hsg lớp 7(2021-2022

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 2022 Môn thi Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài (4,0 điểm) Chứng tỏ rằng: E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x  y  z  xyz Bài (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức A  400 15.412.97  4.315.88 19.224.314  6.412.275 Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn 186 mét Giá tiền mét vải ba cuộn Sau bán ngày, cửa hàng lại nhất, cuộn vải thứ 3 cuộn vải thứ hai, cuộn vải thứ ba Số tiền bán ba cuộn vải tỉ lệ với 2:3:2 Tính xem ngày cửa hàng bán mét vải cuộn vải? Bài (4,0 điểm) Tìm GTNN biểu thức E  y  2022  14 y  2022  14 a  2022b  c b  2022c  a c  2022a  b   c a b a b  c Tính P   2022    2022   2022   b  c  a  Cho a, b, c  a  b  c  Bài (7,0 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N, gọi I giao điểm BC MN Chứng minh rằng: a DM = EN b I trung điểm MN c Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Cho tam giác ABC vuông A, C 15 Trên tia BA lấy điểm O cho BO Chứng minh tam giác OBC cân Bài (1,0 điểm) Cho a; b; c; d > Chứng minh rằng:  a b c d    2 a bc bc d c d a d a b HẾT AC Họ tên thí sinh: SBD Chữ kí giám thị: PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (4,0 điểm) Chứng tỏ rằng: E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x  y  z  xyz 400 1.Ta có : 400 = + + 72 + 73 nên : E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343 ) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.400 (1+74 + 78 + …+74n-4)  400 => E  400 Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử  x  y  z x yz xyz 1 1 1 1= + +  + + = x x x x yz yx zx => x  => x = Theo suy  Thay vào đầu ta có  y  z  yz => y – yz + + z = => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Vì vai trị x, y, z nên cặp số nguyên (x,y,z) thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) (2,1,3); (2,3,1); (3,2,1); (3,1,2) Bài (4,0 điểm) 15.412.97  4.315.88 Tính giá trị biểu thức A  19.224.314  6.412.275 Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn 186 mét Giá tiền mét vải ba cuộn Sau bán ngày, cửa hàng lại cuộn vải thứ nhất, cuộn vải thứ hai, cuộn vải thứ ba Số tiền bán ba cuộn vải tỉ lệ với 2:3:2 Tính xem ngày cửa hàng bán mét vải cuộn vải? 1.Ta có: A     15.412.97  4.315.88 19.224.314  6.412.275 5.224.315  226.315 19.224.314  225.316 224.315   22  224.324 19  2.32  3 Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba a,b,c Sau ngày cửa hàng bán số vải cuộn là: 3 3 Cuộn thứ nhất: a  a  a(m) ;Cuộn thứ hai: b  b  b(m) ; Cuộn thứ ba : c  c  c(m) Do giá tiền mét vải cuộn nên số mét vải bán cuộn tỉ lệ với số tiền bán được, mà số tiền bán cuộn lại tỉ lệ với 2:3:2 Vậy số mét vải bán cuộn tỉ lệ với 2:3:2, 2 a b c a 2b 2c a b c a bc 186 3 Ta có:            12 10 4,5  4,5  15,5 1  a  24 a  72   2  b  54   b  36 c  60   2  c  24  Vậy ngày hơm cửa hàng bán 24 mét vải cuộn thứ nhất; 36 mét vải cuộn thứ hai; 24 mét vải cuộn thứ ba Bài (4,0 điểm) Tìm GTNN biểu thức E  y  2022  14 y  2022  14 a  2022b  c b  2022c  a c  2022a  b   Cho a, b, c  a  b  c  c a b a b  c Tính P   2022    2022   2022   b  c  a  y  2022  42  28 28  3 Ta có: E  y  2022  14 y  2022  14 Mà y  2022  14  14, với y thuộc R  28 28   2 y  2022  14 14  E    2   Suy GTNN E y  2022  hay y  2022 Vậy GTNN E y  2022 a  2022b  c  a  2022b  c    Nếu a  b  c   b  2022c  a   b  2022c  a c  2022a  b  c  2022a  b    P   Nếu : a  b  c  , Từ GT ta có :  a  2022b  c   b  2022c  a    c  2022a  b   2022  a  b  c   2022 GT  abc abc a  2022b  c  2022c a  2022b  2023c    GT  2022  b  2022c  a  2022a  b  2022c  2023a c  2022a  b  2022b c  2022a  2023b   => P  20233 Bài (7,0 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N, gọi I giao điểm BC MN Chứng minh rằng: a DM = EN b I trung điểm MN c Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Cho tam giác ABC vuông A, C 15 Trên tia BA lấy điểm O cho BO Chứng minh tam giác OBC cân a.Ta có ∆MDB = ∆NEC (g.c.g)  DM = EN (cặp cạnh tương ứng) b Ta có: ∆MDI vng D: DMI  MID  900 (tổng hai góc nhọn tam giác vng) ∆NEI vuông E: ENI  NIE  900 (tổng hai góc nhọn tam giác vng) AC Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI = ENI ∆MDI = ∆NEI (g.c.g)  IM = IN (cặp cạnh tương ứng) Vậy I trung điểm MN c Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền- cạnh góc vng)  HAB  HAC (cặp góc tương ứng) Gọi O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)  OBA  OCA (cặp góc tương ứng) (1)  OC = OB (cặp cạnh tương ứng) ∆OIM = ∆OIN (c.g.c)  OM = ON (cặp cạnh tương ứng) ∆OBM = ∆OCN (c.c.c)  OBM  OCN (cặp góc tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy OCA  OCN =900, OC  AC Vậy điểm O cố định B 75 Ta có: ABC; A 90 ; C 15 gt Vẽ tam giác BCM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) Ta có: OBM ABC MBC 75 60 15 Gọi H trung điểm OB Mặt khác BO HMB MB BC (cạnh HMB H Xét A 90 MBH HB OB OB từ ta có AC AC (cmt) HBM ACB AC (gt) nên AC Xét Do HO ABC có: BH BH 15 ; BMC) ABC (c.g.c) MH OB MOH có MHB MBH MOH BMO 180 2.15 MHO 90 , BH OBM BOM OBM BOM 150 suy OMC  1500 HO , MH chung 15 Ta có MB = MC, CMO BMO MOC c g c Do MOB Vậy OBC cân O Bài (1,0 điểm) Cho a; b; c; d > Chứng minh rằng:  150 , OM cạnh chung OB OC a b c d    2 a bc bc d c d a d a b Ta có a ad a 1  1 abc nên a  b  c  d a  b  c (do d > 0) Mặt khác: a a   2 abc abcd Từ (1) (2) ta có: a a ad    3 abcd abc abcd Tương tự ta có: b b ba    4 a bcd bc d a bc d c c cb    5 abcd cd a cd a b d d d c    6 d+a+b+c d  a  b a  b  c  d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế được: 1 a b c d    2 a bc bc d c d a d a b ... TẠO THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (4,0 điểm) Chứng