ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG 3 §1 Đại cương về phương trình Thời lượng dự kiến 3 tiết Facebook GV1 soạn bài và phản biện Lợi Nguyễn Thái Facebook GV2 soạn bài và phản biện Kim Dung Cù Facebook GV4 chuẩn hóa Lan[.]
ĐẠI SỐ 10 – CHƯƠNG §1 Đại cương phương trình Thời lượng dự kiến: tiết Facebook GV1 soạn phản biện: Lợi Nguyễn Thái Facebook GV2 soạn phản biện: Kim Dung Cù Facebook GV4 chuẩn hóa: Lan Huong A PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I Khái niệm phương trình Phương trình ẩn: Định nghĩa f x g x Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f x g x Trong , biểu thức x x0 gọi nghiệm (1) f x0 g x0 (1) Giải (1) tìm tập nghiệm S (1) Nếu (1) vơ nghiệm S Ví dụ 2; ; 10 Cho phương trình x 3 Trong số số nghiệm; số không nghiệm phương trình nói trên? Lời giải 3 3 Số nghiệm phương trình ; số 2; 10 khơng nghiệm phương trình 2.( 2) 3 10 3 Điều kiện phương trình: Định nghĩa f x g x Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện ẩn số x để có nghĩa (tức phép tốn thực được) Ta nói điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) Ví dụ Tìm điều kiện phương trình sau: x x a) x x c) b) x x Lời giải a) Điều kiện để phương trình có nghĩa x 0 b) Do x 1 nên phương trình có nghĩa với x c) Điều kiện để phương trình có nghĩa x Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x y x xy 8, x xy z 3z xz y 2 3 z ) Phương trình (2) phương trình hai ẩn ( x y ), cịn (3) phương trình ba ẩn ( x , y Khi x 2, y 1 hai vế phương trình (2) có giá trị nhau, ta nói cặp x; y 2;1 nghiệm phương trình (2) x; y; z 1;1; nghiệm phương trình (3) Tương tự, ba số Phương trình chứa tham số Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số Ví dụ Các phương trình x m 0 ; x mx 0 coi phương trình ẩn x tham số m Giải biện luận phương trình chứa tham số xét xem với giá trị tham số phương trình vơ nghiệm, có nghiệm tìm nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình: (m 1) x 0 (1) Giải biện luận phương trình theo tham số m ? Lời giải +) m Phương trình (1) có nghiệm x m 1 +) m Phương trình (1) trở thành 0 (vơ lí) Suy phương trình (1) vơ nghiệm m Ví dụ 2: Cho phương trình x x m 0 Giải biện luận phương trình theo tham số m ? Lời giải +) Phương trình có nghiệm 1 m 0 m 1 Suy nghiệm phương trình x 1 m +) Khi ' 1 m m phương trình vơ nghiệm Hoạt động hình thành kiến thức: Giải phương trình sau So sánh nhận xét mối quan hệ tập nghiệm chúng ? x x 0 4x x 0 x 0 x 0 x II PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương trình tương đương Định nghĩa Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Chú ý Hai phương trình vơ nghiệm tương đương Ví dụ 1: x2 x x 6 có tương đương khơng? Hai phương trình: x Lời giải S 3 Tương đương, tập nghiệm Ví dụ 2: Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình x 0 ? x 1 x 0 A x 0 B x 0 C x 0 D Lời giải Chọn C S 1 Hai phương trình x 0 x 0 tương đương có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương Định lý Nếu thực phép biến đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương: a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác hoạc với biểu thức có giá trị khác Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu để tương đương phương trình Chú ý: Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức Ví dụ 1: Xét phép biến đổi sau: 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x x a) x x 3 2 x x 2 x 5 b) Tìm sai lầm phép biến đổi trên? Lời giải a) Sai ĐKXĐ phương trình x 1 b) Sai chia vế cho x 0 Ví dụ 2: Phép biến đổi sau phép biến đổi tương đương? 2 2 A x x x x x x 2 C x x x x x x Chọn D * Xét phương án A: B x x x x 2 2 D x x x x x x Lời giải x 0 2 x x x x x x x 0 x x 0 x 1 x 0 x x x 1 Hai phương trình khơng có tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương * Xét phương án B: x 0 x 0 x x x x 1 2 x x x 1 x 2 x x x 1 Hai phương trình khơng có tập nghiệm nên phép biến đổi khơng tương đương * Xét phương án C: x 2 x 0 2 x x x x x x x 0 x x x x 1 x 0 x x x 1 Hai phương trình khơng có tập nghiệm nên phép biến đổi không tương đương * Xét phương án D: x 0 2 2 x 0 x x x x x x x 1 x x x 0 x x x 1 Hai phương trình có tập nghiệm nên phép biến đổi tương đương Phương trình hệ Định nghĩa f x g x f x g1 x Nếu nghiệm pt nghiệm pt pt f1 x g1 x f x g x gọi pt hệ pt f x g x f1 x g1 x Ta viết Chú ý Phương trình hệ thêm nghiệm nghiệm pt ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Ví dụ 1: x x x 3x 0 (2) Xét phép biến đổi: x x (1) Các nghiệm (2) có nghiệm (1) không? Lời giải Các nghiệm (2) không nghiệm (1) x khơng nghiệm (1) nghiệm (2) Ví dụ 2: Cho phương trình nghiệm S 1; 2 phương trình 1 m A f x 0 có tập nghiệm S1 m; 2m 1 phương trình g x 0 có tập g x 0 Tìm tất giá trị m để phương trình phương trình hệ f x 0 B m 2 C m Lời giải D m Chọn D S1 , S tập nghiệm hai phương trình f x 0 g x 0 g x 0 f x 0 S S2 Ta nói phương trình phương trình hệ phương trình 1 m 2 1 m 2 m m 1 2m 2 Khi ta có B LUYỆN TẬP Gọi I Chữa tập SGK Bài trang 57 – SGK: Cho hai phương trình: x x Cộng vế tương ứng hai phương trình cho Hỏi: a) Phương trình nhận có tương đương với hai phương trình cho hay khơng? b) Phương trình có phải phương trình hệ hai phương trình cho hay khơng? Lời giải Ta có: 3x x 2x x Cộng vế theo vế hai pt cho ta được: x 5 x 1 (*) a Phương trình (*) khơng tương đương với hai phương trình cho khác tập nghiệm b Phương trình (*) khơng phải phương trình hệ hai pt cho nghiệm x x không nghiệm x 5 Bài trang 57 – SGK: Cho hai phương trình: x 5 x 4 Nhân vế tương ứng hai phương trình cho Hỏi: a) Phương trình nhận có tương đương với hai phương trình cho hay khơng? b) Phương trình có phải phương trình hệ hai phương trình cho hay khơng? Lời giải Phương trình x 5 (1) có nghiệm Phương trình x 4 (2) có nghiệm x x Nhân vế tương ứng hai phương trình cho ta phương trình 3x.4 x 5.4 hay 12 x 20 (3) có hai nghiệm x 5 x a) Phương trình (3) khơng tương đương với phương trình hai phương trình (1) (2) khơng có tập nghiệm b) Phương trình (3) khơng phải phương trình hệ phương trình phương trình (1) (2) nghiệm (1) (2) khơng phải nghiệm (3) Bài trang 57 – SGK: Giải phương trình a) x x x 1 b) x x x c) x2 x x d) x x x Lời giải a) x x x 1 Tập xác định: D ( ;3] Phương trình ⇔ x 1 (trừ hai vế phương trình cho x 1 thuộc tập xác định phương trình có nghiệm x 1 b) x x x x 0 x 2 x 2 x x ĐKXĐ: , x 2, VT x x 2 VP x 2 Vậy x = nghiệm phương trình c) x2 x x ĐKXĐ: x > x 3(thoa ) PT x 9 x Vậy x 3 nghiệm phương trình d) x x x 1 x 0 Điều kiện xác định : x 0 x 1 x 2 x ) Vậy phương trình có tập xác định D nên phương trình vô nghiệm Bài trang 57 – SGK: Giải phương trình: a) x 1 x 5 x 3 x 3 , b) x2 x x x c) , 2x 3x x x x2 x 2x 2x d) Lời giải a) x 1 x 5 x 3 x 3 Điều kiện xác định: x Phương trình x 1 x 3 x 1 x 0 x 3 (thoả mãn điều kiện xác định) Vậy phương trình có nghiệm x 0 b) 2x 3x x x Điều kiện xác định: x 1 3x 3 x x (chuyển vế x ) Phương trình 3x 3.( x 1) 2x 2x x 3 x x x (thoả mãn đkxđ) 2x Vậy phương trình có nghiệm x x2 4x x x c) Điều kiện xác định : x Phương trình x x x (Nhân hai vế với x 0 x x 0 x( x 5) 0 x 5 So sánh với điều kiện xác định thấy x 5 thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x 5 x2 x 2x 2x d) x 0 ) Điều kiện xác định: x 2 Phương trình x x 2 x (nhân hai vế với x 0 ) x 0 x 0 x x 0 x(2 x 3) 0 x 3 x 0 2 So sánh với điều kiện xác định thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm II Bài tập trắc nghiệm Câu [Mức độ 1] Điều kiện xác định phương trình x 2 x A B x 2 x 1 x C x D x Lời giải Chọn A x 2 x2 0 x2 x Điều kiện xác định phương trình Câu 2: [Mức độ 1] Điều kiện xác định phương trình x x A x B x 3 C x D x Lời giải Chọn B 3 x 0 x Điều kiện xác định phương trình x 3 x 3 x Câu 3: [Mức độ 1] Điều kiện xác định phương trình x x A x B x C x Lời giải Chọn D D x 3 x 2 x 0 x 3 x 0 x 2 Điều kiện xác định phương trình Câu 4: [Mức độ 2] Tập nghiệm phương trình x x x A S B S C S 0 D S 1 Lời giải Chọn B Điều kiện: x 0 x x x x Vây tập nghiệm phương trình cho S Câu 5: [Mức độ 2] Cho phương trình: x x 0 (1) Phương trình tương đương với phương trình (1) ? A x x 1 0 2 C x ( x 1) 0 B x 0 D x 0 Lời giải Chọn A x 0 (1) x x 0 x x 0 x x 1 0 x Đáp án A: m x 3m Câu 6: [Mức độ 2] Phương trình có nghiệm A m 2; m B m C m 2 D m 2 Lời giải Chọn D m Phương trình x 3m có nghiệm m 0 m 2 * sau: Câu 7: [Mức độ 2] Một học sinh giải phương trình x x x * x 0 Bước : Bước : x Bước 3: Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm x Bài làm hay sai, sai sai bước nào? A Bài làm sai từ bước B Bài làm sai từ bước C Bài làm sai từ bước D Bài làm Lời giải Chọn D Theo phương pháp giải phương trình cách đưa phương trình hệ ta khẳng định Bài làm Câu 8: [Mức độ 1] Hai phương trình gọi tương đương A Có tập xác định B Có số nghiệm C Có dạng phương trình D Có tập hợp nghiệm Lời giải Chọn D Theo định nghĩa sách giáo khoa 10 hai phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm Câu 9: [Mức độ 3] Tìm khẳng định sai khẳng định đây? 2 x 0 x 2 x x x x A B C x 1 x 1 D x x x 0 Lời giải Chọn A 1 x 0 x 1 1 x x 1 x x x 2 Ta có: Vơ nghiệm 2 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2x 5 x Câu 1: [Mức độ 1] Điều kiện xác định phương trình x D \ 1 D \ 1 D \ 1 A B C D D Lời giải Chọn D Do x 0, x nên điều kiện xác định phương trình D Câu 2: [Mức độ 1] Tập xác định hàm số D \ 4 D \ 2 A B y 3x x D \ 4 C D D \ 2 D D \ 4 Lời giải Chọn D Điều kiện xác định: x 0 x D \ 2 Tập xác định: x2 x 3x Câu 3: [Mức độ 1] Tập xác định hàm số D \ 1; 4 D \ 1; 4 A D B C y Lời giải Chọn C x 1 x x 0 x Vậy D \ 4;1 Điều kiện xác định Câu 4: [Mức độ 2] Điều kiện xác định phương trình x x x A x B x 2 C x 1 D x 3 Lời giải Chọn D Điều kiện xác định phương trình là: x 0 x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 2 Câu 5: [Mức độ 1] Tìm điều kiện m để phương trình x m x 2m 0 có nghiệm A m 1 B m 0 C m D m Lời giải Chọn A Thay x vào phương trình ta m 2m 0 m 1 3 4x x x 3 x có nghiệm? Câu 6: [Mức độ 2] Phương trình A B C D Lời giải Chọn B Điều kiện xác định: x Với điều kiện trên, ta có: x 0 3 4x x x x x 3 x 3 x So sánh điều kiện, ta có x 0 nghiệm phương trình Câu 7: [Mức độ 2] Phương trình x x 0 có tích tất nghiệm A B C D Lời giải Chọn B 3 3 x1,2 x 2 x x 0 x1.x2 x3 x4 1 7 x x 3,4 Ta có 2 Câu 8: [Mức độ 2] Tập nghiệm phương trình x x x x S 0 S 0; 2 S 2 A B S C D Lời giải Chọn C x x 0 x x 0 Điều kiện: x x 0 x x 0 x x 0 x 0 x 2 Thử lại ta thấy x 0 x 2 thỏa mãn phương trình Câu 9: [Mức độ 3] Phép biến đổi sau phép biến đổi tương đương? 2 2 A x x x x x x 2 C x x x x x x B x x x x 2 2 D x x x x x x Lời giải Chọn D x 0 x x x 1 , thay vào phương trình đầu thấy khơng thỏa Xét A, 1 1 x 1 x2 x x 2 Xét B, , thay vào phương trình đầu thấy khơng thỏa x 0 x x x 1 , thay vào phương trình đầu thấy khơng thỏa Xét C, Xét D dễ thấy hai phương trình điều kiện tập nghiệm 4x Câu 10: [Mức độ 2] Phương trình A B 3 x x 3 x có nghiệm? C D Lời giải Chọn B Điều kiện xác định: x Với điều kiện trên, ta có: x 0 3 4x x x x x 3 x 3 x So sánh điều kiện, ta có x 0 nghiệm phương trình 1 6 x x C D x2 x Câu 11: [Mức độ 2] Số nghiệm phương trình A B Lời giải Chọn C x 1 x x 3 x 3 x 1 x x 6 x x 0 x x x x x 6 Vậy x 3 nghiệm phương trình hay số ngiệm phương trình x2 0 x Câu 12: [Mức độ 2] Tập nghiệm phương trình S 1;1 A B S C S Lời giải D S 1 Chọn D Điều kiện: x x2 0 x 0 x 1 x Kết hợp điều kiện ta x 1 Câu 13: [Mức độ 3] Chọn cặp phương trình tương đương cặp phương trình sau: x x 1 0 x B x 0 A x x 1 x x 1 x x x x C D x x 1 x x 1 Lời giải Chọn B Xét đáp án: x 0 2x x 1 x x 1 Đáp án A, Ta có x 1 x x 3 x x 2 Do đó, x x 1 x x 1 cặp phương trình tương đương x x 1 0 x Đáp án B, Ta có x 1 x 0 x x 0 x 0 x x 1 0 x Do đó, x 0 cặp phương trình tương đương x 2 13 2 x 0 x 2 x 13 x x x x 2 Đáp án C, Ta có x x x x 0 x 13 Do đó, x 2 x x x cặp phương trình tương đương x 0 x x 1 x x x 1 Đáp án D, Ta có Do đó, x x 1 x x 1 khơng phải cặp phương trình tương đương Câu 14: [Mức độ 3] Tìm giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2 x mx 0 (1) x m x m 1 x 0 (2) A m 2 B m 3 C m Lời giải Chọn B D m x x x mx 0 x mx 0 Ta có Do hai phương trình tương đương nên x =- nghiệm phương trình (1) 2 m 0 m 3 Thay x vào (1), ta Với m 3 , ta có · (1) trở thành x x 0 x x x 2 x x x 0 x x 1 0 x 1 · (2) trở thành 2 Suy hai phương trình tương đương Vậy m 3 thỏa mãn Câu 15: [Mức độ 3] Tìm tất giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx m 1 x m 0 (1) m x 3x m 15 0 B m 5; m 4 A m C m 4 (2) D m 5 Lời giải Chọn C Ta có x 1 mx m 0 1 x 1 mx m 0 Do hai phương trình tương đương nên x 1 nghiệm phương trình (2) Thay x 1 vào (2), ta m m 15 0 m2 m Với m , ta có (1) trở thành (2) trở thành - x +12 x - = Û x = x 1 x x 10 0 x 10 x 1 Suy hai phương trình khơng tương đương Với m 4 , ta có (1) trở thành (2) trở thành x x 0 x x x 0 x x 1 Suy hai phương trình tương đương Vậy m 4 thỏa mãn x 1 m 20 0 m 4