Phát triển và nâng cao kỹ năng vận dụng bất đẳng thức bunhiacopxki

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT AN NHƠN  ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2x  x y 2y 2z  3 yz zx GIÁO VIÊN : PHAN NGỌC TOÀN NĂM HỌC : 2011 - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Bất đẳng thức cực trị toán khó nhằm phát triển tư nâng cao kiến thức cho học sinh cấp THCS THPT Trong đó, việc vận dụng bất đẳng thức Cơsi, Bunhiacopxki để giải thành thạo tốn bất đẳng thức cực trị điều đơn giản Trong kì thi cấp thi học kì, thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh, cấp quốc gia, Olympic khu vực, …chúng ta thường tháy có mặt bất đẳng thức, cực trị nhằm tìm học sinh có khiếu học tốn Hiện nay, chuyên đề bất đẳng thức có nhiều thầy cơ, tác giả viết sách tìm hiểu viết vấn đề Tuy nhiên tài liệu tìm hiểu chuyên sâu việc rèn luyện kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, tơi tìm hiểu , nghiên cức để đưa số kỹ thường gặp viết thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển nâng cao kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki” nhằm giúp học sinh chủ động, tự tin đứng trước bất đẳng thức cực trị Đề tài chủ yếu nêu bật kỹ cần rèn luyện cho học sinh trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải tốn kì thi cấp thường gặp II Phương pháp tiến hành Dựa thức tế dạy lớp ban khao học tự nhiên, tham gia dạy bồi dưỡng lớp học sinh giỏi cấp năm học vừa qua Trên sở đó, tơi tìm hiểu , nghiên cứu , tích lũy tham khảo ý kiến đồng nghiệp để viết sáng kiến kinh nghiệm Đề tài sử dụng phương pháp phân tích,đánh giá ,dự đốn Hệ thống hóa dạng tập tương ứng với kỹ Trong q trình biên soạn tơi nhận giúp đỡ thầy tổ Tốn trường THPT An Nhơn Tôi xin chân thành cảm ơn mong góp ý chân thành đồng nghiệp để chuyên đề trở nên phong phú có thêm nhiều tài kiệu cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần B NỘI DUNG ĐỀ TÀI “PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI” I Mục tiêu Nội dung đề tài gồm hai phần, phần 1: giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki biến thể thường gặp nó, phần 2: giới thiệu số kỹ cần rèn luyện cho học sinh trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải tốn Đề tài chủ yếu sâu vào phân tích để tìm điểm then chốt kỹ vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán Các tài liệu tham khảo viết chung chung giải số lượng lớn tập mang tính chất rời rạc Trong đó, Chúng tơi cố gắng qua ví dụ cụ thể để làm bật lên kỹ vận dụng bất đẳng thứcBunhiacopxki để giải toán II Nội dung giải pháp đề tài Giải pháp Chương I Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki biến thể Trong chương trình tốn học phổ thơng ta thượng gặp bất đẳng thức mà gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dạng sau( có tên gọi khác ) :  Dạng Với a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn số thực tùy ý ta ln có: (a1b1  a2 b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) (A) Đẳng thức xảy khi: a a1 a2    n b1 b2 bn ( Quy ước mẫu số tử số 0) Các trường hợp đặc biệt thường gặp:  Với số a, b, x, y ta ln có: (ax  by )  (a  b )( x  y ) a b  x y  Với số a, b, c, x, y , z ta có: (ax  by  cz )2  (a  b  c )( x  y  z ) a b c Đẳng thức xảy   x y z  Dạng Với a1 , a2 , , an số thực tùy ý b1 , b2 , , bn số thực dương Đẳng thức xảy , ta ln có: a (a  a   an )2 a12 a22 (B)    n  b1 b2 bn b1  b2   bn a a a Đẳng thức xảy :    n b1 b2 bn Các trường hợp đặc biệt thường gặp:  Với số a, b tùy ý x, y  ta ln có: Đẳng thức xảy a b (a  b)   x y x y a b  x y  Với số a, b, c tùy ý x, y, z  ta ln có: Đẳng thức xảy a b c ( a  b  c)    x y z x yz a b c   x y z GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Ngồi ta cịn gặp số biến thể dạng đặc biệt sau:  Với a, b  , ta có bất đẳng thức sau Đẳng thức xảy a = b 1  4ab (a  b) ab ab  a b 1 (a  b)(  )  a b 1   a b ab     Chương II MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI TRONG GIẢI TOÁN Kỹ năng” Biến đổi thuận” 1.1 Biến đổi thuận dạng Để vận dụng kỹ “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” dạng ta thường xuất phát từ giả thiết toán từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất biểu thức dạng (a1b1  a2b2   anbn ) Từ biến đổi để đánh giá theo biểu thức (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Ta xem xét qua số ví dụ sau: Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : 3(a  b  c )2  (a  2)(b  2)(c  2) Nhận xét: Trước hết, ta cần ý đến xuất biểu thức (a  b  c)2 vế trái a  vế phải bất đẳng thức cần chứng minh Điều làm cho ta suy nghĩ đến việc biến đổi biểu thức (a  b  c)2 để đánh giá theo biểu thức a  , mục đích làm đơn giản bất đẳng thức cần chứng minh cách giảm số biến ( giảm biến a chẳng hạn) Từ đó, ta có lời giải sau: Lời giải : (b  c)  bc 2   Ta có: (a  b  c)   a.1  )    (a  2) 1  (      (b  c )  2 Bài toán đưa chứng minh:     (b  2)(c  2) (2)   Ta lại có, (2)  (b  c)  (bc  1)  Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên bất đẳng thức cho lươn  a  b  c  Đẳng thức xảy b  c  a  b  c 1 bc    GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Bài toán Cho a, b, c số thực Chứng minh : (ab  bc  ca  1)  (a  1)(b  1)(c  1) Nhận xét: Tương tự toán 1, ta cần ý đến xuất biểu thức (ab  bc  ca  1) vế trái a  vế phải bất đẳng thức cần chứng minh Điều làm cho ta suy nghĩ đến việc biến đổi biểu thức (ab  bc  ca  1) để đánh giá theo biểu thức a  , mục đích làm đơn giản bất đẳng thức cần chứng minh cách giảm số biến ( giảm biến a chẳng hạn) Từ đó, ta có lời giải sau: Lời giải : Ta có: (ab  bc  ca  1)2   a.(b  c)  (bc  1)   (a  1) (b  c)  (bc  1)2  Bài toán đưa chứng minh: (b  c)  (bc  1)2  (b  1)(c  1) (2) Đây đẳng thức (b  c)  (bc  1)2  (b  1)(c  1) Đẳng thức xảy a(bc  1)  b  c  a  b  c  abc Bài toán Cho a, b, c, d số thực thõa mãn (a  1)(b  1)(c  1)(d  1)  16 Chứng minh : 3  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  Lời giải : Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại sau : 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd   Hay  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  16 2 Ta có:  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1   a (b  c  d  bcd )  1.(bc  bd  cd  1)   a  1  (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1)2  Bài toán đưa chứng minh: (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1)  (b  1)(c  1)(d  1) Đây đẳng thức (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1)  (b  1)(c  1)(d  1) Nhận xét: Để vận dụng toán toán 2, điểm quang trọng viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd   Bài toán Cho x, y, z > thõa 1    Chứng minh : x y z x 1  y 1  z   x  y  z Lời giải : Ta có: Nên  x 1 y  z    1 1 x 1  y 1  z    x  y  z       ( x  y  z)      y z  x y z  x  x 1  y 1  z   x  y  z   1 1  x  y  z 1  Đẳng thức xảy  x yz  x 1  y 1  z 1 2  x y z GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Nhận xét: Sự xuất biểu thức x   y   z  sở để ta sử dụng kỹ xuất biểu thức cách thuận lợi x  y  z vế phải giúp ta biến đổi thuận Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a (b  1)  b(c  1)  c (a  1)  (a  1)(b  1)(c  1) Lời giải : Ta có : a (b  1)  b(c  1)  (a  1)  (b  1)  (c  1) Nên ta cần chứng minh: b(c  2)   c  (b  1)(c  1) Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được: c  (b  1)(c  2)(2c  1)  b(c  2)   c   b(c  2)  1  (c  1)     c 1  c 1  (c  2)(2c  1)  c  (*) c 1 Mà (*) tương đương với: 4(c  2)(2c  1)  9(c  1)2  (c  1)  Đẳng thức xảy a  b  c  Nên ta cần chứng minh: Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b c    b (c  a ) c (a  b) a (b  c ) 2(ab  bc  ca) Lời giải : Ta có:  a  b c  a b c   b (c  a )  c(a  b)  a (b  c)      2 c a   b (c  a) c (a  b) a (b  c)  b    a b c      b(c  a )  c(a  b)  a (b  c)   b (c  a ) c ( a  b ) a (b  c )  a b c    33 b c a a b c    Nên b (c  a ) c (a  b) a (b  c ) 2(ab  bc  ca) Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi : a b c 3 b c a Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : bc ca ab   1 a (b  2c) b (c  2a ) c (a  2b) Lời giải : Ta có: 1 1     a b c   1  a 2b(b  2c)  b c (c  a )  c a(a  2b)   a a 2b(b  2c)  b b c (c  a ) c c a (a  2b)   GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI  1  1 1  Nên           ab  bc  ca   a b c   a b(b  2c) b c(c  2a ) c a(a  2b)  1 1    Suy ra: a b(b  2c) b c(c  2a) c a(a  2b) (abc) Hay bc ca ab   1 a (b  2c) b (c  2a ) c (a  2b) Bài tập tương tự Cho a, b, c số thực Chứng minh : 2(1  abc)  2(1  a )(1  b )(1  c )  (1  a)(1  b)(1  c) Cho a, b, c số thực Chứng minh : (a  3)(b  3)(c  3)  4(a  b  c  1)2 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : (a  1)(b  1)(c  1)  (a  b  c  1) 16 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a4 b4 c4    3 b (c  a ) c (a  b) a (b  c) Cho a, b, c số thực dương thõa a  b  c  Chứng minh : 1 a 1 b 1 c b a c    2    1 a 1 b 1 c a c b 1.2 Biến đổi thuận dạng Để vận dụng kỹ “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” dạng ta thường xuất phát từ giả thiết toán từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất biểu thức dạng theo biểu thức a2 a12 a22    n Từ đó, biến đổi để đánh giá b1 b2 bn (a1  a2   an ) Ta xem xét qua số ví dụ sau: b1  b2   bn Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a2 b2 c2 abc    bc c a a b Nhận xét: a2 b2 c2 Một cách tự nhiên, xuất biểu thức   vế phải bc ca ab bất đẳng thức cần chứng minh làm cho ta liện hệ đến dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki biến đổi theo chiều thuận Từ ta có lời giải sau: Lời giải : a2 b2 c2 ( a  b  c) (a  b  c )2 a  b  c      b  c c  a a  b (b  c)  (c  a)  (a  b) 2(a  b  c) Đẳng thức xảy a  b  c Ta có: Bài tốn Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b c   1 2b  c 2c  a a  b GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Nhận xét: Quan sát vể phải bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ đến việc vận dung dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki Nhưng để mà áp dụng khơng đạt mục đích tốn Với tư tưởng toán 1, ta nghĩ đến việc tạo biểu thức có dạng bình phương tử phân thức vế trái cách nhân thêm vào tử mẫu lượng thích hợp Từ ta có lời giải: Lời giải : a b c a2 b2 c2 (a  b  c)       2b  c 2c  a 2a  b a(2b  c) b(2c  a ) c (2a  b) 3(ab  bc  ca) a b c Ta lại có: (a  b  c)  3(ab  bc  ca) nên   1 2b  c 2c  a a  b Đẳng thức xảy a  b  c Ta có: Bài tốn Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a3 b3 c3 a  b2  c2    a  2b b  2c c  2a Lời giải : a3 b3 c3 a4 b4 c4 (a  b  c )2       a  2b b  2c c  2a a(a  2b) b(b  2c) c (c  2a ) (a  b  c)2 a3 b3 c3 a  b2  c2 2 2 Ta lại có: a  b  c  (a  b  c ) nên    a  2b b  2c c  2a Ta có: Nhận xét: Tương tự toán 2, toán ta vận dụng dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki cách nhân tử mẫu phân thức lượng thích hợp để đưa tử số phân thức dạng lũy thừa bậc chẵn Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a4 b4 c4 abc (a  b  c)    2  a b 1 b c  c a  abc Nhận xét: Ở toán tử số phân thức dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta nghĩa đến việc vận dụng : a4 b4 c4 (a  b  c )     a b  b c  c a  a 2b  b c  c a Từ để giải toán ta cần chứng minh: (a  b  c ) abc(a  b  c )  2 3 a b b c  c a  abc Nhưng thực bất ngờ cách áp dụng lại khơng giúp ta giải tốn Nên buộc ta phải tìm hương giải khác GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Lời giải : Ta có:   a c  b2 a  c2 b a4 b4 c4 a 4c b4a c 4b        a b  b2 c  c a c(1  a 2b) a (1  b 2c ) b(1  c a ) c (1  a 2b)  a(1  b 2c)  b(1  c a ) a  c  b2 a  c b  (1  abc)(a  b  c) Ta cần chứng minh : a c  b a  c b  abc (a  b  c) (1) a2 b2 c2 (1)     abc ab ca bc Theo bất đẳng thức Côsi Bunhiacopxki dạng ta được: a2 b2 c2 a2 b2 c2 (a  b  c )2        abc ab ca bc a  b b  c c  a a  b  b  c  c  a 2 2 2 Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b c 1 1      (a  b  c )     b c a a b c Lời giải : Ta có: a b c a b c ( a  b  c)       (1) b c a ab bc ca ab  bc  ca a b c c a a 2b b 2c (ab  bc  ca )2       b c a abc bca cab abc (a  b  c) (2) Nhân bất đẳng thức (1) (2) vế theo vế ta được: (a  b  c )2 (ab  bc  ca)2 a b c  1 1  ( a  b  c)           b c a  ab  bc  ca abc(a  b  c ) a b c Nhận xét: Ở đay ta vận dụng phối hợp việc biến đổi cách nhân thêm tử mẫu phân thức để tạo biểu thức có dạng bình phương, đồng thời ta vận dụng hai lần bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng để nhân bất đẳng thức với để cần mong muốn Bài tập tương tự Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a b c abc    2 b  bc  c c  ca  a a  ab  b ab  bc  ca Cho a, b, c số thực dương thõa a  b  c  Chứng minh : a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a Cho a, b, c số thực không âm thõa a  b  c  Chứng minh : a b c    a a b b c c 2 1 b 1 c 1 a   Cho a, b, c số thực dương Chứng minh :  a b c     2 2  (b  c) (c  a ) (a  b)  a  b  c  GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Cho a, b, c số thực không âm thõa a  b  c  Chứng minh : a2 b2 c2    b  b2  c c  c2  a a  a2  b Kỹ năng” Biến đổi nghịch” 2.1 Biến đổi nghịch dạng Để vận dụng kỹ “Biến đổi nghịch Bunhiacopxki” dạng ta thường xuất phát từ giả thiết toán từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất biểu thức dạng (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Từ đó, biến đổi để đánh giá theo biểu thức (a1b1  a2b2   anbn ) Ta xem xét qua số ví dụ sau: Bài tốn Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ : T 3a 4b 5c   bc ca ab Nhận xét: Chính xuất biểu thức T  3a 4b 5c   mà tốn lại yều cầu tìm bc ca ab GTNN nên ta liện hệ đến việc vận dung dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki Với suy n p   m    Từ  bc c a a b nghĩ ta cố biến đổi biểu thức T để đưa dạng  a  b  c   ta có lời giải sau cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki dạng Lời giải :  3a   4b   5c  3(a  b  c) 4(a  b  c) 5(a  b  c )  3    4    5    bc ca ab bc  ca   ab       a  b  c     (b  c)  (c  a )  (a  b)       bc ca ab  bc ca ab  32 2 Nên T     12 bc ca a b   Đẳng thức xảy Ta có: T  12       Bài toán Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ : T 3(c  b) 4(a  c) 5(b  a )   2b  a b  2c c  2a Nhận xét: 3(c  b) 4(a  c) 5(b  a )   Với suy nghĩ 2b  a b  2c c  2a n p   m trên, ta cố biến đổi biểu thức T để đưa dạng  a  b  c      Từ  2b  a b  2c c  2a  Chính xuất biểu thức T  ta có lời giải sau cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki dạng GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Dấu xảy  x y (1) q x = p Thay x  y  z  vào (1) ta được: p  2q ta chọn p  4, q  Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : 4 4 4   1   + 12   x +  x2    x     4x + x+y  x y x y 17  x  y     + 12   y +    4y + y+z  yz    + 12   z +   4z + z+x   y2  1    4y  yz 17    y  z  1 1    z2   4z    zx zx 17  zx  Từ : T  17     4( x  y  z )   x  y    1        24   yz z  x   17  x  y  y  z  z  x   17   24   17  3( x  y  z )  17 x  y  z  2 Bài toán Cho x, y thõa mãn x  y  Tìm GTNN biểu thức: Vậy giá trị nhỏ T x  ( y  1)  T  x  ( y  3)2 Phân tích để tìm lời giải : Giả sử giá trị nhỏ T đạt x  a , y  b , 2a  b  Từ ta mạnh dạn đưa vào tham số p, q sau : x  ( y  1)  p q p  q   x  ( y  1)2   p  q2  px  q ( y  1)  (2) Ta cần chọn p, q cho đẳng thức (2) xảy x  a , y  b , 2a  b  nên p q  từ ta chọn p  a, q  b  a b 1 Tương tự, với biểu thức x  ( y  3)2 ta chọn p  a, q  b  Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : x  ( y  1)  a  (b  1) x  ( y  3)2  Từ : T  a  (b  3) 2 a  (b  1) 18  ax  (b  1)( y  1)  ax  (b  3)( y  3)  ax  (b  1)( y  1)  a  (b  3)  ax  (b  3)( y  3)  GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI  a a   2  a  (b  1) a  (b  3)   b 1 b 3  x 2   a  (b  1) a  (b  3)2  y  Ta cần chọn a, b cho :    a a b 1 b 3    2     a  (b  1)2 a  (b  3)2  a  (b  1) a  (b  3)   2a  b   a  2b   a  2b  a        a  (b  1)  a  (b  3)  2a  b  b     Với giá trị vừa tìm a, b ta được: T 12 38 x y 2 25 25 25 Vậy giá trị nhỏ T x  ; y   Bài toán Cho hai số thực x, y Tìm trị nhỏ biểu thức: T  ( x  1)2  ( y  1)2  ( x  1)2  ( y  1)2 + ( x  2)2  ( y  2)2 Phân tích để tìm lời giải : Giả sử giá trị nhỏ T đạt x  y  a Từ ta mạnh dạn đưa vào tham số p, q sau : ( x  1)2  ( y  1)2  p q p  q   ( x  1)2  ( y  1)   p  q2  p ( x  1)  q( y  1)  (2) Ta cần chọn p, q cho đẳng thức (2) xảy x  y  a nên p q  từ ta chọn p  a  1, q  a  a 1 a 1 Tương tự, với biểu thức với biểu thức ( x  1)2  ( y  1)2 ta chọn p  a  1, q  a  ( x  2)2  ( y  2) ta chọn p  q  Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : ( x  1)2  ( y  1)2  ( x  1)2  ( y  1)2  (a  1)  (a  1)2 (a  1)  (a  1)2  (a  1)( x  1)  (a  1)( y  1)   (a  1)( x  1)  (a  1)( y  1)  1.( x  2)  1.( y  2)   2a  Từ : T    2   x  y     2(a  1) 2(a  1) 2a 1 Ta cần chọn a cho :  0a 2 2(a  1) ( x  2)2  ( y  2)  Với giá trị vừa tìm a ta được: 19 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI T 2  2 1    1 3  Vậy giá trị nhỏ T  2 x  y   Bài tập tương tự Cho x, y, z > thõa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức : x2  T   y2 y2   2z2 z2  2x2 Cho x, y, z , t > thõa mãn x  y  z  t  Tìm GTNN biểu thức : T  x2  1 1 1 1   y2    z2    t2   y z t z tx t x y x yz Cho x, y, z > thõa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức : T  x2  2  y4  2y2   z4  2z2   x4 x 1 y 1 z 1 Cho x, y thõa mãn x  y   Tìm GTNN biểu thức : x  y  x  10 y  34  T  x  y  10 x  14 y  74 Cho hai số thực x, y Tìm GTNN biểu thức : ( x  1)2  ( y  1)2  T  ( x  3)2  ( y  3) + x  ( y  4) Kỹ sử dụng “Phép biến” 5.1 Phép nghịch đảo Chúng ta trở với toán đơn giản mà ta xem xét phần trước với việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cách đơn giản Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : a2 b2 c2 abc    (1) bc c a a b Nếu toán ta việc thay a,b,c 1 , , ( mà ta a b c gọi “ phép biến ” ) ta thu bất đẳng thức sau: bc ca ab 11 1        (2) a (b  c ) b (c  a ) c ( a  b )  a b c  Mà lời giải bất đẳng thức (2) đơn giản lời giải bất đẳng thức (1) Từ đó, gặp tốn mà hình thức xuất gây cho ta khó khăn mà biểu thức có dạng phép ta nên sử dụng phép thử xem Ta xét qua số ví dụ sau: Ví dụ Cho x, y, z > thõa mãn xyz  Chứng minh : 1    x ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y) (1) (IMO 1995) Nhận xét: 20 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Chính xuất biểu thức x3  làm cho ta suy nghĩ đến việc sử x ( y  z)  y z dụng phép để đưa biểu thức dạng a3 thuận lợi việc vận dụng bất đẳng bc thức Bunhiacopxki Lời giải a b c Đặt x  ; y  ; z  Khi a, b, c  abc  a2 b2 c2    bc ca ab 2 2 a b c (a  b  c )2 a  b  c 3 abc Ta có:       b  c c  a a  b (b  c)  (c  a )  (a  b) 2 1 Ví dụ Cho x, y, z > thõa mãn    Chứng minh : x y z Bất đẳng thức (1) trở thành: x  y  z  x   y   z  (1) (IRAN 1998) Nhận xét: Chính xuất giả thiết 1    làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng x y z phép biến Lời giải a b c Đặt x  ; y  ; z  Khi a, b, c  (0;1) a  b  c  Bất đẳng thức (1) trở thành: 1 1 a 1 b 1 c      a b c a b c  1 a 1 b 1 c   1  1 Ta lại có,          1  a   b   c     b c  a b c a b c  a 1 Ví dụ Cho x, y, z  thõa mãn    Chứng minh : x y z (1) (APMO 2002) x  yz  y  zx  z  xy  xyz   x  y  z Nhận xét: Chính xuất giả thiết 1    làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng x y z phép biến Lời giải a b c Đặt x  ; y  ; z  Khi a, b, c  (0 ;1) a  b  c  Bất đẳng thức (1) trở thành: 1 1 1 1 1          a bc b ca c ab abc a b c a  bc  b  ca  c  ab  ab  bc  ca  Hay Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : 21 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI a  bc  a (a  b  c)  bc  (a  b)(a  c)  (a  bc )  a  bc b  ca  b(a  b  c)  ca  (a  b)(b  c )  (b  ac )  b  ac c  ab  c (a  b  c)  ab  (c  b)(a  c)  (c  bc )  c  ab Từ suy a  bc  b  ca  c  ab  ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca  Ví dụ Cho x, y, z số thực dương Chứng minh : x2 y2 z2    (1) yz  x zx  y xy  z Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh sau : 1 x2   y2   z2  (1)               yz  x   zx  y   xy  z  yz zx xy     (2) 2 yz  x zx  y xy  z a2 b2 c2 1 Đặt x  ; y  ; z  Bất đẳng thức (2) trở thành:   1 a b c x  2bc b  2ca c  2ab a2 b2 c2 ( a  b  c) Ta lại có,    1 a  2bc b  2ca c  2ab a  2bc  b  2ca  c  2ab 5.2 Phép hoán vị Tiếp theo ta đến với phép phức tạp Ta bắt đầu với toán mở đầu sau: Bài toán mở đầu : Cho a, b, c ba số thực khác không thõa mãn abc  k : 1) Tồn số thực x, y, z khác không thõa : 2) Tồn số thực x, y, z khác không thõa : 3) Tồn số thực x, y, z khác không thõa : 4) Tồn số thực x, y, z khác không thõa : l x l y l z a ;b  ;c  yz zx xy l yz l.zx l.xy a  ;b  ;c  x y z l x l y l z a ;b  ;c  y z x l y l z l x a ;b  ;c  x y z Trong đó, l số thực khác không thõa l  k Lời giải: 1) Chọn x  a ; y  b ; z  c ta có: 3 3 l x a a a  l  l  l a 3 yz bc abc k l y l z  b; c zx xy 1 2) Chọn x  ; y  ; z  , tương tự ta có a b c l yz l.zx l.xy  a;  b;  c x y z Tương tự, 3 3 3 a b c l x a a a ; y  ; z  ta có:  l  l  l a 3 3 3 y c a b bc abc k 3) Chọn x  22 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI l y l z b ; c z x 3 3 3 c a b l y a a a 4) Chọn x  ; y  ; z  ta có:  l  l  l a x a b c bc abc k3 l z l x b ; c Tương tự, y x Tương tự, Bây ta xem xét việc sử dụng phép toán mở đầu để giải tốn : Ví dụ Cho a, b, c  thõa mãn abc  Chứng minh : a2 b2 c2    (1) (1  a )2 (1  b) (1  c )2 (IMO 2008) Lời giải x2 y2 z2 ;b  ;c  Khi bất đẳng thức (1) trở thành: yz zx xy x4 y4 z4    (2) ( x  yz )2 ( y  zx)2 ( z  xy )2 Tồn số dương x, y, z thõa : a  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x4 y4 z4 ( x2  y2  z )2    ( x  yz )2 ( y  zx)2 ( z  xy )2 ( x  yz )2  ( y  zx)2  ( z  xy ) Mặt khác, ( x  y  z )2   ( x  y  z )2   ( x  yz )  ( y  zx)  ( z  xy )   2 2 2 ( x  yz )  ( y  zx)  ( z  xy )  ( xy  yz  zx)2  Lời giải x y y z z x Tồn số dương x, y, z thõa : a  ; b  ; c  Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x2 y2 z2    (2) ( x  y)2 ( y  z )2 ( z  x)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x2 y2 z2 x ( x  z )2 y ( y  x) z ( z  y )2      ( x  y ) ( y  z ) ( z  x ) ( x  y ) ( x  z ) ( y  z ) ( y  x) ( z  x ) ( z  y ) 2  ( x  y  z )  ( xy  yz  zx )    1 ( x  y ) ( x  z )  ( y  z ) ( y  x)  ( z  x)2 ( z  y )  ( x  y  z )  ( xy  yz  zx )     x( x  z )  y ( y  x)  z ( z  y )  Vì 2  ( x  y) ( x  z )   ( x  y) ( x  z )  2 ( x  y )( x  z )( y  z )( y  x) 2      ( x  y )( x  z )    ( x  y  z )  ( xy  yz  zx )    Ví dụ Cho a, b, c > thõa mãn abc  Chứng minh : 1    2 (1  a) (1  b) (1  c) (1) Lời giải 23 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI yz zx xy ; b  ; c  Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x y z 4 x y z    (2) 2 2 ( x  yz ) ( y  zx ) ( z  xy ) Tồn số dương x, y, z thõa : a  ( x  yz )2  ( x  y )( x  z )  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : ( y  zx )2  ( x  y )( y  z )  2 2 2 ( z  xy )  ( x  z )( y  z ) Nên x4 y4 z4 x4 y4 z4      ( x  yz )2 ( y  zx )2 ( z  xy )2 ( x  y )( x  z ) ( x  y )( y  z ) ( x  z )( y  z ) Từ để chứng minh (2) ta chứng minh bất đẳng thức mạnh : x4 y4 z4    (3) 2 2 2 2 2 2 ( x  y )( x  z ) ( x  y )( y  z ) ( x  z )( y  z ) Biến đổi quy đồng thu gọn bất đẳng thức (3) tương đương với : x y ( x  y )  y z ( y  z )  z x ( z  z )  6( xyz )2 (4) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : x y ( x  y )  y z ( y  z )  z x ( z  z )  2( xy )3  2( yz)3  2( zx )3  6( xyz )2 Lời giải x y y z z x Tồn số dương x, y, z thõa : a  ; b  ; c  Khi bất đẳng thức (1) trở thành: y2 z2 x2    (2) 2 ( x  y ) ( y  z ) ( z  x) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : y2 z2 x2  y ( y  z )  z ( z  x)  x ( x  y )     2 2 ( x  y ) ( y  z ) ( z  x) ( x  y ) ( y  z )  ( y  z ) ( z  x )  ( z  x) ( x  y ) 2 ( x  y )2  ( y  z )  ( z  x)   ( x  y ) ( y  z )  ( y  z ) ( z  x)  ( z  x ) ( x  y ) 2 ( x  y )2  ( y  z )  ( z  x)  1 Nên ta cần chứng minh :  2 2 2 ( x  y ) ( y  z )  ( y  z ) ( z  x)  ( z  x ) ( x  y ) Hay  ( x  y )2  ( y  z )2  ( z  x)    ( x  y )2 ( y  z )2  ( y  z )2 ( z  x)  ( z  x)2 ( x  y )2  Mà bất đẳng thức theo bất đẳng thức (a  b  c)  3(ab  bc  ca) Ví dụ Cho a, b, c > thõa mãn abc  Chứng minh : a b c    ab  bc  ca  (1) Lời giải x y y z z x Tồn số dương x,y,z thõa : a  ; b  ; c  Khi bất đẳng thức (1) trở thành: 24 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI xz xy yz    xy  yz xz  yz xy  xz  xz   xy   yz    1    1    1   xy  yz   xz  yz   xy  xz   1    xy  yz  zx       xy  yz xz  yz xy  xz   1    xy  yz    xz  yz    xy  xz      9  xy  yz xz  yz xy  xz  Bất đẳng thức cuối theo bất đẳng thức Bunhiacopxki Ví dụ Cho a, b, c  thõa mãn abc  Chứng minh : a2 b2 c2    (1) a 1 b 1 c 1 Lời giải 1    (2) a 1 b 1 c 1 2x 2y 2z Tồn số dương x, y, z thõa : a  ; b  ; c  Khi bất đẳng thức (2) trở y z x Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : thành: y2 z2 x2    (3) xy  y 2 yz  z 2 zx  x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : y2 z2 x2 ( x  y  z )2    1 xy  y 2 yz  z 2 zx  x  xy  y    yz  z    zx  x  Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh : a3 b3 c3    (1) a  abc  b b  abc  c c  abc  a Phân tích để tìm lời giải : Đây bất đẳng thức hoán vị nên ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : a3 b3 c3 (a  b  c )2    a  abc  b3 b3  abc  c c3  abc  a a(a  abc  b3 )  b(b3  abc  c3 )  c (c  abc  a ) Nhưng đến giải dù đa cố gắng biến đổi nhiều cách khác Bằng cách xem xét thử sử dụng phé tơi tìm phép 4) hợp lí từ ta có lời giải sau Lời giải Khơng tính tổng qt ta chuẩn hóa abc  y z x ; b  ; c  Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x y z 6 y z x   3 3 1 3 3 3 3 y x y z x z y z x y x z x z y Tồn số dương x,y,z thõa : a  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : 25 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI y6 z6 x6   y  x y  z x3 z  y z  x y x  z x  z y  ( x3  y  z ) 1  y  x y  z x    z  y z  x3 y    x  z x  z y  Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh : 1    a (1  b) b(1  c ) c(1  a )  abc (1) Lời giải l y l z l x ;b  ;c  Với l  k x y z x y z    Khi bất đẳng thức (1) trở thành: l ( y  lz ) l ( z  lx ) l ( x  ly )  l x y z 3l    Hay y  lz z  lx x  ly  l Đặt abc  k Khi đó, tồn số dương x, y, z thõa : a  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : x y z x2 y2 z2 ( x  y  z )2       y  lz z  lx x  ly x( y  lz ) y ( z  lx) z ( x  ly ) x( y  lz )  y ( z  lx)  z ( x  ly ) ( x  y  z )2 3( xy  yz  zx)    (1  l )( xy  yz  zx) (1  l )( xy  yz  zx )  l 3l Để hồn thành tốn ta cần chứng minh :   l  2l   ( đúng) 1 l 1 l Ví dụ Cho a, b, c, d > thõa mãn abcd  Chứng minh :  ab  bc  cd  da    4 1 a 1 b 1 c 1 d (1) Lời giải x y z t y z t x y t x  z y t x z    4 Khi bất đẳng thức (1) trở thành : x y t  x z t y  z   1   Hay ( x  z )      ( y  t)  4 tx yz  x y zt  Tồn số dương x, y, z, t thõa : a  ; d  ; c  ; b  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta :   1   4( x  z ) 4( y  t ) ( x  z)     4   ( y  t)   tx yz  x  y z t  x y  zt x  y  z t Ví dụ Cho a, b, c, d >0 thõa mãn abcd  Chứng minh : 1 1     (1) a (a  b) b(b  c) c(c  d ) d (d  a ) Lời giải y x z y t z x t Tồn số dương x, y, z, t thõa : a  ; b  ; c  ; d  26 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x2 y2 z2 t2    2 y  xz z  yt t  xz x  yt Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : x2 y2 z2 t2 x4 y4 z4 t4        y  xz z  yt t  xz x  yt x ( y  xz) y ( z  yt ) z (t  xz ) t ( x  yt ) ( x2  y  z  t )2 ( x2  y  z  t )2  2  x ( y  xz )  y ( z  yt )  z (t  xz )  t ( x  yt ) ( x  z )( y  t )  xz ( x  z )  yt ( y  t ) ( x2  y  z  t )2 2 ( x  z ) ( y  t )2 2 2 ( x  z )( y  t )   2 1 Đẳng thức xảy a  c   b d  Ví dụ Cho a, b, c, d > thõa mãn abcd  Chứng minh : 1 1     (1) 2 (a  1) (b  1) (c  1) (d  1) Lời giải Tồn số dương x, y, z, t thõa : a  yz zt tx xy ; b 2; c 2; d  x y z t Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x4 y4 z4 t4     (2) ( x  yz )2 ( y  zt ) ( z  tx) (t  xy )2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x4 y4 x4 y4    ( x  yz )2 ( y  zt ) ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  t )  Tương tự, ( x  y )2 x2  z  ( x  y )( x  z )  ( y  z )( y  t ) x  y  z  t z4 t4 y2  t   ( z  tx )2 (t  xy )2 x  y  z  t Nên ta có điều phải chứng minh Lời giải y x z y t z x t Tồn số dương x, y, z, t thõa : a  ; b  ; c  ; d  Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x2 y2 z2 t2     (2) ( x  y )2 ( y  z ) ( z  t )2 (t  x) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x2 y2 z2 t2    ( x  y )2 ( y  z )2 ( z  t )2 (t  x )2  x2 ( x  t )2 y ( y  x )2 z ( z  y )2 t (t  z )2    ( x  y )2 ( x  t ) ( y  z )2 ( y  x) ( z  t )2 ( z  y )2 (t  x )2 (t  z ) 2  27  x ( x  t )  y ( y  x )  z ( z  y )  t (t  z )  ( x  y ) ( x  t )  ( y  z ) ( y  x )  ( z  t ) ( z  y )  (t  x) (t  z ) GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 2 2 2  ( x  y )  ( y  z )  ( z  t )  (t  x)   1  ( x  y )2  ( z  t )   ( x  t )  ( y  z )   ( x  y )  ( z  t )   ( x  t )  ( y  z )   x ( x  t )  y ( y  x )  z ( z  y )  t (t  z )   Lời giải Tồn số dương x, y, z, t thõa : a  yzt ztx txy xyz ; b ; c ; d  x y z t Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x6 y6 z6 t6    1 ( x  yzt )2 ( y  ztx)2 ( z  txy )2 (t  xyz ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x6 y6 z6 t6 ( x  y  z  t )2     ( x  yzt )2 ( y  ztx )2 ( z  txy )2 (t  xyz )2 ( x  yzt )2  ( y  ztx)  ( z  txy )2  (t  xyz ) Để hoàn thành toán ta cần chứng minh : ( x  y  z  t )2   ( x3  yzt ) Hay 2 x y  2 x yzt   y z 2t sym x3 ( y3  z  t )   x3 y3  3 sym x3 y3  y z 2t   ( y z  z 3t  t y )   sym Theo bất đẳng thức Côsi : 2 x3 yzt  Từ hai bất đẳng ta có điều phải chứng minh Khả áp dụng Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải tốn khó bất đẳng thức kỳ thi học sinh giỏi cấp Các em học sinh giỏi vận dụng kỹ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào toán khác bất đẳng thức hình học, phương trình, hệ phương trình giải phương pháp đánh giá ,… Lợi ích kinh tế xã hội Qua việc áp dụng đề tài vào việc giảng dạy lớp ban khoa học tự nhiên, lớp bồi dương học sinh giỏi Tôi thấy tạo say mê học tập nghiên cứu mơn tốn cho học sinh, học sinh hiểu vận dụng kỹ đề tài Các em giải nhiều tốn khó bất đẳng thức mà giải phương pháp khác đơi gặp khó khăn phức tạp Đề tài góp phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo Kết quả: sau vận dụng đề tài vào việc dạy cho đội tuyển tham gia học sinh gỏi mơn tốn cấp lớp mà tham gia, phụ trách hai năm học 2010 – 2011 2011 – 2012 : tổng số 15 giải , có 10 giải cấp quốc gia, giải cấp tỉnh 28 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần C KẾT LUN Sau trình giảng dạy nhiều năm, thông qua tài liệu tham khảo, học hỏi đồng nghiệp Tôi đà hệ thống lại nhiều toán hình học đại số ứng dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải mang lại hiệu nhỏ Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mong muốn đựoc đóng góp phần nhỏ bé công sức việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác bất đẳng thức Bunhiacopski làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho em học toán Tuy nhiên, thời gian có hạn, trình độ thân hạn chế, nên mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm hoàn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tiến giảng dạy Tôi xin trân trọng cảm ơn ! 29 GV: PHAN NGC TON LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán học tuổi trẻ từ năm 1996 đến năm 2012 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPT chuyên từ năm 2004 đến năm 2011 Old and New Inequalities - Titu Andreescu Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki – Nguyễn vũ Lương MỤC LỤC Nội dung Phần A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề II Phương pháp tiến hành Trang 1 Phần B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I Mục tiêu II Mô tả giải pháp đề tài Chương I Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki biến thể 2 2 Chương II Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán 1/Kỹ biến đổi thuận 2/Kỹ biến đổi nghịch 3/Kỹ thêm bớt 4/ Kỹ tham số hóa 5/Kỹ sử dụng phép 3 13 15 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO MỤC LỤC 29 30 30 30 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CÁC CẤP Đánh giá Hội đồng khoa học nhà trường: Ngày… tháng… năm 2012 Chủ tịch hội đồng 31 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Đánh giá Hội đồng khoa học ngành ( Sở giáo dục đào tạo Bình Định ) Ngày… tháng… năm 2012 Chủ tịch hội đồng 32 GV: PHAN NGỌC TOÀN LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần B NỘI DUNG ĐỀ TÀI “PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI? ?? I Mục tiêu...PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Bất đẳng thức cực trị tốn khó nhằm phát triển tư nâng cao kiến thức cho học sinh... luanvanchat@agmail.com PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x2 y2 z2 t2    2 y  xz z  yt t  xz x  yt Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki