+ Bài Hình học, nếu không có hình vẽ nhưng học sinh thực hiện các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa của phần đó.. Vẽ hình sai về mặt bản chất nhưng lời giải đúng thì [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH Ngày thi 29 tháng năm 2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: x + y +18 = xy a a 7a 5a a + + + + b) Chứng minh với a N thì biểu thức A = 120 12 24 12 có giá trị là số tự nhiên Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 x x 14 y = x2 z = xy 1 = + x y z b) Giải hệ phương trình: với x, y, z 0 Bài 3: (4,0 điểm) 1- a) Cho a = Tính giá trị biểu thức: 16a - 51a b) Cho a và b là các số thực dương a b 2a b 2b a a b Chứng minh rằng: Bài 4: (5,0 điểm) Trên đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm M (M khác A và B) Từ điểm C trên đoạn OB (C khác B) kẻ CN vuông góc với AM N Đường phân giác MAB cắt CN I và cắt đường tròn (O) P; đường thẳng MI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là Q a) Chứng minh ba điểm P; C; Q thẳng hàng b) Khi BC = AM, hãy chứng minh tia MI qua trung điểm đoạn AC Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Trên các đoạn AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F cho EDC = FDB = 90 (E khác B) Chứng minh EF // BC HẾT Ghi chú: Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: x + y +18 = xy Tóm tắt cách giải xy x 15 y 33 Từ x y 18 2 xy xy x y 18 x y 3 y 3 33 y 3 x 5 33 1.33 3.11 Ta xét các trường hợp sau : y 1 x 19 y 33 x 3 x 33 y x y 36 * * y 11 x 4 y 3 x 8 * 2 x 3 y 14 * 2 x 11 y 6 Các cặp số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức trên Vậy các cặp số cần tìm là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4) a a 7a 5a a + + + + 12 có giá trị là b) Chứng minh với a N thì biểu thức A = 120 12 24 số tự nhiên Tóm tắt cách giải a a 7a 5a a a 10a 35a 10a 24a 120 Ta có A= 120 12 24 12 = Đặt M = a 10a 35a 10a 24a M = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) Với a N ta có: + Trong tích có ít số tự nhiên chẵn liên tiếp, nên M 8 + M là tích số tự nhiên liên tiếp, nên M 5 + M chứa tích số tự nhiên liên tiếp, nên M 3 Vì (3; 5; 8) = nên M 3.5.8 120 5 a a 7a 5a a Do đó 120 12 24 12 là số tự nhiên với a N Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 x x 14 Tóm tắt cách giải x 1 x x 14 ( )Điều kiện: x –1 (1) (x2 – 6x + ) + ( x + 1– x + 4) = ( x – 3)2 + ( x – 2)2 = ( x 3) 0 x 0 x 3 x 3 x 3 ( x 2) 0 x 0 x 2 x 4 x 3 (TM ĐK) Vậy phương trình có nghiệm là x = y = x2 z = xy 1 = + x y z b) Giải hệ phương trình: với x, y, z 0 (3) Tóm tắt cách giải y x (1) z xy (2) 1 (3) x y z Hệ phương trình: với x, y, z Thế (1) vào (2) ta có z = x (4) x2 x 1 2 x hay x x Thế (1) và (4) vào (3) ta có: x x 2 Vì x nên ta có x = x + x – x – = x (nhận) x 3 (nhận) (x + 2)(x – 3) = Với x = –2 y = 4; z = –8 Với x = y = 9; z = 27 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (–2 ; ; –8) và (3 ; ; 27) Bài 3: (4,0 điểm) 1- a) Cho a = Tính giá trị biểu thức: 16a - 51a Tóm tắt cách giải Ta có: 1 a 2a 1 2a 4a 4a 16a 16a 8a 16a 8a 24a 169 256a8 816a 169 16a8 51a 16 13 16a8 51a b) Cho a và b là các số thực dương Chứng minh rằng: a b a b 2a b 2b a Tóm tắt cách giải 2 1 1 a 0; b 0 2 2 Với a, b > 0, ta có: a a a b 0; b b 0 (a a b 0 Nhân vế ta có : a b Bài 4: (5,0 điểm) b ) 0 a, b > Mặt khác a b 2 ab a b a b a b 2a a ) (b b 2b a 1 2 ab a b (4) Trên đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm M (M khác A và B) Từ điểm C trên đoạn OB (C khác B) kẻ CN vuông góc với AM N Đường phân giác MAB cắt CN I và cắt đường tròn (O) P; đường thẳng MI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là Q a) Chứng minh ba điểm P; C; Q thẳng hàng b) Khi BC = AM, hãy chứng minh tia MI qua trung điểm đoạn AC Tóm tắt cách giải 1 a) Chứng minh P, C, Q thẳng hàng Ta có CI // BM ( cùng vuông góc AM) M I1 ( đồng vị ) (1) A M ( góc nội tiếp cùng chắn cung BQ) Từ (1) và (2) A3 I1 Tứ giác AICQ nội tiếp IQC A2 (góc nội tiếp cùng chắn cung IC) sd MP sd PB MQP A2 2 Lại có : Từ (3) và (4) IQC MQP (2) (3) (4) Ta có tia QC và QP nằm 1/2 mặt phẳng bờ QM có MQP IQC nên tia QC và QP trùng Do đó Q; C; P thẳng hàng b) Chứng minh MI qua trung điểm AC Gọi E là giao điểm MQ và AB Ta có IC // BM ( cùng vuông góc AM) EC EI BC MI (5) EI AE MAB Mặt khác AI là phân giác nên IM AM (6) EC AE BC AM EC AE BC AM gt Từ (5) và (6) Vậy MI qua trung điểm AC (5) Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Trên các đoạn AH, AB, AC lấy các điểm D, E, F cho EDC = FDB = 90 (với E khác B) Chứng minh EF // BC Tóm tắt cách giải A P E M B D Q F H C Kéo dài DE và DF cắt đường thẳng BC M và N Tam giác MDC vuông D, đường cao DH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông HD2 = HM HC (1) Tam giác BDN vuông D, đường cao DH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông HD2 = HB HN (2) HB HC HB HC HM HN BM CN (3) Từ (1) và (2) HM.HC = HB.HN Qua D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC P và Q Áp dụng định lí Ta-lét ta có: PD ED PD AD BM EM ; PD // BH BH AH Vì PD // BM PD PD ED AD BH ED AH : : BM BH EM AH BM EM AD (4) Do đó CH FD AH Tương tự ta có CN FN AD (5) ED FD EM FN Từ (3) (4) và (5) Theo định lí Ta-lét đảo, suy EF // BC N Ghi chú : + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận thống biểu điểm chi tiết cho các tình làm bài học sinh + Bài Hình học, không có hình vẽ học sinh thực các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa phần đó Vẽ hình sai (về mặt chất) lời giải đúng thì không cho điểm + Điểm câu và toàn bài không làm tròn số (6) (7)