Xác suất thống kê TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA SƯ PHẠM BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bình Dương, 2021. Tài liệu bao gồm khái niệm . Câu hỏi và lời giải chi tiết phục vụ cho việc ôn thi môn xác suất thống kê bật đại học .
Xác suất thống kê Lê Thị Thu TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA SƯ PHẠM BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bình Dương, 05/2021 Xác suất thống kê Lê Thị Thu PHẦN I: XÁC SUẤT CHƯƠNG 0: BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP I Cơng thức nhân Ví dụ 1: Có cách từ A đến C? Giải: Đi từ A B có cách Đi từ B C có cách Vậy A B C có cách Ví dụ 2: Từ tập S={0,1,2,3,4,5,6} lập số tự nhiên gồm chữ số? Giải: Gọi số có chữ số lập từ S abc Có cách chọn a (a khác 0) Có cách chọn b Có cách chọn c Vậy tất có 677=294 số Ví dụ 3: Một người có đơi giày, quần tây, áo sơ mi cavat Mỗi ngày làm người giày, mặc quần tây, áo sơ mi thắt cavat Hỏi có cách người phối đồ khác nhau? Giải: Có 2343=72 cách Cơng thức nhân: Chia cơng việc nhiều giai đoạn Giai đoạn thực n1 cách Giai đoạn thực n2 cách …………………………………………… Giai đoạn k thực nk cách Vậy công việc thực n1 n2 nk cách II Cơng thức cộng Ví dụ Có cách từ A đến C? Giải: Đi từ A C có hai trường hợp (có thể xảy TH TH kia) Trường hợp 1: A B C có cách Trường hợp 2: A D C có cách Vậy từ A C có + = cách Xác suất thống kê Lê Thị Thu Ví dụ 2: Một người có đơi giày thể thao, đôi giày tây, quần tây, áo sơ mi cavat Mỗi ngày làm người giày, mặc quần tây, áo sơ mi Người thắt cavat vào hơm giày tây Hỏi có cách người phối đồ khác nhau? Giải: TH1: Đi giày tây: Có 1343 = 36 cách TH2: Đi giày thể thao: Có 234 = 24 cách Vậy tất có 36 + 24 = 60 cách Công thức cộng: Chia cơng việc thành nhiều trường hợp Trường hợp có n1 cách thực Trường hợp có n2 cách thực Trường hợp k có nk cách thực Vậy số cách thực công việc n1 n2 nk Chú ý: “VÀ * HOẶC +” III Hoán vị Mỗi hoán vị n phần tử cách xắp xếp có thứ tự n phần tử cho Số hốn vị: Pn n! Ví dụ 1: Có cách xếp bạn ngồi vào bàn gồm ghế? Giải: Mỗi cách xếp bạn ngồi vào bàn gồm ghế hoán vị Vậy số cách xếp P4 4! 24 (cách) Ví dụ 2: Có nam nữ Hỏi có cách xếp thành đơi nam nữ để khiêu vũ? Giải: Có P5 5! 120 cách IV Chỉnh hợp Mỗi chỉnh hợp chập k n phần tử (k ≤ n) cách chọn có thứ tự (khơng lặp) k phần tử từ n phần tử cho Số chỉnh hợp Ank n! (n k )! Ví dụ: Có cách xếp người vào bàn gồm ghế? Giải: Mỗi cách xếp người vào bàn gồm ghế chỉnh hợp chập Vậy có A64 360 cách Chú ý: Hoán vị trường hợp riêng chỉnh hợp, k = n Bấm Ank dùng máy tính bỏ túi: [n nPr k =] V Tổ hợp Mỗi tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) cách chọn (không phân biệt thứ tự) k phân tử từ n phần tử cho Số tổ hợp Cnk n! k !(n k )! Xác suất thống kê Lê Thị Thu Ví dụ: Một lớp gồm 40 sinh viên, có 18 nam a Có cách chọn sinh viên? b Có cách chọn sinh viên, có nam nữ? c Có cách chọn sinh viên, có nam? Đáp số: a C403 9880 cách b C182 C22 3366 cách c C181 C222 C182 C22 C183 C220 8340 cách hoặc: C403 C180 C223 8340 Chú ý: Một số công thức tổ hợp: Cn0 1; Cnn 1; Cn1 n; Cnk Cnn k BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI 0.1: Từ số {0,1,2,3,4} có số chẵn gồm chữ số đôi khác nhau? BÀI 0.2: Một hộp gồm bi trắng bi đỏ a Có cách chọn viên bi từ hộp? b Có cách chọn viên bi trắng từ hộp? c Có cách chọn viên bi, có trắng đỏ? BÀI 0.3: Một hộp gồm 10 sản phẩm, có sản phẩm tốt phế phẩm.Lấy từ hộp sản phẩm Có cách lấy: Cách 1: Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Cách 2: Lấy (khơng hồn lại) sản phẩm Cách 3: Lấy (lần lượt) có hồn lại sản phẩm (chọn lặp) Hãy xét theo cách lấy: a Có cách lấy sản phẩm tốt? b Có cách lấy sản phẩm tốt? c Có cách lấy sản phẩm tốt? d Có cách lấy số sản phẩm tốt nhiều số phế phẩm? BÀI 0.4: Có hộp Hộp I đựng 10 bi (8 xanh, đỏ) Hộp II đựng 20 bi (15 xanh, đỏ) a Có cách lấy từ hộp bi? b Có cách lấy từ hộp bi cho có bi đỏ lấy ra? c Có cách lấy từ hộp bi cho có bi đỏ lấy ra? d Có cách lấy từ hộp bi cho có bi đỏ lấy ra? e Có cách lấy từ hộp bi cho bi lấy màu? Xác suất thống kê Lê Thị Thu CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CƠNG THỨC XÁC SUẤT §1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I Đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất – thống kê - Đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê tượng ngẫu nhiên - Mục đích: tìm qui luật tượng ngẫu nhiên - Lý thuyết xác suất: tìm mơ hình xác suất cho tượng ngẫu nhiên - Lý thuyết thống kê: dựa vào liệu thống kê (lấy từ thực tế) để xác hóa mơ hình xác suất, đưa định dự báo II Phép thử, biến cố + Phép thử việc thực hành động hay thí nghiệm mà ta khơng biết trước kết xảy ra, biết trước tổng số trường hợp xảy Kí hiệu phép thử: T + Biến cố kết có phép thử Kí hiệu: A, B, C, … + Biến cố chắn: biến cố định xảy thực phép thử Kí hiệu: + Biến cố khơng thể (biến cố bất khả): biến cố định không xảy thực phép thử Kí hiệu: + Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy khơng thực phép thử Ví dụ 1: Tung xúc xắc phép thử Gọi A1 biến có xuất mặt chấm, Gọi A2 biến có xuất mặt chấm, ……………………… Gọi A6 biến có xuất mặt chấm =>Khi đó, A1,…, A6 biến cố ngẫu nhiên Gọi B biến cố xuất mặt có số chấm từ đến => B (B biến cố chắn) Gọi C biến cố xuất mặt chấm => C (C biến cố khơng thể) Ví dụ 2: Một gia đình có bán đàn gà gồm 10 (3 trống, mái) Một người mua ngẫu nhiên đàn Gọi A biến cố người mua trống => A (A biến cố không thể) Gọi B biến cố người mua mái => B (B biến cố chắn) Gọi C biến cố người mua số trống số mái => C biến cố ngẫu nhiên + Biến cố tổng: C=A+B (hoặc C A B ) Biến cố C gọi biến cố tổng hai biến cố A B C xảy A xảy B xảy A B xảy (ít biến cố xảy ra) Ví dụ 1: Tung xúc xắc Gọi Ai biến cố (bc) xuất mặt i chấm Gọi A bc xuất mặt có số chấm chẵn; B bc xuất mặt có số chấm chia hết cho A=A2 +A4 +A6 B= A3 +A6 Xác suất thống kê Lê Thị Thu Ví dụ 2: Những SV có học lực giỏi SV đạt giải kỳ thi Olympic nhà trường khen thưởng Chọn ngẫu nhiên sinh viên trường Gọi A bc chọn SV đạt học lực giỏi; B bc chọn SV đạt giải kỳ thi Olympic C bc chọn SV khen thưởng C=A+B + Biến cố tích: C=A.B (hoặc C A B ) Biến cố C gọi biến cố tích hai biến cố A B C xảy hai biến cố A B xảy phép thử Ví dụ 1: Tung xúc xắc Gọi Ai biến cố (Bc) xuất mặt i chấm Gọi A Bc xuất mặt có số chấm chẵn; B Bc xuất mặt có số chấm chia hết cho 3; C Bc xuất mặt có số chấm nhỏ 5; Suy ra: AB = A6 ; BC = A3 ; ABC= Ví dụ 2: Hai người bắn vào thú Gọi A bc người bắn trượt, B bc người bắn trượt; C bc thú không bị bắn trúng C=A.B D bc thú bị bắn trúng D = ???? + Biến cố sơ cấp: bc khác bc bất khả khơng thể phân tích dạng tổng bc ngẫu nhiên khác + Một bc A tổng số bc sơ cấp Ta gọi bc sơ cấp bc thuận lợi cho bc A Ví dụ: Tung xúc xắc Gọi Ai bc xuất mặt có số chấm i (i=1, ,6), A bc xuất mặt có số chấm chẵn => Ai bc sơ cấp; A = A2 + A4 + A6 Có bc sơ cấp thuận lợi cho A A2, A4 , A6 + Biến cố xung khắc: A.B = Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng xảy đồng thời thực phép thử + Biến cố đối lập: Biến cố đối lập bc A, ký hiệu A bc xảy A không xảy A A Như vậy: A A Ví dụ: Tung xúc xắc Gọi A bc xuất mặt chẵn, B bc xuất mặt lẻ, C bc xuất mặt chấm B bc đối lập A ngược lại Xác suất thống kê Lê Thị Thu A, C xung khắc không đối lập + Các biến cố đồng khả năng: bc có khả xảy thực phép thử Ví dụ: - Tung xúc xắc Các bc sơ cấp Ai đồng khả - Tung đồng xu Bc xuất mặt sấp bc xuất mặt ngửa đồng khả - Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp gồm bi đỏ, bi trắng bi xanh Khi bc lấy bi đỏ bc lấy bi xanh đồng khả năng; bc lấy bi đỏ bc lấy bi trắng không đồng khả + Hệ đầy đủ: biến cố A1 , A2 , , An gọi hệ đầy đủ Khi thực phép thử chúng xảy ra: A1 A2 An Chúng xung khắc với đôi một: Ai A j ; i, j 1, n Nhận xét: Hai biến cố A A tạo thành hệ đầy đủ Ví dụ 1: Một hộp đựng loại bi trắng, xanh, vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên Gọi T bc lấy viên bi trắng, X bc lấy viên bi xanh, V bc lấy viên bi vàng Hệ biến cố T,X,V hệ đầy đủ Ví dụ 2: Một sản phẩm bán thị trường nhà máy X, Y, Z sản xuất Mua ngẫu nhiên sản phẩm Xác định hệ biến cố đầy đủ cho sản phẩm Gọi A bc mua sản phẩm nhà máy X sản xuất; B bc mua sản phẩm nhà máy Y sản xuất; C bc mua sản phẩm nhà máy Z sản xuất Hệ biến cố A, B, C hệ đầy đủ + Không gian biến cố sơ cấp: biến cố A1 , A2 , , An gọi không gian biến cố sơ cấp chúng hệ đầy đủ tách nhỏ III Các tính chất phép tốn biến cố Giao hoán: A+B=B+A; AB=BA Kết hợp: A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C A(BC)=(AB)C=ABC Phân phối: A(B+C)=AB+AC Lũy đẳng: A+A=A, A.A=A A ; A. A; A A; A. Nếu B A A B hay A A Luật đối ngẫu De Morgan: A B A.B ; A.B A B Ví dụ Hai người bắn, người bắn viên vào bia Gọi A1 bc người thứ bắn trúng bia; A2 bc người thứ hai bắn trúng bia Khi ta biểu diễn bc sau theo A1, A2 a Chỉ có người thứ bắn trúng bia: A1 A2 b Có người bắn trúng: A1 A2 A1 A2 c Có người bắn trúng: A1 A2 d Cả hai bắn trúng: A1 A2 e Không bắn trúng: A1 A2 f Có khơng q người bắn trúng: A1 A2 A1 A2 Xác suất thống kê Lê Thị Thu §1.2 XÁC SUẤT I Định nghĩa xác suất theo tiên đề Xác suất biến cố A khả để xảy biến cố A Kí hiệu: P(A) Xác suất phải thỏa tiên đề sau: P( A) P() P(A+B)=P(A)+P(B) với A B hai biến cố xung khắc Tính chất xác suất: P( A) P( A) P( ) P ( A) Nếu A B P( A) P ( B) II Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển Cho phép thử có hữu hạn biến cố sơ cấp (bcsc) đồng khả năng, A bc Khi đó: P( A) n( A) n () Trong đó: n(A) số bcsc thuận lợi cho biến cố A n() tổng số bcsc xảy Ví dụ 1: Tung xúc xắc đồng chất Gọi A bc xuất mặt có số chấm chẵn, B bc xuất mặt có số chấm không nhỏ 3, C bc xuất mặt có số chấm nhỏ 10 Tính P(A), P(B), P(C)? Giải: Khi tung xúc xắc, có tất bcsc đồng khả xảy => n() Gọi Ai bc xuất mặt i chấm n( A) n ( ) n( B ) B A3 A4 A5 A6 n( B) P( B) n( ) A A2 A4 A6 n( A) P( A) C bc chắn nên P(C)=1 Ví dụ 2: Một lơ hàng chứa 20 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Tính XS được: a Cả sản phẩm tốt b Ít sản phẩm tốt c Khơng phế phẩm d Số sản phẩm tốt nhiều số phế phẩm Giải: Lô hàng chứa 20 sản phẩm (16 tốt, phế phẩm) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm => n() C204 a Gọi A bc sản phẩm tốt P( A) C164 364 0,3756 C20 969 Xác suất thống kê Lê Thị Thu b Gọi B bc sản phẩm tốt => B bc phế phẩm P( B) P( B) P( B) C44 4844 0,9998 4845 C204 C161 C43 C162 C42 C163 C41 C164 C40 C204 c Gọi C bc không phế phẩm (0 phế phẩm, tốt HOẶC phế phẩm, tốt) C40 C164 C41 C163 812 P(C ) 0,8380 969 C204 C204 d Gọi D bc số sản phẩm tốt nhiều số phế phẩm (3tốt xấu HOẶC tốt xấu) P( D) C163 C41 C164 812 0,8380 C204 C20 969 Công thức XS lựa chọn: Xét lô hàng chứa N sản phẩm, có NA sản phẩm loại A Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng n sp Khi đó, XS để n sản phẩm chọn có k sản phẩm loại A là: Pn ( k ) CNk A C NnkN A CNn Ví dụ 3: Một hộp đựng 10 viết gồm mực xanh mực đỏ Lấy ngẫu nhiên viết Tính xác suất được: a Đúng mực đỏ b Ít mực xanh c Ít mực đỏ d Nhiều mực đỏ HD: Gọi A, B, C, D bc cần tìm xác suất C73 C31 C73C31 C74 C74 C74 C31C73 C32 C72 P( A) ; P( B ) ; P(C ) ; P( D) C10 C104 C10 C104 Hạn chế định nghĩa cổ điển: Định nghĩa cổ điển áp dụng tổng số bcsc hữu hạn bcsc đồng khả Khi khơng thỏa mãn điều kiện này, ta cần tính xác suất phương pháp khác III Định nghĩa XS theo thống kê: Giả sử tiến hành n phép thử độc lập điều kiện nhau, bc A xảy mA lần Tỷ số mA gọi tần suất xuất bc A n Khi số phép thử n lớn, tần suất A dao động quanh giá trị không đổi p (0 p 1) Giá trị gọi xác suất bc A, mA n n ký hiệu P(A) Như p ( A) lim Ví dụ: Khi tung đồng xu đồng chất nhiều lần, người ta thấy XS xuất mặt sấp = XS xuất mặt ngửa = ½ Người thí nghiệm Buffon Số lần thí nghiệm (n) 4.040 Số lần xuất mặt sấp (m) 2.048 Tần suất f 0,5080 m n Xác suất thống kê Lê Thị Thu Pearson Pearson 12.000 24.000 6.019 12.012 10 0,5016 0,5005 IV Định nghĩa XS theo quan điểm hình học: Giả sử A biểu diễn miền hình học Kí hiệu m(A) , m() kích thước chúng Khi P( A) m( A) m () Ví dụ: Tung viên bi vào hình vng cạnh a Tính xác suất để viên bi nằm hình trịn nội tiếp hình vng Giải: Đặt A biến cố viên bi nằm hình trịn nội tiếp hình vng Ta có hình biểu diễn cho biến cố A hình trịn nội tiếp, cho hình vng S (A) (a / 2) Vậy P ( A) S () a2 §1.3 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT I Cơng thức cộng xác suất * Cho hai biến cố A B ta có P( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) * Đối với bc A,B,C bất kì: P( A B C ) P( A) P( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P( BC ) P( ABC ) Ví dụ Một lớp có 45 học sinh Số học sinh giỏi văn, giỏi toán, giỏi văn toán lớp cho bảng sau Chọn ngẫu nhiên bạn lớp Tìm xác suất để chọn bạn giỏi mơn hai mơn văn tốn Văn 25 Toán 30 Văn Toán 20 Giải: Gọi F biến cố chọn bạn giỏi mơn hai mơn văn tốn, A biến cố chọn bạn giỏi văn, B biến cố chọn bạn giỏi tốn Ta có: F A B Suy P( F ) P ( A) P ( B) P ( A.B ) 25 30 ; P( B ) 45 45 25 30 20 Vậy P( F ) 45 45 45 mà P( A) ; P( A.B ) 20 45 * Chú ý: A, B xung khắc P( A B ) P ( A) P ( B ) ... loại thu? ??c Hộp I gồm lọ thu? ??c (có lọ phẩm chất) Hộp II gồm lọ thu? ??c (có lọ phẩm chất) Từ hộp I lấy ngẫu nhiên lọ bỏ sang hộp II, sau từ hộp II lấy ngẫu nhiên lọ Tính xác suất để: a Lấy lọ thu? ??c... thống kê Lê Thị Thu CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CƠNG THỨC XÁC SUẤT §1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I Đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất – thống kê - Đối tượng nghiên cứu lý thuyết xác suất... gọi bc sơ cấp bc thu? ??n lợi cho bc A Ví dụ: Tung xúc xắc Gọi Ai bc xuất mặt có số chấm i (i=1, ,6), A bc xuất mặt có số chấm chẵn => Ai bc sơ cấp; A = A2 + A4 + A6 Có bc sơ cấp thu? ??n lợi cho A