⇒ Các véctơ và mọi vectơ gắn liền với hệ quy chiếu R2 đều là không đổi trong hệ b Trường hợp hệ R 2 quay tương đối xung quanh một trục cố định của hệ R 1 : Giả sử hệ quy chiếu R2 quay
Trang 1Đại học đà nẵng Trường đại học Bách KHOA khoa sư phạm kỹ thuật -ả ã -
đà năng 2006
Trang 2PHẦN I :
CƠ HỌC VẬT RẮN
Trang 3Chương ôn tập:
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT
§1 Hợp vận tốc - Hợp gia tốc :
Xét hệ quy chiếu (R2) chuyển động tương đối so với hệ quy
chiếu (R1) Gọi (O e1;G G Gx1,e y1,e z1) và
2 2 2 2
(O e;Gx ,eGy ,eGz )
là hai hệ tọa độ Descartes lần lượt gắn liền với (R1) và (R2)
Suy ra :
2
2 / 1 2 / 1
2 / 1 2 / 1
y R
de dt
z R
de dt
(R )
x1
y2
Trang 4⇒ Các véctơ và mọi vectơ gắn liền với hệ quy chiếu (R2) đều là không đổi trong hệ
b) Trường hợp hệ (R 2 ) quay tương đối xung quanh một trục cố định của hệ (R 1 ):
Giả sử hệ quy chiếu (R2) quay xung quanh trục cố định (O1z1)
của hệ quy chiếu (R1) và giả sử O1 = O2, hai trục (O1z1) và (O2z2)
b) Trường hợp tổng quát :
Trong trường hợp tổng quát, chuyển động tương đối của hệ (R2)
của so với hệ (R1) có thể xem là hợp của hai chuyển động :
• Chuyển động tịnh tiến với vận tốc : 1 2
• Chuyển động quay với vectơ quay ΩGR2/R1 có phương chiều thay đổi theo thời gian
2) Đạo hàm của một vectơ trong hệ (RG 1) và trong hệ (R2):
Xét một véctơ U t( ) phụ thuộc vào thời gian t và được mô tả trong cơ sở (eGx2,eGy2,eGz2)
của hệ (R2) như sau : U tG( )=U x2.eGx2 +U y2.eGy2 +U z2.eGz2
và chuyển động với
Trang 5Vận tốc theo của điểm M, tại thời điểm đang xét, chính là vận tốc trong hệ (R1) của điểm M* gắn liền với hệ (R2) và tại thời điểm đang xét M* trùng với điểm M M* gọi là trùng điểm
của M tại thời điểm nói trên :
được gọi là gia tốc theo của điểm M
Gia tốc theo của điểm M, tại thời điểm đang xét, chính là gia tốc trong hệ (R1) của trùng điểm M* của điểm M tại thời điểm nói trên : a M
được gọi là gia tốc Coriolis của điểm M
5) Các trường hợp chuyển động đặc biệt của (R 2 ) đối với (R 1 ):
a) Hệ (R 2 ) chuyển động tịnh tiến đối với hệ (RG 1 ) :
b) Hệ (R 2 ) quay quanh một trục cố định của (R 1 ) :
Giả sử hệ quy chiếu (R2) quay xung quanh trục cố
định (O1z1) của hệ quy chiếu (R1) và giả sử O1 = O2,
hai trục (O1z1) và (O2z2) trùng nhau
a MG =θeG ×HMJJJJG−θ JJJJGHM
Trong đó : H là hình chiếu của M trên trục quay Oz1 = Oz2
•Ghi chú : Gia tốc a MGe( ) gồm hai thành phần : Thành phần
1 z
aGτ =θeG ×HJJJJGM
vuông góc với
HM (gia tốc tiếp tuyến) và thành phần a Gn = − θ 2 H JJJJG M
hướng từ M về H (gia tốc hướng tâm)
Trang 6§2 Khốí lượng và khối tâm của hệ chất - Hệ quy chiếu khối tâm :
m=∑m
• Nếu hệ (S) là một tập hợp vô hạn các chất điểm phân bố liên tục
trong thể tích V, khối lượng m của hệ: ( )
Xét một hệ kín (S) (không trao đổi chất với môi trường ngoài bao quanh hệ) gồm n chất điểm Mi
có khối lượng mi Gọi O là một điểm bất kỳ
Khối tâm G của hệ (S) được xác định bởi : JJJ JJJJ
i
m OG=∑m OM i
JGK
với :
i i
Giả sử hệ (S) bao gồm từ hai hệ (S1) và (S2) lần lượt có khối tâm là G1 và G2, có khối lượng là
m1 và m2, khối tâm chung G của hệ (S) được xác định bởi : JJJJ JJJJ
(m +m ).OG =m OG +m OG
• Khi một hệ là đồng nhất và có một phần tử đối xứng (mặt đối xứng, trục đối xứng ), khối tâm
G của hệ sẽ nằm trên phần tử đối xứng này
3) Hệ quy chiếu khối tâm:
Chuyển động của hệ chất (S) được nghiên cứu trong hệ quy chiếu (R)
Hệ quy chiếu khối tâm (R*), tương ứng với hệ quy chiếu (R), là hệ quy chiếu gắn liền với khối
tâm G của hệ chất (S) và chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu (R) với vận tốc v G ( )/R
G
Oz
v MG =v GG ; a MGe( )=a GG( )/R; a MGC( )=0
Trang 7Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi , có vận tốc v Gi
trong hệ quy chiếu (R)
Động lượng P G của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R) :
i i i
m=∑m
b) Động lượng trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) :
Trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), khối tâm G là điểm cố định Vận tốc của khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) :
Xét một hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi, có vận tốc v Gi
trong hệ quy chiếu (R) Momen động lượng L G0
của hệ (S) đối với một điểm O trong hệ quy chiếu (R) :
i
LG =∑OMJJJJJG×m v Gi
b) Định lý Koenig về momen động lượng :
• Momen động lượng LG0 của hệ (S) đối với điểm O trong hệ quy chiếu (R) :
3) Mômen động lượng khối tâm:
Momen động lượng của một hệ (S) trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) không phụ thuộc vào điểm tính toán
Trang 8Thật vậy, gọi A là một điểm bất kỳ, LGA*
là momen động lượng của hệ (S) đối với điểm A trong hệ quy chiếu (R*), v Gi* là vận tốc của điểm Mi trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), ta có:
4) Momen động lượng đối với một trục :
Hình chiếu của momen động lượng LG0
của hệ chất (S) đối với điểm O, trên trục ∆ đi qua O được gọi là momen động lượng của hệ (S) đối với trục ∆
0
L∆ =L eG G
∆ với : eG∆
véctơ đơn vị của trục ∆
§4 Tổng động lực và mômen động lực của một hệ chất :
1) Tổng động lực:
Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi , có gia tốc a Gi
trong hệ quy chiếu (R)
•Tổng động lực S G của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R):
i i i
=
GG
Trang 9Nếu O là một điểm cố định trong (R) hay O≡ thì: G O
O
dL D
dt =
GG
K i
i i
E =∑ m v
2) Định lý Koenig về động năng :
Động năng của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R) :
§6 Một số định lý cơ bản của động lực học hệ chất :
1) Định lý về tổng động lực (hay định lý về động lượng) :
• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), tổng động lựcS G
của một hệ chất khép kín (S) bằng tổng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ:
ext
F G
ext
SG=FG
• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), đạo hàm theo thời gian của tổng động lượng của một hệ
chất khép kín (S) bằng tổng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ :
dt =
GG
Như vậy ta có: dP S ma G( ) F ext
dt = = =
G
2) Định lý về momen động lực (hay định lý về momen động lượng):
• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), momen động lực DGO
của một hệ chất khép kín (S) đối với điểm O bằng momen MGO(FGext đối với điểm O của tổng
của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ: DGO =MGO(FGext)
Trang 10• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), đạo hàm theo thời gian của momen động lựợngL GO
của một
hệ chất (S) khép kín đối với điểm O cố định trong (Rg) bằng momen MGO(F )Gext
đối với điểm O của tổng FGext
của tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ: O ( ext
với O là một điểm bất kỳ Khi O là điểm cố định
trong Rg, ta có:v( )G O =0, do đó: O
O
dL D
dt =
GG Từ đó suy ra: O ( ext)
: momen động lượng của hệ (S) trong hệ quy chiếu (R*)
Mặc khác, do (R*) chuyển động tịnh tiến đối với (Rg), nên :
Như vậy định lý về momen động lượng có thể vận dụng cho điểm G trong hệ quy chiếu khối
tâm (R*) (mặc dầu hệ quy chiếu (R*) có thể không phải là hệ quy chiếu Galilée)
3) Định lý về momen động lượng đối với một trục cố định:
Trong hệ quy chiếu Galilée Rg, đạo hàm theo thời gian của momen động lượng L∆ của một hệ chất (S) khép kín đối với một trục ∆ cố định trong (Rg) bằng momen ( ext
4) Định lý về động năng :
• Đạo hàm theo thời gian của động năng của một hệ chất (S) khép kín trong hệ quy chiếu Galilée (Rg) bằng tổng công suất của tất cả các nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ (S)
Trang 11Xét một hệ (S) khép kín gồm n chất điểm M có khối lượng mi i GọiF Gi e
và là ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i của hệ (S)
i i
Độ biến thiến động năng ∆EK của một hệ chất khép kín trong hệ quy chiếu Galilée (Rg) trong
một khoảng thời gian (t0,t) nào đó bằng tổng công của tất cả các ngoại lực và nội lực sinh ra trong chuyển dời tương ứng với khoảng thời gian đó:
Trang 12Chương 1 :
CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN
§1 Vật rắn trong cơ học :
1) Khái niệm về vật rắn :
Trong cơ học, vật rắn là một vật thể không biến dạng : Khoảng cách
giữa hai điểm bất kỳ của vật rắn không đổi theo thời gian
Khái niệm vật thể không biến dạng chỉ là một mô hình Vì vậy, một tờ giấy
mỏng trượt trên mặt bàn và không bị biến dạng vẫn có thể xem như là một vật
rắn Trong khi đó một dầm kim loại đặt trên hai gối tựa và chịu lực
JG
F khá lớn, sẽ bị biến dạng khá nhiều trong qúa trình chịu lực ⇒ trong trường hợp này, không thể coi dầm là vật rắn
FG
gối tựa
dầm kim loạiHình 1
2) Hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn :
(R)
S(R )z
xO
(R S)
xs
eG
βα
y = yS
⊕
θxseG
Xét một vật rắn (S) có dạng hình vành tròn,
tâm C, chuyển động trong mặt phẳng thẳng
đứng trên mặt đất nằm ngang, trong hệ quy
chiếu trái đất R O e e e ( ; ; ; ) G G Gx y z
Điểm C, tâm của vành tròn, cũng có thể xem như là một
điểm thuộc vật rắn, mặc đầu tại C không có vật
chất, bởi vì khi vành tròn chuyển động, điểm C
cũng chuyển động cùng với vành tròn Tổng
quát hơn, mọi điểm trong không gian (mặc dầu
tại đó không có vật chất), liên kết chặt chẽ với
(S) và chuyển động cùng với (S) cũng có thể
xem là các điểm thuộc vật rắn (S)
rắn Khi đó, chuyển động của vật rắn (S) trong
hệ quy chiếu (R) có thể xem như tương đương
với chuyển động của hệ quy chiếu (RS) so với
hệ quy chiếu (R)
Hình 3
3) Thông số cần thiết để mô tả chuyển động của vật rắn :
• Đối với một hệ chất điểm (S) gồm n chất điểm Mi Để mô tả chuyển động của hệ (S) trong hệ quy chiếu(R), cần phải biết 3n thông số (với mỗi chất điểm cần biết ba tọa độ x, y, z của nó)
Trang 13• Tuy nhiên, để mô tả chuyển động của vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R), chỉ cần biết nhiều nhất là 6 thông số, nhằm mô tả chuyển động của hệ quy chiếu (RS) gắn liền với vật rắn đối với
⇒
+ Hoành độ x của tâm C của vành tròn trong hệ (R)
+ Góc θ xác định phương chiều của véctơ đơn vị
1) Quan hệ vận tốc và gia tốc :
Xét một vật rắn (S) chuyển động trong hệ quy chiếu
(R) Gọi (RS) là hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn (S)
và có gốc P, với P là một điểm cố định trên (S)
@ Gọi là vận tốc của điểm M thuộc vật rắn
(S) trong hệ quy chiếu (R) Áp dụng định lý hợp vận
tốc :
/( ) R
với : v MKe( ) : vận tốc theo của điểm M
: vận tốc của điểm M trong hệ quy
chiếu (RS) (Điểm M cố định trong hệ quy chiếu (RS) :
Hình 4
yO
Trang 14a MG
/
S R
(2) Như vậy, khi biết gia tốc của một điểm P, vectơ quay tức thời ΩK
(còn gọi là vectơ vận tốc góc tức
thời) và vectơ gia tốc góc tức thời d
dt
ΩG của vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R) ⇒ có thể xác định gia tốc của một điểm M bất kỳ thuộc vật rắn (S) theo biểu
2) Các trường hợp đơn giản :
a) Vật rắn (S) chuyển động tịnh tiến :
Nếu vật rắn chuyển động tịnh tiến trong (R) ⇒ S Ω =K 0
Hình 6
xS
ySM
Gọi θ là góc quay của vật rắn (S) quanh trục Oz (góc
quay của hệ quy chiếu (RS) xung quanh trục Oz của hệ
quy chiếu (R))
Véctơ quay của vật rắn (S) trong (R): Ω =K θ( ).t eJJKz
Mỗi điểm M của vật rắn vạch nên một quỹ đạo hình tròn,
có trục là Oz Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của M được xác
định bằng : JJJJ
r
OMG =r eG +z eGz (r và z không phụ thuộc vào t)
@ Vận tốc của điểm M trong (R) :
Trang 15@ Gia tốc của điểm M trong (R) :
@ Ghi chú : Gia tốc của điểm M có thể phân thành hai thành phần : Thành phần
hướng từ M về H (gọi là gia tốc hướng tâm) và thành phần
vuông góc với HM (gia tốc tiếp tuyến)
3) Vật rắn quay xung quanh trục có phương không đổi trong (R):
a) Ví dụ 1 : Chuyển động của thanh truyền :
Xét cơ cấu tay quay- con trượt như hình 7î, dùng để biến chuyển động quay của khâu OA thành chuyển động tịnh tiến của con trượt B và ngược lại Hãy nghiên cứu chuyển động của thanh truyền AB có khối tâm là G
Để nghiên cứu chuyển động của thanh truyền AB,
ta xét thêm hệ quy chiếu khối tâm R* ( ;G e e eG G Gx, y, z)
tương ứng với hệ quy chiếu (R)
( )R
y
xA
O
B
MG
xy
θ ( *)R
⊕
z:
@ Trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), thanh truyền
AB quay xung quanh trục Gz cố định Gọi M là
một điểm bất kỳ của thanh truyền AB, ta có : JJJJ
v MK( )*=v GK( ) *+Ω ×K * GMK
K
với : và là vận tốc của M và G
trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), là
trong hệ (R*) : Ω =* θ( ).t e z
Do khối tâm G cố định trong hệ (R*) ⇒ v GK( )*=0 ⇒ v MK( )*= Ω ×K * GMJJJJK
Sử dụng định lý hợp vận tốc, trong hệ quy chiếu (R), ta có :
de dt
Trang 16Từ (1) và (2), suy ra : Ω = Ω =K* K θ(t e).JJKz
Véctơ quay tức thời của vật rắn là như nhau trong hai hệ quy chiếu (R) và (R*) Mở rộng ra, véctơ quay tức thời của vật rắn là như nhau trong các hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến tương đối đối với nhau
@ Ghi chú: Chuyển động của thanh truyền AB trong hệ quy chiếu (R) có thể xem như hợp của
hai chuyển động:
• Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm G trong hệ quy chiếu (R)
• Chuyển động quay xung quanh một trục Gz đi qua khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm (R*) (Trục Gz cố định trong hệ quy chiếu khối tâm (R*))
b) Ví dụ 2 : Chuyển động của một bánh xe :
@ Xét một bánh xe, coi như một đĩa tròn, bán kính b, tâm C, chuyển động trong mặt phẳng thẳng
đứng trên mặt đất nằm ngang cố định trong hệ quy chiếu (R) (Hình 8)
Gọi I là điểm tiếp xúc của bánh xe và mặt đất tại thời điểm t Tại chỗ tiếp xúc I vào thời điểm t, cần phân biệt ba điểm khác nhau:
• Điểm IS của mặt đất, cố định trong (R)
• Điểm IR của bánh xe Do bánh xe lăn ⇒ tại một thời điểm sau đó IR không còn nằm trên mặt đất nữa
• Điểm hình học I xác định vị trí tiếp xúc
I = IR = IS
Hình 8
JS = J
C C’
J R
:ΩG = eθGz
⊕
M (R*)y
v IK =v CK + Ω ×K CIJJK ΩK là véctơ quay của bánh xe trong (R)
Vận tốc được gọi là vận tốc trượt của bánh xe trên mặt đất (nhớ rằng mặt đất là cố
định trong R) Ta thấy
( R)
v IK =vKg
g
vKnằm theo phương tiếp tuyến chung tại I giữa bánh xe và mặt dất
@ Bánh xe được gọi là lăn không trượt nếu như : vKg =v IK( R)=0
Trang 17Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất, tại thời điểm t đang xét, điểm IR của bánh xe tiếp xúc với mặt đất có vận tốc bằng không ⇒ Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất, giữa hai thời điểm t và t + dt rất gần nhau bánh xe có thể xem như chuyển động quay tức thời xung quanh một
trục ∆ đi I và song song với ΩK
y
Trục ∆ được gọi là trục quay tức thời của bánh xe (4) (Hình 9)
@ Chuyển động của bánh xe có thể xem như hợp của hai chuyển động :
+ Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm C (OCJJJG=x e.Gx+b e.G ) với vận tốc là vGC =x e.Gx
+ Chuyển động quay xung quanh trụcCz JJG
đi qua khối tâm C trong hệ quy chiếu khối tâm R* với vận tốc góc Ω =K θ( ).t eJJKz , trong đó θ là góc giữa trục Cx và một bán kính CM gắn cứng trên bánh
Suy ra vận tốc trượt của bánh xe trên mặt đất : vGg =v IK( R)= +(x θ ).b eGx
@ Bánh xe lăn không trượt trên mặt đất khi: vKg =v IK( R)=0 Thế mà : vGg =(x+θ ).b eGx Do đó, khi bánh xe lăn không trượt : x+θ.b=0
Mặt khác, nếu gọi ∆x và ∆θ lần lượt là dịch chuyển của tâm C của bánh xe và góc quay của bánh
xe trong khoảng thời gian ∆t; JR và JS lần lượt là các điểm của bánh xe và của mặt đất, mà tại thời điểm t + ∆t đến tiếp xúc với nhau tại J, ta có : I J S S = ∆ và cung x I J R R = ∆ b θ
Khi bánh xe lăn không trượt trên mặt đất thì:
x+θb= ⇒ ∆ = ∆ ⇒ x b θ I J S S =I JqR R
@ Ghi chú : Chuyển động của thanh truyền (ví dụ 1) và của bánh xe (ví dụ 2) còn được gọi là
chuyển động song phẳng Trong chuyển động song phẳng, một điểm M bất kỳ của vật rắn chuyển
động trong cùng một mặt phẳng hay trong các mặt phẳng song song với một mặt phẳng quy chiếu định trước Chuyển động song phẳng của một vật rắn có thể xem là tổng hợp của hai chuyển động: Chuyển động tịnh tiến cùng với khối tâm G và chuyển động quay xung quanh trục Gz đi
qua khối tâm và vuông góc với mặt phẳng quy chiếu nói trên
§3 Các đại lượng động học :
1) Trường hợp vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định :
a) Momen động lượng đối với một điểm trên một trục :
Xét một vật rắn (S) quay xung quanh một trục ∆ gắn cứng với (S) (trục ∆ cố định trong hệ quy chiếu R(O ; x, y, z)), với véctơ quay là : ΩK
Lấy trục Oz của hệ R trùng với trục quay ∆ Gọi θ là góc quay của hệ quy chiếu (RS) gắn cứng với vật rắn so với hệ (R), ta có : Ω = Ω =K eGz θ G.e z
Trang 18v MG =v AG + Ω ×G JJJJGAM = Ω ×eG JJJJGAM
( ) 0
v AG =Suy ra :
LG ⊥ = −Ω∫∫∫ JJJJGAM e HM dmG JJJJG vuông góc với véctơ quay ΩG
Ghi chú : Thành phần LGA⊥ =0 khi :
@ Vật rắn nhận trục ∆ làm trục đối xứng
@ Khi vật rắn là vật rắn phẳng nằm trong mặt phẳng qua A và vuông góc với trục ∆
b) Momen động lượng đối với trục ∆ - Momen qúan tính :
• Hình chiếu L∆ của momen động lượng LGA
lên trục quay ∆ được gọi là momen động lượng của vật rắn (S) đối với trục ∆ :
2 //
L∆ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên trục ∆
• Momen quán tính của vật rắn (S) đối với trục quay ∆ được định nghĩa như sau :
Trang 192 ( )
Ghi chú : Trường hợp vật rắn (S) bao gồìm hai phần (S1 ) và (S 2 ), lần lượt có momen quán tính đối với trục
∆ là J∆1 và J∆2 Khi đó, momen quán tính của (S) đối với trục đối với trục ∆ sẽ bằng : J∆ = J∆1 + J∆2
c) Động năng :
Động năng của vật rắn (S) nói trên trong hệ quy chiếu (R) :
2 ( )
1 ( )
2
K S
2) Áp dụng các định lý Koenig :
a) Momen động lượng và động năng của vật rắn:
@ Để nghiên cứu chuyển động của một vật rắn (S)
trong hệ quy chiếu R(O,x,y,z), ta đưa thêm vào hệ
quy chiếu khối tâm R*(G,x,y,z) Khi đó, áp dụng các
định lý Koenig:
Về momen động lượng : LGA =JJJGAG mv G× G( )+LGG*
với : là momen động lượng của (S) đối với khối
tâm G trong hệ quy chiếu (R*);
*
G
LG
* * // G
LG =LG +LG*⊥ với : thành phần của song song với
vuông góc với ΩG
E là động năng của (S) trong hệ quy chiếu (R*)
@ Trường hợp vectơ quay của vật rắn (S) luôn luôn không thay đổi phương trong suốt quá
trình chuyển động, chẳng hạn Ω
Trang 20* * * * // G
L : momen động lượng của vật rắn đối với trục Gz trong hệ R
Ghi chú : Trong biểu thức của momen động lượng và động năng ta thấy gồm hai thành phần:
K Gz
E = J Ω2 tương ứng với chuyển
động quay của vật rắn (S) quanh trục Gz trong hệ quy chiếu khốiï tâm (R*)
@ Trở lại bài toán chuyển động của bánh xe lăn trên mặt đất nằm ngang cố định trong hệ quy
chiếu trái đất (R) Trong hệ quy chiếu khối tâm R*(C, x, y, z), bánh xe quay quanh trục Cz cố định trong R*, ta có:LGC* =J CzΩeGz với: 1 2
b) Định lý Huygens :
(∆)
G (∆G)
(S) (R)
ΩG
(R*)
Hình 12
Xét vật rắn (S) quay xung quanh một trục cố định
(∆) trùng với trục Oz của hệ quy chiếu R đang xét
với véc tơ quay Gọi G là khối tâm của vật rắn
(Hình 11) Trong (R*), (S) quay xunh quanh trục cố
định (∆ G ) trùng với Gz và song song với trục (∆)
K
E là động năng của vật rắn trong (R) :
2
1 .2
Mặt khác, trong R, khối tâm G chuyển động trên vòng tròn tâm H bán kính a (H là hình chiếu của
G trên trục (∆)) với vận tốc góc là Ω, do đó : 2 2
( )
v G = Ω a 2 (c) Thay (a) (b) (c) vào (1), suy ra : J∆ =ma2 +J∆G Đây chính là định lý Huygens
Trang 21Chương 2 :
TIẾP XÚC GIỮA HAI VẬT RẮN - ĐỊNH LUẬT VỀ MA SÁT
§1 Nghiên cứu động học:
(R)
y(Σ)
(S)
(Σ)I
Hình 1:
S / Rv(I )G v(I )G ∑ / R =vGxe
g
v (I)G
z
1) Vận tốc trượt:
• Xét hai vật rắn (S) và (Σ) luôn luôn tiếp xúc
với nhau, và cùng chuyển động trong hệ quy
chiếu R (Hình 1)
Chúng có thể tiếp xúc theo một mặt, theo một
đường hay theo một điểm Tại mỗi thời điểm
t, luôn luôn có ít nhất một điểm IS của (S) trùng
với một điểm IΣ của (Σ) tại điểm tiếp xúc I
v ( ) Kg I = v( K IS)/R∑
g
v (I)G(P)
( )∑(S)
Hình 2
• Thông thường, chúng ta nghiên cứu chuyển động của
vật rắn (S) trên một giá đỡ (Σ) cố định trong hệ quy chiếu
R : Khi đó hệ quy chiếu (R∑) trùng với hệ quy chiếu R
• Trong trường hợp giữa hai vật rắn (S) và (Σ) tồn tại
một tiếp diện chung (P), vận tốc trượt vKg
sẽ nằm trong mặt phẳng (P) (Hình 2)
• (S) được gọi là không trượt trên (Σ) khi vận tốc trượt bằng 0 tại mọi điểm tiếp xúc I :
v ( )Kg I =0G
2) Chuyển động lăn và xoay của (S) đối với (Σ):
• Trong hệ quy chiếu R, gọi ΩKS và ΩK∑ là vectơ quay của vật rắn (S) và (Σ) Véctơ quay tương
đối Ω K S/∑ của (S) so với (Σ), tức là véctơ quay của (S) trong hệ quy chiếu (R∑) gắn liền với (Σ): /
S ∑ S
Ω K = Ω − Ω K K∑ có thể được phân thành hai thành phần (Hình 3)
+ Véctơ pháp ΩKNvuông góc với tiếp diện chung(P) tại I của (S) và (Σ).ΩKN được gọi là vectơ quay của chuyển động xoay
+ Véctơ tiếp ΩKT nằm trong tiếp diện chung (P) ΩKT được gọi là vectơ quay của chuyển động lăn
Trang 22Hình 5: Hình trụ (S) chuyển động
lăn so với giá đỡ
T
Ω = Ω K K( ) ∑
( ) S I
N
Ω = Ω K K ( ) ∑
( ) S I
Hình 4 : Khối vuông (S) chuyển
động xoay so với giá đỡ
• Trong toàn bộ phần Cơ học vật rắn, chúng ta chỉ nghiên cứu các chuyển động đơn giản của vật rắn (S) trên giá đỡ cố định ( )∑ với:
+ Các vectơ ΩKN và ΩKT không thay đổi phương trong qúa trình chuyển động
+ (S) lăn không xoay (Ω =KN 0) hay xoay không lăn (Ω =KT 0), hoặc không lăn không xoay (chuyển động tịnh tiến) trên( )∑
§2 Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc:
1) Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc của hai vật rắn:
( ) ∑
( ) S I
i
R G
@ Hai vật rắn (S) và (Σ) có thể tiếp xúc nhau theo mặt
(khối vuông tiếp xúc với mặt phẳng), theo đường (hình
trụ tiếp xúc với mặt phẳng) hay theo điểm (hình cầu
tiếp xúc với mặt phẳng) Tuy nhiên, trên thực tế, do có
biến dạng đàn hồi, (S) và (Σ) luôn tiếp xúc nhau theo
một mặt nào đó (diện tích tiếp xúc có thể khá nhỏ)
Hình 6:
Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc giữa (S) và (Σ) gây ra bởi tương tác giữa các phân tử của (S) và (Σ) trên bề mặt tiếp xúc, và có tầm tác dụng rất ngắn Nói chung, đây là một hệ lực không gian phân bố (Hình 6)
@ Tác động cơ từ (Σ) lên (S) tại chỗ tiếp xúc, khi thu gọn về một điểm tiếp xúc I, bao gồm:
Trang 23• Momen thu gọn: - MG I, tiepxuc
Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc là ẩn số của bài toán phân tích lực
@ Tác động cơ do (Σ) tác dụng lên (S) tại chỗ tiếp xúc được phân thành các thành phần (Hình 7) :
I, tiepxuc(R, MG G )
• Đối với hợp lực : RG
+ Thành phần TG n òm tại I trong tiếp diện chung (P) tại I của (S) và (Σ)
+ Thành phần NG n òm tại I theo phương pháp tuyến tại I với (P)
R = T + NG G G
với: T G ⊥ NG
• Đối với momen MG I, tiepxuc:
+ Thành phần MGI,t nằm trong tiếp diện chung (P)
+ Thành phần MG I,n nằm theo phương pháp tuyến với (P)
I, tiepxuc I, I,
MG = MG t +MG n với : MG I,t ⊥MGI,n
NG
được gọi là áp lực (phản lực pháp tuyến); TG
được gọi là lực ma sát trượt bởi vì nó chống lại
chuyển động trượt của (S) trên (Σ); MGI,t
được gọi là momen ma sát lăn bởi vì nó chống lại
chuyển động lăn của (S) trên (Σ); MGI,n
được gọi là momen ma sát xoay bởi vì nó chống lại
chuyển động xoay của (S) trên (Σ)
@ Trong chương này, chúng ta sẽ bỏ qua ma sát xoay và ma sát lăn Bởi vì chúng ta chỉ nghiên cứu các
I, n
MG
(P)( )
( ) ∑ I
( )S
I(Σ)
(S)
Hình 11
I
xO
y
Hình 10
Hình 9
Trang 24Khi đó, tác động cơ tại chỗ tiếp xúc từ vật rắn (Σ) lên vật rắn (S) chỉ còn lại hợp lực R = T + NG G G
đi qua điểm tiếp xúc I.
2) Định luật Coulomb về ma sát trượt (khô) :
Khi nghiên cứu chuyển động của vật rắn, phải kể thêm vào các ẩn số của bài toán các lực ma sát trượt TG
và áp lực Các định lý cơ bản không cho ta đủ số phương trình để xác định tất cả các ẩn số ⇒ Do vậy, cần phải biết thêm quan hệ giữa và
NG
TG
NGBằng thực nghiệm, Coulomb đã tìm được mối quan hệ giữa lực ma sát trượt TG và áp lực
NG
a) Tính chất của áp lực NG :
• Đối với liên kết một phía, ví dụ khi (S) được đặt trên giá đỡ (Σ)
(Hình 12), áp lực từ (Σ) tác dụng lên (S) luôn luôn hướng từ (Σ)
O
Hình 13
(S) và (Σ) không tiếp xúc với nhau nữa khi: N = 0G
• Đối với liên kết hai phía, ví dụ hình trụ rỗng (S) lồng qua một
thanh hình trụ (Σ) (Hình 13), cắt trục OO của hình trụ, nhưng
chưa thể kết luận gì về phương, chiều của
NG
NG G
b) Tính chất của lực ma sát trượt T:
• Tùy theo (S) trượt hay không trượt trên (Σ) mà TG
có các tính chất khác nhau Gọi vGg vận tốc trượt của (S) trên (Σ)
+ Nếu (S) không trượt trên (Σ), mà chỉ có xu hướng trượt trên (Σ): vGg =0: cùng phương và ngược chiều với chiều của xu hướng trượt
bằng f N G
• Khi f = 0, tiếp xúc giữa (S) và (Σ) được gọi là tiếp xúc
không có ma sát Khi đó: T = 0G và hợp lực
R = T + N = NG G G Gvuông góc với tiếp diện chung (P) tại điểm tiếp xúc I của
x
Hình 14
Khi hình khối chữ nhật (S) cân bằng, ta có :
0=TeGx+NeGy+mgG
Trang 25Từ đó : T = −mgsinα <0 và N =mgcosα >0 (T và N là các gía trị đại số của lực ma sát và của áp lực)
c) Tính chất của hệ số ma sát trượt f:
• Hệ số ma sát trượt f phụ thuộc vào:
+ Bản chất của các vật rắn tiếp xúc (vật liệu các bề mặt tiếp xúc), ví dụ khi vật rắn bằng thép tiếp xúc với
vật rắn bằng gỗ, hệ số ma sát f sẽ khác với trường hợp vật rắn bằng thép tiếp xúc với vật rắn bằng cao su
+ Trạng thái các bề mặt tiếp xúc, ví dụ khi hai bề mặt tiếp xúc gồ ghề, f sẽ lớn Khi hai bề mặt tiếp xúc
được phủ một lớp chất bôi trơn, f sẽ giảm xuống
+ Tăng theo thời gian tiếp xúc ban đầu (thời gian có áp lực NG
nhưng chưa có trượt tương đối hay xu hướng trượt tương đối)
• Hệ số ma sát trượt f không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc và hầu như không phụ thuộc vào vận tốc trượt
Ghi chú: Định luật Coulomb chỉ phản ánh gần đúng quy luật ma sát trượt khô, tuy nhiên vẫn có thể áp
dụng nó trong nhiều bài tính kỹ thuật Trên thực tế, f không phải là hoàn toàn độc lập với vận tốc trượt: Trường hợp (S) không trượt trên (Σ), f lớn hơn trong trường hợp (S) trượt trên (Σ), do vậy người ta phân biệt hệ số ma sát động fđ khi (S) trượt trên (Σ) và hệ số ma sát tĩnh ft khi (S) không trượt trên (Σ) Trong
đa số trường hợp: f đ < f t
2) Một số hệ quả của định luật Coulomb:
@ Hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn (S) khi thu
gọn về điểm A nào đó bao gồm lực thu gọn F Ge xt
và momen thu gọn Trong hệ quy chiếu
Rg giả sử là hệ quy chiếu Galilée, vật rắn (S) cân
bằng khi :
A, ext
MG
e xt
FG =0; MGA, ext =0 và nếu vật rắn
đứng yên tại thời đểm ban đầu
Ngoài ra, nếu (S) chịu tác động cơ (R, MG G I, tiepxuc)
tại điểm tiếp xúc I, thì hệ lực (R, MG GI, tiepxuc) này phải tuân theo định luật Coulomb
NG
Hình 16
TG
RGα
Dưới tác dụng của , giả sử vật rắn (S) có xu hướng chuyển
động so với (Σ) theo phương chiều xx’ (nhưng chưa chuyển
động tương đối so với (Σ)) hướng theo chiều x’x Ta
Trang 26b) Nón ma sát và hiện tượng tự hãm:
@ Hình nón ma sát : Gọi là tác động cơ tiếp
xúc từ (Σ) lên (S) Xét một hình nón tròn xoay (N), đỉnh I,
trục song song với áp lực , nửa góc ở đỉnh là ϕ với tg ϕ =
f (f: hệ số ma sát trượt) Hình nón (N) nói trên được gọi là
hình nón ma sát (Hình 16)
I, tiepxuc(R, MG G )
NG
• Khi (S) trượt trên (Σ): T= f N ⇒ T tg= ϕ.N ⇒
( , )N RG G =ϕ ⇒ α ϕ= ⇒ RG
nằm trên mép nón ma sát (N)
• Khi (S) không trượt trên (Σ) (mà chỉ có xu hướng trượt):
x
@ Hiện tượng tự hãm : Xét vật rắn (S) khối lượng m, đặt trên một mặt phẳng nằm ngang cố
định (Σ) Tác dụng vào (S) một lực đẩyFG
nghiêng đi một góc α so với phương thẳng đứng (Điểm đặt của
G
nằm tại vị trí sao cho (S) không bị lật quanh một cạnh) (Hình 17)
F
Tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) khi thu gọn về điểm I : R = T + NG G G
(giả sử bỏ qua momen ma sát) T song song, ngược chiều với Ox
G
NG song song, cùng chiều với Oy
Aïp dụng định lý về động lượng: ( ) i ext
NG
• Khi (S) đứng yên ⇒ x=0; T≤ f N ⇒ Fsinα ≤ fFcosα ⇒
tgα ≤tgϕ ⇒α ϕ≤ ⇒ FG
nằm trong nón ma sát (N) Như vậy, khi
α < ϕ hay nằm trong nón ma sát (N) thì cho dù giá trị của FG
FGcó lớn bao nhiêu đi nữa, vẫn luôn luôn có: T < fN ⇒ (S) vẫn
không trượt trên (Σ) Lúc đó (S) bị rơi vào trạng thái tự hãm khi
ϕ
NG
Hình 18
• Khi α > ϕ hay nằm ngoài nón ma sát (N): Dù giá trị của giá
trị của khá nhỏ, (S) cũng sẽ trượt trên (Σ) (Hình 18) (Bởi vì
nếu (S) không trượt trên (Σ) thì ta sẽ suy được
§3 Công suất của các tác động cơ tại chỗ tiếp xúc:
• Xét một vật rắn (S) chuyển động trong hệ quy chiếu (R) Giả sử hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn được thu gọn về điểm A và bao gồm: Lực thu gọn R G
và momen thu gọn: MG A
6 Giả sử trọng lượng mg của vật rắn (S) không đáng kể so với giá trị của lực FG
Trang 27Công suất của hệ lực nói trên: P = R v (A )G G S +MG GA.ΩS
Với: v (A )G S : vận tốc của điểm A thuộc (S) (vận tốc của điểm đặt A của lực
Chú ý rằng công suất P không phụ thuộc vào điểm tính toán A
• Cho vật rắn (S) tiếp xúc với vật rắn (Σ) và cùng chuyển động trong (R) Hãy tính công suất của các tác động cơ tiếp xúc từ (S) lên (Σ) và từ (Σ) lên (S) trong các trường hợp sau:
+ (S) và (Σ) chuyển động tịnh tiến trong (R):
+ (S) và (Σ) tiếp xúc theo điểm : (hoặc theo đường trong bài toán phẳng, ví dụ hình trụ lăn trên
mặt đất) Bỏ qua ma sát lăn và ma sát xoay (bỏ qua momen thu gọn MG I, tiepxuc
Ta thấy P = 0 khi không có ma sát (TG=0) hay khi không trượt: vGg =0
• Trường hợp đặc biệt khi (Σ) cố định trong (R) :
v( )G IΣ =0 ⇒ P∑ = −RG G.v( )IΣ =0
⇒ P=P S =TG G.vg ≤0Công suất P S của các tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) luôn luôn âm hoặc bằng không
Trang 28Chương III :
CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
§1 Một số liên kết thông dụng giữa hai vật rắn:
@ Cho hai vật rắn (S) và (Σ) tiếp xúc nhau và cùng chuyển động trong hệ quy chiếu (R) Tác động cơ từ (Σ) lên (S) tại chỗ tiếp xúc khi thu gọn về điểm tiếp xúc A bất kỳ thuộc (S) gồm: Lực thu gọn RG và momen thu gọn:
với: P = R v (A )S G G S +MGA tiepxuc, ΩGS P = - R v (A )Σ G G Σ −MGA tiepxuc, ΩGΣ
AS và AΣ lần lượt là các điểm thuộc (S) và (Σ) trùng nhau tại điểm A; v (A )G S
, lần lượt là vận tốc của điểm và A thuộc (S) và (Σ);
v (A )G ΣS
A Σ ΩGS, ΩGΣ lần lượt là véctơ quay của (S) và (Σ) trong (R)
@ Liên kết giữa (S) và (Σ) được gọi là lý tửởng (parfait) (không có ma sát) nếu như :
Hình 1 : Ví dụ về liên
kết trượt Hình 2 : Ví dụ về liên kết bản
lề (liên kết trụ quay)
Trang 291) Liên kết trượt (liên kết kiểu lăng trụ, liên kết tịnh tiến):
@ Hai vật rắn (S) và (Σ) được gọi là coï liên kết trượt (liason glissière) với nhau nếu (S) chỉ
chuyển động tịnh tiến thẳng song song với một trục gắn liền với (Σ) (Hình 1)
@ Liên kết trượt là lý tưởng (không có ma sát trượt) nếu lực thu gọn RG
vuông góc với phương
chuyển động của (S) trên (Σ)
Do (S) tịnh tiến trong hệ quy chiếu RΣ gắn liền với (Σ) nên tất các các điểm thuộc (S) có cùng vận tốc và bằng vận tốc trượt vGg
của (S) trên( )Σ : v (A )G S /RΣ =vGg Mặt khác : M A tiepxuc, =0 (ma sát lăn và ma sát xoay không xuất hiện) Công suất của tác động cơ từ lên tại chỗ tiếp xúc :
P .v(A )=RGG RΣ =RG.vG = (do 0 R vG ⊥Gg)
2) Liên kết bản lề (liên kết trụ quay, liên kết quay):
@ Hai vật rắn (S) và (Σ) được gọi là có liên kết bản lề (liason pivot) với nhau nếu (S) chỉ chuyển
động quay xunh quanh một trục (∆) gắn liền với (Σ) (Hình2)
@ Liên kết bản lề là lý tưởng (không có ma sát) nếu thành phần trên trục quay (∆) của momen thu
gọn MGA tiepxuc, về một điểm A thuộc trục quay (∆) bằng 0, nghĩa là nếu :
, ( )
A tiepxuc
MG ⊥ ∆Khi đó, công suất của tác động cơ từ ( )Σ lên (S) tại chỗ tiếp xúc: P 0S =
vì: MGA tiepxuc, ⊥ ΩGS R/ Σ và v(G A S)/RΣ =0
§2 Nghiên cứu chuyển động quay (Liên kết bản lề):
1) Áp dụng định lý về động lượng và momen động lượng :
Xét một vật rắn (S) quay xung quanh một trục cố định Oz trong hệ quy chiếu R O x y z( ; , , ) giả sử là Galilée Giả sử rằng liên kết giữa (S) và
giá cố định (liên kết bản lề) là lý tưởng
(không có ma sát)
z
Goiü R O x S( ; S,y z S, S) là hệ quy chiếu gắn
liền với (S), sao cho khối tâm G của (S)
nằm trong mặt phẳng (OxSz)
Chuyển động quay của (S) trong hệ quy
chiếu (R) được xác định bằng góc quay JJ JJJJ
S
= (Ox, Ox )
R
(S) chịu tác động của các ngoại lực: Tác
động cơ tiếp xúc do các bản lề tác động
lên trục quay, khi thu gọn về điểm O
gồm: Lực thu gọn G
và momen thu gọn: MGO tiepxuc, ⊥OzJJG (do liên kết không có ma sát); các ngoại lực khác biết trước (như trọng lượng, ngẫu lực cùa động cơ ) tác động lên (S), khi thu gọn về điểm O gồm: Lực thu gọn và momen thu gọn:
Trang 30@ Áp dụng định lý về động lượng cho vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R)
e
O i i
O
LG
O
MG song song với trục Oz
Với LGO⊥;MGO⊥ là thành phần của và của
O
LG
O
MG vuông góc với trục Oz
Và : dLOz
dt =M Oz
GG Mà: LGOz =J OzΩ =G J Ozθ eGz
Suy ra : J OzθeGz =MGOz Hay: J Ozθ=M Oz (3)
2) Nghiên cứu chuyển động của vật rắn (S):
@ Nếu cần xác định quy luật chuyển độngθ θ của vật rắn (S) có thể áp dụng định lý về = (t)
momen động lượng đối với trục Oz cố định :
dL
( )dt
e Oz
Oz i i
Đây chính là phương trình vi phân của chuyển động quay của (S)
@ Có thể viết phương trình vi phân của chuyển động quay của (S) bằng cách áp dụng định lý
động năng: dE int
dt
ext k
Trang 31Trong đó: là công suất của tác động cơ lên (S) tại chỗ tiếp xúc, là công suất của các ngoại lực khác tác động lên (S)
tiepxuc
Do liên kết bản lề là lý tưởng: P tiepxuc = 0
Mặt khác : P khac =FG.v( )G O +MGOθeGz =M Ozθ ⇒ J Ozθθ=M Ozθ⇒ J Ozθ=M Oz (5)
3) Tác động cơ tiếp xúc:
Khi biết quy luật chuyển động θ θ , có thể xác định được tác động cơ = (t) lên (S) tại chỗ tiếp xúc nhờ các phương trình (1), (2)
,(R, )G GM O tiepxuc
4) Định luật bảo toàn momen động lượng đối với trục quay:
Khi các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay xung quanh một trục cố định có momen đối với trục
quay bằng 0, momen động lượng của vật rắn đối với trục quay được bảo toàn
Thật vậy, theo định lý về momen động lượng: dLOz
( )dt
e
Oz i i
Tµi liÖu tham kh¶o :
[1] C¬ hôc vỊt r¾n, N¨m thø hai, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette SupÐrieure, Nxb Gi¸o
Trang 32PHẦN II :
DAO ĐỘNG VÀ SÓNG CƠ
Trang 33a) Dao động tử điều hoà:
Xét một hệ chỉ có một bậc tự do Biến thiên của hệ được đặc trưng bằng một đại lượng vật lý ψ (ψ có thể là dịch chuyển, góc lệch, cường độ, điện áp ) Ví dụ, một con lắc chuyển động quay xung quanh một trục nằm ngang, chuyển động của hệ được xác định bằng góc lệch θ của con lắc
so với vị trí cân bằng
Nếu hệ có một vị trí cân bằng bền ứng với ψ ψ= 0 và ở lân cận vị trí cân bằng đó, phương trình biến thiên của ψ có dạng:
2 2 0
d dt
Hệ nói trên được gọi là một dao động tử điều hoà
b) Dao động tử cơ học có phục hồi tuyến tính :
Xét một vật có khối lượng M, gắn vào một lò xo có độ cứng K (bỏ qua khối lượng của lò xo), trượt không ma sát dọc theo một thanh nằm ngang Vị trí cân bằng ứng với độ dài của lò xo là a0,
được chọn làm gốc của trục Ox Đầu kia của lò xo gắn vào một điểm cố định (Hình 1)
Gọi ψ( )t là dịch chuyển của vật so với vị trí cân bằng
Trong hệ quy chiếu giả thiết là Galilée, phương trình chuyển động là:
2 2
Hãy xét sự tương đồng giữa một con lắc lò xo và một mạch điện LC nối tiếp
Cho mạch điện như hình vẽ, gồm tụ điện có điện dung C, cuộn dây có hệ số tự cảm L, q là điện tích trên hai bản tụ điện (Hình 2)
áp dụng định luật bảo toàn năng lượng để viết phương trình vi phân mô tả sự biến thiên của q:
WC + WL = W = hằng số
Trang 34Trong đó:
212
C
q W
Khối l−ợng M và độ cứng K của cơ hệ đ−ợc thay thế bằng hệ số tự cảm L và nghịch đảo của điện dung C Tần sồ góc trong dao động cơ: 0 K
2) Dao động tự do của hệ có 2 bậc tự do:
a) Sự liên kết hai dao động tử:
Xét hệ gồm hai vật có cùng khối l−ợng M, tr−ợt không ma sát trên thanh nằm ngang Ox Mỗi vật
đ−ợc gắn trên một lò xo có độ cứng K, chiều dà khi cân bằng là a0 Đầu kia của mỗi lò xo đ−ợc gắn cố định với giá (Hình 3) Khi ch−a có lò xo giữa, hai vật sẽ thực hiện hai dao động tự do độc lập nhau, với cùng tần số góc 0 K
Trang 35Như vậy, lò lo giữa đã liên kết hai vật : Chuyển động của hai vật không còn độc lập với nhau nữa
b) Nghiệm của phương trình chuyển động:
c) Tần số góc riêng và các dạng dao động riêng:
Các tần số góc ω1và ω2 được gọi là tần số góc riêng của hệ hai dao động tử liên kết
ắ Khi : v(t) = 0, tức là khi: 1( ) 2( ) cos( 1 1)
2
m u
ψ =ψ = ω +φ ⇒ hệ sẽ dao động với tần số góc 1
ω Khi đó, ta nhận được dạng dao động riêng ứng với tần số góc ω1 Dịch chuyển của hai vật
như nhau Đây là dạng dao động riêng đối xứng (Hình 5a)
ắ Khi: u(t) = 0, tức là khi: ψ1( )t = ưψ2( )t hệ sẽ dao động với tần số góc ω2 Khi đó, ta nhận
được dạng dao động riêng ứng với tần số góc ω2 Đây là dạng dao động riêng phản đối xứng
Trang 363) Dao động tự do của N dao động tử liên kết (Dao động tự do của hệ N bậc tự do):
ắ Xét trường hợp tổng quát: Hệ gồm N dao động tử liên kết giống hệt nhau Khi đó sẽ xuất hiện
N dạng dao động riêng có tần số góc khác nhau Chuyển động quan sát được là sự chồng chất của
N dạng dao động của chuỗi các dao động tử (Hình 6)
x O
1
Hình 6: N dao động tử liên kết
ắ Biểu diễn các dao động riêng trên đồ thị :
Trên trục hoành Ox, biểu diễn vị trí cân bằng x0n = na của khối lượng thứ n
Trên trục tung Oy, biểu diễn dịch chuyển ψn (mặc dù dịch chuyển này nằm theo trục Ox)
• Với N = 1 (Hình7a), một vật duy nhất thực hiện dao động điều hòa với tần số góc : 1 2K
M
ω =(có thừa số 2 vì có hai lò xo gắn vào vật)
•Với N = 2 (Hình 7b), và với ba lò xo cùng độ cứng K, tần số góc của hai dạng dao động riêng là:
1
K M
M
ω =Dạng dao động riêng thứ nhất và thứ hai lần lượt tương ứng với dạng dao động đối xứng và dạng phản đối xứng của hệ hai vật
•Tương tự cho trường hợp N = 3, N = 4 và N bất kỳ (Hình 8)
Hỗnh 7a :
Hỗnh 7b:
Trang 37Hỗnh 8:
Đ2 Dao động cưỡng bức của các dao động tử liên kết:
1) Dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do:
a) Hiện tượng cộng hưởng với dao động tử lý tưởng (không có lực cản):
ắ Dao động tử một bậc tự do (Hình 9) được kích thích bởi một cơ cấu tay quay- con trượt, tạo nên một dịch chuyển có dạng ξ của một đầu lò xo Gọi a( )t và K lần lượt là chiều dài ứng với vị trí cân bằng và độ cứng của mỗi lò xo
Hỗnh 9:
Trang 40Ta có:
0 0
3/ 2 2
2 2 2 0 0
( )
Q F
ω
11
ắ Dao động c−ỡng bức không có lực cản của hệ hai bậc tự do :
Xét hai dao động tử liên kết, giống nhau, liên kết nhau
t M