Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM S Lời cảm ơn Trong suốt thời gian thực khoá luận tốt nghiệp nỗ lực thân, nhận đợc giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Công Nghệ, Trờng Đại học Hùng Vơng Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Trần Công TấnTấn Giảng viên Khoa Toán - Công Nghệ, Trờng Đại học Hùng Vơng Thầy đà dành nhiều thời gian quý báu tận tình hớng dẫn suốt trình thực khoá luận tốt nghiệp, đồng thời giúp lĩnh hội đợc kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc thầy giáo, cô giáo Khoa Toán Công nghệ, tới gia đình, bạn bè ngời sát cánh bên tôi, đà nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên suốt trình học tập nh thực hoàn chỉnh khoá luận Mặc dù đề tài đà đợc chuẩn bị nghiên cứu mét c¸ch kÜ l−ìng, vỊ thêi gian cịng nh− néi dung nhng không khỏi có thiếu sót Vì mong nhận đợc góp ý bạn sinh viên, đặc biệt thầy giáo, cô giáo giảng dạy môn Toán để khoá luận đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Phú Thọ, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Hậu Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Đạo hàm kiến thức quen thuộc ñối với học sinh Trung học phổ thông sinh viên trường Cao Đẳng Đại học Nội dung giải tích đề cập sớm chương trình: Đại số giải tích bậc Trung học phổ thơng xuyên suốt năm học Cao ñẳng Đại học Mặc dù ñể nắm vững khái niệm, tính chất đạo hàm đồng thời ứng dụng đạo hàm vào giải tốn giải tích, vật lý, tốn kinh tế toán thực tế lại vấn đề hồn tồn khơng đơn giản Trong năm học Trung học phổ thơng, học sinh làm quen với khái niệm ñạo hàm, bước ñầu ñã biết vận dụng tìm cực trị hàm số biến giải tích ứng dụng vật lý tìm vận tốc, gia tốc chuyển động Đó tốn đơn giản, chưa phải tốn khó phức tạp Song nhiều học sinh cịn mắc sai lầm việc giải tốn dùng ứng dụng đạo hàm mà ngun nhân việc học sinh chưa nắm vững khái niệm ñạo hàm, chưa biết khảo sát hàm số, chưa biết cách làm tốn ứng dụng đạo hàm… Đạo hàm ứng dụng ngày mở rộng, ñặc biệt trường Cao ñẳng, Đại học Khơng giới hạn việc tìm cực trị hàm số biến Trung học phổ thông mà ñạo hàm ñược ứng dụng mở rộng tốn tìm cực trị hàm số nhiều biến, tốn cực trị có điều kiện hàm số nhiều biến, hàm ẩn Lúc này, ñể giải vấn đề lại tốn khó u cầu người học không vững vàng kiến thức đạo hàm định nghĩa tính chất, ứng dụng, mà cịn địi hỏi người học phải có tư tốn học phát triển, đồng thời ứng dụng ñạo hàm mức ñộ cao hơn, phải biết sử dụng kết hợp cách khéo léo công cụ đại số tuyến tính hình học giải tích để hỗ trợ phát triển ứng dụng Chớnh vỡ vy Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ khơng sinh viên ngành Tốn nói chung sinh viên Sư phạm Tốn nói riêng cịn gặp nhiều khó khăn, cịn lúng túng gặp tốn ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số Với mong muốn: Làm để sinh viên nói chung, đặc biệt sinh viên Sư phạm Tốn nói riêng trang bị ñầy ñủ kiến thức việc học tập nghiên cứu ứng dụng đạo hàm, từ mở rộng ứng dụng thực tiễn giảng dạy, ñưa ứng dụng khoa học vào ñời sống Đặc biệt với mục đích đưa hệ thống tập chung, phân loại kiến thức nêu tập ứng dụng nhằm ñem lại thuận lợi cho học sinh, sinh viên trình học tập nghiên cứu đạo hàm hàm số Vì tơi mạnh dạn chọn ñề tài nghiên cứu: “Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số” cho khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan ñến ñạo hàm cực trị hàm số ñể rút phương pháp giải cho số dạng toán ứng dụng đạo hàm vào tìm cực trị hàm số - Nghiên cứu mối liên hệ cực trị hàm số giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng đạo hàm vào tìm cực trị hàm số để phân loại hệ thống hoá kiến thức - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút kinh nghiệm để tìm cực trị phương pháp ñạo hàm - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hồn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán trường Đại học Hùng Vương có mong muốn nghiên cứu tìm hiểu Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ ứng dụng ñạo hàm Với thân tơi, nghiên cứu ứng dụng đạo hàm việc giải toán cực trị giúp tơi hiểu rõ khái niệm tính chất ñạo hàm cực trị hàm số, cho thấy ứng dụng quan trọng ñạo hàm mối liên hệ rộng rãi với phần khác Toán học Bố cục khóa luận: Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương Chương Các kiến thức bổ trợ Trong chương trình bày sở lý thuyết ñặc ñiểm ñạo hàm thông qua ñặc ñiểm chung mơn Tốn, làm rõ tính trừu tượng cao độ tính thực tiễn phổ dụng, tính lơgíc tính thực nghiệm Đồng thời, hệ thống hóa kiến thức ñạo hàm bao gồm: - Định nghĩa ñạo hàm hàm số biến ñạo hàm hàm số hai biến - Các quy tắc tính ñạo hàm - Các ñịnh lý hàm khả vi Ngồi ra, chương cịn bổ sung thêm ý nghĩa đạo hàm để tìm cực trị hàm số nhằm ñưa sở lý luận vững cho khóa luận Chương Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số biến Trong chương này, việc nhắc lại kiến thức cực trị, quy tắc dùng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số biến nhằm củng cố kiến thức, tạo tảng vững ñể ứng dụng đạo hàm vào tìm cực trị hàm số biến Đồng thời chương ñưa hệ thống, phân loại dạng tập theo lớp hàm, giúp cho việc giải tập cách thuận lợi sở ñể giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến chương sau Chương Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số nhiều biến Chương trình bày phương pháp ứng dụng ñạo hàm ñể giải tồn tìm: - Cực trị hàm số hai bin s Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ - Giá trị lớn nhỏ hàm số hai biến số miền đóng bị chặn - Cực trị có điều kiện - Cực trị hàm số phụ thuộc tham số Hơn nữa, ứng dụng ñạo hàm ñể nghiên cứu tính chất hàm số ẩn, phần kiến thức tương đối khó, nhiên hỗ trợ đắc lực cho việc tìm cực trị hàm số nhiều biến ñặc biệt việc tìm cực trị hàm ẩn Ở chương có hệ thống dạng tập tương ứng, bám sát kiến thức, quy tắc ñã ñược trình bày, giúp người ñọc hiểu sâu sắc kiến thức ñã học ghi nhớ quy tắc sử dụng ñạo hàm ñể giải bi toỏn trờn Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Đặc ñiểm ñạo hàm 1.1.1 Tính trừu tượng cao độ tính thực tiễn phổ dụng a) Tính trừu tượng hố: Tính trừu tượng hố Tốn học mơn Tốn đối tượng mơn Tốn quy định Theo Ăng ghen: “ Đối tượng Toán học tuý hình dạng khơng gian quan hệ số lượng giới khách quan” (Trích theo Hồng Chúng, tr.20) Mặc dầu Toán học phát triển mạnh mẽ, phát biểu tiếng hiệu lực khái niệm hình học khơng gian quan hệ số lượng ñược hiểu theo nghĩa khái quát “Hình dạng khơng gian” biểu diễn khơng không gian thực tế ba chiều mà không gian trừu tượng khác không gian có số chiều n vơ hạn, khơng gian mà phần tử hàm liên tục, “Quan hệ số lượng” khơng bó hẹp phạm vi tập hợp mà ñược biểu phép tốn tính chất chúng tập hợp có phần tử đối tượng loại tuỳ ý ma trận, tập hợp, mệnh ñề, phép biến hình,… Đương nhiên tính chất trừu tượng khơng phải có Tốn học mà đặc điểm khoa học Nhưng Toán học, trừu tượng tách khỏi chất liệu ñối tượng, “chỉ giữ lại quan hệ số lượng hình dạng không gian, tức quan hệ cấu trúc mà thơi’’ (Phạm Văn Hồn,…1981, tr.21) Ở trình độ lý thuyết, nhận thức khoa học nói chung, Tốn học nói riêng ln phải sử dụng trừu tượng hố Tốn học khoa học sử dụng nhiều trừu tượng mức độ trừu tượng đạt trình độ cao nhất, lĩnh vực khoa học này: “sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất’’ Tuy nhiên, cho dù trừu tượng có thực “nghiêm túc’’, “đúng ñắn” ñến ñâu tri thức nhận ñược có khả xa rời thực Vì vậy, để ñảm bảo tính chân lý, tức lập luận cho tính hợp lý tri thức nhận ñược, cần phải xác lập sở chúng Nhưng ñây lý thứ yếu tính Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ cấp bách vấn ñề nằm chỗ khác Sau phát ñại lượng biến thiên Decarter, người ta sử dụng phép tính tích phân vi phân để nghiên cứu vận động Ta mơ tả việc nghiên cứu sau: Người ta sử dụng hàm số: s = f ( t ) ñể biểu thị vận ñộng; vận tốc tức thời thời ñiểm cụ thể t1 đạo hàm bậc hàm số thời điểm đó: v ( t1 ) = f ' ( t1 ) Gia tốc tức thời vận ñộng ñạo hàm bậc hai: a ( t1 ) = f '' ( t1 ) Như vậy, lần người ta sử dụng cơng cụ tốn học, phương pháp chặt chẽ, xác ñể nghiên cứu vận ñộng nói riêng, biện chứng khách quan nói chung Đặc biệt với phương thức nghiên cứu vậy, người ta ñã thu nhận ñược khối lượng ñồ sộ thành tựu toán học Đạo hàm (vi phân) lý thuyết tốc ñộ thay ñổi; liên hệ ñến hàm số, vận tốc, gia tốc, hệ số góc ñường cong ñiểm cho trước, cực ñại cực tiểu hàm Khi nghiên cứu ñạo hàm (vi phân), nhà nghiên cứu ñã ñối mặt giải vấn ñề mối quan hệ liên tục rời rạc; hữu hạn vơ hạn; chuyển động đứng n Như thấy đạo hàm phận Tốn học có tính chất trừu tượng cao độ Tính trừu tượng cao độ che lấp khơng tính thực tiễn Tốn học b) Tính thực tiễn phổ dụng: Tốn học có nguồn gốc thực tiễn Số học ñời trước hết nhu cầu ñếm Hình học phát sinh cần thiết phải đo lại ruộng đất bên bờ sơng Nin (Ai Cập) sau trận lũ hàng năm Khi nói đến nguồn gốc thực tiễn Toán học cần nhấn mạnh nguồn gốc thực tiễn lơgíc hình thức sử dụng Tốn học, Lê Nin viết: “Những hình thức quy luật lơgíc khơng phải vỏ trống rỗng mà phản ánh giới khách quan thực tiễn người ñược lặp ñi lặp lại hàng nghìn triệu lần, củng cố vào ý thức người ta hình thức lơgíc học” (Lê Nin tồn tập, tr 127 - 129, trích theo Phạm Văn Hoàn, 1981, tr.23) Thành tựu bật kỉ XVII phát minh cỏc phộp tớnh Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ vi - tích phân vào cuối kỉ Isaac Newton Gottfried Wilhelm leibniz Sự đời phép tính vi - tích phân đưa Tốn học sang giai đoạn Tốn cao cấp, gần kết thúc giai ñoạn Toán học sơ cấp Từ ñối tượng nghiên cứu số hình dạng tĩnh tại, Tốn học bước sang nghiên cứu đối tượng q trình vận động biến đổi Phép tính vi phân tích phân sáng tạo nhằm giải bốn vấn ñề khoa học kỉ thứ XVII sau: Vấn ñề thứ nhất, cho vật chuyển ñộng theo công thức hàm số theo thời gian, tìm vận tốc gia tốc thời điểm bất kì; ngược lại, cho biết gia tốc vật thể chuyển ñộng hàm số theo thời gian, tìm vận tốc quãng ñường ñi ñược Vấn ñề xuất phát từ việc nghiên cứu chuyển động Trong chuyển động vận tốc gia tốc thay ñổi từ thời ñiểm ñến thời ñiểm khác Trong vật lý, người ta cần biết xác vận tốc hay gia tốc vật thể chuyển ñộng thời ñiểm Nếu lấy vận tốc quãng ñường ñi ñược chia cho thời gian vận tốc trung bình chưa phải vận tốc xác thời điểm thời gian chuyển động vận tốc khơng, mà 0/0 vơ nghĩa Đối với tốn ngược lại, gặp khó khăn biết vận tốc hàm thời gian ta khơng thể tìm qng đường vật thể chuyển động vận tốc thay ñổi từ thời ñiểm ñến thời ñiểm khác Vấn ñề thứ hai vấn ñề tìm tiếp tuyến đường cong Bài tốn thuộc hình học, có ứng dụng quan trọng khoa học Quang học ngành mà nhiều nhà khoa học kỉ XVII quan tâm nghiên cứu Thiết kế thấu kính mối quan tâm ñặc biệt NewTon, Fermat, Descartes Huygens Để nghiên cứu đường ánh sáng qua thấu kính người ta phải biết góc mà tia sáng đập vào thấu kính để áp dụng định luật khúc xạ Góc cần ý góc tia sáng pháp tuyến đường cong, pháp tuyến vng góc với tiếp tuyến Để xác ñịnh pháp tuyến, người ta phải xác định tiếp tuyến Một vấn đề có tính chất khoa học khác liên quan ñến tiếp tuyến ñường cong nghiên cứu chuyển ñộng Hướng chuyn ủng ca Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ vật thể chuyển động thời điểm quỹ ñạo hướng tiếp tuyến quỹ ñạo Vấn đề thứ ba vấn đề tìm giá trị cực ñại cực tiểu hàm số Khi ñạn bắn từ súng thần công, khoảng cách ñi ñược phụ thuộc vào góc súng tạo với mặt đất Vấn đề đặt tìm góc cho viên ñạn ñi xa Nghiên cứu chuyển ñộng Hành Tinh liên quan đến tốn cực trị, ví dụ tìm khoảng cách ngắn dài Hành Tinh Mặt Trời Vấn ñề thứ tư tìm chiều dài đường cong, chẳng hạn khoảng cách ñi ñược Hành Tinh thời gian đó; diện tích hình giới hạn đường cong; thể tích khối giới hạn mặt,… Các nhà Toán học cổ Hy Lạp ñã dùng phương pháp vét kiệt cách khéo léo Các nhà Toán học kỉ XVII cải tiến dần họ nhanh chóng phát minh phép tính vi - tích phân Tốn học có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Tính trừu tượng cao độ làm cho Tốn học có tính phổ dụng, ứng dụng nhiều lĩnh vực khác ñời sống thực tế Chẳng hạn, tri thức tương quan tỷ lệ thuận biểu thị cơng thức y = kx ứng dụng vào hình học, điện học, hố học…Vì mối tương quan phản ánh mối liên hệ lĩnh vực đó, chẳng hạn như: - Diện tích S tam giác với cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với ñường cao h ứng với cạnh đó: S = ah - Quãng ñường S ñi ñược chuyển ñộng ñều với vận tốc cho trước v tỷ lệ thuận với thời gian ñi t: S = vt - Phương trình xác định li độ chuyển động lắc là: x = a.cos ( wt + ϕ ) Từ phương trình ta thấy lấy ñạo hàm lần thứ ta có: x ' = −aw sin ( wt + ϕ ) vận tốc lắc thời ñiểm t Nếu lấy đạo hàm lần thứ hai ta có x '' = −aw cos ( wt + ϕ ) ñây gia tốc lắc thời điểm t cn tỡm 10 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Tương tự vậy, kết nghiên cứu nhóm đem ứng dụng cho đối tượng có chất khác nhau: số, véctơ, ma trận, phép dời hình,… Đạo hàm phận Tốn học có ứng dụng nhiều sống, cụ thể: Trong tốn động tử, vận tốc đạo hàm quãng ñường ñi; gia tốc ñạo hàm vận tốc Trong tốn điện, sức điện động cảm ứng đạo hàm từ thơng biến thiên; tụ điện dịng điện đạo hàm ñiện áp; cuộn cảm ñiện áp ñạo hàm dịng điện Trong ngành học lưu chất lưu lượng đạo hàm khối lượng (hoặc thể tích) lưu chất… Khi ta nói vào microphone, điện áp mic đạo hàm sóng âm thanh; ampli khuyếch ñại lên ñưa loa, rung ñộng loa ñạo hàm ñiện áp ñặt vào; từ mic ñến loa bạn ñã lấy ñạo hàm lần… Ứng dụng ñạo hàm (vi phân) tích phân vào thực tế ngành có Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, cơng nghệ, đến tốn trình khoa học xã hội Tất q trình mơ khối Tỷ lệ - tích phân - vi phân Trước máy vi tính đời, người ta sử dụng mạch ñiện tử ñể làm khối Các mạch điện tử gọi khuyếch đại thuật tốn Hệ thống sử dụng mạch mơ gọi máy tính tương tự Hiện người ta dùng phần mềm mô phỏng, phần mềm tuyến tính thời gian thực để thay Các mạch khuyếch đại thuật tốn sản xuất ñể thực nhiều chức khác Sử dụng phần mềm mơ người ta biết ñược tác ñộng biến số phức tạp hệ thống 1.1.2 Tính lơgíc tính thực nghiệm Khi nghiên cứu quy luật tượng tự nhiên xã hội người ta thường dùng suy diễn logic tìm mối liên hệ đại lượng ñang xét với ñạo hàm (vi phân) chúng Theo phương pháp đó, xuất phát từ khái niệm nguyên thuỷ (tức ñối tượng nguyên thuỷ quan hệ nguyên thuỷ) tiên ñề dùng quy tắc lơgíc để định nghĩa khái niệm khác chứng minh mệnh ñề khác 11 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ f ( x, y ) ≤ f ( 0, y0 ) , +) Nếu λ < f ( x, y ) ≤ = f ( x0 ,0 ) , ∀ ( x, y ) ∈ ℝ ∀ ( x, y ) ∈ ℝ ; x0 , y0 số thực cho trước Vậy hàm số f đạt cực ñại ñiểm ( x0 ,0 ) ( 0, y0 ) , ∀x0 , y0 ∈ ℝ , ñồng thời f m ax = Bài toán Cho p > 1, q > 1, f ( x, y ) = 1 + = Tìm giá trị nhỏ hàm số : p q p q x + y , tập hợp: D = {( x, y ) ∈ ℝ : xy = 1, x > 0, y > 0} p q Giải: Với ∀ ( x, y ) ∈ D, y = , x > x  1 Do đó: lim y = 0; lim f ( x, y ) = lim f  x,  = +∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞  x Vì hàm số f khơng đạt giá trị lớn D Dễ dàng chứng minh ñược f ñạt giá trị nhỏ D ta tìm cực trị hàm số f với ràng buộc: g ( x, y ) = xy − = 0, x > 0, y > (1)  ∂g ∂g  Vì  ,  = ( y, x ) ≠ ( 0,0 ) , ∀x > 0, y > nên để cực tiểu có điều kiện hàm  ∂x ∂y  số f với ràng buộc (1) thỏa mãn hệ phương trình: ∂g  ∂f = λ  ∂x  x p −1 = λ y ∂x   q −1  ∂f = λ ∂g y = λx ⇔  ∂y  ∂y xy =    g ( x, y ) =  x > 0, y >    x > 0, y > Từ hai phương trình đầu hệ suy ra: x p = y q Kết hợp với phương trình cuối hệ, ta ñược x = 1, y = Vậy: Min f ( x, y ) = f (1,1) = ( x , y )∈D Bài tốn Tìm cực trị hàm số: f ( x, y ) = 1 + = p q ax + by + c x2 + y + ( ) , a +b +c ≠ 2 Giải: Miền xác định hàm số tồn mặt phẳng ℝ Tìm điểm dừng qua việc giải h phng trỡnh: 62 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ  ∂f  ∂x  ∂f   ∂y  a ( x + y + 1) − x ( ax + by + c ) =0  2 =0  ( x + y + 1)  ⇔ 2 =  b ( x + y + 1) − y ( ax + by + c ) =0  2  ( x + y + 1) 2 2   a ( x + y + 1) − x ( ax + by + c ) = −ab ( x + y + 1) + bx ( ax + by + c ) = ⇔ ⇔ 2 2 b ( x + y + 1) − y ( ax + by + c ) = ab ( x + y + 1) − ay ( ax + by + c ) =  bx = ay ( bx − ay )( ax + by + c ) =  ⇔ ⇔   ax + by + c = 2 a ( x + y + 1) − x ( ax + by + c ) = a x + y + − x ax + by + c = 0(*) ) ) (  ( b a b Với ax = by ⇔ y = x thay vào (1) ñược: x = , y = , c ≠ (nếu c = a c c a + b + c ≠ hàm khơng có điểm dừng) Với ax+by + c = ⇔ y = − ax + c ( b ≠ ) thay vào (*) ta ñược: b a = a  2 2  a + b x + acx + b + c = ⇔ ⇔a=0  2 2  a + b x + acx + b + c = b2   ( ) ( ) (Vì phương trình: ( a + b ) x + 2acx + b + c = vô nghiệm) Với a = a + b + c ≠ hàm số khơng có điểm dừng Với b = a + b + c ≠ hàm số điểm dừng a b Vậy hàm số có điểm dừng là: M  ;  c c Các ñạo hàm cấp hai: x  a ( x + y + 1) − x ( ax + by + c )  ∂2 f by + c A= =− − ; 2 2 2 ∂x ( x + y + 1) ( x + y + 1) xy ( ax + by + c ) ∂2 f ay + bx B= =− − ; 2 2 2 ∂x∂y ( x + y + 1) ( x + y + 1) 63 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ y b ( x + y + 1) − y ( ax + by + c )  ∂2 f ax + c C= =− − ; 2 2 2 ∂y ( x + y + 1) ( x + y + 1) a b Xét ñiểm M  ;  t a có: c c A=− b2 + c a  b c  + + 1 c c  2 ⇒ ∆ = B − AC = ;B = − ab a  b c  + + 1 c c  2 a b − ( b + c )( a + c )  b2 2a c  + + 1 c c  ;C = − =− a2 + c2  a b2  c  + + 1 c c  c6 ( a + b2 + c2 ) < a b Mặt khác: A < 0, M  ;  ñiểm cực ñại hàm số, ñồng thời: c c f max = a + b + c 3.5 Hàm số ẩn Mở đầu: Ví dụ Ta biết phương trình tổng qt đường thẳng là: Ax + By + C = ( ) , (A + B ≠ ) Nếu B ≠ 0, giải (1) theo y ta ñược: y = − A C x − = ax + b B B ( 2) Rõ ràng thay (2) vào (1) ta thấy (1) ñược thoả mãn ( tức trở thành ñồng thức) Ta nói hàm số y xác ñịnh phương trình (1) hàm số ẩn Ví dụ Vịng trịn tâm O có bán kính r có phương trình: x + y = r ( Giải theo y ta ñược: y = r − x y = − r − x ( 4) 3) (ñồ thị hàm số thứ nửa vịng trịn, đồ thị hàm số thứ hai nửa vòng trịn) Thay phương trình (4) vào (3), dĩ nhiên (3) ñược thoả mãn Các hàm số ñược xác ñịnh (3) ñều gọi hàm số ẩn Như ta có khái niệm hàm số ẩn nhận thấy: • Một phương trình F ( x, y ) = cho nhiều hàm ẩn, chí biểu diễn điểm, ví dụ: x + y = 64 Sinh viên: Nguyễn Thị HËu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ • Khơng phải hàm ẩn biểu diễn ñược dạng y = y ( x ) Ví dụ, có phương trình khó giải y như: x y + y x + sin ( x + y ) = Bài tốn lý thuyết hàm ẩn đặt là: Khi phương trình F ( x, y ) = xác ñịnh hàm ẩn nghiên cứu tính chất hàm ẩn (khơng cần phải giải dạng hiện) Dưới ñây ta phát biểu ñịnh nghĩa, ñịnh lý hàm số ẩn minh họa chúng mà không chứng minh 3.5.1 Định nghĩa Cho phương trình F ( x, y ) = ( ) Ở ñây hàm F ( x, y ) xác định tập X × Y (kí hiệu X × Y tập hợp cặp thứ tự ( x, y ) , với x ∈ X , y ∈ Y ) Kí hiệu E tập hợp giá trị x ∈ X , mà x ∈ E cố định phương trình (1) có nghiệm thực y ∈ Y Khi tập E xác định hàm y = f ( x ) ñơn trị hay ña trị, ñặt tương ứng với x ∈ X cố định giá trị y nghiệm phương trình (1) với x cố ñịnh Hàm ñược xác ñịnh ñược gọi hàm ẩn Do ñịnh nghĩa hàm y = f ( x ) , ñẳng thức F ( x, f ( x ) ) = thỏa mãn với tất giá trị x ∈ E Tương tự nhờ hệ phương trình Fi ( x1 , x2 , , xm , y1 , y2 , , yn ) = ( i = 1,2, , n ) ta xác ñịnh hệ hàm ẩn yi = f i ( x1 , x2 , , xm )( i = 1, 2, , n ) ñể: Fi ( x1 , x2 , , xm , f ( x1 , x2 , , xm )1 , f ( x1 , x2 , , xm ) , , f n ( x1 , x2 , , xm ) ) = ( i = 1,2, , n ) 3.5.2 Định lý ) Định lý (ñịnh lý tồn tại): Giả sử hàm F ( x, y ) liên tục theo biến x y hình chữ nhật R : x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b F ( x0 , y0 ) = Sau nữa, giả sử hàm F ( x, y ) có đạo hàm riêng Fy ' ( x, y ) R, liên tục ñiểm ( x0 , y0 ) , ñồng thời Fy ' ( x, y ) ≠ Khi tồn số α > 0, β > ñể hình chữ nhật R0 : x − x0 ≤ α , y − y0 ≤ β phương trình (1) xác ủnh nht hm liờn 65 Sinh viên: Nguyễn Thị HËu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ tục y = f ( x ) , nhận giá trị y0 , x = x0 ) Định lý (ñạo hàm hàm ẩn): Giả sử ñiều kiện định lý thoả mãn, ngồi ñiểm ( x0 , y0 ) tồn ñạo hàm Fx' ( x0 , y0 ) Khi hàm y = f ( x ) xác ñịnh phương trình (1) có đạo hàm điểm x = x0 ñồng thời: dy ( x0 ) Fx' ( x0 , y0 ) =− ' dx Fy ( x0 , y0 ) Tương tự, ta có định lý mở rộng sau ñây: ) Định lý Giả sử : 1) Hàm số F ( x1 , x2 , , xn , y ) liên tục có đạo hàm riêng liên tục miền đóng: ( R x10 − a1 ≤ x1 ≤ x10 + a1 , x20 − a2 ≤ x ≤ x20 + a2 , , xn0 − an ≤ xn ≤ xn0 + an , y − b ≤ x ≤ y + b ) 2) F ( x10 , x20 , , xn0 , y ) = 0; 3) Fy' ( x10 , x20 , , xn0 , y ) ≠ 0; Thế thì: a) Tồn hàm số y = f ( x1 , x2 , , xn ) thoả mãn phương trình F ( x1 , x2 , , xn , y ) = miền ∆ ( x10 − a1 ≤ x1 ≤ x10 + a1 , x20 − a2 ≤ x ≤ ≤ x20 + a2 , , xn0 − an ≤ xn ≤ xn0 + an ) f ( x10 , x20 , , xn0 ) = y ; b) Hàm số f ( x1 , x2 , , xn ) liên tục miền ∆ ; c) Hàm số f ( x1 , x2 , , xn ) có đạo hàm riêng liên tục miền ∆ ta có: ∂F ∂f ( x1 , x2 , , xn ) ∂x = − i , ( i = 1, 2, , n ) ∂F ∂xi ∂y  F1 ( x, y, z ) = Ví dụ (Bài tốn tổng qt): Cho hệ phương trình:   F2 ( x, y, z ) = (5) Nếu với x thuộc miền xác ñịnh ñó mà tồn cặp hàm số y = f1 ( x ) ; 66 Sinh viªn: Ngun ThÞ HËu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ  F1 ( x, f1 ( x ) , f ( x ) ) = z = f ( x ) cho:  cặp hàm số y = f1 ( x ) ; F x , f x , f x = ( ) ( ) )  ( z = f ( x ) ñược gọi hàm số ẩn xác ñịnh hệ phương trình (5) Bài tốn đặt là: Các hàm số F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) phải thoả mãn ñiều kiện để hệ phương trình (5) xác định cặp hàm số ẩn liên tục, khả vi? ) Định lý Giả sử : 1) Các hàm số F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm M ( x0 , y0 , z0 ) , 2) F1 ( x0 , y0 , z0 ) = F2 ( x0 , y0 , z0 ) = 0, ∂F1 D ( F1 , F2 ) ∂y = 3) J = ∂F2 D ( y, z ) ∂y ∂F1 ∂z ≠ , ñiểm M ( x0 , y0 , z0 ) ∂F2 ∂z Thế thì: a) Tồn cặp hàm số y = f1 ( x ) , z = f ( x ) thỏa mãn (5) lân cận ∆ ñiểm x0 f1 ( x0 ) = y0 , f ( x0 ) = z0 ; b) Các hàm số f1 ( x ) , f ( x ) liên tục ∆ ; c) Các hàm số f1 ( x ) , f ( x ) có đạo hàm liên tục ∆ ta có: df1 D ( F1 , F2 ) df D ( F1 , F2 ) ; =− =− dx J D ( x, z ) dx J D ( y, x ) Tương tự, ta có định lý mở rộng sau: ) Định lý Giả sử: 1) Các hàm số Fi ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , ym ) = ( i = 1,2, , m ) liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm M ( x10 , x20 , , xn0 , y10 , y20 , , ym0 ) ; 2) Fi ( x10 , x20 , , xn0 , y10 , y20 , , ym0 ) = ( i = 1,2, , m ) ; 67 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ ∂F1 ∂y1 ∂F1 ∂F1 ∂y2 ∂ym ∂F2 ∂F2 ∂F2 D ( F1 , F2 , , Fm ) ∂y2 ∂ym ≠ 3) Tại điểm M ta có: J = = ∂y1 D ( y1 , y2 , , ym ) ∂Fm ∂y1 ∂Fm ∂Fm ∂y2 ∂ym Thế thì: a) Tồn m hàm số yi = f i ( x1 , x2 , , xn ) ( i = 1,2, , m ) thỏa mãn hệ phương trình:  F1 ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , ym ) =   F2 ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , ym ) =    F x , x , , x , y , y , , y = n m)  m( lân cận ∆ điểm ( x10 , x20 , , xn0 ) f i ( x10 , x20 , , xn0 ) = yi0 ( i = 1, 2, , m ) ; b) Các hàm số f i ( x1 , x2 , , xn ) liên tục ∆ ; c) Các hàm số f i ( x1 , x2 , , xn ) có đạo hàm riêng liên tục ∆ ta có: D ( F1 , F2 , , Fm ) D ( F1 , F2 , , Fm ) D ( x1 , y2 , , ym ) D ( y1 , y2 , , x1 ) ∂y1 ∂y =− , , m = − D ( F1 , F2 , , Fm ) D ( F1 , F2 , , Fm ) ∂x1 ∂x1 D ( y1 , y2 , , ym ) D ( y1 , y2 , , ym ) Tương tự cho ñạo hàm riêng hàm số y1 , y2 , , ym ñối với biến số chúng 3.5.3 Cực trị hàm ẩn Nếu hàm ẩn u = u ( x1 , x2 , , xn ) , ( x1 , x2 , , xn ) ∈ E ⊂ En ñược xác ñịnh phương trình : F ( x1 , x2 , , xn , u ) = F ( x1 , x2 , , xn , u ( x1 , x2 , , xn ) ) = 0, ( x1 , x2 , , xn ) ∈ E Giả sử hàm u khả vi liên tục hai lần E Khi điểm dừng M ( x10 , x20 , xn0 ) thỏa mãn ñẳng thức: 68 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ du = − ( ) M Fx'1 dx1 + Fx'2 dx2 + + Fx'n dxn = F 'u (1) F ( x10 , x20 , xn0 , u ) = Ở ñây u = u ( x10 , x20 , xn0 ) Do mệnh ñề ngược thỏa mãn, nên điểm dừng tìm từ F 'xi = ( i = 1, 2, , n ) , F = hệ: Ta vi phân lần ñẳng thức ñầu tiên (1) ý du = , ta d 2u = − nhận ñược : n ∂2F dx1dx2 ∑ Fu' i , j =1 ∂x1∂x2 Nếu d 2u > điểm M hàm u có cực tiểu, điểm d 2u < hàm u có cực đại 3.5.4 Bài tập Bài tốn Tìm cực trị hàm ẩn z = z ( x, y ) , ñược xác ñịnh phương trình: x + y + z − x + y − z − 10 = Giải: Miền xác ñịnh hàm số toàn mặt phẳng ℝ Đặt F = x + y + z − x + y − z − 10 = Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình:  Fx' = x − =  '  x = 1, y = −1, z = −2 ⇔  Fy = y + =  x = 1, y = −1, z =  2 F = x + y + z − x + y − z − 10 =  Để thử lại điều kiện đủ, ta tìm ñạo hàm Fz' = z − 4; Fx''2 = 2, Fy''2 = 2, Fxy'' = tính vi phân cấp hai ñiểm dừng Do: d F (1, −1, −2 ) = d F (1, −1, ) = − dx + dy ) > ( dx + dy ) < ( Nên zmin = −2, zmax = x = 1, y = −1 Đồ thị hàm số: (hình 29) 69 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ (H.29) Bài tốn Tìm cực trị hàm ẩn z = z ( x, y ) , xác định phương trình: x + y + z − xz − yz + x + y + z − = Giải: Miền xác ñịnh hàm số toàn mặt phẳng ℝ Đặt: F = x + y + z − xz − yz + x + y + z − = Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình:  Fx' = x − z + =  x = −3 + 6, y = −3 + 6, z = −4 +  ' ⇔  Fy = y − z + = x = − − 6, y = − − 6, z = − −    2  F = x + y + z − xz − yz + x + y + z − = Vậy có điểm dừng: M ( −3 + 6, −3 + 6, −4 + ) , M ( −3 − 6, −3 − 6, −4 − ) Ta tìm đạo hàm Fz' = z − x − y + 2, Fx''2 = 2, Fy''2 = 2, Fxy'' = tính vi phân cấp hai d z ñiểm dừng d z ( M ) = − 1 dx + dy ) ; d z ( M ) = dx + dy ) ( ( 6 Vì vậy: zmax = −4 + x = −3 + 6, y = −3 + zmin = −4 − x = −3 − 6, y = −3 − Ta có đồ thị hàm s: (hỡnh 30) (H.30) 70 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Bài tốn Tìm cực trị hàm ẩn z = z ( x, y ) , ñược xác ñịnh phương trình: x + y + yz − z + = Giải: Miền xác định hàm số tồn mặt phẳng ℝ Đặt F = x + y + yz − z + = Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình:  x =  Fx' = =   ' ± 257  ⇔ y =  Fy = y + z =   2  F = x + y + yz − z + =  −1 ∓ 257 z = 16  Để thử lại ñiều kiện ñủ, ta tìm đạo hàm Fz' = y − 1; Fx''2 = 4, Fy''2 = 4, Fxy'' = tính vi phân cấp hai điểm dừng  − 257 −1 + 257  , dx + dy ) > (  = 16 257   Do: d F  0,  + 257 −1 − 257  −4 d F  0, , dx + dy ) < (  = 16 257   Nên zmin = −1 + 257 − 257 −1 − 257 + 257 x = 0, y = ; zmax = x = 0, y = 16 16 Đồ thị hàm số: (hình 31) (H.31) 71 Sinh viªn: Ngun ThÞ HËu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Bài tốn Tìm cực trị hàm ẩn z = z ( x, y ) , ñược xác định phương trình: x + y + z − 2a ( x + y + z ) = 0(a > 0) Giải: Miền xác định hàm số tồn mặt phẳng ℝ Đặt: F = x + y + z − 2a ( x + y + z ) = 0(a > 0) Tìm điểm dừng qua việc giải hệ phương trình:  F ' = x − 4a x =  x '  Fy = y − 4a y =  4 2  F = x + y + z − 2a ( x + y + z ) = Từ ta có điểm bất thường x = y = z = ñiểm dừng khác : M : x = o, y = o, z = a 2; M : x = 0, y = 0, z = − a 2, M 3,4 : x = ± a, y = ± a, z = a + , M 5,6 : x = ± a, y = ± a, z = − a + Tiếp theo ta tìm đạo hàm: Fz' = z − 4a z , Fx''2 = 12 x − 4a , Fy''2 = 12 y − 4a , Fxy'' = Và ñiểm M i ( i = 0,1, , ) tính vi phân cấp hai d z : d z ( M1 ) = dx + dy 2 dx + dy ;d z (M2 ) = − a a d z ( M 3,4 ) = −2 ( dx + dy ) a 3+ 3 ; d z ( M 5,6 ) = ( dx + dy ) a 3+ 3 Vậy ñiểm M hàm ñạt cực tiểu ñịa phương zmin = a Tại M ñạt cực ñại zm ax = −a Tại ñiểm M 3,4 ñạt cực ñại zm ax = a + Tại ñiểm M 5,6 ñạt cực tiểu zmin = −a + Ta có đồ thị hàm số: (hình 32) (H.32) 72 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Xác ñịnh ñiểm dừng hàm số áp dụng định nghĩa cực trị, tìm cực trị hàm số (nếu có): a) f ( x, y ) = x + xy + y + x + b) f ( x, y ) = c) f ( x, y ) = x − xy + x − x2 + y ( x + y) d) f ( x, y ) = xy + ln (1 + x ) + 11 Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) f ( x, y ) = x + y − xy − x + 10 b) f ( x, y ) = 1 − − xy x y c) f ( x, y ) = e xy − d) f ( x, y ) = e y cos2 x − Bài Trong tất hình hộp chữ nhật có cạnh song song với trục tọa ñộ nội tiếp mặt elipxôit x2 y2 z + + = Tìm kích thước hình a b2 c2 hộp tích lớn Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f tập hợp D cho trước a) f ( x, y ) = x + y + xy + 3, D = {( x, y ) : −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1} b) f ( x, y ) = x − y + , D hình tam giác có ba đỉnh ( 0,0 ) , ( 0, ) , ( 5, ) Bài Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrăng, xác định hình chiếu vng góc điểm gốc O mặt phẳng ax + by + cz = d , ( a + b + c > ) tìm khoảng cách từ điểm O ñến mặt phẳng Bài Chứng minh tất tam giác có chu vi 2p cho trước, tam giác có diện tích lớn Bài Tìm cực trị hàm số: f ( x, y ) = x + y với ñiều kiện x y liên hệ với phương trình x + y = Bài Tìm cực trị hàm số: f ( x, y ) = x + y − xy + x + y − với ñiều kiện x y liên hệ với phương trình x + y + = 73 Sinh viªn: Ngun ThÞ HËu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Bài Tìm cực trị hàm số: f ( x, y ) = xy với ñiều kiện x y liên hệ với phương trình x + y = Bài 10 Tìm cực trị hàm ẩn z = z ( x, y ) , xác định phương trình: x2 + y2 + z + 4x − y − 4z − = ******************************* KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương trình bày phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải tốn tìm: - Cực trị hàm số hai biến số - Giá trị lớn nhỏ hàm số hai biến số miền đóng bị chặn - Cực trị có điều kiện - Cực trị hàm số phụ thuộc tham số Hơn nữa, ứng dụng ñạo hàm ñể nghiên cứu tính chất hàm số ẩn, ñây phần kiến thức tương ñối khó, nhiên hỗ trợ đắc lực cho việc tìm cực trị hàm số nhiều biến ñặc biệt việc tìm cực trị hàm ẩn Ở chương có hệ thống dạng tập tương ứng, bám sát kiến thức, quy tắc trình bày, giúp người đọc hiểu sâu sắc kiến thức ñã học ghi nhớ quy tắc sử dụng ñạo hàm ñể giải cỏc bi toỏn trờn 74 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ KẾT LUẬN CHUNG Qua nội dung nghiên cứu trên, khóa luận “Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số” ñã giải mục đích đặt Theo hướng nghiên cứu chi tiết ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số ta thu ñược số kết sau: 1) Hệ thống kiến thức ñạo hàm trình bày ý nghĩa ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số 2) Hệ thống kiến thức cực trị hàm số biến, hai biến quy tắc tìm cực trị hàm số 3) Hệ thống dạng toán thường gặp tốn ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số biến, cụ thể cho lớp hàm: + Hàm ña thức hàm hữu tỉ + Hàm số vô tỉ + Hàm lượng giác siêu việt Hơn nữa, cịn có dạng tốn cực trị hình học tốn cực trị khơng mẫu mực trình bày rõ ràng, cụ thể làm tăng thêm phần phong phú dng cho khúa lun 4) Trình bày h thng tập ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số hai biến: + Cực trị hàm số hai biến + Giá trị lớn nhỏ hàm số hai biến số miền ñóng bị chặn + Cực trị có ñiều kiện + Cực trị hàm số phụ thuộc tham số 5) Nghiên cứu tính chất hàm số ẩn nhằm hỗ trợ cho việc tìm cực trị hàm số nhiều biến, đặc biệt việc tìm cực trị hàm ẩn Hy vọng rằng, với nội dung ñã ñược trình bày khóa luận, khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên giáo viên trường, góp phần giúp cho việc học, nghiên cứu toán tìm cực trị hàm số biến nhiều biến thuận lợi 75 Sinh viªn: Ngun ThÞ HËu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PTS Nguyễn Cam, Giải tốn đạo hàm khảo sát hàm số, NXBĐH Quốc Gia Hà Nội, 1999 [2] Phan Đức Chính, Một số phương pháp giải toán sơ cấp, tập2, NXBGD,1997 [3] Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán hàm số, NXB Hà Nội,2000 [4] Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Phân Loại phương pháp giải toán giải tích, Nhà xuất trẻ, 2002 [5] Trần Văn Kí, Tốn chọn lọc giải tích 12, NXBĐH Quốc Gia TPHCM, 2002 [6] Nguyễn Bá Kim (chủ biên) - Vũ Dương thuỵ, Phương pháp dạy học mơn tốn, NXBGD, 2006 [7] Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến số, NXBĐHSP, 2005 [8] Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến số, NXBĐHSP, 2005 [9] Vũ Dương Thuỵ, Các giảng luyện thi mơn tốn tập 3, NXBGD, 1999 [10] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp, tập 2, NXBGD, 2005 [11] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, tập 3, NXBGD, 2006 [12] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp, tập 3, NXBGD, 2000 [13] Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngơ Xn Sơn, Giải tích toán học, tập 1, NXBGD, 1981 [14] Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngơ Xn Sơn, Giải tích tốn học, tập 3, NXBGD, 1977 [15] Y.Y.LIASKÔ, A.C.BOOIATRUC, IA.G.GAI, G.P.GÔLÔVAC, Giải tích tốn học ví dụ toán, Phần I (tập II), NXB Đại học Trung hc chuyờn nghip, 1979 76 Sinh viên: Nguyễn Thị Hậu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 3.1 Cực trị hàm số hai biến số 3.1.1 Định nghĩa ) Định nghĩa cực trị ñịa phương: Cho hàm số: ... luanvanchat@agmail.com ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN 2.1 Các kiến thức 2.1.1 Định nghĩa ) Định nghĩa cực trị hàm số biến: Cho hàm số y =... ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ ứng dụng ñạo hàm Với thân tôi, nghiên cứu ứng dụng đạo hàm việc giải tốn cực trị giúp hiểu rõ khái niệm tính chất đạo hàm cực trị hàm số, cho thấy ứng