TOAN 12 GIAI TICH LAN 3

CHƢƠNG SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Các khái niệm cơ bản  Định nghĩa Số phức là số có dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn 2 1i   Kí hiệu số phức đó là z và viết z a b[.]

CHƢƠNG SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Các khái niệm  Định nghĩa: Số phức số có dạng a + bi, a b số thực số i thỏa mãn i  1 Kí hiệu số phức z viết z  a  bi Trong i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z  a  bi Tập hợp số phức kí hiệu Chú ý: - Số phức z  a  a  0.i có phần ảo coi số thực viết a  0.i  a  - Số phức có phần thực gọi số ảo (còn gọi số ảo): z   bi  bi  b   Ví dụ z  5i số ảo - Số   0.i vừa số thực, vừa số ảo Ví dụ: Số phức z   3i có phần thực 5, phần ảo Số phức z  4i có phần thực 0, phần ảo 4 ; số ảo  Hai số phức z  a  bi; z   a   bi  a; a ; b; b     a  a gọi  b  b  Khi ta viết z  z  2) Biểu diễn hình học số phức Xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức a  bi  a; b   biểu diễn điểm M  a; b  Ngược lại, điểm M  a; b  biểu diễn số phức z  a  bi Ta viết M  a  bi  hay đơn giản M  z Mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số Các điểm trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục Ox cịn gọi trục thực Các điểm trục tung Oy biểu diễn số ảo, trục Oy cịn gọi trục ảo 3) Phép cộng phép trừ số phức a) Phép cộng hai số phức Tổng hai số phức z  a  bi; z   a   bi  a; a ; b; b    số phức z  z   a  a   b  b  i Ví dụ:  i   2i       i  2i    i  i   4i  2  3i Một số tính chất phép cộng số phức  Tính chất kết hợp:  z1  z2   z3  z1   z2  z3  , z1 ; z2 ; z3   Tính chất giao hoán: z  z '  z ' z, z ', z   Cộng với 0: z    z  z, z   Với số phức z  a  bi  a; b   kí hiệu số phức a  bi z ta có: z  z   z   z  Số  z gọi số đối số phức z b) Phép trừ hai số phức Hiệu hai số phức z z  tổng z z ' , tức z  z   z    z   Nếu z  a  bi; z  a  bi z  z  a  a   b  b  i Ví dụ:   5i   1  2i     1     i   3i c) Phép nhân hai số phức Tích hai số phức z  a  bi z  a  bi  a; a; b; b   số phức: zz   a  bi  a  bi   aa   ab  ba  i  bbi   aa  bb    ab  ab  i Biến đổi tương tự ta có:  z   a  bi   a  2abi   bi   a  b  2abi 2  z   a  bi   a3  3a 2bi  3a  bi    bi   a3  3ab2   3a 2b  b3  i 3  1  i   2i; 1  i   2i 2 Ví dụ:   i 1  2i     i  6i   5i Một số tính chất phép nhân hai số phức:  Tính chất giao hoán: zz  zz, z; z   Tính chất kết hợp:  z1 z2  z3  z1  z2 z3  , z1 ; z2 ; z   Nhân với 1: 1.z  z.1, z   Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: z  z1  z2   zz1  zz2 , z; z1 ; z2  4) Số phức liên hợp môđun số phức a) Số phức liên hợp  Số phức liên hợp z  a  bi  a; b   a  bi kí hiệu z Như z  a  bi  a  bi Ví dụ:  5i   5i  3i   3i i  i 2i  2i 55  Chú ý: Vì z  z nên z z hai số phức liên hợp với  Tính chất: Với số phức z; z ta có: z  z  z  z zz  z.z b) Mô-đun số phức Mô-đun số phức z  a  bi  a; b   số thực không âm a  b kí hiệu z Trong mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M  a; b  biểu diễn số phức z Khi OM  a  b2  z Như vậy, z  a  bi  a; b   z  z.z  a  b2 Ví dụ: 5i  5;  3i  42  32  5) Phép chia cho số phức khác Định nghĩa: Số nghịch đảo số phức z khác số z 1  Thương z phép chia số phức z  cho số phức z khác tích z  với số nghịch đảo z số phức z, tức Ví dụ: z z   z z.z z z  z .z z  z.z 1 Như vậy, z   z z z   i   3i    14i 4i   3i   3i   3i  13 6) Một số kết quan trọng Cho z1  a1  b1i; z2  a2  b2i ta có: a) z1 z2  z1 z2 b) z1 z1  z2 z2 z  0 Chứng minh: Ta có: z1 z2   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i Khi z1 z2   a  a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  2   a1a2   b1b2    a1b2    a2b1  2 2  b12  a22  b22   z1 z2 (đpcm) Tổng quát: z1 z2 zn  z1 z2 zn Hoàn toàn tương tự ta chứng minh z z1   z2   z2 z2 LƢU Ý: Tính tốn với số phức ta dung Máy tính Phương pháp CASIO: Ngồi cách thực tính tốn thơng thường, ta cịn sử dụng máy tính CASIO để hỗ trợ việc tính tốn phép tính số phức Bƣớc 1: Nhấn Mode để chuyển sang hình tính tốn số phức (màn hình CMPLX) Bƣớc 2: Nhập biểu thức cần tính tốn với số i ta bấm: (Tổ hợp phím SHIFT – – – Anpha X): Conjg số phức liên hợp X (Tổ hợp phím SHIFT – Abs – Anpha – X): X modun số phức X Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z  1  i     i  A Phần thực phần ảo i B Phần thực -3 phần ảo C Phần thực 3 phần ảo i D Phần thực 3 phần ảo 1 Lời giải Ta có: z  1  i     i   1  2i  i    i  2i   i  3  i Phần thực -3 phần ảo Chọn B Ví dụ 2: Cho hai số phức z1   3i z2   i Tính mơđun số phức z  z1  z2 A z  3 B z  30 C z  29 D z  C x  2; y  4 D x  3; y  4 Lời giải Ta có: z  z1  z2   2i  z  29 Chọn C Ví dụ 3: Tìm số thực x; y biết x   y  1 i   3i A x  2; y  B x  2; y  2 Lời giải  x  x  Do x   y  1 i   3i   Chọn C   y   y        Ví dụ 4: Cho số phức z  2m   3mi  m   9 A m  1;   13   Tìm m biết 9  B m  1;   13  z  10 9  C m  1;   13   9  D m  1;    13  Lời giải Ta có: z  10   2m  1   3m  2 m   10  13m  4m     Chọn D  m  9 13      Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn: z   3i   3i Tính mơđun số phức w  iz  A w  B w  C w  D w  Lời giải    Ta có: z   3i   3i    2i    2i   4  z  4 Do w  4i   w  Chọn A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho số phức z   i  i Tìm phần thực a phần ảo b z A a  0, b  B a  2, b  C a  1, b  D a  1, b  2 Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Cho hai số phức z1   3i z2  2  5i Tìm phần ảo b số phức z  z1  z2 A b  2 B b  C b  D b  3 Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 101) Cho hai số phức z1   7i z2   3i Tính số phức z  z1  z2 A z   4i B z   5i C z  2  5i D z   10i Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho hai số phức z1   3i z2   3i Tìm số phức z  z1  z2 A z  11 B z   6i C z  1  10i D z  3  6i Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z   3i   2i A z   5i B z   i C z   5i D z   i Câu 6: Cho số phức z   5i Tìm số phức w  iz  z A w   3i B w  3  3i C w   7i D w  7  7i Câu 7: Cho hai số phức z   3i, w   i Tìm phần ảo số phức u  z.w A 7 B 5i D 7i C Câu 8: (Đề minh họa lần – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu z1 , z2 , z3 z bốn nghiệm phức phương trình z  z  12  Tính T  z1  z2  z3  z4 C T   B T  A T  D T   Câu 9: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm năm 2017) Cho số phức z  x  yi  x, y   thỏa mãn z  18  26i Tính T   z      z  A B C D Câu 10: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z  z  10  tập hợp số phức, z1 nghiệm có phần ảo dương Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w  3z1  z3 A M  1;15  B M 15; 2  C M  2;15 D M 15; 1 Câu 11: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần năm 2017-2018) Tìm phần thực phần ảo số phức z12  z22 biết z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình: z  z   A B C D Câu 12: (THPT Quỳnh Lƣu – Nghệ An – Lần năm 2017 – 2018) ọi A , B hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức phương trình z  z   Tính độ dài đoạn thẳng AB : A B C D 12 Câu 13: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho số phức z , biết điểm biểu diễn hình học số phức z ; iz z  i z tạo thành tam giác có diện tích 18 Mơ đun số phức z A B C D Câu 14: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hịa Bình năm 2017-2018) Cho số phức z thỏa mãn z  Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w   2i    i  z đường trịn Bán kính R đường trịn ? A B 20 C D Câu 15: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N , P điểm biểu diễn số phức z1   i , z2   i , z3   3i Khẳng định sau đúng? A Tam giác MNP cân B Tam giác MNP C Tam giác MNP vuông D Tam giác MNP vuông cân Câu 16: (THTT số 6-489 tháng năm 2018) Cho hai điểm A , B hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0 , z1 khác thỏa mãn đẳng thức z02  z12  z0 z1 Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam giác gì? ( O gốc tọa độ)? Chọn phương án đầy đủ A Cân O B Vuông cân O C Đều D Vuông O Câu 17: (THTT số 5-488 tháng năm 2018) Có số phức z thỏa mãn z  z  3i   1? z i z i A B C D Câu 18: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần năm 2017-2018) Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1  z2   6i z1  z2  , tìm giá trị lớn P  z1  z2 A ĐÁP ÁN D 34  C  B 26 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D B A D B B A C C A B C C C C C B B ...  bi   a  2abi   bi   a  b  2abi 2  z   a  bi   a3  3a 2bi  3a  bi    bi   a3  3ab2   3a 2b  b3  i 3  1  i   2i; 1  i   2i 2 Ví dụ:   i 1  2i   ... B m  1;   13  z  10 9  C m  1;   13   9  D m  1;    13  Lời giải Ta có: z  10   2m  1   3m  2 m   10  13m  4m     Chọn D  m  9 13      Ví dụ... ảo i B Phần thực -3 phần ảo C Phần thực ? ?3 phần ảo i D Phần thực ? ?3 phần ảo 1 Lời giải Ta có: z  1  i     i   1  2i  i    i  2i   i  ? ?3  i Phần thực -3 phần ảo Chọn B Ví