SKKN Giúp học sinh khối 9 giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT 0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH SÁ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT Người thực hiện: Lê Thị Hùng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Định Công SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng 2.3 Các giải pháp biện pháp thực Phần I: Ôn tập bổ sung số kiến thức Phần II: Các phương pháp giải tốn tìm GTLN(Max), GTNN(Min) biểu thức Phần III: Phân loại số dạng tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức 10 Phần IV: Những sai lầm học sinh thường mắc phải 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 20 KẾT LUẬN * Bài học kinh nghiệm 21 3.1 Kết luận 22 3.2.Kiến nghị 22 SangKienKinhNghiem.net ĐỀ TÀI: GIÚP HỌC SINH LỚP GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Như biết: Với xu phát triển xã hội nói chung phát triển khoa học nói riêng, người cần phải có tri thức, tư nhạy bén để nắm bắt sử dụng tri thức sống ngày Muốn có tri thức người cần phải học, nhà trường nơi cung cấp hành trang Tốn học mơn học Thơng qua việc học tốn, học sinh nắm vững nội dung toán học phương pháp giải tốn mà từ vận dụng vào môn khoa học khác, đặc biệt môn khoa học tự nhiên Toán học sở cho ngành khoa học khác có vai trị quan trọng dạy học trường phổ thơng, địi hỏi người thầy phải có nghệ thuật sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng nhu cầu học học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường trung học sở nhiệm vụ xuyên suốt giáo viên nói riêng nhà trường nói chung, chất lượng lớp sở đánh giá trình giáo dục cấp trung học sở Là giáo viên dạy tốn lâu năm trường THCS thân ln trăn trở làm để nâng cao chất lượng mơn Để làm điều giáo viên cần đổi phương pháp giảng dạy, tích cực kiểm tra, theo dõi sát việc học tập học sinh Qua đó, cần phải uốn nắn giải đáp vướng mắc cho em, điều chỉnh phương pháp giảng dạy cho học sinh dễ học, dễ nhớ, khắc sâu kiến thức Trong chương trình tốn học trường THCS khơng có học “Giúp học sinh lớp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT” Tuy nhiên hệ thống tập đặc biệt đề thi học sinh giỏi, học sinh thi tuyển sinh vào lớp 10 lại bắt gặp nhiều dạng toán Trong năm học 2017 – 2018 phân công nhà trường, tơi trực tiếp giảng dạy mơn tốn thấy việc tiếp cận toán dạng em cịn lúng túng, chí em cịn chưa hiểu rõ phải làm trước câu hỏi đặt đề Vì tơi cố gắng tìm tịi phát từ lớp em không làm quen với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ Để giúp học sinh có cơng cụ để giải vấn đề tồn trên, mạnh dạn đưa “Giúp học sinh lớp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT” với mong muốn giúp em trút bỏ nỗi băn khoan, lo lắng tiếp cận với hệ thống tập dạng Trong trình thực đề tài với kiến thức kinh nghiệm khiêm tốn nội dung sáng kiến chưa phong phú tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp chân thành đồng nghiệp để sáng kiến hoàn thiện giúp ích cho việc dạy học tốn SangKienKinhNghiem.net 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm củng cố cho học sinh, đặc biệt học sinh khá, giỏi mơn tốn lớp số kiến thức để giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Cũng từ mà phát triển tư lơgic cho học sinh, phát triển lực giải toán cho em, giúp em nhận biết tránh sai lầm giải tốn để giải em hồn thiện hơn, xác hơn, khơng mà cịn giúp em tự tin học toán Đề tài nhằm giúp cho giáo viên có thêm tư liệu, cẩm nang bổ ích để thực nhiệm vụ dạy học sáng tạo, có hiệu 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (cực trị) - Một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số chương trình đại số lớp lớp - Phân tích, nhận xét, đánh giá sai lầm mà học sinh thường mắc phải rút học kinh nghiệm Trong phạm vi giới hạn sâu vào nghiên cứu số phương pháp chung nhất, nhằm cung cấp cho em kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số Các phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu bồi dưỡng, … - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Năm học 2017 - 2018 năm học mà toàn ngành tổ chức phong trào thi đua với chủ đề “Đổi mới, sáng tạo dạy học” nhằm tiếp tục triển khai có hiệu Nghị 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 Ban Chấp hành Trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Động viên cán quản lý, nhà giáo, người lao động toàn Ngành thể việc làm cụ thể, thiết thực để đổi mới, sáng tạo công tác, hoạt động dạy học nhà giáo học sinh, sinh viên, tạo bước chuyển biến nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo - thực nhiệm vụ phát triển nguồn nhân lực, nguồn nhân lực chất lượng cao Trường THCS sở giáo dục bậc trung học, bậc nối tiếp bậc tiểu học hệ thống giáo dục quốc dân Trường THCS có vai trị, vị trí lớn lao việc thực mục tiêu, nhiệm vụ giáo dục thời đại - thời đại cơng nghiệp hóa, đại hóa Trường THCS tạo sở ban đầu quan trọng bền vững cho trẻ em, em trang bị kiến thức lĩnh vực nói chung lĩnh vực khoa học tự nhiên nói riêng có tốn học - tốn học giữ vai trị quan trọng, hành trang xuyên suốt đời người Toán học hình thành phát triển em từ bậc tiểu học phát triển sâu SangKienKinhNghiem.net hơn, cao bậc trung học, trường THCS lại tiền đề để em hoàn thiện cấp học Trong trường THCS em hình thành ngày hồn thiện khái niệm, tiên đề, định nghĩa, tính chất, mệnh đề toán học Các kiến thức toán học tiếp tục theo em tiến bước lên cấp học, bậc học Trong phạm vi đề tài đề cập “Giúp học sinh lớp giải toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT” nhằm trang bị cho em khái niệm toán cực trị để tạo tiền đề cho em bước vào trường THPT bậc học cao 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG a Thực trạng dạy học trường THCS Việc truyền thụ kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cho học sinh vấn đề nhiều giáo viên quan tâm, song lý nội dung chương trình nên phần lớn đưa vào dạy học nội dung buổi học ngoại khóa bồi dưỡng Mặt khác toán cực trị lại tốn khó đa dạng, học sinh không dễ dàng tiếp cận được, mà phải có thời lượng định đặc biệt người giáo viên phải biết truyền đạt nội dung để thời lượng định học sinh tiếp nhận b Thực trạng học sinh Qua kiểm tra cho thấy khả giải tốn tìm cực trị em không cao, em thường nghĩ giải xong tốn xong cơng việc mà khơng nghĩ tốn có ý nghĩa gặp tốn có phương pháp giải tương tự em lại lúng túng tháo gỡ sao.… Bên cạnh cịn có giáo viên chưa trọng sâu vào nội dung cách lơgíc, hệ thống, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nên việc tiếp nhận kiến thức học sinh gặp nhiều khó khăn chí học sinh cịn mơ màng, lúng túng, khơng đưa lời giải hợp lí tính xác tốn học Vì kết học sinh lớp năm học 2016-2017 sau: Năm học 2016-2017 Tổng số HS 36 Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL 5.5 22.2 18 50 Kém % SL 16.7 % 5.5 2.3 CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN PHẦN I ÔN TẬP VÀ BỔ SUNG MỘT SỐ KIẾN THỨC Đây yêu cầu quan trọng lời giải toán cực trị, việc nắm bắt kiến thức giúp học sinh đánh giá, nhận xét tốn từ tìm tòi lời giải cách hợp lý Cụ thể là: người thầy phải cho học sinh hệ thống lại số đẳng thức a2 với a R: Tổng quát a2k với a R (k z+) Dấu đẳng thức xảy a = SangKienKinhNghiem.net - a2 với a R: Tổng quát - a2k với a R (k z+) Dấu đẳng thức xảy a = a = |a| a Đẳng thức xảy a = a a a a | a | a a a Đẳng thức xảy a = a b a b Đẳng thức xảy ab a2 + b2 2ab Đẳng thức xảy a = b a b; ab 1 Đẳng thức xảy a = b a b 10 Bất đẳng thức côsi (Cauchy) Với hai số thực không âm a b ta có: ab ab Đẳng thức xảy a = b Với n số thực khơng âm a1, a2, an ta có: a1 a a n n a1.a a n Đẳng n thức xảy a1 = a2 = = an 11 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho hai số thực (a1, a2 , an); (b1, b2, bn) ta có : (a1b1 + a2b2+ + anbn)2 (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) Đẳng thức xảy a1 a a n b1 b bn 12 Sử dụng mệnh đề tương đương: * A nhỏ – A lớn * B lớn B2 lớn (B > 0) * C nhỏ lớn (C > 0) C 13 Định lý dấu nhị thức bậc Nhị thức ax + b (a 0) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức x -b/a ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a Việc xét dấu nhị thức bậc có nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích cách xét dấu nhân tử tích Nếu số nhân tử âm mà chẳn tích dương, ngược lại tích âm Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét khoảng giá trị biến SangKienKinhNghiem.net PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÌM GTLN(MAX), GTNN(MIN) CỦA MỘT BIỂU THỨC * Định nghĩa 1: Cho biểu thức f(x;y;…) xác định miền D ta nói M giá trị lớn nhất(GTLN) f(x;y;…) D thỏa mãn hai điều kiện: - Với x; y; … thuộc D f(x;y;…) M với M số - Tồn x0; y0; … thuộc D cho f(x;y;…) = M * Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x;y;…) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ nhất(GTNN) f(x;y;…) D thỏa mãn hai điều kiện: - Với x; y; … thuộc D f(x;y;…) m với m số - Tồn x0; y0; … thuộc D cho f(x;y;…) = m Như tìm GTLN, GTNN biểu thức, giáo viên phải lưu ý cho học sinh giải hai điều kiện, thiếu hai điều kiện chưa kết luận cực trị biểu thức Để học sinh tiếp cận cách dễ dàng, giáo viên nên cho học sinh nắm bắt vấn đề từ dễ đến khó, từ phương pháp đơn giản với toán đưa đơn giản nhằm thu hút ý học sinh đặc biệt tạo hứng thú học tập cho học sinh Chính lẽ đó, tơi đưa số phương pháp sau: Phương pháp sử dụng đẳng thức a Phương pháp đưa lũy thừa bậc chẵn Cho biểu thức y = f(x) ta phải biến đổi y = f(x) sau: * y = f(x) = M - g ( x ) 2 k (k z+) M số Khi ta có: y M GTLN y M g(x) = Giải phương trình g(x) = ta tìm giá trị x0 * y = f(x) = m + g ( x ) 2 k (k z+) m số Khi ta có: y m GNLN y m g(x) = Giải phương trình g(x) = ta tìm giá trị x0 Sau học sinh nắm vấn đề cần giải quyết, giáo viên đưa ví dụ minh họa cho việc làm VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = x2 – 5x + HD giải 21 21 ) + 4 21 5 MinA = x- =0 x= 2 21 Vậy MinA = x= Ta có A = x2 – 5x + = (x - VD 2: Tìm GTLN biểu thức B = + 6x – x2 HD Giải Ta có B = 10 – (x – 6x +9) = 10 – (x- 3)2 10 Max B = 10 x = Dạng tổng quát: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a > Tìm GTLN P a < x x 2017 VD Tìm GTNN biểu thức C = x2 HD Giải SangKienKinhNghiem.net Ta có C = 2017 x 2.2017 x 2017 x 2.2017 2017 2016 x = 2017 x 2017 x 2017 x 2 x 2017 2016 2016 2016 = MinC = x = 2017 2017 2017 2017 2017 x (Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị) f 2k b Phương pháp đưa dạng m ( x) (k z); m số g ( x) Việc tìm GTLN, GTNN biểu thức phương pháp đòi hỏi phải tách, thêm bớt cách khéo léo làm xuất dạng tổng quát Chẳng hạn như: VD 1: Tìm GTNN C 5 2x 8x Giải: Ta có: C 5 5 2x 8x x 2 Ta thấy x 7 5 Vậy MinD x x=2 VD 2: Tìm GTLN D 9x 6x Giải: Ta có: D 3 9x 6x 3x 12 Ta thấy 3x 1 3x 1 4 (theo quy tắc so sánh hai phân thức tử, tử mẩu dương) Do D Vậy MaxD x= Chú ý: Sẽ khơng xác lập luận D có tử số nên D lớn mẩu nhỏ Lập luận dẫn tới sai lầm, chẳng hạn với phân thức x 3 SangKienKinhNghiem.net 1 x 3 giá trị lớn phân thức ( chẳng hạn x = , lớn x 3 ) 3 4x VD : Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x 1 Mẩu thức x2 – có GTNN -3 x = với x = HD Giải * Tìm GTLN 4x 4x 4x 4x = x2 x2 1 x 1 x 4x 4x 1 Max A = x = = =4- 2 x 1 x 1 1 Vậy GTN A x = Ta viết A dạng A = *Tìm GTNN x 2 x x 4x x 4x = = x2 x2 1 x2 1 x 2 1 MinA = -1 x = = x 1 Ta viết A dạng: A = Vậy GTNN A – x = (Chú ý: Có thể giải theo phương pháp miền giá trị) Với phương pháp này, tùy vào cụ thể giáo viên cho học sinh nhận xét tìm cách thêm bớt, tách hạng tử cách thích hợp, nhằm xuất dạng tổng quát Chẳng hạn với ví dụ trên, x2 + > f m (g(x) > 0) f tìm GTNN ta tìm cách biến đổi A = m (g(x) > 0) 2k Nên để tìm GTLN ta tìm cách biến đổi A = ( x) g ( x) 2k Còn để ( x) g ( x) c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki Việc sử dụng bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải tốn tìm GTLN, GTNN tiện lợi Song muốn đạt điều đòi hỏi giáo viên phải cho học sinh nắm phần chứng minh bất đẳng thức khai thác điều kiện toán, phải biết nhìn nhận, đánh giá nội dung đề cách linh hoạt khéo léo VD 1: Tìm GTLN biểu thức A = x x (với x ) HD Giải Nhận thấy: x + – x = Nên với x ta áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm x – x ta có: x2 x x2 x x x Đẳng thức sảy x = – x x = Vậy MaxA = x = SangKienKinhNghiem.net VD 2: Tìm GTLN biểu thức B = 3x(3 – 2x) (với x ) HD Giải Ta có B = x3 x với x áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm 2x – 2x ta có: 27 2x 2x B 27 27 x xx Vậy MaxB = x MaxB = 8 VD 3: Tìm GTLN biểu thức C = x x (với x ) 2x(3 – 2x) HD Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai số thực (1;1) ( x ; x ta có: 6 x 1 2 12 x x = 2.8 = 16 Do C nên C MaxC = x = d Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a b a b C2 = x2 2 VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = x x HD Giải Với a a áp dụng bất đẳng thức a b a b Ta có: A = x x x x MinA = x(1 – x) x Vậy MinA = x VD 2: Tìm GTNN biểu thức B = x 2016 x 2017 HD giải Áp dụng bất đẳng thức a b a b ta có B = x 2016 2017 x x 2016 2017 x MinB = x 2016 2017 x 2016 x 2017 MinB = 2016 x 2017 VD 3: Tìm GTNN biểu thức C = x x x HD Giải Tương tự ví dụ ta có: x 1 x x 1 x x 1 x Mặt khác ta lại có x C = x x x Min C = x (x - 1)(9 - x) x = x x Vậy Min C = x Ở ví dụ cần ý học sinh thấy trường hợp ta xét x x x x khơng tìm giá trị x thỏa mãn để biểu thức đạt GTNN Ngoài phương pháp sử dụng đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trên, em sử dụng phương pháp xét khoảng giá trị biến Chẳng hạn ví dụ ta có: SangKienKinhNghiem.net + x < C = - x + - x + - x + = -3x + 17 14 + x C = x - - x + - x + = - x + 15 + x C = x - + x - - x + = x + > + x > C = x - + x - + x - = 3x - 17 10 Kết hợp ba trường hợp ta có: Min C = x Phương pháp sử dụng miền giá trị (tập giá trị biểu thức.) Cho biểu thức f(x) xác định miền D Gọi m giá trị f(x) ứng với giá trị x, tồn giá trị x thuộc miền D cho f(x) = m hay phương trình f(x) = m có nghiệm Từ điều kiện có nghiệm phương trình f(x) = m Ta tìm GTNN, GTLN Ta xem f(x) hàm số việc tìm GTNN, GTLN f(x) nghĩa tìm cận cận tập giá trị hàm số VD 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức A = x2 2x x2 x HD Giải Gọi m giá trị thuộc miền giá trị A ta có: x2 2x = m x2 2x m x2 x x x 1 m 1 x m x m có nghiệm (1) * Với m = Từ (1) 3x + = x 1 * Với m (1) có nghiệm m m 1m m 4m 4m 4m 3m 12 m 2 m m 2 Kết hợp hai trường hợp ta có: MaxA = x 2 m 1 2 1 MinA = - x m m 1 2 2 1 0 Vậy MaxA = x = - MinA = - x = VD 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức B = x 3x x2 HD Giải: Nhận thấy B xác định với x Gọi m giá trị B ta có: x 3x =m x2 x x mx m m 1 x x m có nghiệm (1) * Với m = Từ (1) - 3x = x * Với m (1) có nghiệm m 1m 1 3 1 m 1 m Suy 2 2 1 b 3 3 1 Min B x 2a m 1 1 1 m 1 10 SangKienKinhNghiem.net b 3 x 1 2a 5 1 2 1 x 1 Vậy Min B = Max B = x MaxB = Từ hai ví dụ ta thấy phương pháp hiệu quả, lúc tìm đồng thời GTLN, GTNN Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này, giáo viên phải cho học sinh nắm vững dấu nhị thức dấu tam thức bậc hai (giải bất phương trinh tích) Trên hai phương pháp để tìm cực trị biểu thức đại số mà em biết trước chúng em dùng đạo hàm PHẦN III PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TỐN TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT SỐ BIỂU THỨC THƯỜNG GẶP Trước cho học sinh giải tốn cực trị khơng mẫu mực nên cho học sinh tiếp cận với số toán thường gặp sau Dạng 1:Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx+ c Phương pháp chung để giải loại toán : Biến đổi dạng lũy thừa bậc 2k chẵn: m fx (k z ) cụ thể + Nếu a > f(x) = aX2 + m m M infx m X + Nếu a < f(x) = aX2 + m m Maxfx m X VD 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = (x - 1)2+(x-3)2 HDGiải: 2 Ta có A(x) = (x - 1) + (x - 3) = x2 - 2x + + x2 - 6x + = 2(x2 - 4x + 5) = 2(x - 2)2 + Vì (x - 2)2 với x Vậy Min A(x) = x = VD 2: Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = - 5x2 - 4x + HD Giải: x) + 2 2 2 4 2 2 2 = 5 x x 5 x 5 x 5 25 5 Từ B(x) = - 5x2 - 4x + ta có B(x)= - 5(x2 + 2 2 V× x víi x R nªn 5 x 5 5 2 9 B(x) 5 x 5 5 Max B(x) = x 5 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức bậc cao Đối với dạng tập hướng dẫn học sinh đổi biến để đưa dạng tam thức bậc hai, biến đổi trực tiếp lũy thừa bậc chẵn 11 SangKienKinhNghiem.net VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = x4 - 4x3 + 5x2 - 4x + HD Giải 2 Ta có : A = x (x - 4x + 4) + (x - 4x +4) = (x - 2)2(x2 +1) Min A = x = VD 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) HD Giải * Cách Ta có: B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x + 4) (x x 4) = (x2 + 5x + 4)2 + (x2 + 5x + 4)2 + - = (x2 + 5x + + 1)2 - - B = - x2 + 5x + = x Vậy Min B = - x 5 5 * Cách Từ B = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) Đặt x2 + 5x + = y B = (y - 1)(y + 1) = y2 - - B = - y = hay x2 + 5x + = x Vậy Min B = - x 5 5 Dạng Tìm GTLN, GTNN biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối VD 1: Tìm GTNN biểu thức A = x 2016 x 2017 HD Giải Ta có: A = x 2016 x 2017 = x 2016 x 2017 (Xem VD mục IIId) VD 2: Tìm GTNN biểu thức B = x 2016 x 2017 x 2018 HD Giải Ta có: B = x 2016 x 2017 x 2018 (Đến ta giải tương tự VD mục IIId) VD 3: Tìm GTLN biểu thức C = 2(1 + x ) - (x - 1)2 HD Giải Ta có: C = - (x - 1) + x ) + Đặt y = x (y > 0) Ta có: C = - y2 + 2y + = -(y - 1)2 + Max C = y = hay x = x - = x = hoăc x = Vậy Max C = x = hoăc x = Dạng Tìm GTLN, GTNN phân thức Trong dạng phân loại cho học sinh thấy phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai, phân thức có mẫu bình 12 SangKienKinhNghiem.net phương, vào cụ thể mà lựa chọn cách phù hợp với mục đích A(x) A(x) hc k k2 3x 6x 10 VD 1: Tìm GTLN biểu thức A(x) x 2x biến đổi dàng HD Giải: 3x 6x 10 x 2x 3x 6x 3(x 2x 3) 1 = 3 2 x 2x x 2x (x 1) Ta có: A(x) Vì (x+1)2 với x nên (x+1)2+2 với x 1 1 A(x) = 3 2 2 (x 1) 2 (x 1) Max A(x) = (x+1)2 = x = -1 2x 16x 41 VD 2: Tìm GTNN biểu thức B(x) = với x R x 8x 22 Do đó: HD Giải: Ta có: B(x) = 2x 16x 41 2(x 8x 22) 3 2 2 x 8x 22 x 8x 22 (x 4) 2 Vì (x- 4)2 với x nên (x- 4)2+6 nên 3 (x 4) 6 3 2 2 (x 4) Min B(x) = (x- 4)2 = x = 3x x VD 3: Tìm GTNN biểu thức C = x 2x 1 B(x) HD Giải x2 x x x x x 1 x Ta có: C = = + 2 2 x 2x 1 x 1 x 1 2 C = x - 2= x = Vậy Min C = x = Tuy nhiên hướng dẫn học sinh dùng phương pháp đổi biến chẳng hạn như: Đặt x - = y x= y + Do ta có: y 1 y 1 C= y2 3y2 y 1 3 2 y y y 1 1 = 1 y y y C = x - 1= x = y Vậy Min C = x = 13 SangKienKinhNghiem.net VD 4: Tìm GTLN, GTNN phân thức D = 2x 1 x2 HD Giải: * Tìm GTNN x2 4x x2 4x 2x 1 Ta viết D dạng D = = x 2 x2 2 x2 x = x 2 Vậy Min D = 1 1 D= x + = x = - 2 1 x=-2 * Tìm GTLN 2 x x x x x x 1 Ta viết D dạng D = = x 2 x2 x2 2 x 1 =1 D = x - 1= x = x 2 Vậy Max D = x = Với ví dụ ta thấy việc biến đổi biểu thức dạng biểu thức thích hợp địi hỏi phải biết đánh giá, nhận xét cách khéo léo làm xuất dạng tổng quát m fx 2k fx m g x 2k để đánh giá kết luận Song sử dụng phương pháp miền giá trị toán lại giải theo quy tắc định mà việc giải vấn đề xét điều kiện có nghiệm phương trình Chẳng hạn với tốn VD ta làm sau: Vì D có nghĩa với x nên gọi m giá trị biểu thức ứng với giá trị x Như tồn giá trị x cho 2x 1 2x 1 = m ( nghĩa phương trình = m có nghiệm) x 2 x 2 mx x 2m * 1 ' + TH 2: m để phương trình (*) có nghiệm 1 m 2m 1 + TH 1: m= phương trình (*) trở thành - 2x = x = 2m m m m m 1 m 1 m m m 1 1 m 1 2m 1 m 1 1 1 phương trình (*) có dạng x2 - 2x -2 = x x 2 x x 2 + Với m = + Với m = phương trình (*) có dạng x2 - 2x + = x 1 x 1 x=-2 Max D = x = Kết hợp hai trường hợp ta có: : Vậy Min D = 14 SangKienKinhNghiem.net Dạng Biểu thức chứa nhiều biến Dạng nhìn thấy đề học sinh thường thấy khó khăn đa thức có nhiều biến khơng biết tiến hành Do giáo viên cần hướng dẫn học 2 sinh cách chọn biến vận dụng đẳng thức a b a b Dạng tổng quát: f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f (a,b,c,e,f số a.b ) Ta có f(x) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f 1 (cy d ) by ey f = a x (cy d ) x (cy d ) a 4a 4a = …… = a x (cy d ) m( y q) p 2a Suy GTNN, GTLN f(x,y) ( x = (cy d ) y = - q.) VD 1: Tìm giá trị m p cho: A = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ HD Giải: 2 Ta có: A = (m - 4mp + 4p ) + (p2 - 2p + 1) + 27 + 10m - 20p = (m - 2p)2 + (p - 1)2 + 27 + 10(m - 2p) Đặt X = m - 2p Ta có A = x2 + 10X + 27 + (p - 1)2 = (X2 + 10X + 25) + (p - 1)2 + = (X + 5)2 + (p - 1)2 + Ta thấy: (X + 5)2 với m, p; (p - 1)2 p Do đó: A đạt giá trị nhỏ khi: X X 5 m 2p 5 m 3 hay p 1 p p p Vậy Min A=2 m=-3; p=1 VD 2: Tìm giá trị x, y, z cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + HD Giải: Khi gặp biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz + 8z2) +(8x2 -16xy+8z2) + 2x2 + = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x - z)2 + 2x2 + Ta thấy: (x + 2y)2 với x, y (3y-2z)2 với y,z (x-z)2 với x, z x2 với x Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2 đạt giá trị nhỏ lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời 0, nghĩa hệ phương trình sau có nghiệm 15 SangKienKinhNghiem.net x 2y x 3y 2z y x z z x Vậy Min P(x,y,z) = x = 0, y = 0, z = VD 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t t 2005 Trong x; y; z; t số hữu tỉ HD Giải: Ta có : A= 7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t 2004 2 Vì Q t nên A 2004 2 Dấu đẳng thức xảy (1) 7x 5y 2z 3x (2) (3) xy yz zx 2000 t (4) Từ (1) ta có: y = x Từ (2) ta có: z x 21 Thay vào (3) ta được: x x x 2000 5x 2000 10 2 x = 400 x= 20 - Với x = 20 ta có y = 28; z = 30 - Với x = -20 ta có y = -28; z = -30 Ngồi ra, từ (4) ta có: t = Vậy giá trị nhỏ A 2004 , đạt (x; y; z; t) = (20; 28; 30; 1 ) Hoặc (x; y; z; t) = (-20; -28; -30; ) 2 Dạng Biểu thức chứa thức bậc hai VD 1:: Tìm giá trị lớn A = x + x HD Giải: Điều kiện x Đặt x = y Ta có y2 = - x 9 A = 2- y2 + y = y Max A = 2 4 1 y 2x x 4 VD 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức B = x2 16 SangKienKinhNghiem.net HD Giải: * Tìm GTLN Ta có x x Max B = 2 4 x x x 2 * Tìm GTNN: Ta có: x x x2 1 MinB x x Min B = x 4 Vậy Max B = x 2 Min B = x 4 VD 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức C = x x HD Giải: * Tìm GTLN Ta có: C Min C = - x2 + 4x + = x = - x = * Tìm GTLN Do C C2 = - x2 + 4x + = = - (x2 + 4x + 4) + = - (x - 2)2 + Max C2 = x = Max C = x = Vậy Min C = x = - x = Max C = x = Tìm GTLN, GTNN biểu thức thỏa mãn điều kiện VD 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m - = Tìm GTNN biểu thức P = x21 + x12 HD Giải: Ta có ' = (m - 1)2 - (m - 3) = m2 - 3m + = m với m 2 phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = m 1 m 3 = 4m2 - 10m + 10 15 15 15 15 2m m = 2m Min P = 4 2 4 VD 2: Tìm GTLN biểu thức A = x y biết x + y = HD Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có A2 = x 3 y4 1 x 2 2 y4 x y 2.1 17 SangKienKinhNghiem.net y4 x 3 x + y = x= 3,5 y = 4,5 1 Vậy Max A = x= 3,5 y = 4,5 ab c bc a ca b VD 3: Tìm GTLN biểu thức B abc Max A HD Giải: c2 a 3 b4 c a b Với điều kiện c 2; a 3; b Ta có B = Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: c22 c 2 c2 c 2 c2 c (1) c 2c 2 b4 1 (3) b 4 1 Cộng vế bất đẳng thức (1) ; (2) ; (3) ta có: B 2 1 c - 2= 2; a - = 3; b - 4=4 Max B = 2 c = 4; a = 6; b = 1 c = 4; a = b = Vậy Max B = 2 Tương tự ta có: a 3 (2) ; a VD Tìm GTLN biểu thức M = a b b c a c biết a + b + c = HD Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: M2 = ( a b b c a c )2 12 12 12 a b b c c a a b b c c a 3.2 a b c 1 6 a b c ( N 0) a b b c a c Vậy Max M = a b c Max M = Dạng toán tổng hợp (Sử dụng kết hợp nhiều phương pháp toán ) Đa số kỳ thi học kỳ vào THPT tốn tìm GTLN, GTNN sử dụng nhiều phương pháp VD 1:Tìm GTNN A = Giải: 8a b b với a+ b a > 4a Từ x+ y y - x ta có: 18 SangKienKinhNghiem.net 8a b 1 b 2a (1 a ) 4a 4a 2 4a 4a a 4a 4a 6a 4a a (2a 1) (2a 1) 4a 2 (2a 1) (a 1) 3 4a 2 A VD 2: Cho số a, b, c lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 25 Q a b c b 5 c 5 a 5 Giải: Do a, b, c > 25 (*) nên suy ra: a , b , c Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương, ta có: a b a (1) b 5 b c b (2) c 5 c a c (3) a 5 Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q 5.3 15 Dấu “=” xẩy a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 a b c 25 VD 3: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca c ab a bc b ca Giải: Ta có: a b c c a b c .c ac bc c c ab ac bc c ab a(c b) c(b c) = (c a)(c b) a b ab ab ca cb c ab (c a )(c b) a bc (a b)(a c) Tương tự: b ca (b c)(b a ) 19 SangKienKinhNghiem.net ... tìm tịi phát từ lớp em không làm quen với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ Để giúp học sinh có công cụ để giải vấn đề tồn trên, mạnh dạn đưa ? ?Giúp học sinh lớp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ. .. giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (cực trị) - Một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số chương trình đại số lớp lớp - Phân tích, nhận xét, đánh giá sai lầm mà học sinh thường... 3.2.Kiến nghị 22 SangKienKinhNghiem.net ĐỀ TÀI: GIÚP HỌC SINH LỚP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI VÀO THPT MỞ ĐẦU