MỤC LỤC Trang 1 MỞ ĐẦU 2 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 1 5 Điểm mới của sáng kiến king nghiệm 2 2 NỘI DUNG 3 2 1 Cơ sở lí lu[.]
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .2 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 1.5 Điểm sáng kiến king nghiệm 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận .3 2.2 Thực trạng 2.3 Giải pháp .6 2.3.1 Một số toán điển hình 2.3.2 Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện 17 2.4 Hiệu 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .21 3.1 Kết luận .21 3.2 Kiến nghị 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nội dung cuối chương trình Giải tích lớp 12 phần có kiến thức vơ mẻ lạ lẫm với em học sinh: Số phức Mọi quan niệm quen thuộc trước em như: bình phương số ln khơng âm, có phương trình bậc hai vơ nghiệm, khơng cịn Hầu hết em học sinh cảm thấy lúng túng, thiếu tự tin Tuy nhiên, phương pháp “quy lạ quen” Tốn học ln giải pháp đơn giản hữu hiệu cho giáo viên học sinh tiếp cận vấn đề Nhờ có tương ứng 1-1 số phức với điểm mặt phẳng tọa độ , mà có nhiều tốn số phức giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều tốn số phức sáng tạo từ toán quen thuộc tọa độ phẳng Đó lí mà tơi lựa chọn đề tài: “ Bài toán số phức góc nhìn hình học ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng kiến này, củng cố lại kiến thức bản, nhận xét, lưu ý quan trọng, hữu ích; giới thiệu số tốn vận dụng, vận dụng cao số phức giải phương pháp hình học hệ thống tập tự luyện phong phú Các ví dụ nêu bật tầm quan trọng việc khai thác phương pháp dạng tốn từ hình học để giải toán số phức, giúp học sinh cảm thấy quen thuộc với số phức, từ có hướng phân tích tốn tư phù hợp để tìm lời giải cho tốn Mong muốn tơi giúp em học sinh phát triển tư toán: biết đưa lạ quen, biết sáng tạo, phát triển toán từ vấn đề quen thuộc; rèn kĩ giải tốn, có thêm phương pháp xử lí số câu hỏi số phức câu vận dụng, vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia Từ em thấy vẻ đẹp Tốn học, thêm tự tin u thích mơn học 1.3 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12 Thời gian thực hiện: tiết (tôi thực vào tiết ôn tập cuối năm) Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức số phức chương trình SGK mơn tốn lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp “quy lạ quen” nhờ có tương ứng 1-1 số phức với điểm mặt phẳng tọa độ , mà có nhiều toán số phức giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều toán số phức sáng tạo từ toán quen thuộc tọa độ phẳng 1.5 Điểm SKKN Trong SKKN từ ví dụ nêu bật tầm quan trọng việc khai thác phương pháp dạng tốn từ hình học để giải toán số phức, giúp học sinh cảm thấy quen thuộc với số phức, từ có hướng phân tích tốn tư phù hợp để tìm lời giải cho tốn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Trong đề tài sử dụng kiến thức sau vị ảo, + + + Các định nghĩa Một số phức biểu thức dạng gọi phần thực gọi phần ảo số phức với Tập hợp số phức kí hiệu : Chú ý: Khi phần ảo số thực Khi phần thực số ảo Số vừa số thực, vừa số ảo - Hai số phức nhau: Hai số phức , gọi đơn , gọi hai số phức - Số phức liên hợp Rõ ràng - với Môđun số phức Ta có với Các phép toán tập số phức - Tổng hai số phức: - Hiệu hai số phức: - Nhân hai số phức: - Chia số phức: - kí hiệu Cho hai số phức Ta có Biểu diễn hình học số phức ý quan trọng Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức với biểu diễn điểm Chú ý: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Nếu + Nếu điểm biểu diễn số phức thì: điểm biểu diễn cho số phức phẳng phức số phức mặt biểu diễn điểm Một số tập hợp điểm thường gặp Cho hai số phức - biểu diễn cho số phức thẳng - Cho số phức cho số phức + thỏa mãn đường trung trực đoạn biểu diễn cho trước) đường trịn tâm có hai điểm biểu diễn thỏa mãn Nếu thẳng thỏa mãn ; tập điểm có điểm biểu diễn , tập điểm - Cho hai số phức số phức có hai điểm biểu diễn bán kính số thực Xét tập điểm biểu diễn cho số phức đoạn tập điểm biểu diễn cho số phức + Nếu Elip có trục lớn ( với , tiêu điểm tiêu cự độ dài trục nhỏ ) Bất đẳng thức tam giác + dấu ‘’=’’ xẩy với + dấu ‘’=’’ xẩy với + dấu ‘’=’’ xẩy với + dấu ‘’=’’ xẩy với Lưu ý: Toàn phần kiến thức giáo viên cần dạy kĩ để em hiểu nắm thật vững chuyển sang toán điển hình 2.2 Thực trạng Trước thực đề tài, khảo sát chất lượng học sinh lớp 12A4 thông qua kiểm tra trắc nghiệm gồm câu, thời gian 20’ (mỗi câu điểm) Lúc này, em học xong ba đầu chương Số phức Đề sau Câu Cho hai số phức thỏa mãn Tính ? LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com B A C D Câu Cho ba điểm biểu diễn ba số phức Biết Mệnh đề đúng? A Tam giác B Tam giácvuông C Tam giác cân D Tam giác Câu Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn giá trị nhỏ là: A 10 B C D Câu Gọi tập hợp tất giá trị thực tham số để tồn số phức thỏa mãn A Câu Cho số phức B Tìm số phần tử C D A B cân thỏa mãn điều kiện giá trị lớn nhất, nhỏ với , gọi Tính C Đáp án ? D Câu Chọn A Cách giải: Trong mặt phẳng phức số phức , gọi Ta có: ( với Ta có tam giác trung điểm cạnh Câu Chọn B điểm biểu diễn gốc tọa độ ) cạnh ( với ) Do Cách giải: Ta có (với gốc tọa độ) đồng thời đối qua Lại có khơng trùng với xứng hay nên nằm đường đường kính Do tam giác trịn vng Câu Chọn D Cách giải: Gọi , từ giả thiết suy điểm biểu diễn cho số phức chạy Elip có trục lớn Câu Chọn A Cách giải: Do tròn tâm , trục bé Vậy nên điểm biểu diễn số phức nằm đường , bán kính LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do ,dễ thấy không thỏa mãn nên Đồng thời, điểm biểu diễn số phức nằm đường trịn tâm , bán kính Vậy để tồn số phức hai đường trịn tiếp xúc với Kết hợp với , ta Câu Chọn A Cách giải: Gọi điểm biểu diễn cho số phức theo ta có Ta có hình chiếu , lên nằm đoạn , điểm chạy đoạn thẳng , , nên Kết sau Điểm Số học sinh 23 Chất lượng làm học sinh thấp, kĩ giải tốn phần cịn yếu, đa phần em làm theo cách đại số thông thường nên thời gian, hết 2, câu Chưa kể số em khoanh “bừa”, u cầu giải thích lại khơng làm 2.3 Giải pháp 2.3.1 Một số tốn điển hình Bài tốn 1 Bài tốn hình học gốc Cho đường thẳng điểm A cố định, ( hình chiếu vng góc lên chạy ) , 6 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đoạn Cho đoạn thẳng điểm không nằm , điểm thay đổi , đó: TH1: Nếu hình chiếu lên nằm đoạn ; TH2: Nếu hình chiếu lên nằm ngồi đoạn ; A P A H Q P Q TH1 cho trước Khi đó: Cho điểm TH2 cố định điểm chuyển động đường tròn tâm , bán kính A M1 A M2 I IAR Từ ta có số tốn sau: Bài toán 1.1 Cho số phức A thỏa mãn , tìm B C Hướng dẫn giải D Chọn B , điểm biểu diễn cho số phức chạy Giả sử đường thẳng ( đường trung trực đoạn thẳng với LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ) Giả sử đoạn , tốn trở thành tìm giá trị nhỏ Ta có: Bài tốn 1.2 Cho số phức thỏa mãn điều kiện , gọi giá trị lớn nhất, nhỏ A Gọi B C Hướng dẫn giải , Ta có hình chiếu suy , theo chạy đoạn thẳng Mặt khác: ? D điểm biểu diễn cho số phức , ta có đoạn Tính lên nằm ngồi , Từđó Bài tốn 1.3 Cho số phức phức A thỏa mãn Tìm mơđun lớn số B C Hướng dẫn giải Chọn A điểm biểu diễn cho số phức , ; toán trở thành tìm giá trị lớn , chạy đường trịn tâm , bán kính Ta có , điểm nằm ngồi đường trịn ( ) nên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai số phức biểu diễn , số phức có điểm biểu diễn thỏa mãn Giá trị lớn của với A Biết Tính ? B C Hướng dẫn giải Chọn B y P N1 M1 N 120 M x O Gọi Gọi điểm biểu diễn số phức điểm biểu diễn số phức , suy giác , suy ; ta có ; +) Tìm giá trị lớn Đặt thuộc đường trịn tâm bán kính biểu diễn số phức Khi đường trịn l Dùng định lí cosin ta ta tính Ta có Gọi điểm Gọi hình bình hành định lí cosin tam giác điểm biểu diễn , suy Suy tứ giác Do từ giả thiết , tốn trở thành tìm Dễ thấy biết điểm Gọi ta thu tốn quen thuộc với học sinh : Tìm cho nhỏ Do điểm đối xứng với qua Từ thu nằm phía so với , ta gọi (-1 ;-2) Bài toán 2.2 Cho số phức hay thỏa mãn biểu thức đạt giá trị lớn nhỏ Khi : A C B D Hướng dẫn giải Chọn D Xét mặt phẳng phức, theo giả thiết điểm biểu diễn số phức mặt phẳng phức chạy đường trung trực đoạn thẳng hay chạy đường thẳng có phương với trình Gọi tốn trở thành tìm Ta có : suy Do giao của đạt max hay trung trực nằm phía so với Từ suy , khi giao 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trung trực có phương trình có phương trình , , nên nên Suy Bài toán 2.3 Cho số phức A thỏa mãn đạt giá trị nhỏ Khi C Hướng dẫn giải B Chọn B Xét mặt phẳng phức, theo giả thiết mặt phẳng phức Gọi nên nằm Ta có D nên có tâm nằm ngồi bán kính Bài tốn trở thành tìm nên điểm biểu diễn số phức chạy đường tròn , tìm z để đạt giao điểm đoạn thẳng Phương trình tìm hai giao điểm , phương trình thuộc đoạn , từ ta nên Vậy 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 2.4 Xét hai số phức thỏa mãn lớn A Giá trị B C Hướng dẫn giải D Chọn B y Q3 O x M N P R Gọi M điểm biểu diễn cho số phức phức Gọi N điểm biểu diễn cho số , N thuộc đường trịn tâm O bán kính Suy điểm biểu diễn cho Gọi P điểm biểu diễn cho số phức , P thuộc đường trịn tâm O bán kính Gọi Q điểm biểu diễn cho số phức Dựng hình bình hành phức , M thuộc đường trịn tâm O bán kính ta có , R điểm biểu diễn cho số Ta có: 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy T đạt giá trị lớn T đạt giá trị lớn QR lớn Bài tốn Bài tốn hình học gốc Cho hai đường trịn , : hai đường trịn tiếp xúc nhau, chúng có điểm chung hai đường trịn có hai điểm chung phân biệt hai đường trịn ngồi Giả sử hai điểm chuyển động Khi : Bài toán 3.1 Gọi phức và tập hợp tất số nguyên dương đồng thời thỏa mãn A B để tồn hai số , tính số phần tử C Hướng dẫn giải D Chọn A Gọi điểm biểu diễn cho số phức , ; theo ta có : suy giao điểm hai đường trịn Do để có hai số phức thỏa mãn hai đường trịn phải cắt hai điểm Từ suy nguyên dương Vậy có giá trị 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn 3.2 Có số phứcthỏa ? B C Hướng dẫn giải A Chọn B Do nên điểm tâm , bán kính biểu diễn số phức mãn D Vơ số chạy đường trịn Lại có nên điểm biểu diễn số phức chạy đường tròn tâm , bán kính Dễ thấy nên hai đường trịn tiếp xúc với hay có số phức thỏa mãn Bài toán 3.3 Gọi tập hợp tất số thực cho có số phức đồng thời thỏa mãn phần tử A B số ảo Tính tổng tất D C Hướng dẫn giải Chọn B Từ giả thiết ta có Gọi điểm biểu diễn cho số phức số ảo nên Vậy điểm chung đường trịn tâm bán kính trịn tâm bán kính bỏ điểm TH1 : Hai đường trịn có hai điểm chung điểm Khi ta phải có đường : hai đường trịn có điểm chung (loại) hai đường trịn có điểm chung (loại) TH2 : Hai đường trịn có điểm chung khác Khi ta có suy thỏa mãn 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 3.4 Cho số phức thỏa mãn , số phức Tìm giá trị nhỏ A B thỏa mãn C Hướng dẫn giải D Chọn B Gọi biểu diễn số phức có tâm , bán kính thuộc Ta có nên gọi biểu thuộc đường trịn có tâm Giá trị nhỏ giá trị nhỏ c Ta có Bài tốn 3.5 Cho hai số phức ; Tìm giá trị lớn biểu thức A thỏa mãn B C Hướng dẫn giải D Chọn A M N I1 I2 Ta có Suy điểm biểu diễn số phức có bán kính nằm đường trịn có tâm 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác, điểm nên điểm biểu diễn số phức nằm đường tròn có tâm Ta thấy lớn và có bán kính là lớn nhất, mà hai đường trịn ngồi Vậy giá trị lớn Bài toán 3.6 Xét số phức , A thỏa mãn Giá trị lớn B C Hướng dẫn giải D Chọn C Đặt v suy vào Gọi hai điểm biểu diễn cho hai số phức thuộc đường tròn tâm thuộc đường tròn tâm Vậy Bài toán 3.7 Gọi tập tất số thực dương mãn hệ A để có số phức thỏa Tính tổng bình phương phần tử B C D Hướng dẫn giải 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... số phức - Số phức liên hợp Rõ ràng - với Mơđun số phức Ta có với Các phép toán tập số phức - Tổng hai số phức: - Hiệu hai số phức: - Nhân hai số phức: - Chia số phức: - kí hiệu Cho hai số. .. biểu diễn số phức thì: điểm biểu diễn cho số phức phẳng phức số phức mặt biểu diễn điểm Một số tập hợp điểm thường gặp Cho hai số phức - biểu diễn cho số phức thẳng - Cho số phức cho số phức ... Một số phức biểu thức dạng gọi phần thực gọi phần ảo số phức với Tập hợp số phức kí hiệu : Chú ý: Khi phần ảo số thực Khi phần thực số ảo Số vừa số thực, vừa số ảo - Hai số phức nhau: Hai số phức