ĐÁP ÁN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI 2021-2022 LỚP 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2021 2022 Ngày thi 16/3/2022 Môn Toán Thời gian làm b[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2021 - 2022 Ngày thi 16/3/2022 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài (4,0 điểm) 1) Tìm tất ba số nguyên tố khác (a;b;c) cho a.b.c= 3(a+b+c) 2) Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x2  y  8x  37 3) Chứng minh x3  2021x chia hết cho (với x  Z ) Bài (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2  2020 x  2019  2022 x  2021  xy  x  y   2) Giải hệ phương trình:  1    x2  x y  y   Bài (4,0 điểm)  xy  x   1) Cho biểu thức A   x    1 :    xy  1  xy      xy  x xy   x 1   xy   a) Rút gọn biểu thức A b) Cho   Tìm giá trị lớn A x y 2) Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh bất đẳng thức x2 + y2 + z2  Bài (7,0 điểm) 1) Một em học sinh có tờ giấy màu hình tam giác ABC có AB = cm; AC = cm; BC = cm Em muốn cắt hình chữ nhật MNPQ cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB Hãy xác định kích thước hình chữ nhật MNPQ để tờ giấy màu cắt có diện tích lớn 2) Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường trịn tâm O thay đổi ln qua B C (O không nằm đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M, A, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Bài (1,0 điểm) Trong tam giác có cạnh lớn 2022 đơn vị, người ta lấy điểm phân biệt Chứng minh ln tìm ba điểm tạo thành tam giác có chu vi khơng vượt 3033 đơn vị HẾT Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2021 - 2022 Ngày thi 16/03/2022 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Hướng dẫn chấm có trang) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (4,0 điểm) 1) Tìm tất ba số nguyên tố khác (a;b;c) cho a.b.c= 3(a+b+c) 2) Tìm tất nghiệm nguyên x, y phương trình x2  y  8x  37 3) Chứng minh x3  2021x chia hết cho (với x  Z ) GIẢI Do a,b,c số nguyên tố khác nhau; giả sử  a  b  c Vì a.b.c = 3(a + b + c)  abc Mà a,b,c nguyên tố nên ba số a,b,c phải có số chia hết cho Giả sử b b nguyên tố nên b=3 Với b=3, ta có 3ac  3(a  c  3)  ac  a  c   a 1   (a  1)(c  1)    c 1   a  2; c  Vậy (a,b,c)=(2,3,5) Hoán vị số ta có tất số khác thoả mãn điều kiện a.b.c = 3(a + b + c) 2)Ta có x2  y  8x  37   x2  x  1  41  y   x  1  41  y   41  y   y số nguyên lẻ Mà  x  1   y  1;3;5;7 ta nhận y =1 Từ tìm x = 2, x = -  1 y52    Thử lại trả lời nghiệm (2,1); (2,-1); (- 4,1); (- 4,-1) 3) Ta có: x3  2021x  x( x2  1)  2022 x  ( x  1) x( x  1)  2022 x Mà ( x  1) x( x  1) (tích số nguyên liên tiếp) Và 2022 x (do 2022 ) Nên ( x 1) x( x  1)  2022 x Hay x  2021x x  Z Bài (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2  2020 x  2019  2022 x  2021  xy  x  y   2) Giải hệ phương trình:  1  x2  x  y  y    GIẢI 1) x2  2020 x  2019  2022x  2021 Phương trình cho tương đương với Điều kiện x  2021 2022 x2  x+1 + 2022x  2021  2022x  2021  1 x 1   x 1     ( x  1)2  ( 2022x  2021 1)2     2022x  2021   2022x  2021    x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy x  nghiệm phương trình cho 2)Ta có   xy  x  y       x2  x y  y    x  1 ( y  1)   1   ( x  1)   y        x  x  Điều kiện  y  y   , đặt u  x  1, v  y  Hệ phương trình trở thành uv  u  1  (*) Điều kiện:   v  1  u   v    uv  uv   2  2 2 2 u  v   3  u  v     u v  u  v  1 uv  u  v    ( TM(*)) u  v  4 u  v  2  x   x  3 ; Từ suy nghiệm hệ phương trình:   y   y  3 Bài (4,0 điểm)  xy  x   1) Cho biểu thức A   x    1 :    xy  1  xy      xy  x xy   x 1   xy   a) Rút gọn biểu thức A b) Cho   Tìm giá trị lớn A x y 2) Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh bất đẳng thức x2 + y2 + z2  GIẢI 1a) Điều kiện: x > 0; y > 0; xy   xy +1 +  xy +11- xy  :  xy +11- xy   xy +11- xy  +  xy + x  xy +1 -  x +1 1- xy   xy +11- xy   x +1 1- xy  +  xy + x  xy +1 +  xy +11- xy    xy +11- xy  +  xy + x  xy +1 -  x +1 1- xy  A     x +1 1- xy + xy + x =  x  x y   xy  xy  xy  x y  x  xy  xy   xy xy  xy   xy  xy  xy  x y  x  x  x y   xy 1+ x = Vậy với x > 0; y > 0; xy  biểu thức A  x y + xy xy xy 1b) Theo Cauchy, ta có:   x y 62 xy   Dấu xảy xy xy 1    x = y = Vậy: maxA = : x = y = x y 2) Ta có x   2x ; y   2y ; z   2z với x, y, z x  y2  2xy ; y2  z2  2yz ; z2  x  2zx với x, y, z Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được: 2 3(x  y2  z2 )   2(x  y  z  xy  yz  zx)  3(x  y2  z )  12 (vì x + y + z + xy + yz + zx = 6)  x  y2  z  Bài (7,0 điểm) 1) Một em học sinh có tờ giấy màu hình tam giác ABC có AB = cm; AC = cm; BC = cm Em muốn cắt hình chữ nhật MNPQ cho M, N thuộc cạnh BC, P thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB Hãy xác định kích thước hình chữ nhật MNPQ để tờ giấy màu cắt có diện tích lớn 2) Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường trịn tâm O thay đổi ln qua B C (O không nằm đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M, A, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME GIẢI 1)Ta có hình vẽ ABC có AB = cm; AC = cm; BC = cm Nên tam giác vuông A (Định lý Pytago đảo) Gọi H, K hình chiếu vng góc A BC PQ Tam giác ABC vuông A nên AH Đặt PN x, PQ AB AC BC y Vì APQ đồng dạng 12 cm ACB suy PQ AK AH  x x y 25    1   1 x  y   x CB AH AH AH 12 12 SMNPQ 25 x y x x 12 25 x 12 Vậy giá trị lớn SMNPQ x cm y 5 cm 2.Ta có hình vẽ M Q P A O D H B K I C d N E a) Do I trung điểm BC (dây BC không qua O )  OI  BC  OIA  900 Ta có AMO  900 (do AM tiếp tuyến (O) ), ANO  900 (do AN tiếp tuyến (O) ) Suy điểm O, M, A, N, I thuộc đường trịn đường kính OA b) Vì AM, AN hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA tia phân giác MON mà ∆OMN cân O nên OA  MN Ta có ∆ABN đồng dạng ∆ANC ( ANB=ACN= AB AN =  AB.AC=AN sđ NB CAN chung ) suy AN AC Ta có ∆ANO vng N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2 Suy AB.AC = AH.AO Ta có ∆AHK đồng dạng ∆AIO ( AHK=AIO=900 OAI chung ) AH AK =  AI.AK=AH.AO  AI.AK=AB.AC AI AO AB.AC Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy AK không đổi; mà A cố  AK= AI  định K thuộc BC suy K cố định c)Ta có PMQ=90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) Xét ∆MHE ∆QDM có MEH=DMQ ( phụ với DMP ), EMH=MQD (cùng phụ với MPO ) Vậy ∆MHE đồng dạng ∆QDM  Ta có ∆PMH  đồng dạng ME MH  MQ DQ (1) ∆MQH (Vì MPH  QMH ; MHP  QHM  900 ) MP MH MH MP ME     MQ HQ DQ MQ MQ (2) Từ (1) (2)  ME = MP  P trung điểm ME Bài (1,0 điểm) Trong tam giác có cạnh lớn 2022 đơn vị, người ta lấy điểm phân biệt Chứng minh ln tìm ba điểm tạo thành tam giác có chu vi khơng vượt q 3033 đơn vị GIẢI Giả sử tam giác cho tam giác ABC có cạnh lớn 2022 đơn vị Chia tam giác cho thành tam giác khơng có điểm chung việc vẽ đường trung bình Khi cạnh lớn tam giác nhỏ 1011 đơn vị Lấy điểm phân biệt nằm tam giác cho, nghĩa nằm hình tam giác nhỏ, theo nguyên tắc Dirichlet phải tồn điểm nằm tam giác nhỏ, mà tam giác có chu vi khơng vượt q 3033 đơn vị Vì điểm tạo thành tam giác có chu vi không vượt 3033 đơn vị  ...Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2021 - 2022 Ngày thi 16/03/2022 Mơn:... C d N E a) Do I trung điểm BC (dây BC không qua O )  OI  BC  OIA  90 0 Ta có AMO  90 0 (do AM tiếp tuyến (O) ), ANO  90 0 (do AN tiếp tuyến (O) ) Suy điểm O, M, A, N, I thuộc đường trịn đường... 1) Giải phương trình: x2  2020 x  20 19  2022 x  2021  xy  x  y   2) Giải hệ phương trình:  1  x2  x  y  y    GIẢI 1) x2  2020 x  20 19  2022x  2021 Phương trình cho tương