Công thức khai triển taylor gontcharov và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN VĂN LONG CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR - GONTCHAROV VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2009 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN VĂN LONG CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR - GONTCHAROV VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành : GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2009 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Mở đầu Khai triển Taylor 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Một số tính chất đa thức 1.1.2 Một số định lý giải tích cổ điển 1.2 Khai triển Taylor đa thức 1.3 Khai triển Taylor với phần dư khác 6 12 Công thức khai triển Taylor - Gontcharov 18 2.1 Bài tốn nội suy Newton cơng thức khai triển Taylor Gontcharov 18 2.1.1 Bài toán nội suy Newton 18 2.1.2 Công thức khai triển Taylor - Gontcharov 20 2.2 Khai triển Taylor - Gontcharov với phần dư khác 24 2.2.1 Khai triển Taylor - Gontcharov với phần dư dạng Lagrange 28 2.2.2 Khai triển Taylor - Gontcharov với phần dư dạng Cauchy 29 2.3 Sự hội tụ khai triển Taylor khai triển Taylor- Gontcharov 31 2.4 Bài toán nội suy Newton hàm đa thức nhiều biến 38 2.4.1 Bài toán nội suy Taylor hàm đa thức nhiều biến 38 2.4.2 Bài toán nội suy Newton hàm đa thức nhiều biến 39 Một số toán áp dụng 3.1 Khai triển Taylor số hàm sơ cấp ứng dụng 3.1.1 Ước lượng đánh giá sai số 3.1.2 Tính giới hạn hàm số 3.2 Khai triển Taylor- Gontcharov với toán ước lượng hàm 43 43 43 49 số 54 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Khai triển đa thức nói riêng khai triển hàm số nói chung vấn đề liên quan đến phần quan trọng đại số giải tích tốn học Cùng với tốn nội suy, toán khai triển hàm số có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Lý thuyết khai triển hàm số toán nội suy liên quan đời sớm với cơng trình Taylor, Lagrange, Newton Tuy nhiên, việc xây dựng toán khai triển hàm số thỏa mãn yêu cầu khác việc xây dựng lý thuyết hoàn thiện khai triển hàm số nói chung đến nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu phát triển theo nhiều hướng Lý thuyết toán khai triển hàm số toán nội suy cổ điển có liên quan chặt chẽ đến đặc trưng hàm số tính đơn điệu, tính lồi lõm, tính tuần hồn, mảng kiến thức quan trọng chương trình giải tích Trong giáo trình giải tích đại học ta biết toán nội suy Taylor Giả sử hàm f xác định tập hợp Ω ⊂ R, Ω hợp khoảng mở trục thực Giả sử f khả vi cấp n điểm a ∈ Ω Hãy xác định đa thức Pn (x) có bậc deg Pn (x) ≤ n cho Pn(k) (a) = f (k) (a), k = 0, 1, , n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ ta có khai triển Taylor hàm f (x) điểm a 1 f (x) = f (a)+ f (a)(x−a)+ f (a)(x−a)2 + + f (n) (a)(x−a)n +Rn (f ; x) 1! 2! n! với phần dư dạng Lagrange Cauchy (k) Trong khai triển Taylor, xét điểm M (a, Pn (a)), k = 0, 1, , n ta thấy chúng nằm đường thẳng x = a Khi cho a thay đổi nhận giá trị phụ thuộc vào k ta điểm dạng Mk (xk , Pn(k) (xk )), k = 0, 1, , n Khi đó, ta thu tốn nội suy Newton dẫn đến khai triển TaylorGontcharov mở rộng tự nhiên khai triển Taylor Luận văn tập trung giải vấn đề xây dựng cơng thức nghiệm tốn nội suy Newton, đưa biểu diễn hàm số f (x) theo công thức khai triển Taylor- Gontcharov đặc biệt đưa đánh giá phần dư khai triển Taylor - Gontcharov hàm f (x) hai dạng Lagrange Cauchy mở rộng toán hàm đa thức nhiều biến Luận văn gồm phần mở đầu chia thành ba chương Chương 1: Nhắc lại kiến thức đa thức số định lý giải tích cổ điển dùng luận văn Tiếp theo tác giả trình bày toán nội suy Taylor, khai triển Taylor đánh giá phần dư khai triển Taylor Chương 2: Là phần luận văn Bắt đầu việc khảo sát tốn nội suy Newton, đưa cơng thức nghiệm tốn nội suy Newton Từ dẫn đến khai triển Taylor- Gontcharov hàm f (x) theo mốc nội suy x0 , x1 , , xn đặc biệt đưa đánh giá ước lượng phần dư khai triển Taylor- Gontcharov dạng Lagrange Cauchy Phần tiếp theo, tác giả đánh giá hội tụ khai triển Taylor khai triển Taylor - Gontcharov Cuối mở rộng khai triển Taylor - Gontcharov cho LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hàm đa thức nhiều biến Chương 3: Đề cập đến số ứng dụng khai triển Taylor khai triển Taylor - Gontcharov toán nội suy Newton ước lượng đánh giá sai số, tìm giới hạn hàm số Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học NGND.GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội, người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Giáo sư Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô giáo, thành viên, anh chị đồng nghiệp Seminare Giải tích trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội ý kiến đóng góp q báu, giúp đỡ tận tình cổ vũ to lớn suốt thời gian qua Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng sau Đại học, khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Nam Định, trường THPT Mỹ Tho gia đình động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt khóa học Hà nội, tháng 12 năm 2009 Tác giả Trần Văn Long LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CHƯƠNG KHAI TRIỂN TAYLOR 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Một số tính chất đa thức Các định nghĩa, tính chất mục trích từ [2] Định nghĩa 1.1 Cho vành A vành giao hốn có đơn vị Ta gọi đa thức bậc n biến x biểu thức có dạng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 (an = 0) số ∈ A gọi hệ số, an gọi hệ số bậc cao a0 gọi hệ số tự đa thức Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy vành A ký hiệu A[x] Khi A trường vành A[x] vành giao hốn có đơn vị Các vành đa thức thường gặp Z[x], Q[x], R[x], C[x] Định nghĩa 1.2 Cho hai đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 Q(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + + b1 x + b0 Ta định nghĩa phép toán sau P (x) + Q(x) = (an + bn )xn + (an−1 + bn−1 )xn−1 + + (a1 + b1 )x + a0 + b0 P (x) − Q(x) = (an − bn )xn + (an−1 − bn−1 )xn−1 + + (a1 − b1 )x + a0 − b0 P (x).Q(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + + c1 x + c0 ck = a0 bk + a1 bk−1 + + ak b0 , k = 0, 1, , n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định lý 1.1 Giả sử A trường, f (x), g(x) hai đa thức khác vành A[x] Khi đó, tồn cặp đa thức q(x), r(x) thuộc A[x] cho f (x) = g(x).q(x) + r(x) với deg(r(x)) < deg(g(x)) Khi r(x) = 0, ta nói f (x) chia hết cho g(x) Nếu f (a) = ta nói a nghiệm f (x) Bài tốn tìm nghiệm f (x) A gọi giải phương trình đại số bậc n an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 = 0(an = 0) A Định lý 1.2 Giả sử A trường, a ∈ A f (x) ∈ A[x] Khi đó, dư phép chia f (x) cho x − a f (a) Định lý 1.3 Mỗi đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực Định lý 1.4 Đa thức có vơ số nghiệm đa thức không 1.1.2 Một số định lý giải tích cổ điển Sau đây, ta nhắc lại số định lý dùng phần sau Các định lý trích từ [3] Định lý 1.5 (Rolle) Giả sử f : [a, b] → R liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a, b) Nếu f (a) = f (b) tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = Định lý 1.6 (Lagrange) Nếu hàm số f liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a, b) tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (b)−f (a) = f (c)(b − a) Định lý 1.7 (Định lý giá trị trung bình tích phân) Nếu hàm số f khả tích đoạn [a; b] m ≤ f (x) ≤ M với ∀x ∈ [a; b] tồn số µ ∈ [m; M ] cho b f (x)dx = µ(b − a) a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hệ 1.1 Nếu f hàm số liên tục đoạn [a; b] tồn điểm c ∈ (a; b) cho b f (x)dx = f (c)(b − a) a Định lý 1.8 (Định lý giá trị trung bình mở rộng tích phân) Giả sử hai hàm số f g khả tích đoạn [a; b] thỏa mãn: a) m ≤ f (x) ≤ M với ∀x ∈ [a; b] b) g(x) khơng đổi dấu [a; b] Khi đó, tồn số thực µ ∈ [m; M ] cho b b f (x).g(x)dx = µ a g(x)dx a Hệ 1.2 Giả sử f hàm số liên tục [a; b] g hàm số khả tích đoạn [a; b] Nếu g(x) khơng đổi dấu [a; b] tồn số thực c ∈ [a; b] cho b b f (x).g(x)dx = f (c) a g(x)dx a Định lý 1.9 (Bolzano - Cauchy) Giả sử f hàm số liên tục đoạn [a; b] α số nằm f (a) f (b) Khi đó, tồn điểm c ∈ [a, b] cho f (c) = α Nói cách khác, f lấy giá trị trung gian f (a) f (b) 1.2 Khai triển Taylor đa thức Các định lý, định nghĩa tốn mục chủ yếu trích từ [1] Ta thường thấy sách giáo khoa hành, dạng tắc đa thức đại số P (x) bậc n, n ∈ N∗ , (thường ký hiệu deg(P (x)) = n) có dạng: P (x) = p0 xn + p1 xn−1 + + pn , p0 = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đa thức dạng tắc đa thức viết theo thứ tự giảm dần lũy thừa.Tuy nhiên, khảo sát đa thức, người ta thường quan tâm đến lớp đa thức bậc không số nguyên dương n cho trước Vì thế, sau, người ta thường sử dụng cách viết đa thức P (x) dạng tăng dần bậc lũy thừa P (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn (1.1) Nhận xét đa thức (1.1) có tính chất P (k) (0) = k!bk , k = 0, 1, , n P (k) (0) = 0, k = n + 1, n + 2, Vì đa thức (1.1) thường viết dạng công thức (đồng thức) Taylor a1 a2 an x + x2 + · · · + xn (1.2) 1! 2! n! Với cách viết (1.2) ta thu cơng thức tính hệ số ak (k = 0, 1, , n) đa thức P (x), giá trị đạo hàm cấp k đa thức x = 0: P (x) = a0 + ak = P (k) (0), k = 0, 1, , n Từ ta thu đồng thức Taylor x = P (x) = P (0)+ P (0) P (2) (0) P (n) (0) n x+ x + ··· + x 1! 2! n! (1.3) Ví dụ 1.1 Viết biểu thức Q(x) = (x2 − 2x − 2) + (2x3 + 3x2 − x − 1) dạng (chính tắc) cơng thức Taylor Q(x) = a0 + a1 a2 a10 10 x + x2 + · · · + x 1! 2! 10! Tính giá trị a8 ? LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 3.7 Xét hàm số f (x) = ln 3+x 2−x Trước hết ta nhận xét n ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) f (x) = k=0 n bk (x − x0 )k + o((x − x0 )n ) g(x) = k=0 Thì n (ak + bk )(x − x0 )k + o((x − x0 )n ) f (x) + g(x) = k=0 Từ đẳng thức x x + ln + − ln − f (x) = ln suy f (x) = ln + n k=0 k (−1)k−1 + 2k 3k xk + o(xn ) Ví dụ 3.8 Xét hàm số f (x) = x2 + x2 + x − 12 Để khai triển công thức Taylor hàm hữu tỷ thơng thường, ta biểu diễn hàm hữu tỷ dạng tổng đa thức phân thức tối giản Ta có f (x) = − 3 + =1− x+4 x−3 1+ =1− =− + 12 n k=0 n k=0 xk (−1)k k − n k=0 x − 1− x xk + o(xn ) k 3(−1)k+1 − 4k+1 3k+1 xk + o(xn ) 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.1.2 Tính giới hạn hàm số Như thấy trên, khai triển Taylor cho ta công thức đơn giản tổng quát để xác định phần hàm số Do đó, để tìm giới hạn, người ta thường dùng công thức khai triển Taylor tới cấp Ví dụ 3.9 Tính giới hạn √ sin(sin x) − x − x2 lim x→0 x5 Giải Vì mẫu số đa thức x5 nên ta cần khai triển tử số thành đa thức Taylor với độ xác đến o(x5 ) x → Vì sin x ≈ x x → nên o(x5 ) = o(sin5 x) x → Theo cơng thức Taylor, ta có x3 x5 sin x = x − + + o(x5 ) 120 sin3 x sin5 x + + o(sin5 x), x → sin(sin x) = sin x − 120 Khi x3 x5 sin x = x − + + o(x5 ) 120 3 = [x + α(x)]3 = x3 + 3x2 α(x) + 3xα2 (x) + α3 (x), x5 x3 x3 α(x) = − + + o(x ) ≈ − 120 Suy x9 x6 = o(x ), α (x) ≈ − = o(x5 ) x → xα (x) ≈ 36 216 Tiếp theo, ta chứng minh sin5 x = x5 + o(x5 ), x → Thật vậy, α(x) ≈ − x3 , x → nên sin5 x = x5 + o(x5 ), x → 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Như vậy, x → ta có x3 x5 sin(sin x) = x − + + o(x5 ) 10 Tương tự 1 x − x2 = x(1 − x2 − x4 + o(x4 )) 1 = x − x3 − x5 + o(x5 )), x → Do sin(sin x) − x − x2 = 19 x + o(x5 ) 90 Vậy nên √ sin(sin x) − x − x2 19 o(x5 ) = lim lim + x→0 90 x→0 x5 x = 19 90 Ví dụ 3.10 Tính giới hạn √ lim x→0 + tan x − ex + x2 arcsin x − sin x Giải Tử số mẫu số phân thức vô bé x → Vì x3 sin x = x − + o(x3 ) arcsin x = x + x3 + o(x3 ), x → nên mẫu số có dạng x3 arcsin x − sin x = + o(x3 ), x → Từ đó, ta cần khai triển tử số với độ xác đến o(x3 ) Ta có x2 x3 e =1+x+ + + o(x3 ), x → 0, 2! 3! x √ 1 1 + t = + t − t2 + t3 + o(t3 ), t → 16 50 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x3 tan x = x + + o(x3 ), x → Vậy nên √ 1 1 + tan x = + (2 tan x) − (2 tan x)2 + (2 tan x)3 + o(tan3 x) 16 x3 x2 x3 − + + o(x3 ) =1+x+ 2 x =1+x− + x3 + o(x3 ), x → Khi tử số có khai triển √ + tan x − ex + x2 = x3 + o(x3 ), x → Từ suy √ lim x→0 x + o(x3 ) + tan x − ex + x2 = lim = x→0 arcsin x − sin x x + o(x ) Ví dụ 3.11 Tính giới hạn tan(tan x) − sin(sin x) x→0 tan x − sin x lim Giải Theo cơng thức Taylor với n = 3, ta có x3 tan x = x + + o(x3 ), x → 0, x3 + o(x3 ), x → Khi đó, theo tính chất khai triển Taylor hàm hợp ta có sin x = x − x3 tan(tan x) = tan(x + + o(x3 )) x3 x3 =x+ + o(x3 ) + x+ + o(x3 ) 3 = x + x3 + o(x3 ), x → 0, x3 sin(sin x) = sin(x − + o(x3 )) 51 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x3 x3 =x− + o(x ) − x− + o(x3 ) 6 = x − x3 + o(x3 ), x → 3 Vậy nên tan(tan x) − sin(sin x) x→0 tan x − sin x x3 + o(x3 ) = lim = x→0 x + o(x3 ) Ví dụ 3.12 Tính giới hạn lim lim x→0 1 − x2 sin2 x Giải Giới hạn cần tìm có dạng ”∞ − ∞” Ta biến đổi dạng ” ” sau 1 lim − x→0 x2 sin2 x sin2 x − x2 = lim x→0 x2 sin2 x = lim x→0 [x − x3 + o(x )] − x2 [x + o(x)]2 x2 = lim x→0 − x3 + o(x4 ) x2 [x2 + o(x2 )] =− Vậy lim x→0 1 − x2 sin2 x =− Ví dụ 3.13 Tính giới hạn √ lim+ √ a arctan x→0 x x x √ − b arctan a x (a > 0, b > 0) b Giải Giới hạn cho có dạng ”0.∞” Ta đưa dạng ” ” phép đổi biến √ Đặt x = t t2 = x x → 0+ t → 0+ Ta có √ lim+ √ a arctan x→0 x x x √ − b arctan a x b 52 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com √ t a a arctan − √ t b b arctan t3 Vì mẫu số đa thức bậc ba nên ta cần khai triển Taylor tử số xác đến 0(t3 ) Khi t → 0+ = lim t→0 √ a arctan √ b arctan √ t t3 t3 t √ = a √ + t3 a + o( √ ) = t + + o(t3 ), t → 0+ , a 3a a a √ t t3 t3 t √ = b √ + t3 b + o( √ ) = t + + o(t3 ), t → 0+ b 3b b b Khi lim+ x→0 √ √ x x t+ = lim t→0 a arctan t3 3a x √ − b arctan a + o(t3 ) − t + t3 3b x b + o(t3 ) t3 a−b 3 a−b 3a t + o(t ) = = lim t→0 t 3ab Vậy √ lim+ √ a arctan x→0 x x x √ − b arctan a x b = a−b 3ab Ví dụ 3.14 Tính giới hạn lim (cos(x.ex ) − ln(1 − x) − x)cot x x→0 Giải Giới hạn cần tìm có dạng 1∞ Ta có lim cot x3 ln f (x) lim (cos(x.ex ) − ln(1 − x) − x)cot x = ex→0 x→0 với f (x) = cos(x.ex ) − ln(1 − x) − x Ta cần tính lim cot x3 ln[cos(x.ex ) − ln(1 − x) − x] x→0 Để ý cot x3 = 1 = , x → tan x3 x3 + o(x3 ) 53 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do ta cần phải khai triển hàm [f (x) − 1] theo công thức Taylor tương đương với o(x3 ) cách sử dụng khai triển sau xex = x + x2 + o(x2 ), x → t2 cos t = − + o(t3 ), t → 2! Suy x2 cos xe = − − x3 + o(x3 ), x → x2 x3 − ln(1 − x) = x + + + o(x3 ), x → x Ta thu f (x) − = − x3 + o(x3 ), x → − 32 x3 + o(x3 ) =− lim 3 x→0 x + o(x ) Vậy lim (cos(x.ex ) − ln(1 − x) − x)cot x = e− x→0 3.2 Khai triển Taylor- Gontcharov với toán ước lượng hàm số Trong mục này, ta xét khai triển Taylor - Gontcharov số hàm cụ thể đánh giá ước lượng phần dư khai triển Taylor - Gontcharov Ví dụ 3.15 Xác định tam thức bậc hai f (x) thỏa mãn điều kiện f (0) = −1; f (3) = 0; f (5) = Giải Theo công thức nội suy Newton trường hợp n = ta có (x − 3)2 (0 − 3)2 f (x) = f (0) + f (3)(x − 0) + f (5) − 2 (x − 3)2 = −1 + − 2 Hay f (x) = x2 − 15x − 54 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 3.16 Xác định đa thức bậc ba f (x) thỏa mãn điều kiện f (n) (3n + 1) = n3 − 3n2 + n + 1, n = 0, 1, 2, Giải Đa thức f (x) cần tìm phải thỏa mãn điều kiện sau f (1) = 1; f (4) = 0; f (7) = −1; f (3) (10) = Theo công thức nội suy Newton trường hợp n = 3, ta nhận đa thức cần tìm có dạng 87 1135 f (x) = x3 − x2 + 84x − 6 Ví dụ 3.17 Với hàm f (x) = ex , x ∈ R ta có f (n) (x) = ex , ∀x ∈ R với mốc nội suy x0 = 0; x1 = 1; x2 = ta có f (0) = 1; f (0) = e; f (2) = e2 Do đó, đa thức nội suy Newton bậc f (x) có dạng x t1 x dt1 + e2 P2 (x) = + e dt2 dt1 = + ex + e2 (x − 1)2 − 2 Từ đó, khai triển Taylor-Gontcharov hàm số f (x) = ex với mốc nội suy có dạng x e = + ex + e (x − 1)2 − + R3 (f ; x) 2 Trong đó, phần dư R3 (f ; x) xác định R3 (f ; x) = f (3) (ξ) f (3) (ξ1 ) (x − x0 )3 − R (x0 , x)(x1 − x0 )2 − 3! 2! eξ e ξ1 f (3) (ξ2 ) R (x0 , x1 , x)(x2 − x0 ) = x3 − x − eξ2 (x − 1)2 − 1! Trong đó, ξ nằm x 0; ξ1 ∈ (0; 1), ξ2 ∈ (0; 2) π π Ví dụ 3.18 Xét hàm f (x) = sin x với mốc nội suy x0 = ; x1 = ; x2 = π π ; x3 = Ta có π f (n) (x) = sin(x + n ), n = 0, 1, 2, − 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác √ √ π π π π f( ) = ; f ( ) = ; f ( ) = − ; f ( ) = 2 Do đó, phần dư khai triển Taylor-Gontcharov đến bậc hàm số f (x) = sin x x f (4) (ξ) π f (4) (ξ1 ) π R4 (f ; x) = (x − )4 − 4! 3! 1728 x t1 f (4) (ξ2 ) π dt − 2! 36 π dt2 dt1 π π x t1 t2 f (4) (ξ3 ) π − 1! dt3 dt2 dt1 π π π sin ξ π sin ξ1 π π sin ξ2 π π π2 = (x − ) − (x − ) − (x − ) − 4! 3! 1728 2! 72 144 sin ξ3 π (x − 1! π Trong đó, ξ nằm x ; ξ1 − π π2 π π3 ) − (x − ) − 288 1296 π π π π π π ∈ ( ; ), ξ2 ∈ ( ; ); ξ3 ∈ ( ; ) 6 Ví dụ 3.19 Cho N (x) đa thức có bậc deg N (x) ≤ thoả mãn điều kiện |N (k) (k)| ≤ , k = 0, 1, 2, Chứng minh |N (x)| ≤ 11 ∀x ∈ [0, 3] Giải Áp dụng công thức nội suy Newton nút nội suy xi = i − 1, i = 1, 2, 3, , ta có N (x) = N (0) + N (1)R(0, x) + N ”(2)R2 (0, 1, x) + N (3) (3)R3 (0, 1, 2, x), x R(0, x) = dt = x, t1 x R2 (0, 1, x) = dtdt1 = x (x − 2), 2! 56 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x t1 t2 R (0, 1, 2, x) = dtdt2 dt1 = x (x − 3)2 3! Khi x x N (x) = N (0) + N (1)x + N ”(2) (x − 2) + N (3) (3) (x − 3)2 2! 3! Từ giả thiết toán ta suy x x |N (x)| ≤ + |x| + (x − 2) + (x − 3)2 2! 3! x x ≤ + x + (x − 2) + (x − 3)2 2! 3! Đặt x x (x − 2) + (x − 3)2 2! 3! 1 = x3 − x2 + x + 2 f (x) = + x + Khảo sát hàm số f (x) [0, 3] ta f (x) ≤ f (3) = 11 Vậy 11 Ví dụ 3.20 Cho N (x) đa thức có bậc deg N (x) ≤ có dạng |N (x)| ≤ N (x) = a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 thoả mãn điều kiện |N (4) (4)| ≤ , |N (5) (5)| ≤ Tìm giá trị lớn |N (4) (x)| [−1, 6] Giải Ta nhận thấy N (4) (x) hàm số bậc nên giá trị lớn N (x) [−1, 6] đạt x = −1 x = Do |N (4) (x)| đạt giá trị lớn [−1, 6] hai đầu mút x = −1 x = Áp dụng công thức nội suy Newton nút nội suy xi = i − , i = 1, 2, 3, 4, 5, , ta có N (x) = N (0) + N (1)R(0, x) + N ”(2)R2 (0, 1, x) + N (3) (3)R3 (0, 1, 2, x) 57 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +N (4) (4)R4 (0, 1, 2, 3, x) + N (5) (5)R5 (0, 1, 2, 3, 4, x), x t1 t2 t3 R4 (0, 1, 2, 3, x) = dtdt3 dt2 dt1 = x (x − 4)3 , 4! x t1 t2 t3 t4 R5 (0, 1, 2, 3, 4, x) = dtdt4 dt3 dt2 dt1 = x (x − 5)4 5! Suy N (4) (x) = N (4) (4) + N (5) (5)(x − 4) Khi N (4) (−1) = N (4) (4) − 5N (5) (5), N (4) (6) = N (4) (4) + 2N (5) (5) Từ giả thiết toán, ta suy |N (4) (−1)| = |N (4) (4) − 5N (5) (5)| ≤ 6, |N (4) (6)| = |N (4) (4) + 2N (5) (5)| ≤ Vậy giá trị lớn |N (4) (x)| x = −1 Tương tự với khai triển Taylor, với khai triển Taylor- Gontcharov ta có nhận xét sau Nhận xét 3.1 Vấn đề mấu chốt việc tìm cơng thức đánh giá phần dư công thức khai triển Taylor - Gontcharov hàm f với mốc nội suy xi cho trước việc tính đạo hàm cấp cao hàm f biểu thức Rk (x0 , x1 , , xk−1 , x) Tuy nhiên, việc tính đạo hàm cấp cao hàm số nhiều khơng đơn giản Bên cạnh đó, mốc nội suy tăng lên việc tính tốn biểu thức Rk (x0 , x1 , , xk−1 , x) phức tạp Do đó, ví dụ trên, giá trị mốc nội suy nhỏ nên ta đưa biểu thức đánh giá phần dư f (x) cách xác Cịn trường hợp tổng qt, ta đưa đánh giá dạng Lagrange Cauchy (2.12) (2.14) 58 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tuy nhiên, trường hợp hàm f (x) có đạo hàm giới nội |f (n) (x)| ≤ M, ∀x ∈ [a; b], n = 0, 1, 2, ta có kết sau Bài toán 3.1 Giả sử hàm số f (x) liên tục [a; b], có đạo hàm cấp [a; b] xi ∈ [a; b], i = 0, 1, 2, , n Khi đó, ∃M > cho |f (n) (x)| ≤ M, ∀x ∈ [a; b], n = 0, 1, 2, Rn+1 (f ; x) → n → ∞ Giải Theo công thức xác định Rn+1 (f ; x) ta có Rn+1 (f ; x) = n − k=1 f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 − (n + 1)! f (n+1) (ξk ) k R (x0 , x1 , , xk−1 , x)(x − x0 )n−k+1 (n − k + 1)! Mặt khác: tk−1 x t1 Rk (x0 , x1 , , xk−1 , x) = x0 x1 ≤ a xk−1 tk−1 t1 b dtk dtk−1 dt1 a dtk dtk−1 dt1 = (b − a)k k! a Do M (b − a)(n+1) + Rn+1 (f ; x) ≤ (n + 1)! (n+1) = M (b − a) (n+1) ≤ M (b − a) = M (b − a)(n+1) n k=1 M (b − a)k (b − a)n−k+1 (n − k + 1)! k! + (n + 1)! + (n + 1)! n k=1 n k=1 + (n + 1)! n n k!(n − k + 1)! ! n− n ! n− n n +1 ! +1 ! 59 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì n ∈ Z nên n = 2p + i, (i = 0, 1) Khi ta có Rn+1 (f ; x) ≤ M (b − a)2p+i+1 2p + i + (2p + i + 1)! p!(p + i + 1)! Trường hợp Nếu i = 0, ta có Rn+1 (f ; x) ≤ M (b − a)2p+1 (b − a)p (b − a)2p + −→ 0(p −→ ∞) (2p + 1)! p! (p + 1) Trường hợp Nếu i = 1, ta có Rn+1 (f ; x) ≤ M (b − a)2p+2 (b − a)p (b − a)2 (2p + 1) + −→ 0(p −→ ∞) (2p + 2)! p! (p + 1)(p + 2) Vậy Rn+1 (f ; x) → n → ∞ 60 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN Luận văn trình bày thu - Một số kết tốn nội suy Taylor, khai triển Taylor, đánh giá cơng thức phần dư hội tụ khai triển Taylor - Đưa cơng thức nghiệm tốn nội suy Newton, biểu diễn hàm số f (x) theo công thức khai triển Taylor- Gontcharov đặc biệt đưa đánh giá phần dư khai triển Taylor - Gontcharov hàm f (x) hai dạng Lagrange Cauchy Bên cạnh đó, luận văn đánh giá hội tụ khai triển Taylor - Gontcharov khái qt hóa tốn nội suy Newton hàm đa thức nhiều biến - Một số ứng dụng khai triển Taylor khai triển Taylor - Gontcharov việc ước lượng đánh giá sai số, tính giới hạn hàm số - Một số hướng nghiên cứu phát triển từ đề tài Khai triển Taylor - Gontcharov hàm nhiều biến đánh giá phần dư Các ứng dụng khai triển Taylor - Gontcharov phương trình vi phân, lý thuyết tốn biên Vì thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 61 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy áp dụng, NXBGD, 2007 [2] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXBGD, 2004 [3] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, tập I, NXB Giáo dục 1998 [4] Nguyễn Duy Tiến, Trần Đức Long, Bài giảng giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà nội 2004 [5] Nguyen Van Mau, Algebraic Elements and Boundary Value Problems in Linear Spaces, VNU Publishers, Hanoi 2005 [6] Przeworska-Rolewicz, D Equations with Transformed Argument An Algebraic Approach, Amsterdam-Warsaw 1973 [7] Przeworska-Rolewicz, D Algebraic Analysis, PWN - Polish Scientific Publishers and D Reidel Publishing Company, Warszawa - Dordrecht, 1988 62 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... lượng phần dư khai triển Taylor- Gontcharov dạng Lagrange Cauchy Phần tiếp theo, tác giả đánh giá hội tụ khai triển Taylor khai triển Taylor - Gontcharov Cuối mở rộng khai triển Taylor - Gontcharov. .. n Công thức khai triển hàm số f (x) thành chuỗi thỏa mãn điều kiện f (i) (xi ) = , ∀i = 0, 1, 2, , n gọi khai triển Taylor - Gontcharov Công thức khai triển Taylor- Gontcharov có nhiều ứng dụng. .. , x)+f (x0 )+Rn+1 (f ; x) (2.4) Công thức (2.4) gọi công thức khai triển Taylor- Gontcharov hàm f Biểu thức Rn+1 (f ; x) gọi phần dư công thức khai triển TaylorGontcharov Ta nhận thấy rằng, với