𝐻𝑂 = 𝑂𝐶 + 𝑂𝐻 + 𝐻𝐶 ≤ (1 + √2)𝑂𝐶 = (1 + √2) 1011 Dấu “=” xảy điểm C nằm nửa đường tròn O cho ∡𝐴𝐶𝐷 = 45𝑜 Câu (1,0 điểm) Để ý (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 ) − (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)2 ≥ ∀𝑎, 𝑏 ≥ 1348 4 Nên ta có Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 ) ≥ 3 (𝑎 + 𝑏)2 ≥ (1348 + 1348) (𝑎 + 𝑏) ∀𝑎, 𝑏 ≥ 1348 4 Hay 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 ≥ 2022(𝑎 + 𝑏) ∀𝑎, 𝑏 ≥ 1348 Vậy, bất đẳng thức chứng minh xong Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du ...ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu (1,5 điểm) 1) Xét phương trình 2