(SKKN HAY NHẤT) chuyên đề số phức

Nguyễn Văn Xá CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC (Đang chỉnh sửa) BẮC NINH - 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3007 5/28-15 2015 Mã số: 11391-2-TSCBDMCC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Xét tập số thực R phương trình bậc có nghiệm, phương trình bậc hai có biệt thức ∆ ≥ có hai nghiệm (phân biệt trùng nhau), có phương trình bậc hai đơn giản, chẳng hạn x2 + = 0, lại vô nghiệm Năm 1545 nhà toán học G.Cardano (1501-1576) người Italia giải √ vấn đề nghiệm phương trình x2 + = cách đưa vào kí hiệu −1 √ để biểu diễn nghiệm phương trình này, dĩ nhiên −1 ∈ / R Tiếp theo đó, ơng √ 2 kí hiệu nghiệm phương trình x = −b (b ∈ R\ {0}) b −1 nghiệm √ phương trình (x − a)2 = −b2 (a ∈ R, b ∈ R\ {0}) a + b −1 Cardano gọi √ a + b −1 (a, b ∈ R) đại lượng ảo, để thể đại lượng khơng có thực, đại lượng giả tưởng Năm 1572, cơng trình có tên Bologne (Đại số), nhà toán học Italia R.Bombelli (1526-1573) định nghĩa phép toán số học đại lượng ảo Ông xem người sáng tạo nên lí thuyết số ảo, người thấy lợi ích việc đem số ảo vào tốn học cơng cụ hữu ích Nhà toán học Pháp D’Alembert (1717-1783) vào năm 1746 đưa dạng tổng quát số phức, đồng thời chấp nhận nguyên lí tồn n nghiệm phương trình đa thức bậc n Nhà tốn học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đề xuất kí hiệu "i" để bậc hai −1 gọi đơn vị ảo (imaginary unit number), đến năm 1801 nhà toán học Đức C.F.Gauss (1777-1855) dùng lại kí hiệu người sử dụng √ thuật ngữ số phức để đại lượng ảo Tuy nhiên kí hiệu i = −1 gây nhiều tranh cãi nghi ngờ giới toán học Nhà bác học I.Newton (1643-1727) người Anh người không thừa nhận số ảo Đẳng thức đáng ngờ i2 = −1 phá vỡ quan hệ thứ tự quen thuộc R Người có công lao biến số phức từ số giả tưởng với tính chất bí hiểm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu i2 = −1 thành số có thật nhà bác học Ireland W.R.Hamilton (1805-1865) Năm 1837, Hamilton xây dựng lí thuyết số phức cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề để từ số phức trở thành số quen thuộc với người làm toán số truyền thống Càng ngày người ta thấy số phức có vai trị vơ quan trọng tốn học khoa học - kĩ thuật Nhiều nhà toán học tiếng Euler, Gauss, G.F.B.Riemann (1826-1866), A.L.Cauchy (1789-1857), K.T.W Weierstrass (1815-1897) nhiều nhà toán học khác kỉ XX có đóng góp to lớn cho phát triển lí thuyết số phức giải tích phức Giải tích phức, đặc biệt lí thuyết ánh xạ bảo giác, có nhiều ứng dụng khí Nó sử dụng lí thuyết số giải tích Ngày giải tích phức nghiên cứu nhiều với ứng dụng động lực phức fractal Ứng dụng quan trọng khác giải tích phức lí thuyết dây Ở Việt Nam, nhiều nhà khoa học có đóng góp quan trọng nghiên cứu giảng dạy giải tích phức Đối với chương trình tốn học phổ thơng, số phức đưa vào cuối lớp 12 Số phức khái niệm mới, việc làm quen, sử dụng ứng dụng số phức vào giải tốn học sinh cịn gặp nhiều khó khăn Tài liệu nhỏ trình bày số dạng toán thường gặp số phức bậc THPT, góp phần giúp giáo viên có nhìn tồn diện sâu sắc chủ đề số phức chương trình tốn phổ thơng, chọn lựa phương án tốt cho giảng mình, giúp học sinh làm quen với số phức, rèn kĩ giải toán số phức ứng dụng số phức giải số toán sơ cấp đơn giản, phát triển tư logic cho học sinh, đồng thời nâng cao chất lượng học tập học sinh, tạo hứng thú học tập mơn tốn, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo học sinh, góp phần đổi phương pháp nâng cao chất lượng dạy - học mơn tốn nói chung chủ đề số phức nói riêng Bắc Ninh, tháng năm 2015 Nguyễn Văn Xá LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Những kí hiệu Trong tài liệu ta dùng kí hiệu với ý nghĩa xác định sau: N N∗ Z Q R C k Cm tập hợp số tự nhiên tập hợp số tự nhiên khác (các số nguyên dương) tập hợp số nguyên tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực tập hợp số phức số tổ hợp chập k m phần tử LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Mở đầu Những kí hiệu Mục lục Chương Sơ lược Số phức 1.1 Khái niệm số phức 1.2 Một số phép toán C 1.3 Phương trình bậc hai tập số phức 11 1.4 Dạng lượng giác số phức 12 Chương Một số dạng toán Số phức 13 2.1 Các phép toán tập số phức 13 2.2 Biểu diễn hình học số phức 18 2.3 Giải phương trình tập số phức 21 2.4 Dạng lượng giác số phức 23 Tài liệu tham khảo 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Sơ lược Số phức 1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 Khái niệm số phức Một số phép toán C Phương trình bậc hai tập Dạng lượng giác số phức số phức 11 12 Khái niệm số phức Một số phức biểu thức dạng z = a + bi, a b số thực số i thỏa mãn i2 = −1, i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức Cách viết z = a + bi gọi dạng đại số số phức Tập hợp số phức kí hiệu C Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo 0, z = a + 0.i ∈ C Do đó, xem R tập C Số phức có phần thực gọi số ảo (số ảo) Đơn vị ảo i số ảo, số = + 0i vừa số thực vừa số ảo Hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R) , z = a + b i (a , b ∈ R) gọi nhau, viết z = z , a = a , b = b Với a, b ∈ R, số phức z = a + bi tương ứng với điểm M (a; b) mặt tọa độ Oxy Ta gọi M (a; b) biểu diễn hình học số phức z = a + bi Những số thực có biểu diễn hình học điểm thuộc trục Ox, số ảo có biểu diễn hình học điểm thuộc trục Oy Vì trục Ox gọi trục LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sơ lược Số phức thực, trục Oy gọi trục ảo Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức −−→ Ta để ý mặt phẳng Oxy M (a; b) OM = (a; b) Giả sử điểm M, N biểu diễn hình học số phức z z z = z −−→ −−→ OM = ON Giả sử số phức z = a + bi (a, b ∈ R) có biểu diễn hình học điểm M (a; b) mặt phẳng Oxy M1 (a; −b), M2 (−a; −b) điểm đối xứng với M qua trục hoành qua gốc tọa độ Gọi z1 , z2 số phức có biểu diễn hình học M1 , M2 tương ứng Ta gọi z1 số phức liên hợp z, kí hiệu z¯, gọi z2 số đối số phức z, kí hiệu −z Như (a + bi) = a − bi − (a + bi) = (−a) + (−b)i, với a, b ∈ R Ta dễ dàng kiểm tra z¯ = z −(−z) = z −−→ Độ dài vectơ OM = (a; b) gọi môđun số phức √ z = a + bi (a, b ∈ R), kí hiệu |z| Như |a + bi| = a2 + b2 (a, b ∈ R) Với z ∈ C ta có |z| = |¯ z | = |−z| ≥ 0, đẳng thức xảy z = 1.2 Một số phép toán C 1.2.1 Phép cộng a) Tổng hai số phức Tổng hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R) , z = a + b i (a , b ∈ R) số phức z + z = (a + a ) + (b + b )i Nếu hai số phức z, z có biểu diễn hình học điểm M, N mặt phẳng −−→ −−→ −→ Oxy, điểm T biểu diễn hình học số phức z +z OM + ON = OT Phép tốn tìm tổng hai số phức gọi phép cộng số phức b) Tính chất phép cộng số phức Phép cộng số phức có tính chất sau đây, tương tự phép cộng số thực • Tính chất kết hợp (z + z ) + z = z + (z + z ) , ∀z, z , z ∈ C Nhờ đó, ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Một số phép toán C thể viết z + z + z để tổng (z + z ) + z • Tính chất giao hốn z + z = z + z, ∀z ∈ C • Cộng với (phần tử trung hòa phép cộng) z + = + z = z, ∀z ∈ C • Với z ∈ C, số đối −z tồn nhất, z + (−z) = • |z + z | ≤ |z| + |z | , ∀z, z ∈ C • z + z = z¯ + z , ∀z, z ∈ C 1.2.2 Phép trừ a) Hiệu hai số phức Hiệu hai số phức z z tổng z với −z , tức z − z = z + (−z ) Nếu z = a + bi (a, b ∈ R) , z = a + b i (a , b ∈ R) z − z = (a − a ) + (b − b )i Nếu hai số phức z, z có biểu diễn hình học điểm M, N mặt phẳng −−→ −−→ −−→ Oxy, điểm H biểu diễn hình học số phức z−z OM − ON = OH Phép tốn tìm hiệu hai số phức gọi phép trừ số phức b) Tính chất phép trừ số phức Phép trừ số phức có tính chất sau đây, tương tự phép trừ số thực • z − (z + z ) = (z − z ) − z , ∀z, z , z ∈ C • z − (z − z ) = (z − z ) + z , ∀z, z , z ∈ C • z − = z, − z = −z, z − z = 0, ∀z ∈ C • z − z = z¯ − z , ∀z, z ∈ C LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 Sơ lược Số phức • |z − z | ≤ |z| + |z | , ∀z, z ∈ C 1.2.3 Phép nhân a) Tích hai số phức Tích hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R) , z = a + b i (a , b ∈ R) số phức zz = (aa − bb ) + (ab + a b)i Phép tốn tìm tích hai số phức gọi phép nhân số phức b) Tính chất phép nhân số phức • Tính chất giao hoán zz = z z, ∀z, z ∈ C • Tính chất kết hợp z (z z ) = (zz ) z , ∀z, z , z ∈ C Để tích (zz ) z ta viết zz z Với n số nguyên dương, với số phức z, để tích z.z z (có n số phức z nhân với nhau) ta viết z n • Nhân với (phần tử đơn vị phép nhân) z.1 = 1.z = z, ∀z ∈ C • Tính chất phân phối z (u + v) = zu + zv, z (u − v) = zu − zv, ∀z, u, v ∈ C • zz = z¯.z , ∀z, z ∈ C Do z n = z¯n , ∀z ∈ C, ∀n ∈ N∗ • |z|2 = z.¯ z , ∀z ∈ C • |zz | = |z| |z | , ∀z, z ∈ C Do |z n | = |z|n , ∀z ∈ C, ∀n ∈ N∗ • i4n = 1, i4n−3 = i, i4n−2 = −1, i4n−1 = −i, ∀n ∈ N∗ 1.2.4 Phép chia cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = z |z | LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Sơ lược Số phức 1.4 Dạng lượng giác số phức 1.4.1 Định nghĩa acgument số phức khác Cho số phức z = Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgument z 1.4.2 Dạng lượng giác số phức Xét số phức z = a + bi (a, b ∈ R) có mơđun |z| = r > ϕ acgumen Lúc z viết dạng z = r(cosϕ + i sin ϕ) Ta gọi dạng z = r(cosϕ + i sin ϕ) dạng lượng giác số phức z = 1.4.3 Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cosϕ + i sin ϕ), z = r (cosϕ + i sin ϕ )(r ≥ 0, r ≥ 0) zz = rr cos ϕ + ϕ + i sin(ϕ + ϕ )] r z = cos ϕ − ϕ + i sin ϕ − ϕ z r (khi r > 0) 1.4.4 Công thức Moa-vrơ a) Công thức Moa-vrơ Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n, [r(cosϕ + i sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) , r = ta có (cosϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moa-vrơ dễ thấy số phức z = r(cosϕ + i sin ϕ) (trong r > 0) có √ ϕ ϕ hai bậc hai + − r cos +i sin LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số dạng toán Số phức 2.1 2.2 2.3 2.4 Các phép toán tập số phức Biểu diễn hình học số phức Giải phương trình tập số phức Dạng lượng giác số phức 13 18 21 23 Chương này, đề xuất phương án phân chia số dạng toán liên quan tới số phức, ứng dụng số phức 2.1 Các phép toán tập số phức Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia hai số phức thực số z thực, lưu ý thêm i2 = −1, để tính thương ta nhân tử mẫu với số phức z liên hợp z¯ = a − bi z = a + bi Ví dụ a) Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức √ √ z = (1 + i 3) + ( − i) b) Tìm bậc hai số phức z = 21 − 20i Hướng dẫn a) Ta có √ √ √ √ √ z = + 3i − + 2 − 6i − + i = − − + i(2 − 5) √ √ Vậy phần thực z − − 2, phần ảo − môđun |z| = √ − 2−2 √ + 3−5 = √ √ 43 + − 20 b) Giả sử w = a + bi (a, b ∈ R) bậc hai z Ta có w2 = z hay (a + bi)2 = 21 − 20i ⇔ (a2 − b2 ) + i.2ab = 21 − 20i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 14 Một số dạng toán Số phức a2 − b2 = 21 ⇔ 2ab = −20 ⇔ a4 − 21a2 − 100 = ab = −10 ⇔ a = 5, b = −2 a = −5, b = Vậy có hai bậc z w1 = − 2i, w2 = −5 + 2i Ví dụ a) Cho n số nguyên dương Chứng minh 4n−2 4n + C4n − C4n + − C4n + C4n = (−4)n , C4n − C4n 4n−3 4n−1 C4n − C4n + C4n − C4n + + C4n − C4n = 15 18 b) Tính tổng S = C 020 +3C 320 +6C 620 + +3kC 3k 20 + +15C 20 +18C 20 Hướng dẫn a) Để ý với k số tự nhiên thì: + ik = k chia hết cho 4; + ik = i k chia cho dư 1; + ik = −1 k chia cho dư 2; + ik = −i k chia cho dư 2n Ta có (1 + i)4n = (1 + i)2 = (2i)2n = (−4)n 2 3 4 (1 + i)4n = C4n + C4n i + C4n i + C4n i + C4n i + 4n 4n + C4n i 4n−2 4n 10 + = C4n + C4n + C4n + + C4n − C4n + C4n + C4n + + C4n 4n−1 4n−3 11 − i C4n + C4n + C4n + + C4n + i C4n + C4n + C4n + + C4n 2n 2n−1 k = (−1) 2k C4n k=0 2k+1 (−1)k C4n + i k=0 So sánh phần thực phần ảo số phức (1 + i)4n theo hai cách tính đó, suy 2n k=0 2k = (−4)n , (−1)k C4n 2n−1 k=0 2k+1 (−1)k C4n = hay 4n−2 4n C4n − C4n + C4n − C4n + − C4n + C4n = (−4)n , 4n−3 4n−1 C4n − C4n + C4n − C4n + + C4n − C4n = b) Xét phương trình x3 − = có nghiệm √ √ 3 i, x3 = − − i x1 = 1, x2 = − + 2 2 √ √ 3 Các nghiệm bậc Đăt ε = − − i⇒ε =− + i 2 2 có tính chất sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 15 2.1 Các phép toán tập số phức (i) ε + ε2 = −1, ε3 = 1; (ii) ε3k = 1, ε3k+1 = ε, ε3k+2 = ε2 với k ∈ Z Trở lại tốn, theo cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 18 19 20 (1 + x)20 = C20 + xC20 + x2 C20 + x3 C20 + + x18 C20 + x19 C20 + x20 C20 Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức 18 19 20 20(1 + x)19 = C20 + 2xC20 + 3x2 C20 + + 18x17 C20 + 19x18 C20 + 20x19 C20 sau nhân hai vế đẳng thức thu với x 18 19 20 + 3x3 C20 + + 18x18 C20 + 19x19 C20 + 20x20 C20 20x(1 + x)19 = xC20 + 2x2 C20 Từ cho x = 1, x = ε, x = ε2 ta 18 19 20 20.219 = C20 + 2C20 + 3C20 + 4C20 + + 18C20 + 19C20 + 20C20 (1), 18 19 20 20ε(1 + ε)19 = εC20 + 2ε2 C20 + 3C20 + 4εC20 + 18C20 + 19εC20 + 20ε2 C20 (2), 19 20ε2 (1 + ε2 ) 18 19 20 = ε2 C20 + 2εC20 + 3C20 + 4ε2 C20 + 18C20 + 19ε2 C20 + 20εC20 (3) Cộng (1), (2) (3), vế theo vế, ta có 20 219 + ε(1 + ε)19 + ε2 (1 + ε2 ) Mặt khác ε(1 + ε)19 = ε −ε2 ε2 + ε2 19 19 19 = 3S−C20 = −ε39 = −1, = ε2 (−ε)19 = −ε21 = −1 Vậy 3S = + 20(219 − 2) = 10.220 − 39 nên S = 10.220 − 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 Một số dạng toán Số phức BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Tìm phần thực, phần ảo, mơđun số phức liên hợp số phức z, biết (21 − 7i)(4 + 3i) a) z = + 5i (2 − 3i).5i b) z = + 3i √ √ c) − z = (i + 2) (1 − i 2) d) (1 + i)z + (3 − i)¯ z = − 6i e) (1 − i)z − + 5i = f) (3 + i)¯ z = 13 − 9i Bài 1) Cho z1 = + 2i, z2 = − 3i Tìm phần thực phần ảo số phức z1 − 2z2 2) Cho z1 = + 5i, z2 = − 4i Tìm phần thực phần ảo số phức z1 z2 √ (1 − i 3) 3) Cho z = Tìm môđun số phức z + iz 1−i 4) Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + 2z + 10 = Tính |z1 |2 + |z2 |2 √ 5) Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình z −2 3iz−4 = Tính z12016 +z22016 6) Giả sử z1 , z2 hai số phức thỏa mãn |6z − i| = |2 + 3iz| |z1 − z2 | = Tính |z1 + z2 | 7) Cho số phức z thỏa mãn z − 6z + 13 = Tính z + z+i √ − 3i 8) Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm |z + iz| 1−i 9) Tính mơđun số phức z biết (2z − 1) (1 + i) + (z + 1) (1 − i) = − 2i 10) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện  √  |z1 − 2i| = |iz1 + 1|   √ |z2 − 2i| = |iz2 + 1|    |z1 − z2 | = Tính P = |z1 + z2 | 11) Trong số phứcz thỏa mãn điều kiện (1 + i) z + = tìm số phức có 1−i mơđun nhỏ nhất, lớn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 17 2.1 Các phép toán tập số phức 12) Tìm giá trị nhỏ |z| biết u = (z + − i) (¯ z + + 3i) số thực √ z+2−i 13) Biết số phức z thỏa mãn = Tìm giá trị nhỏ lớn z+1−i |z| 14) Cho ba số phức z1 , z2 , z3 có mơđun Chứng minh |z1 + z2 + z3 | = |z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 | 15) Chứng minh số phức z thỏa mãn z + ≤ ≤ z + z z 16) Cho số phức z Chứng minh hai bất đẳng thức sau xảy |z + 1| ≥ √ (1); + z ≥ (2) 17) Chứng minh với số nguyên dương n ta có √ π cos n √ n π b) Cn − Cn + Cn − Cn + Cn + = sin n √ n−1 π c)Cn − 3Cn + 5Cn − 7Cn + = n cos (n − 1) √ n−3 π d)Cn0 − 2Cn2 + 4Cn4 − 6Cn6 + = n sin (n − 1) n nπ e)1 + Cn + Cn + = + cos 3 25(224 − 1) 23 f )2C225 + 5C525 + 8C825 + + 20C20 + 23C = 25 25 a) Cn0 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + Cn8 + = n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 18 Một số dạng toán Số phức 2.2 Biểu diễn hình học số phức Ví dụ Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn a) |z − 1| = |z + i| b) |3z − z| = c) |z + 2| + |z − 2| = 10 Hướng dẫn Giả sử điểm biểu diễn số phức z = x + iy (x, y ∈ R) a) |z − 1| = |z + i| ⇔ |(x − 1) + yi| = |x + (1 − y)i| ⇔ x2 − 2x + + y = x2 + y − 2y + ⇔ y = x Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − 1| = |z + i| đường thẳng có phương trình y = x x2 y2 b) |3z − z| = ⇔ |2x + 4yi| = ⇔ 4x2 + 16y = 64 ⇔ + = Vậy tập 16 x2 y hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |3z − z| = elip (E) : + = 16 (x + 2)2 + y + (x − 2)2 + y = 10 c) |z + 2| + |z − 2| = 10 ⇔ ⇔ M F1 + M F2 = 10, F1 (−2; 0), F2 (2; 0) Như tập hợp điểm M elip (E) có hai tiêu điểm F1 (−2; 0), F2 (2; 0) trục lớn 10 x2 y2 Phương trình tắc (E) : + = 25 21 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn |z − + i| ≤ √ a) Chứng minh |2z − + i| ≤ √ b) Tìm số phức z có mơđun lớn Hướng dẫn a) Gọi z = x + iy (x, y ∈ R) M (x; y) điểm biểu diễn z √ mặt phẳng Oxy, |z − + i| ≤ ⇔ (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ nên M thuộc √ hình trịn (H1 ) tâm I1 (1; −1), bán kính R1 = (kể biên) Xét hình √ trịn (H2 ) 1 tâm I2 ( ; − ), bán kính R2 = √ (kể biên) Nhận thấy I1 I2 = = R2 − R1 2 2 nên (H1 ) nằm bên (H2 ) Mà M thuộc (H1 ) nên M thuộc (H2 ), tức √ 2 (x − ) + (y + ) ≤ suy (2x − 1)2 + (2y + 1)2 ≤ 18 hay |2z − + i| ≤ 2 2 b) Rõ ràng |z| = OM, với O(0; 0) M (x; y) thuộc (H1 ) Gốc tọa độ O lại thuộc biên (H1 ) Do |z| = OM lớn M đối xứng với O qua I1 (1; −1), √ tức M (2; −2) Vậy, số phức z thỏa mãn |z − + i| ≤ số phức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 19 2.2 Biểu diễn hình học số phức √ z = − 2i có mơđun lớn (khi |z| = 2) Ví dụ Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số z−2 π phức z cho số có acgumen z+2 Hướng dẫn Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) ta có z−2 (x − 2) + yi [(x − 2) + yi] [(x + 2) − yi] = = z+2 (x + 2) + yi (x + 2)2 + y x2 − + y + yi (x + − x + 2) (x + 2)2 + y 4y x2 + y − + i = 2 (x − 2) + y (x − 2)2 + y = Vì π z−2 acgumen số phức nên z+2 4y π π x2 + y − + i = r cos + i sin 2 2 3 (x − 2) + y (x − 2) + y  r x + y2 −     (x − 2)2 + y = √ (r > 0) ⇔  4y r   =  (x − 2)2 + y √ 4y 2 2+ y− √ √ = = (2) ⇔ x x2 + y − 3 Từ (1) (2) ta có tập hợp điểm M phần đường trịn (2) nằm phía trục thực Ox (xem hình đây) Từ suy y > (1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 20 Một số dạng toán Số phức BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Tìm tập hợp điểm biểu diễn hình học số phức z thỏa mãn 1) |z − i + 3| = 2) |z| ≥ |2z + − i| 3) |z − i| = |(i + 1)z| |z + 2| = 4) |z − i| z + + 3i 5) số ảo z−i √ 6) z = + i w + |w − 1| ≤ z 7) = z−i z + − 3i 8) = z−4+i 9) |z| = |z − + 4i| 10) |z − i| + |z + i| = 11) |z − i| = |(1 + i) z| Bài Cho số phức z thỏa mãn |z − (3 − 4i)| = √ a) Chứng minh z − − i ≤ 21 b) Tìm giá trị lớn nhỏ |z| LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 2.3 Giải phương trình tập số phức 2.3 Giải phương trình tập số phức Phương pháp Sử dụng phép toán tập số phức, phép biến đổi tương đương, điều kiện để hai số phức Ví dụ Giải phương trình (1 + i)2 (2 − i)z = i + + (1 + 2i)z Hướng dẫn P T ⇔ (1 + 2i)z = + i ⇔ z = 8+i (8 + i)(1 − 2i) ⇔z= ⇔ + 2i (1 + 2i)(1 − 2i) z = − 3i Vậy z = − 3i Phương pháp Giả sử số phức z cần tìm có dạng đại số z = x + iy (x, y ∈ R), sau tìm x y Ví dụ Giải phương trình (2 − 3i)z + (4 + i)z = −(1 + 3i)2 Hướng dẫn Giả sử z = x + iy (x, y ∈ R) z¯ = x − iy Phương trình cho trở thành (2 − 3i)(x + iy) + (4 + i)(x − iy) = −(1 + 3i)2 ⇔ (6x + 4y − 8) + i(−2x − 2y + 6) = ⇔ 6x + 4y − = − 2x − 2y + = ⇔ x = −2 y=5 Vậy z = −2 + 5i Phương pháp Để giải phương trình dạng az + bz + c = (a = 0) ta tính ∆ = b2 − 4ac, gọi δ bậc hai ∆, phương trình có nghiệm −b ± δ z1,2 = 2a Ví dụ Giải phương trình z = + − 10i − (1 − 2i)z z−5 Hướng dẫn Điều kiện z = Ta biến đổi phương trình z − (5 + 2i)z + 10i = Khi ∆ = (−(5 + 2i))2 − 4.1.10i = 21 − 20i Một bậc hai + 2i + − 2i ∆ = 21 − 20i δ = − 2i (xem Ví dụ 1b) Dẫn tới z = = + 2i − + 2i z= = 2i Đối chiếu với điều kiện z = suy phương trình cho có nghiệm z = 2i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 22 Một số dạng toán Số phức BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Giải phương trình tập số phức √ 1) z + 2z + = 2) z = − 2.i 3) z + 3z − = 4) z + = 4z − − 7i 5) z − (1 + i)z + 3i + = 6) = z − 2i z−i 7) z + 2iz = −i 8) (z − i)2 + = Bài √ 1) Tìm số phức z thỏa mãn z.z = 25 |z − − i| = 10 √ 2) Tìm số phức z thỏa mãn |z| = z số ảo 5(z + i) 3) Cho số phức z thỏa mãn = − i Tìm phần thực phần ảo số z+1 phức (2 − z)2015 z − 2i 4) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện |z + − 2i| = |z + + 4i| z+i số ảo 5) Tìm tất số phức z biết z = |z|2 + z 6) Tìm số phức z biết z − (2 + 3i) z = − 9i √ √ 2+i − 2i 7) Tìm phần ảo số phức z biết z = √ 8) Tìm số phức z thỏa mãn |z| = z số ảo √ 5+i 9) Tìm số phức z biết z − − = z √ 1+i 10) Tìm phần thực phần ảo số phức z = 1+i √ − 3i 11) Tìm số phức z thỏa mãn |z − i| = |2 + z − z| có acgumen z 2π − √ 12) Tìm số phức z thỏa mãn |z − i| = (z − 1) (z + i) số thực 13) Tìm phần thực, phần ảo số phức sau + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + + (1 + i)20 Bài Giải phương trình tập số phức 1) z − (3 − i) z − (2 − i) z + 16 − 2i = 2) z − (2 − 3i) z + (1 − 2i) z + 9i = 3) z − z + 6z − 6z − 16 = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 23 2.4 Dạng lượng giác số phức 2.4 Dạng lượng giác số phức Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z + Hướng dẫn Từ z + z 2013 = cos Vậy P = cos π π = suy z = cos + i sin ± z 3 2013π 2013π 2013π 2013π ± i sin 2013 = cos ∓ i sin 3 z 3 2013π = cos 671π = −2 Ví dụ 10 Chứng minh 3π 5π π + cos = a) cos + cos 7 π 2π 3π b) cos − cos + cos = 7 Hướng dẫn a) Đặt z = cos z + = Mặt khác cos 1 = Tính P = z 2013 + 2013 z z π π + i sin ⇒ z = cos π + i sin π = −1 hay 7 π 3π 5π 1 1 + cos + cos = z+ + z3 + + 7 z z 10 z +z +z +z +z +1 = 2z z5 + z5 Vì z + = nên z 10 = −z z = −z, suy z 10 + z + z + z + z + = z + z − z + z − z + = z6 − z5 + z4 − z3 − z2 − z + + z5 = z7 + + z5 = z5 z+1 π 3π 5π z5 + cos + cos = = 7 2z b) Xét phương trình x7 + = Dễ thấy nghiệm phương trình bậc số -1 Biểu diễn dạng lượng giác −1 = cos π + i sin π đặt x = r (cos ϕ + i sin ϕ) ta có x7 + = ⇔ r7 (cos 7ϕ + i sin 7ϕ) = cos π + i sin π nên π + 2kπ π + 2kπ r = x = cos + i sin với k = 0, 1, , Theo Định lí Viète, 7 phương trình x7 + = có tổng nghiệm nên tổng phần thực Do cos Fran¸cois Viète (1540 - 1603), nhà tốn học, luật sư, trị gia người Pháp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 24 Một số dạng tốn Số phức nghiệm Do π 3π 5π 7π 9π 11π 13π + cos + cos + cos + cos + cos + cos =0 7 7 7 π π 3π 5π 2π 3π ⇔ cos + cos − = ⇔ cos − cos + cos + cos = 7 7 7 cos Ví dụ 11 Cho a = 2kπ, k ∈ Z, tính tổng S1 = sin a + sin 2a + + sin na, S2 = cos a + cos2a + + cos na zn − Hướng dẫn Đặt z = cos a + i sin a S2 + iS1 = z + z + + z n = z z−1 na na na + 2i sin cos −2sin2 zn − cos na + i sin na − 2 Ta có = = a a 2a z−1 cos a + i sin a − −2sin + 2i sin cos 2 na na na na sin cos + i sin sin (n − 1) a (n − 1) a 2 = + i sin = a cos a a a 2 sin sin cos + i sin 2 2 na sin zn − cos (n + 1) a + i sin (n + 1) a = Nên S2 + iS1 = z a z−1 2 sin Mặt khác S2 + iS1 = [cos a + cos 2a + + cos na] + i [sin a + sin 2a + + sin na] na (n + 1) a (n + 1) a na sin sin sin cos 2 2 Vậy S1 = , S2 = a a sin sin 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 25 2.4 Dạng lượng giác số phức BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Chứng minh công thức sin 5ϕ = 16sin5 ϕ − 20sin3 ϕ + sin ϕ (1) , cos 5ϕ = 16cos5 ϕ − 20cos3 ϕ + cos ϕ (2) Bài Cho a, b, c số thực cho cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = Chứng minh cos 2a + cos 2b + cos 2c = sin 2a + sin 2b + sin 2c = Bài 10 Cho số phức z thỏa mãn z + P1 = z 2015 + = Tính z z 2015 , P2 = z 2016 + z 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12 (ban bản), NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [2] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12 (ban KHTN), NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [3] Bộ Giáo dục Đào tạo, Tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ năng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013 [4] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Đổi phương pháp dạy học ví dụ minh họa, Toán 10, 11, 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [5] Trần Thành Minh, Trần Đức Huyên, Nguyễn Văn Minh, Giải tốn Ngun hàm - Tích phân Số phức 12, NXB Giáo dục, 1999 [6] Võ Anh Dũng (chủ biên), Giải tốn Ngun hàm - Tích phân Số phức 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011 [7] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thơng, NXB Giáo dục, 2001 [8] Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo giải tốn phổ thơng, NXB Giáo dục, 2002 [9] Đề thi TN THPT, ĐH-CĐ, THPT QG thi HSG năm [10] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam [11] Tài liệu Internet LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... bi, a b số thực số i thỏa mãn i2 = −1, i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, b gọi phần ảo số phức Cách viết z = a + bi gọi dạng đại số số phức Tập hợp số phức kí hiệu C Mỗi số thực a coi số phức với... cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = z |z | LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 1.3 Phương trình bậc hai tập số phức z phép chia số phức z cho số phức. .. z |z| 1.2.5 Căn bậc n số phức Số phức w gọi bậc n (n ∈ Z, n ≥ 2) số phức z wn = z Mỗi số phức z = ln có n bậc n (n ∈ Z, n ≥ 2) n số phức 1.3 Phương trình bậc hai tập số phức Xét phương trình