SKKN Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm và Tích phân giải một số phương trình chứa tro...

SKKN Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm và Tích phân giải một số phương trình chứa trong đề thi THPT Quốc Gia MỤC LỤC Trang 1 Phần mở đầu 1 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu[.]

MỤC LỤC Trang Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận skkn 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………… 19 Kết luận, kiến nghị 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 SangKienKinhNghiem.net SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Ý thức điều đó, tơi ln tích cực học tập; không ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Trong giảng dạy, nghiên cứu, trao đổi với đồng nghiệp, tìm tịi phương pháp phù hợp nhằm giúp học sinh thích nghi tốt với thay đổi hình thức thi THPT Quốc Gia Đặc biệt năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Đây thử thách hội không với giáo viên mà với học sinh giảng dạy học tập tầm phát triển nhiều học sinh lo lắng Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm quen thuộc em Do hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn câu hỏi rộng nên việc tìm tịi tài liệu dạy học mơn Tốn theo hình thức thi trắc nghiệm nhiệm vụ quan trọng hoạt động chuyên môn Trong chuyên đề ôn luyện thi THPT Quốc Gia có nhiều chuyên đề hay áp dụng như: Các toán vận dụng Toán học vào thực tế; Bài tốn cực trị hình học; …Tuy nhiên, chun đề tích phân khai thác câu vận dụng với hàm tổng quát chưa cụ thể học sinh khó Vì để xây dựng hướng tiếp cận rõ ràng , quen nhìn nhận học sinh sử dụng tính chất tích phân để tính tích phân hàm số chưa xác định biểu thức (dạng chống bấm máy tính) Trong khn khổ đề tài Vì tơi lựa chọn đề tài“ Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Ngun hàm Tích phân giải số phương trình chứa f x ;f' x  đề thi THPT Quốc Gia.” 1.2 Mục đích nghiên cứu Phương trình chứa f x ; f ' x  dạng toán khai thác không nhiều sách giáo khoa Nhưng đề thi THPTQG lại dạng nội dung Nguyên hàm – Tích phân theo hướng chống bấm máy tính áp dụng chất Tốn Đây hướng khai thác với học sinh nên tài liệu dạy học; Trong đề thi THPTQG, hay đề thi thử trường tồn quốc lại khai thác với câu mức độ vận dụng, chí vận dụng cao Mục đích: Xây dựng dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) rèn luyện kĩ giải dạng tốn “ Giải phương trình chứa f x ;f' x  ” Qua học sinh định hướng giải được, giải đúng,giải nhanh dạng toán liên quan đề thi SangKienKinhNghiem.net 1.3 Đối tượng nghiên cứu +) Lớp 12A5;12A6 năm học 2018-2019 trường THPT Đông Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phối hợp nhiều phương pháp chủ yếu phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Dựa sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia , đề minh họa , đề thi thử trường THPT làm tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ phân tích, nhận dạng áp dụng lí thuyết vào toán cụ thể Phương pháp thực hành: Soạn thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng lực, tiến hành thực nghiệm lớp 12A5 lớp12A6 năm học 2018-2019 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm *.Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ” 2.1.1.Dựa vào kiến thức nguyên hàm sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao + Định nghĩa nguyên hàm  f x dx  F x   C  F 'x   f x  + Tính chất chât nguyên hàm  f 'x dx  f x   C 2.1.2 Dựa vào kiến thức tích phân sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao + Cơng thức định nghĩa tích phân: Cho hàm số f liên tục K a,b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K thì: b  f x dx  F b   F a  a + Các tính chất tích phân Các hàm số f, g liên tục K a,b,c ba số thuộc K Khi ta có: a a)  f x dx  ; a b b)  f x dx    f x ; a b c) a b c c  f x dx   f x dx   f x dx; a b b a b b a a d)   f x   g x dx   f x dx   g x dx; a SangKienKinhNghiem.net b b e)  kf x dx  k  f x dx với k  ¡ a b b a b a a a f)  f x dx   f t dt    f u du 2.2 Thực trạng vấn đề Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn với tính tích phân hàm số cụ thể học sinh bấm máy tính để chọn đáp án, chất kiến thức tốn khơng áp dụng Chính giáo dục đào tạo xây dựng đề thi trọng nhiều dạng toán học sinh phải vận dụng chất kiến thức Toán vào thi Ban đầu gặp dạng toán chứa f x ; f ' x  mức độ sách giáo khoa Giải Tích 12 học sinh suy luận Khi tốn mức độ yêu cầu vận dụng học sinh lúng túng khơng có định hướng giải tốn cách chủ động Đề thi THPT Quốc Gia đề minh họa, đề thi thử có câu chứa f x ; f ' x mức độ vận dụng chí mức độ vận dụng cao Trong trình giảng dạy học sinh tơi nhận thấy em cịn gặp nhiều khó khăn cách nhận dạng, phương pháp giải kĩ giải Vì tơi xây dựng đề tài “Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải số phương trình chứa f x ;f' x  đề thi THPT Quốc Gia ” 2.3 Giải pháp cụ thể Bài toán xây dựng : Cho hàm số f x  xác định liên tục khoảng K cho trước f x  , f ' x thỏa mãn liên hệ cho trước Tìm f x  tính chất Phương pháp: + Vận dụng cơng thức đạo hàm phép tốn đạo hàm đưa phương trình chứa f x ; f ' x về dạng  g x, f x   h x , * , h x  xác định + Lấy ngun hàm tích phân phương trình (*) b + Vận dụng tính chất  g ' x dx  g x   C ,  g ' x dx  g x  a b a Bài tốn Cho g x  Tìm f x  tính chất , biết f ' x   g x , 1 Đây toán ban đầu quen thuộc với học sinh, câu hỏi nhận biết hay thông hiểu, nhưnglại toán sở toán sau Để giải toán học sinh cần nhớ khái niệm nguyên hàm thực SangKienKinhNghiem.net Phương pháp: + Lấy nguyên hàm vế (1) ta có  f 'x dx   g x dx  f x    g x dx + Dựa vào điều kiện cho tìm số C phù hợp Ví dụ 1: [MH-THPTQG2018] 1  Cho hàm số f x  xác định liên tục ¡ \   thỏa mãn f ' x   2x  2 f 0   1; f 1  Tính giá trị biểu thức f 1  f 3 A  ln15 B  ln15 C  ln15 D ln15 Lời giải : Ta có f x    f ' x dx   dx  ln  x    C 2x  1  ln x  x >    Theo giả thiết f 0   1; f 1  , nên f x    ln 1  x  x <  Do S  f 3  f 1   ln15 Chọn đáp án A Ví dụ 2: [ Thi thử THPTQG trường Lương Thế Vinh 2019] Hai người A B cách 180m đoạn đường thẳng chuyển động thẳng theo hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian, A chuyện động với vận tốc v1 t   6t  m / s  , B chuyển động với vận tốc v2 t   2at  m / s  (a số), t (giây) khoảng thời gian từ lúc A, B bắt đầu chuyển động Biết lúc đầu A đuổi theo B sau 10 (giây) đuổi kịp Hỏi sau 20 giây, A cách B mét? A 320 (m) B 720 (m) C 360 (m) D 380 (m) Đây toán hay gặp liên quan đến chuyển động, yêu cầu học sinh nhớ ứng dụng học đạo hàm Lời giải: Ta có v t   s ' t  nên theo s1 ' t   6t  5; s2 ' t   2at  Quãng đường người A 10 giây kể từ bắt đầu chuyển động 10  6t  5dt  350m Quãng đường người B 10 giây kể từ bắt đầu chuyển động SangKienKinhNghiem.net 10  2at  3dt  a.t 10  3t   100a  30 0 Vì sau 10 giây người A đuổi kịp người B người A lúc ban đầu cách người B 180m nên ta có phương trình 10a  30  180  350  a  suy v2 t   4t  m / s  Quãng đường người A 20 giây kể từ bắt đầu chuyển động 20  6t  5dt  1300m Quãng đường người B 20 giây kể từ bắt đầu chuyển động 20  4t  3dt  740m Khoảng cách hai người A người B sau 20 giây 1300  180  740  380 m  Chọn đáp án D Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hàm số f x  xác định ¡ thỏa mãn f  x   x  f 1  Phương trình f x   có hai nghiệm x1 , x2 Tính tổng S  log x1  log x2 A S  B S  C S  D S  Bài 2: Cho hàm số f x  xác định ¡ thỏa mãn f  x   e x  e  x  ,  1 f 0   f  ln   Giá trị biểu thức S  f  ln16   f ln   4 A S  31 B S  C S  D f 0  f 2   Bài 3: [MH- THPTQG2017] Một ô tô chạy với tốc độ 10 m/s người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với v t   5t  10 m/s , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? A 0,2 m B m C 10 m D 20 m Bài tốn Tìm hàm số f x  biết g x  có cơng thức xác định f  x  f n x   g x , n  ¢ , n  2  với SangKienKinhNghiem.net Khi gặp phương trình (2) đặt câu hỏi cho học sinh gợi nhớ công thức đạo hàm nào? Từ liệu có đưa Bài tốn hay khơng? xây dụng phương pháp thực Phương pháp: + Biến đổi phương trình (2) dạng  f n x   g x  n 1 + Lấy nguyên hàm vế ta có   f n x  dx   g x   f n x    g x  n n Ví dụ 3: Cho hàm số f x  xác định liên tục ¡ Biết f 0   68 f x  f  x   12 x  13 Khi phương trình f x   có nghiệm? A B C D Lời giải : f x  f  x   12 x  13   f x  '  12 x  13    f x  ' dx   12 x  13dx  f x   6 x  13 x  C f 0   68  C  68 Suy ra: f x   42 x  91x  68 Từ f x    f x   2187  42 x  91x  68  2187  42 x  91x  2019  * Phương trình * có nghiệm trái dầu ac  Chọn đáp án A Ví dụ 4:Cho hàm số f x  liên tục ¡ f x   với x  ¡ a 1 Cho f  x   2 x  1 f x  f a  , b Ơ là phân thức tối b giản tổng sau f 1  f 2    f 2019  Mệnh đề đúng? a A a  b  1 B a  2018;2018  C  1 D b  a  4039 b Lời giải :   f  x  Ta có  2 x  1   f  x   2 x  1 f x      2 x  1 f x  f x           x  x  C  dx    2 x  1dx  f x   f  x  Mà f 1   1 1 nên C   f x      x  x x 1 x SangKienKinhNghiem.net Mặt khác  1  1 1 1 1  f 1  f 2   f 3   f 2019     1                3 2  3  2019 2020  2019  a  2019; b  2020  2020 2020 Khi b  a  4039 Chọn đáp án D Bài tập áp dụng Bài 4: Cho hàm số f x  xác định liên tục ¡ Biết f 1  1 f 2018 x  f  x   x.e x Khi phương trình f x    có nghiệm? e A B C D Bài 5: Cho hàm số y  f x  xác định liên tục ¡ thỏa mãn đồng thời điều kiện f x   , x  ¡ ; f  x   e x f x  , x  ¡ f 0   Tính giá trị f ln  2 A f ln   B f ln    C f ln   D f ln   9 3 Bài 6: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 đồng thời thỏa  f 1  f 2    f 2019   1  mãn f  0   f  x    f  x   x   Tính T  f 1  f 0  A T   9ln B T  C T   9ln D T   9ln Bài 7: Cho hàm số y  f x xác định liên tục ¡ \ 0 thỏa mãn x f x   2 x  1 f x   xf  x   với x  ¡ \ 0và f 1  2 2 Tính  f x dx A   ln B   ln C 1  Bài 8:[THPTQG-2017] Cho hàm số ln D ln   2 f x  thỏa mãn f  x   x  f x  với x  ¡ Giá trị f 1 35 19 A  B  C  36 36 f 2    D  15 SangKienKinhNghiem.net Bài tốn Tìm f x  biết f x ; f ' x  thỏa mãn phương trình f ' x  g x   g ' x  f x   h x , 3 g x , h x  hàm số xác định Khi gặp phương trình (3) học sinh gợi nhớ cơng thức đạo hàm tích Dẫn dắt dạng Bài tốn 1cơ bản, để tự tìm phương pháp giải Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3) dạng 1.4    f x  g x   h x  + :ấy nguyên hàm ta có f x  g x    h x dx Ví dụ 5: Cho hàm số f x  liên tục ¡ ,với x  ¡ ta có f 1  x f ' x   f x   x  Có giá trị a để f a   2a A B C D Hướng dẫn học sinh cách tìm hàm g x  quan sát biểu thức trước f x ;f' x  x từ nhận xét g x  = x biến đổi theo tốn Lời giải: Ta có x f ' x   f x   x    x f x  '  x     x f x  dx   3 x  1dx Vậy nên x f x   x3  x  C , mà f 1   C   x f x   x3  x Suy a f a   a  a ,để f a   2a ta có phương trình a  2a  a  , Vậy a  0; a  giá trị cần tìm Chọn đáp án B Ví dụ 6: Cho hàm số f x  thỏa mãn  f  x   f x  f  x   15 x  12 x , x  ¡ f 0   f  0   Giá trị f 1 A B C 10 D 2 Học sinh lo sợ phương trình cho có đạo hàm cấp Hãy cho học sinh quan sát kỹ để có phép tương ứng đạo hàm cấp hai đạo hàm cấp hàm f ' x , đưa dạng cần tìm tốn trở nên dễ dàng Lời giải: Ta có:  f  x   f x  f  x   15 x  12 x , x  ¡   f  x  f x   15 x  12 x , x  ¡  f  x  f x   x5  x  C1 Do f 0   f  0   nên ta có C1  Do đó: f  x  f x   x  x  SangKienKinhNghiem.net 1    f x   x  x   f x   x  x  x  C2 2  Mà f 0   nên ta có C2  Do f x   x  x  x  Vậy f 1  Chọn đáp án D Trong hàm , có hàm số đặc biệt mà đạo hàm hay nguyên hàm khơng thay đổi , đáy hàm e x Tận dụng thú vị ta xây dụng thêm số toán liên quan mà ta nhân thêm e x để đạo hàm tích bất ngờ thơng qua Bài tốn 3.1, Bài tốn 3.2, Bài tốn 3.3 Bài tốn 3.1: Tìm hàm số f x  biết f x ; f ' x  thỏa mãn phương trình f x   f ' x   h x , 3.1 Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3.1) dạng Bài toán cách nhân vế với e x + Ta có 3.1  e x f x   e x f ' x   e x h x   e x f x   e x h x  + Lấy nguyên hàm ta có  e x f x  dx   e x h x dx .e x f x    e x h x dx Ví dụ 7:[THPT Thăng Long-Hà Nội 2018] Cho f x  hàm số liên tục ¡ thỏa mãn f x   f ' x   sin x f 0   Tính e f   e  A Lời giải : e  B e  C D  1 f x   f ' x   sin x  e x f x   e x f ' x   e x sin x  e x f x   e x sin x ex e  x x x   e f x    e sin xdx  e f x   sin x  cos x   C  e f    2 Chọn đáp án B Ví dụ 8: Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp 2, liên tục ¡ thỏa mãn f 0   f ' 0   f x   f ' x   f "x   x  x , x  ¡ Tính  f x dx 107 21 107 12 107 21 107 12     B C D 12 e 12 e 12 e 12 e Đây tốn nhìn lạ mắt Ta để ý đến dạo hàm cấp có biểu thức hẳn có biểu thức chứa f' x  đạo hàm lên Do biểu thức liên quan đến tổng nên ta nghĩ tới đạo hàm tổng tích Vì ta đưa biểu thức tổng quen thuộc Bài toán A SangKienKinhNghiem.net Lời giải: Ta có f x   f ' x   f "x   f x   f ' x   f ' x   f "x   g x   g ' x  Với g x   f x   f ' x   g 0   Xét phương trình g x   g ' x   x  x  e x g x   e x g ' x   e x x  x  Suy  e x g x   e x x  x  e x g x    e x x  x dx Ta có e x g x   e x x  x  x   C , mà g 0    C   e x g x   e x x  x  x    e x  f x   f ' x   e x x  x  x    e x f x   e x x  x  x    e x f x    e x x  x  x    dx e x f x   e x x  x  10 x  12  x  C Ta lại có f 0    C  13  e x f x   e x x  x  10 x  12  x  13 107 21  12 e Chọn đáp án A Bài tốn 3.2 Tìm hàm số f x  biết f x ; f ' x  thỏa mãn phương trình   f x dx  f x   f ' x   h x , 3.2  Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3.2) dạng Bài tốn cách nhân vế với e  x + Ta có 3.2   e  x f x   e  x f ' x   e  x h x   e  x f x   e  x h x  + Lấy nguyên hàm ta có  e  x f x  dx   e  x h x dx .e  x f x    e  x h x dx Ví dụ 9: [Thi thử trường chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2018] Cho f x  hàm số liên tục ¡ thỏa mãn f ' x   f x   x e x  1, x  ¡ f 1  1 Tính f 3 28e3 26e3 2 1  A B 9e  C 3e  D 3 Lời giải: 14   f ' x   f x   x e x   e x f ' x   e x f x   x  e x x3  x x x x  e f x   x  e  e f x    x  e dx  e f x    e x  C 3 1 x 26e  e  x f x    e  x   f 3  1 Mà f 1  1  C  3 3 Chọn đáp án D x 10 SangKienKinhNghiem.net Trong toán 3.1 hay toán 3.2 ta xét hệ số f x ;f' x  đặc biệt hay -1 Câu hỏi đặt thay đổi hệ số khác có hay không? Dẫn dắt đến Bài tốn 3.3 tổng qt Bài tốn 3.3: Tìm hàm số f x  biết f x ; f ' x  thỏa mãn phương trình af x   f ' x   h x , 3.3 Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3.3) dạng Bài toán cách nhân vế với e ax + Ta có 3.3  e ax f x   e ax f ' x   e ax h x   e ax f x   e ax h x  + Lấy nguyên hàm hai vế ta có   e f x  dx   e h x dx .e f x    e h x dx ax ax ax ax Ví dụ 10: Cho f x  hàm số liên tục ¡ thỏa mãn f x   f ' x   x f 0   Tính  f x dx e 1 A 2e Lời giải : e2  B e e2  C 2e e2  D e2 f x   f ' x   x  2e x f x   e x f ' x   e x x  e x f x   xe x xe x e x 2x 2x 2x  e f x    xe dx  e f x    C Mà 1 x 1  e2  x f 0    C   f x     x   f x dx      x dx  4 e e  2e 0 Chọn đáp án C Bài tập áp dụng Bài 9: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x   xf ' x   f e  có giá trị 2x  f 1  Khi x2 2e  e2 e2 x  Bài 10: Cho hàm số f x  thỏa mãn f x   f ' x   f 0   x e A e B ln 2e  1 C.1 D Tính  f x dx 11 SangKienKinhNghiem.net e  3e  A e B ln e  1 C.1 D 2e x Bài 11:Cho hàm số f x  thỏa mãn f x   xf x  f ' x   ;; f x   x 1 1 f 1  Tính  f x dx A e 1 B ln  C.1 D 1 Bài 12: Cho hàm số y  f x  có f  x  liên tục nửa khoảng 0;  thỏa   mãn f x   f  x    3.e 2 x Khi đó: 1 1 A e3 f 1  f 0    B e3 f 1  f 0    e2  2 e2  C e f 1  f 0  e   3 e   D e3 f 1  f 0   e  3 e   Bài tốn Tìm f x  biết f x ; f ' x , f x   thỏa mãn phương trình g ' x  f x   f ' x  g x   f x h x , 4  , g x , h x  hàm số xác định Khi gặp phương trình (4) học sinh gợi nhớ công thức đạo hàm thương Dẫn dắt dạng Bài toán 1cơ bản, để tự tìm phương pháp giải Phương pháp : +Biến đổi phương trình (4) dạng  g  x   g ' x  f x   f ' x  g x   h x    4     h x  f x  f x     g x   h x dx f x   Ví dụ 11: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục 1;2 thỏa mãn f 1  f x   xf  x   x  x Tính f 2  A B 20 C 10 D 15 + Lấy nguyên hàm vế ta có Hướng dẫn học sinh cách tìm hàm g x  quan sát biểu thức trước f x ;f' x  x từ nhận xét g x  = x mẫu số , biến đổi theo toán dạngđạo hàm thương hai hàm số Lời giải : 12 SangKienKinhNghiem.net Do x  1;2 nên xf  x   f x   f x   f x   xf  x   x  x   2x      2x  x2 x   f x    x  3x  C x Do f 1  nên C   f x   x  x Vậy f 2   20 Chọn đáp án B Ví dụ 12: Cho hàm số y  f x , x  , thỏa mãn f  0   0; f 0   f  x  f x    f  x   xf x   Tính f 1 B C D Bài tốn nhìn giống dạng việc xuất hệ A số hàm f x ; f' x  đạo hàm cấp làm cho học sinh thấy lạ mắt, hướng dẫn học sinh nhận định số lũy thừa đạo hàm xuống định hướng tìm hàm mẫu số f x  Lời giải:   f x f x  f x            x Ta có: f  x  f x    f  x   xf x    f x   f   x   f  x  f  0  x2 02   C     C  C    x  f x f x f         f  x  x2 Do  f x  1 f  x   x3  1 1 x2         dx    dx   f 1 f 0  f x  f x    0  f 1  Chọn đáp án C Bài tập áp dụng: Bài 13: Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm x  0;   đồng thời 1 thỏa mãn điều kiện: f x   x sin x  f ' x   cos x Khi f   nằm khoảng nào? A 6;7  B 5;6  C 10;11 3  f x sin xdx  4  D 11;12  13 SangKienKinhNghiem.net Bài 14: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm cấp liên tục ¡ thỏa mãn f x   0,  x ¡ , f 0   f  0   1, xy  y 2  yy ,  x  ¡ Mệnh đề sau đúng? 1 3 A  ln f 1  B  ln f 1  C  ln f 1  D.1  ln f 1  2 2 Bài 15: Cho hàm số y  f x  Có đạo hàm liên tục ¡ Biết f 0   2 x  f x   f x   f x e , x  ¡ Tính f 1  f 1 2e A e  B C 2e D e 1 Bài toán 5: Tìm f x  biết f x ; f ' x , f x   thỏa mãn phương trình f ' x  g x   f x h x   0, 4  , g x , h x  hàm số xác định Khi gặp phương trình (5) điều đặc biệt có chứa hàm bậc hai, học sinh gợi nhớ công thức đạo hàmcủa hàm thức Dẫn dắt dạng Bài toán bản, để tự tìm phương pháp giải Phương pháp : +B iến đổi phương trình (4) ta có 4   f ' x  g x   f x h x   + Lấy nguyên hàm ta có f ' x  f x  f x     h x  g x      h x  f x   g x    h x  dx  g x   Ví dụ 13: Cho hàm số f x  liên tục, không âm đoạn 0;  , thỏa mãn  2   f 0   f x  f  x   cos x  f x  , x  0;  Tìm giá trị nhỏ  2   m giá trị lớn M hàm số f x  đoạn  ;  6 2 A m  5 21 , M  2 B m  , M  C m  , M  D m  , M  2 2 Khi quan sát toán ta thường quan tâm đến biểu thức dấu bậc hai đạo hàm nào, nhìn đạo hàm dấu thức có biểu thức f x .f' x  từ ta có cách giải tốn Lời giải : Từ giả thiết f x  f  x   cos x  f x  14 SangKienKinhNghiem.net  f x  f  x  1 f x   cos x   1 f x   cos x        f x  dx  sin x  C  f x   sin x  C Suy Do f 0    C  Vậy  f x   sin x   f x   sin x  4sin x    f x   sin x  4sin x  , hàm số f x  liên tục, f x   0, x  0;   2   Ta có  x    sin x  , xét hàm số g t   t  4t  có hồnh độ đỉnh 2 t  2 loại   21 Suy max g t   g 1  , g t   g    Chọn đáp án A 1  1  2  ;1  ;1     Ví dụ 14: Cho hàm số y  f x  đồng biến 0;  ; y  f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  thỏa mãn  f ' x   x  1 f x  f 3  Mệnh đề đúng? A 2413  f 8   2414 B 2400  f 8   2403 C 2408  f 8   2409 D 2404  f 8   2405 Lời giải: Hàm số y  f x  đồng biến 0;  nên suy f  x   0, x  0;   Mặt khác y  f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;  nên  f  x   x  1 f x   f  x     f  x  f x   x  1      f x  dx   x  1 f x  , x  0;   x  1  , x  0;   ; f x   x  1dx  f x   1 Từ f 3  suy C  2  f x    3 x  1 x  1    C; 2 1   f 8    8  1    9    49  f 8   492  2401 3  Chọn đáp án B 15 SangKienKinhNghiem.net Bài tập áp dụng: Bài 16: Cho hàm số f x  liên tục, f x   1 , f 0   thỏa mãn f  x  x   x f x   Tính f   A B C D Bài 17: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f ( x) f '( x)  x f ( x)  f (0)  Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y  f ( x) 1;3là A 22 B 11  C 20  D 11  Bài 18: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến 1;4 thỏa mãn x  xf x    f  x  , x  1;4, f 1  Giá trị f 4  bằng: 391 361 381 371 A B C D 18 18 18 18 Bài tốn 6: Tìm hàm số f x  biết f x ; f ' x  thỏa mãn phương trình g x  f x   h x  f ' x   0, (f x   0;h x   0) 6  Phương pháp : + Biến đổi phương trình (6) dạng 6   + Lấy nguyên hàm vế ta có f ' x  f ' x  f x   g x  g x  h x  g x   f x  dx    h x dx  ln f x     h x dx Ví dụ 15: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương ¡ ; thỏa mãn f 0   f  x  x Khi hiệu T  f 2  f 1 T  có giá trị  f x  x    A Lời giải : B  D  C 2   d  f x  d x  f  x  x   Ta có  dx   dx   f x  x 1 x 1 f x  Vậy ln  f x   ln x  1 C , mà f 0    C  Do f x   x  Nên f 2  3; f 1  2  f 2  f 1   2  T       Chọn đáp án A Ví dụ 16: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f x   , f ' x  x  ¡ Biết f 0     x Tìm giá trị thực tham số m f x  để phương trình f x   m có hai nghiệm thực phân biệt A m  e B  m  C  m  e D  m  e 16 SangKienKinhNghiem.net Lời giải : f  x  f  x  Ta có   2x   dx   2  x dx f x  f x   ln f x   x  x  C  f x   A.e x  x Mà f 0   suy f x   e x  x 2 Ta có x  x   x  x  1   x  1  Suy  e x  x  e ứng 2 với giá trị thực t  phương trình 2x  x  t có hai nghiệm phân biệt Vậy để phương trình f x   m có nghiệm phân biệt  m  e1  e Chọn đáp án C Bài tập áp dụng: Bài 19: Giả sử hàm số y  f x  liên tục, nhận giá trị dương 0;    thỏa mãn f 1  , f x   f  x  x  , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f 5   B  f 5   C  f 5   D  f 5   Bài 20: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục đoạn 1;1, thỏa mãn f x   0, x  ¡ f ' x   f x   Biết f 1  , tính f 1 A f 1  e 2 B f 1  e3 C f 1  e D f 1  Khi dạy học sinh phần kiến thức vận dụng xây dựng từ toán để học sinh không thụ động tiếp nhận mà tiếp nhận cách tự nhiên Chính đưa Bài tốn mang tính chât tổng quát dành cho việc vận dụng rộng đa dạng dành thời lượng cuối cùngcủa chun đề Bài tốn 7.Tìm hàm số f x  biết f x ; f ' x  thỏa mãn phương trình f ' x   h x  f x   g x , 7  Vói h x ; g x  hàm cho trước Phương pháp : hx dx + Biến đổi phương trình chứa (7) Bài tốn cách nhân vế với e    g x e  hx dx     hx dx hx dx  + Lấy nguyên hàm hai vế ta có f x e     g x e  dx   + Ta có 7    f x e  hx dx Ví dụ 17: [Thi thử trường THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An -2018] Cho hàm số f x  liên tục ¡ , thỏa mãn f ' x   xf x   xe  x , * f 0   Tính f 1 2 A e B C D  e e e 17 SangKienKinhNghiem.net Lời giải: 2 xdx Ta tìm e   e x , nên nhân vế (*) cho e x ta có 2 2  e x f ' x   xe x f x   x  e x f x   x  e x f x   x  C   2 Mà f 0    C   e x f x   x   f 1  Chọn đáp án C e Ví dụ 18: Cho hàm số f x  liên tục ¡ \ 1;0 , thỏa mãn x x  1 f ' x   f x   x  x, x  ¡ \ 1;0và f 1  2ln Biết f 2  a b ln 3, a, b Ô  Tính P  a  b 13 A P  B P  C P  D P  4 Lời giải: Theo toán tổng quát 1.8 f ' x  phải độc lập, ta tìm cách biến đổi để thỏa mãn điều kiện Chia vế phương trình đề cho x x  1 ta có x x  1 f ' x   f x   x  x  f ' x   f x   1, * x x  1  xx 1dx x x 1 x x , nên nhân vế (*) cho ta có x 1 x 1 x x x  x  f ' x   f x    f x   *  x 1 x 1  x 1  x 1 x  1 Ta tìm e e ln  x x x f x    dx  f x   x  ln x  1  C x 1 x 1 x 1 x Mà f 1  2ln  C  1  f x   x  ln x  1  x 1 3  f 2    ln  P  2 Chọn đáp án D  Bài tập áp dụng Bài 21:[HKII Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM-2018] Cho hàm số f x  liên tục ¡ , thỏa mãn x  1 f ' x   x   f x   e x f 0   Tính f 2  e2 e2 e e A B C D 3 18 SangKienKinhNghiem.net ... để tính tích phân hàm số chưa xác định biểu thức (dạng chống bấm máy tính) Trong khn khổ đề tài Vì tơi lựa chọn đề tài“ Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải số phương. .. dựng đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải số phương trình chứa f x ;f'' x  đề thi THPT Quốc Gia ” 2.3 Giải pháp cụ thể Bài toán xây dựng : Cho hàm số f x ... học; …Tuy nhiên, chuyên đề tích phân khai thác câu vận dụng với hàm tổng quát chưa cụ thể học sinh khó Vì để xây dựng hướng tiếp cận rõ ràng , quen nhìn nhận học sinh sử dụng tính chất tích phân