11toan nangkhieul2 2021 2022

TrườngTHPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương ĐỀ THI THÁNG LẦN 2 NĂM HỌC 2021 2022 Môn TOÁN – Lớp 11 Ngày thi 08/11/2021 Thời gian 180 phút Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số ( )3 2 22 3(2 1) 6 2 ( 1)( )y x m x m[.]

ĐỀ THI THÁNG LẦN NĂM HỌC 2021-2022 TrườngTHPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương Mơn TỐN – Lớp 11 Ngày thi: 08/11/2021 Thời gian 180 phút Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3(2m − 1) x + ( m2 − m ) x + 2m(m − 1)(C ) Tìm m cho đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lớn  x + x + = y + y + Câu ( 2,0 điểm) Giải phuơng trình   y + x3 + x − = 3 x + x + Câu (2,0 điểm) Cho dãy số ( an ) thỏa mãn: a0 = 1, an+1 = , n Tìm lim an + 2an Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) đường cao AD,BE,CF Gọi AD cắt (O) K, KF cắt lại đường tròn (O) L a) Chứng minh CL qua trung điểm EF b) Đường thẳng qua A vng góc CO cắt CL N Chứng minh FN vng góc với FO Câu (1,0 điểm) Cho S tập hợp có n phần tử k số nguyên thỏa mãn  k  2n Chứng minh tô màu tập S hai màu xanh đỏ cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (a) Hợp tập đỏ đỏ (b) Hợp tập xanh xanh (c) Có k tập đỏ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THÁNG LẦN LỚP 11 TOÁN NĂM HỌC 2021-2022 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3(2m − 1) x + ( m2 − m ) x + 2m(m − 1)(C ) Tìm m cho đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lớn Lời giải: Đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm phía trục Ox Nhận xét y = x − 6(2m − 1) x + ( m2 − m ) tam thức bậc ln có hai nghiệm phân biệt ( ( x1 = m, x2 = m − nên đồ thị hàm số cho ln có cực đại, cực tiểu A m, m 2m2 − m − ( ( )) )) B m − 1,(m − 1) 2m2 + m − Vậy y ( x1 )  y ( x2 )   m ( 2m − m − ) (m − 1)(m + 1)(2m − 1)  (*) Mặt khác, hoành độ ba giao điểm lớn x1 , x2  y (1)  hay m  1,8m − 14m +  hay  m  Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy không tồn m thỏa mãn đề Câu ( 2,0 điểm)  x + x + = y + y + Giải phuơng trình   y + x3 + x − = 3 x + x + Lời giải: Trước hết đặt g ( x) = x + x + g  ( x) = + x x2 + = x2 + + x x2 +  0x  nên g(x) đồng biến Vậy (1)  x = y Ta được: x + x3 + x − = 3x + x + Đặt u = x + x − ( x + u )3 = 3x + x + = ( x3 + 3x + 3x + 1) − ( x + x − 1) + Hay ( x + u )3 + u = ( x + 1)3 + Đặt f (t ) = ( x + t )3 + t f  (t ) = 3( x + t ) + 2t  0t  f  (t ) = hữu hạn điểm nên f (t) đồng biến (0, +) Do u ,1  (0, +) nên f (u ) = f (1)  u = Ta x3 + x − =  x = Đáp số: ( x, y ) = (1;1) Câu (2,0 điểm) Cho dãy số ( an ) thỏa mãn: a0 = 1, an+1 = , n Tìm lim an + 2an Lời giải: x +1   + x = + x + = −2  x + Đặt f ( x) = f  = −1 − x + 2x −1 2x −1  x +  −1 +  1+ 2x 1+ Vậy ta có f ( an+1 ) = −2 f ( an ) , n Suy f ( an ) = (−2) n f ( a0 ) = (−2) n+1 an = Vậy lim an = 2n+1 + (−1) n 2n+2 + (−1)n+1 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) đường cao AD,BE,CF Gọi AD cắt (O) K, KF cắt lại đường tròn (O) L c) Chứng minh CL qua trung điểm EF d) Đường thẳng qua A vng góc CO cắt CL N Chứng minh FN vng góc với FO Lời giải: a) Gọi J trung điểm EF Ta chứng minh C,J,L thẳng hàng Thật vậy: Gọi I trung điểm FH Ta dễ có: FHD ~ FEC nên IHD ~ JEC Từ suy IDH = JCE Mà IDH = FKH = LKA Suy LKA = JCA Suy C,J,L thẳng hàng Điều phải chứng minh b) Ta chứng minh FNA ~ FOC để suy FNO ~ FAC NFO = 90 Thật vậy, dễ chứng minh NAC = ABC = ALC Từ dễ thấy NAF = NAC − BAC = ABC − BAC = FCO Goi AD cắt CF tai H P hình chiếu F lên AD, M đối xứng H qua P Dễ có FMH = FHM = ABC = NAC FKM = ACN dó KFM ~ CNA Ta có tam giác FAL ~ FKB FDP ~ ACF Từ ta có biến đổi tỷ số NA NA LA NC KB HB NC 2OQ AC 2OQ OQ OC CF BF OC AC OC =  =  =  =  = =   =   = FA LA FA AC FK AC FK AC MK DP OC CF DP BC CF FD CF Từ suy FNA ~ FOC theo suy luận phần có điều phải chứng minh Câu (1,0 điểm) Cho S tập hợp có n phần tử k số nguyên thỏa mãn  k  2n Chứng minh tô màu tập S hai màu xanh đỏ cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (a) Hợp tập đỏ đỏ (b) Hợp tập xanh xanh (c) Có k tập đỏ Lời giải: Ta chứng minh quy nạp theo số phần tử tập Sn = {1, 2,, n} với n phần tử, với n nguyên dương, với k thỏa mãn  k  2n +) n = đơn giản +) Giả sử tô màu tập Sn = {1, 2,, n} thỏa mãn với k n thỏa mãn  kn  2n Ta cách tô màu S n+1 = {1, 2,, n, n + 1} vói kn+1 thỏa mãn  kn+1  2n+1 TH  kn+1  2n Áp dụng giả thiết quy nạp cho S n kn = kn+1 , Ta thu cách tô màu tập S n thỏa mãn ba điều kiện Các tập chưa tô tập Sn+1 chứa n + , ta tơ xanh hết Dễ thấy cách tơ thỏa mãn TH2 2n +  kn+1  2n+1 Theo TH1, ta tơ màu tập tập Sn+1 thỏa mãn a) b) có 2n+1 − kn+1 tập đỏ Bây giờ, đổi màu tập: xanh thành đỏ đỏ thành xanh Ta cách tô màu thỏa mãn Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI THÁNG LẦN LỚP 11 TOÁN NĂM HỌC 2021- 2022 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3(2m − 1) x + ( m2 − m ) x + 2m(m − 1)(C ) Tìm m cho