SKKN Một số giải pháp giúp học sinh khá, giỏi ở lớp 10 trường THPT Thường Xuân 3 giải các bài toán hình học tọa độ Oxy 1 1 Mở đầu 1 1 Lí do chọn đề tài + Môn toán là một trong những môn học quan trọng[.]
1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài + Mơn tốn mơn học quan trọng chương trình giáo dục phổ thơng Nó chìa khóa để mở mơn học khác Đồng thời có khả phát triển tư lơgic, phát triển trí tuệ cần thiết giúp người vận dụng vào sống ngày Phần phương pháp tọa độ mặt phẳng Oxy lại thể rõ nét đặc tính + Ở lớp 10, em học sinh tiếp cận với phương pháp tọa độ mặt phẳng Thế toán mà sách giáo khoa đưa nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu biết phương pháp tọa độ áp dụng phương pháp vào tốn đơn giản như: lập phương trình đường thẳng, đường elip, đường trịn, tốn khoảng cách góc Do đó, học sinh cịn lúng túng gặp tốn khó đề thi THPT quốc gia đề thi học sinh giỏi + Khi gặp tốn hình học tọa độ mặt phẳng Oxy sử dụng đến tính chất hình học túy em khơng biết đâu, dựa vào đâu để suy luận tìm lời giải Nguyên nhân vấn đề phần học sinh ngại hình học phẳng nghĩ hình học phẳng khó nên “ lười’’ tư duy, phần giáo viên dạy khơng trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh, chưa phân tích kĩ tìm lời giải cho tốn, tập minh họa đơn điệu, rời rạc, thiếu sức lôi cuốn, điều không gây hứng thú học tập sáng tạo cho em dẫn đến kết học tập học sinh nhiều hạn chế + Giải tốn hình phẳng kỳ thi THPT quốc gia thi học sinh giỏi thường phù hợp với học sinh khá, giỏi, học sinh có kiến thức vững vàng hình học phẳng THCS + Ngồi ra, học sinh trường THPT Thường Xuân học sinh miền núi, đa số em dân tộc thiểu số Với điều kiện kinh tế khó khăn trình độ dân trí cịn thấp nên số lượng học sinh có lực học giỏi mơn tốn cịn Vì tìm cách tiếp cận để giải vấn đề giúp học sinh học cách tự nhiên, dễ hiểu trăn trở tác giả, để học sinh khơng cịn sợ mơn học đặc biệt có hứng thú gặp tốn dạng Từ lí chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp 10 trường THPT Thường Xuân giải tốn hình học tọa độ Oxy.” 1.2 Mục đích nghiên cứu SangKienKinhNghiem.net Nghiên cứu nội dung chương trình hình học lớp 10 THPT, tốn dành cho học sinh khá, giỏi từ xây dựng thao tác cần thiết để giúp học sinh sử dụng tốt phương pháp tọa độ vào giải toán tổng hợp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là: - Xây dựng nguyên tắc xác định hệ trục tọa độ Đề tương ứng với loại hình - Hình thành cô đọng lượng kiến thức thiết yếu, tảng làm sở cho giải pháp sử dụng công cụ tọa độ - Phân dạng tập hướng dẫn cách giải - Khám phá, phân tích nhiều lời giải toán, làm rõ quan hệ hữu cơ, hỗ trợ bổ sung cho cách giải, từ hồn thiện kiến thức nắm bắt toán cách thấu đáo có chiều sâu 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, đề thi THPT quốc gia, đề thi HSG cấp, sách tham khảo liên quan đến vấn đề sử dụng phương pháp tọa độ Oxy, nghiên cứu chương trình giáo khoa môn + Phương pháp nghiên cứu thực tế: thơng qua việc dạy học phân mơn Hình học lớp 10 THPT rút số nhận xét phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ giải tốn phương pháp tọa độ hóa + Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho khả giải mạnh mẽ phương pháp tọa độ hóa việc áp dụng phương pháp tọa độ hóa vào giải tốn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Mục đích dạy học toán phải mang lại cho học sinh kiến thức phổ thông, kỹ người lao động, qua rèn luyện tư logic, phát triển lực sáng tạo, góp phần hình thành giới quan nhân sinh quan đắn cho em Các tốn hình học phẳng phần kiến thức đa dạng đòi hỏi kiến thức logic tổng hợp Để học tốt phần học sinh phải nắm kiến thức, kĩ hình học phẳng cấp THCS Học sinh phải thường xuyên sưu tầm tập lạ, thường xuyên làm tập để học hỏi, trau dồi phương pháp, kĩ biến đổi Thế làm điều thật không đơn giản số nguyên nhân sau: - Các tập SGK Hình học 10 phần mức độ nhận biết, thông hiểu vận dụng thấp, đề thi nằm mức độ vận dụng cao - Có q nhiều dạng tốn kèm với nhiều phương pháp, dẫn tới việc em cảm thấy lúng túng gặp dạng toán lạ Kĩ nhận biết, biến đổi quy lạ quen hạn chế SangKienKinhNghiem.net - Số tiết theo PPCT chương III – Hình học 10 cịn Do tơi ln ln có ý định tìm phương pháp để truyền dạy cho học sinh, phương pháp đơn giản dễ làm, phương pháp mà học sinh cảm thấy phấn chấn học, phương pháp giải nhiều dạng tốn khó mà em gặp phải q trình ơn luyện 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Bài tốn hình học tọa độ Oxy phần khó Lượng kiến thức khai thác nhiều đa dạng, truyền đạt làm cho em thấy lan man, phương hướng chưa nói đến sau học xong em nắm phương pháp nào, kĩ Do phần người giáo viên cần phải có hệ thống tập minh hoạ cho phương pháp trọng tâm, dạng toán quan trọng Đặc biệt làm cho em phải cảm thấy tự tin Qua thực tế giảng dạy trực tiếp lớp 10, thấy dạy học sinh theo sách giáo khoa mở rộng tập lấy đề thi THPT Quốc gia năm trước, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, tỉ lệ học sinh giải thấp, chí “bỏ qua” thân chưa có đào sâu suy nghĩ, cộng thêm nguyên nhân khách quan phần kiến thức khó, địi hỏi tư cao Cụ thể năm học 2017-2018 chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi cho học sinh lớp 10A1, 10A2 (2 lớp tập trung nhiều học sinh khá, giỏi khối10) giải thử số câu lấy từ nguồn tài liệu Kết sau: Lớp Tổng Giỏi Khá Trung bình Yếu,kém số HS SL TL % SL TL % SL TL % SL TL % 10A1 45 0% 13 28,9% 22 48,9% 10 22,2% 10A2 40 0% 15 37,5% 14 35% 11 27,5% Xuất phát từ thực tế đó, năm học 2018-2019 tiến hành đổi dạy nội dung lớp 10A1 10A2 (lớp 10A1 có chất lượng tương đương với lớp 10A1, lớp 10A2 có chất lượng tương đương với lớp 10A2 năm học trước) Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Xây dựng hệ tọa độ Xây dựng hệ tọa độ hợp lý điều cần thiết cho việc ứng dụng phương pháp tọa độ việc giải toán Đây bước giải Người giáo viên cần hướng dẫn khéo léo giúp học sinh nhận tính chất đặc biệt toán, chủ yếu sử dụng tính vng góc, để xây dựng hệ tọa độ mà tham số giảm cách tối ưu Ở đây, ta xem xét số trường hợp áp dụng tốt phương pháp Đối với tốn có sẵn góc vng như: hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng Đối với ta chọn hệ trục tọa độ có gốc nằm đỉnh vng, có hai trục Ox Oy chứa cạnh tương ứng góc vng Và chọn đơn vị trục độ dài hai cạnh góc vng Bằng cách chọn vậy, tham số giảm tối đa Và dạng SangKienKinhNghiem.net hình dạng áp dụng thuận lợi phương pháp tọa độ mặt phẳng y y B(0; 1) A C(1 ;1) D(1; 0) y B(0; b) x C(0; b) C(1 ;b) x D(1; 0) A A x B(1; 0) Đối với tốn có chứa tam giác đều, tam giác cân, tam giác thường Ta xây dựng hệ trục cách dựa vào đường cao Cụ thể, ta dựng đường cao từ đỉnh (đối với tam giác cân ta nên dựng đường cao từ đỉnh cân) Chân đường cao gốc tọa độ, cạnh đáy đường cao vừa dựng nằmtrên hai trục tọa độ y C(0; h) B x A(1; 0) O A(-1; 0) H C(1; 0) A(1-a; 0) O B(1; 0) Đối với tốn có chứa đường trịn ta chọn gốc tọa độ nằm tâm đường tròn đơn vị hệ tọa độ bán kính đường trịn, hai trục chứa bán kính, đường kính đường trịn Tuy nhiên, áp dụng khơng cứng nhắc việc chọn hệ trục tọa độ Nên để học sinh linh hoạt tìm cách chọn tối ưu cho toán Một số tốn có nhiều đối tượng hình học đó, tùy vào giả thuyết ta chọn hệ trục tọa độ cho phù hợp 2.3.2 Một số tính chất hình học phẳng vận dụng vào tốn phương pháp tọa độ mặt phẳng Học sinh muốn giải thành thạo, giải nhanh tốn hình học tọa độ mặt phẳng Oxy kỳ thi THPT, thi học sinh giỏi cấp cần nắm vững kiến thức tính chất, tốn hình học phẳng Bài tốn 1: Cho hình vuông ABCD Gọi M , N trung điểm AB BC Khi AN DM SangKienKinhNghiem.net A Giải: Gọi cạnh hình vng a Ta có uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur AN DM AB BN DA AM uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur AB DA AB AM BN DA BN AM 0 a2 M B N a2 2 Suy AN DM C D Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có tốn sau Bài tốn Cho hình vng ABCD Gọi M , N thuộc AB BC uuuur uuuur uuur uuur cho AM kAB , BN kBC Khi AN DM Bài tốn Cho hình chữ nhật ABCD có AB a, AD a Gọi M trung điểm AD Khi AC BM Giải: Ta có uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur AC.BM AB BC BA AM uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur AB AB AM BC.BA BC AM a a a A M D C B Suy AC BM Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD gọi M trung điểm cạnh BC , N điểm nằm cạnh AC cho AN AC Chứng minh DN MN A F Giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi a a 3a D 0;0 , A 0;a , C a;0 nên M a; , N ; D 2 4 y uuur uuuur 3 DN MN a a Suy DN MN 16 16 A Nhận xét: Bài toán áp dụng nhiều N đề thi Việc chứng minh hình học túy sau: Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm F trung điểm DI Khi FNMC hình bình hành mà F trực tâm tam giác NDC nên CF DN D CF / / MN Nên MN DN B N I M C B M x C SangKienKinhNghiem.net Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B xuống AC Biết điểm M , K trung điểm AH CD Chứng minh BM MK Giải: y Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi a D B 0;0 , A 0;a , C c;0 Tọa độ điểm K c; A M 2 H Phương trình đường thẳng K AC : ax cy ac; BH : cx ay Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình B C a2c ax cy ac ac H ; 2 2 cx ay a c a c a 2c a 2ac uuuur uuuur BM MK BM MK Do điểm M ; a c a c Nhận xét: A -Ta chứng minh theo cách sau Gọi E trung điểm HB Khi tứ giác MECK hình bình hành Suy E trực tâm M tam giác BMC nên BM CE mà CE / / MK Nên MK MB - Theo cách học sinh lấy thêm điểm E Nhìn tính chất D tính chất đặc biệt x B E H C Bài tốn 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vng ABCD µ µ 900 CD AB Gọi H hình chiếu vng góc điểm D lên AD đường chéo AC M trung điểm HC Chứng minh BM DM Giải: Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi c C 0;0 , A 0;a , C c;0 , B ; a Phương trình đường thẳng y B 2 A AC : ax cy ac; DH : cx ay Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình a2c ax cy ac ac H H ; 2 cx ay a c a c a2c a 2ac Do điểm M ; a c a c M D C x SangKienKinhNghiem.net uuuur uuuur a c a 2ac ac ac 2a BM DM a c 2 A B H DM BM Cách 2: (thuần túy hình phẳng) Gọi E trung điểm HD Khi tứ giác MEAB hình bình E M hành Suy BE AD nên E trực tâm tam giác ADM suy C DM AE mà AE / / MB Nên MD MB D Bài tốn 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB BC y Gọi H hình chiếu vng góc A lên BD E, F lần I A B lượt trung điểm đoạn thẳng CD, BH Chứng minh EF AF (trường hợp đặc điệt toán 5) F Giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi H D 0;0 , A 0;a , C 2a;0 , B 2a; a Phương trình D C E đường thẳng BD : x y 0; AH : x y a Tọa độ điểm H AH BD Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình x y 2a a I A B H ; x y a 5 6a 3a F F ; Do điểm ; 5 H uuur a 3a uuur 6a 2a D C E EF ; ; AF ; Suy EF AF 5 5 Ta chứng minh tốn theo cách túy sau: Gọi E, F, I trung điểm đoạn thẳng CD, BH, AB Ta chứng minh AF EF Ta thấy tứ giác ADEI ADFI nội tiếp nên tứ giác ADEF nội tiếp, AF EF Bài tốn 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Gọi D điểm cạnh AB cho AB AD H hình chiếu vng góc B CD Điểm M trung điểm HC Chứng minh MA MB Giải: Cách 1:Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi I 0;0 , A 0;a , C c;0 , B c;0 Phương trình đường thẳng DC : ax 2cy ac; BH : 2cx ay 2c Tọa độ điểm H nghiệm hệ ax 2cy ac a c 4c 4ac phương trình H ; 2 a 4c a 4c 2cx ay 2c a2c 2ac Do điểm M ; 2 a 4c a 4c SangKienKinhNghiem.net x uuuur uuuur a 2c 4c 2a 2c 2ac 2ac a BM AM AM BM 2 a 4c Cách 2: Gọi N , I giao điểm đường thẳng qua B vng góc với BC với đường CD, CA Do tam giác IDC vuông B AB AC nên A trung điểm IC Suy D trọng tâm tam giác IBC Do AN đường trung bình tam giác IBC Gọi E trung điểm BH , E trực tâm tam giác NBM tứ giác NAME hình bình hành nên từ NE MB MA MB y A D H I M B I x C A N D B E H M C Sau xin giới thiệu số dạng toán áp dụng cụ thể phương pháp tọa độ hóa vào giải tốn hình học phẳng đề thi THPT Quốc gia, đề thi thử trường THPT nước năm trước đề thi học sinh giỏi số tỉnh 2.3.3 Một số dạng toán áp dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng Dạng 1: Ba điểm phân biệt mối liên hệ vng góc Trong hình học tọa độ phẳng tốn thường cho nhiều điểm, giả thiết toán thường xoay quanh số điểm đặc biệt Bằng cách vẽ hình xác ta đốn điểm có mối quan hệ vng góc điểm mấu chốt tốn Khi học sinh phát điều giúp cho em định hướng cách giải toán cách dễ dàng Bài 1.1.[3] (Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn- Thanh hóa năm 2015-2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có · B (2; 4), BAD ·ADC 900 A, C thuộc trục hoành Gọi E trung điểm đoạn AD , đường thẳng EC qua điểm F (4;1) Tìm toạ độ đỉnh A, C , D biết EC vng góc với BD điểm E có tọa độ nguyên Nhận xét: Các giả thiết toán xoay xung quanh điểm A, D, E , C Nếu vẽ hình xác học sinh dễ dự đốn EB AC Và coi chìa khóa, nút thắt tốn Xử lí nút thắt tốn giải nửa SangKienKinhNghiem.net Giải: Để chứng minh EB AC gắn thêm hệ trục tọa độ khác hình vẽ ta có: a D 0;0 , A 0; a , E 0; , C c;0 2 Phương trình x 2y EC : EC : ax 2cy ac 0; DB : 2cx ay 0; AB : y a c a uuur uuur EB AC EB AC a uuur a a uuur B DB AB B ;a EB ; ; AC c; a 2c 2c Trở lại tốn ta có: Đường thẳng BE qua B 2; vng góc với Ox nên có phương trình x uuur uuur Gọi A(a;0), E (2; b) D(4 a; 2b); BA(a 2; 4); EA(a 2; b); uuur uuur BD(2 a; 2b 4) FE (6; b 1) y uuur uuur BA EA (a 2) 4b (1) B uuur uuur A FE BD 6(2 a ) (b 1)(2b 4) (2) I H Thay (2) vào (1) ta : b 6b3 13b 24b (b 1)(b3 7b 20b 4) b 1 (do b nguyên) (Ta chứng minh phương E trình J C D x b 7b 20b có nghiệm khoảng 1;0 nên CD có khơng có nghiệm ngun) Khi A(4;0), D(0; 2) , đường thẳng phương trình x y cắt Ox C(-1;0) Vậy A(4;0), D(0; 2) C (1;0) điểm cần tìm Ta chứng minh EB AC cách sau: Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE BD I H; gọi làur giao Khi uuurJuu uuurđiểm uuur uur BD uuur với CE uuurđó uuuta r có: uuur uuur uuur uuur EHuuu EB EA EB EI EB EA EH EC ED rEJ EC ED EA2 r uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur.ECuuu EH EB EH EC EH ( EB EC ) EH BC suy H trực tâm EBC suy A, H , C thẳng hàng Do BE AC Bài 1.2 [2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng A D , biết D 2; CD AB Gọi H hình chiếu vng góc D lên AC SangKienKinhNghiem.net 22 14 Điểm M ; trung điểm HC Xác định tọa độ điểm A, B, C 5 hình thang biết B thuộc đường thẳng : x y Nhận xét: Các giả thiết toán xoay xung quanh điểm B, M , D Nếu tinh ý ta nhận thấy MB DM (Để chứng minh MB DM xem lại toán ) Giải: Ta có BM DM Suy phương trình BM : x y 16 Tọa độ B nghiệm hệ: x y 4 B (4; 4) Gọi I giao điểm AC BD, x y 16 uur uur AB IB 10 10 ta có DI IB I ; CD ID 3 14 18 Suy AC : x y 10 , DH : x y Tìm H ; C(6; 2) Từ 5 uur uur CI IA A(2; 4) Bài 1.3.[3] ( Trích đề thi HSG hóa năm 2014-2015) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H 1; hình chiếu vng góc A lên BD Điểm M ;3 trung điểm cạnh BC , phương trình 2 đường trung tuyến AK kẻ từ A ADH : x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Nhận xét: - Giả thiết toán xoay quanh điểm M , K , A Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết AK KM giả thuyết đề “mở nút thắt đầu tiên” tìm tọa độ điểm K D Từ phương pháp giải tốn quen thuộc ta tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật (Để chứng minh AK KM xem lại toán ) Giải: Ta có: AK KM Suy phương trình đường thẳng KM : x y 15 0 Do K AK MK Toạ độ K ; 2 Do K trung điểm HD mà H 1; nên tọa độ điểm D 0; phương trình BD : y AH qua H 1; vng góc với BD nên AH có phương trình: x Ta có : A AK AH A 1;0 A B Phương trình BC là: x y 12 suy tọa độ B 5; ; C 4; P M H D SangKienKinhNghiem.net K 10 C Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật là: A 1;0 , B 5; , C 4; , D 0; Dạng 2: Ba điểm phân biệt mối liên hệ góc Bài 2.1 [1] (Trích đề thi TSĐH khối A năm 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC , N điểm cạnh CD cho CN ND Giả sử M 11 ; đường thẳng AN có phương 2 trình x y Tìm tọa độ điểm A Nhận xét: Dữ kiện toán xoay quanh ba điểm A, M , N đồng thời ta nhận thấy · ta biết giá trị góc MAN ta xác định tọa độ điểm A Giải: Gọi cạnh hình vng a Ta có a 10 a 5a ; AM ; MN AM AN MN · MAN 450 Khi cosA= AM AN 11 Phương trình đường thẳng AM : ax+by- a b 2 2a b · cos MAN 3t 8t 2 a b AN a b ( với t ) t 3; t A B M D C N 1 a b +) Với t , chọn a 3, b suy AM có phương trình 3x y 17 2 x y A 4;5 3 x y 17 2 x y 1 +) Với t tọa độ A nghiệm hệ: A 1; 1 x 3y Nên tọa độ A nghiệm hệ Bài 2.2.[2] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB AM Đường trịn tâm I 1; 1 đường kính CM cắt BM D Xác định tọa độ đỉnh ABC biết đường thẳng BC qua 4 N ;0 , phương trình đường thẳng CD : x y điểm C có hồnh độ 3 dương Nhận xét: Từ kiện cho toán ta nhận thấy phương trình đường thẳng CD cho, tọa độ điểm I 1; 1 , ta xác định góc ·ACD từ ta tìm tọa độ điểm C B N I A D SangKienKinhNghiem.net C 11 M Giả thiết toán AB AM làm ta nghĩ đến: cos ·ABM AB BM 10 Bằng trực quan ta thấy ·ABM ·ACD , giả thiết tìm tọa độ đỉnh C Khi tọa độ đỉnh cịn lại ta tìm · · Giải: Ta có: BAC MDC 900 Tứ giác ABCD nội tiếp nên ·ABM ·ACD 10 Giả sử phương trình: AC : a x 1 b y 1 0, a b ur uur n1.n2 a 3b a · ur uur Ta có: cosMCD 10 n1 n2 10 a b 4a 3b · cos ·ABM Suy cosMCD= +) Nếu a , chọn b suy AC : y , tọa độ đỉnh C 3; 1 Do I trung điểm MC nên tọa độ M 1; 1 nên phương trình BM : 3x y ; phương trình BC : 3x y 3 x y x 2 B 2; 3 x y y Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ : Phương trình AB : x nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình: x x 2 A 2; 1 y 1 y 1 +) Nếu 4a 3b , chọn a b 4 nên phương trình AC : 3x y , 3 x 3 x y 11 C ; (Loại) tọa độ đỉnh C nghiệm hệ 5 x 3y y 11 Bài 2.3.[2] Cho hình vng ABCD Điểm M thuộc đoạn BC , phương trình cạnh · ·AMN , điểm AM : x y 0, N thuộc đoạn CD cho BMA K 1; 2 AN Tìm tọa độ điểm A Giải: Khơng tính tổng qt giả sử cạnh hình vng Đặt BM a Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có · M a;0 ; A 0;1; NMC 2 ; tan a Ta có: 12 SangKienKinhNghiem.net NC NC tan a NC 2a NC MC a tan a 1 a 1 a uuur a 2a uuuuur N 1; ; AM a ; ; AN 1; 1 a 1 a · tan NMC tan 2 r Đặt u 1 a; a 1 Ta có: y A D K N B M C x 13 SangKienKinhNghiem.net a 1 a a 1 uuuur uuur uuuur r · cos MAN cos AM ; AN cos AM ; u a 1 a 1 a 2 · MAN 450 r Giả sử AN có véc tơ pháp tuyến n a; b , a b AM có véc tơ pháp tuyến ur n1 1;3 r ur a 3b Ta có: cos450 cos n; n1 10 a b a 2b 4a 6ab 4b 2a b Phương trình AN: x y A 1; r Với 2a b chọn a b 2 suy n 1; 2 suy phương trình AN: x y A 5;0 Nhận xét: Để giải tốn theo phương pháp hình học túy không đơn giản Phải dựng thêm điểm chứng minh hàng loạt tính chất Dạng 3: Ba điểm phân biệt mối liên hệ khoảng cách Bài 3.1.[2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A 1;3 Biết 17 M 4;6 thuộc cạnh BC N ; thuộc đường thẳng DC Tìm tọa độ 2 đỉnh B, C , D hình vng ABCD Nhận xét: Dữ kiện tốn xoay quanh ba điểm A, M , N song tọa độ điểm biết d A; BC d A; DC Giải: Giả sử phương trình BC : a x b y 0; a b Khi phương trình: CD : b x 17 9 a y 2 2 3a 3b 15b 3a a b Từ giả thiết suy ra: d A; BC d A; CD 2 a b a b2 b 7 a +) Nếu suy phương trình cạnh a b 1 ( BC ) : x y 10 0, (CD) : x y 0;( AB ) : x y 0, ( AD) : x y là: Do tọa độ đỉnh : B 4;6 , C 7;3, D 4;0 +) Nếu a 7b Chọn b 1 suy a Ta có phương trình cạnh : BC : x y 22 0, CD : x y 40 0; AD : x y 0, AB : x y 21 97 129 34 138 Do tọa độ đỉnh : B ; , C ; , D ; 2 2 25 25 25 25 Bài 3.2.[2] Cho ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC , G trọng tâm ABM , điểm D 7; 2 điểm nằm đoạn MC cho GA GD Tìm 14 SangKienKinhNghiem.net tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hồnh độ A nhỏ AG có phương trình B x y 13 Giải: Đặt cạnh góc vng ABC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi 1 1 A 0;0 , N 0;1, M 1;1, P ; , B 0; Phương 2 2 G N M D P A C 1 trình đường thẳng MN : y 0; BP : x y G ;1 3 x y Phương trình đường thẳng BC : x y D t ; t 10 10 1 AG ; DG t 1 t 3 3 Mà uuur uuur 1 uuur uuur D ; ; AG ;1 ; GD 1; AG.GD AG GD 3 3 3 3.7 2 13 Ta có d D; AG 10 2 1 ABM vuông cân GA GB GA GB GD G Vậy tâm đường tròn ·AGD ·ABD 900 GAD vuông cân G Do GA GD d D; AG 10 AD 20; ngoại tiếp ABD Gọi A a;3a 13; a a 5(loai ) 2 AD 20 a 3a 11 20 A 3; 4 a r Gọi VTPT AB nAB a; b r r · cos NAG cos nAB , nAG · Mặt khác: cos NAG NA AG 3a b 3a b a b 10 NM 1 NA NG 2 NG 9.NG NG 2 10 2 b 6ab 8b 10 3a 4b a b 10 +) Với b chọn a ta có AB : x 0; +) Với 3a 4b chọn a 4; b 3 ta có AB : x y 24 Từ (1) (2) 15 SangKienKinhNghiem.net Nhận thấy với AB : x y 24 d D; AB 4.7 2 24 16 d D; AG 10 (loại) Vậy AB : x Bài 3.3.[2] Trong mặt phẳng cho hình chữ nhật B A ABCD có điểm D 4;5 Điểm M trung điểm đoạn AD , đường thẳng CM có phương trình x y 10 Điểm B nằm đường thẳng M I d : x y Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết C có tung độ nhỏ C D Giải: Đặt AD 2; DC a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi D 0;0 , C a;0 , A 0; , M 0;1, B a; Phương trình đường thẳng MC : x ay a d D; MC a 2a d D; MC ; d B; MC d B; MC a2 a2 Vì B thuộc đường thẳng d nên B b; 1 2b b b 1 2b 10 Trở lại tốn ta có d D; MC 70 b 82 82 17 70 70 123 Với b B ; loại B, D phía với CM 17 17 17 Với b=2 Suy B 2; 5 thỏa mãn Gọi I tâm hình chữ nhật ta có I 3;0 26 c uuur uuur C 8c 10; c CD.CB 14 8c 12 8c 5 c 5 c 143 c l 65 (loại tung độ điểm C nhỏ 2) C 2;1 A 8; 1 Vậy suy A 8; 1; C 2;1;B 2; 5 Bài3.4.[2].Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Điểm 11 F ;3 trung điểm cạnh AD Đường thẳng EK có phương trình 2 19 x y 18 với điểm E trung điểm cạnh AB , điểm K thuộc cạnh DC KD 3KC Tìm tọa độ điểm C hình vng y ABCD biết điểm E có hồnh độ nhỏ E A B Giải: Đặt cạnh hình vng 4a Chọn hệ trục tọa độ I hình vẽ Khi F O 0;0 , K a;0 , C 2a;0 , E 0; 4a , F 2a; 2a P Phương trình đường thẳng EK : x y 4a D O K C 16 SangKienKinhNghiem.net x d F ; EK 10a 19 11 24 18 25 17 a Suy cạnh hình vng 34 17 17 EF Tọa độ điểm E nghiệm hệ phương trình 11 25 x 2 x y 3 5 2 58 E 2; AC qua trung điểm I x l 2 19 x y 18 17 FE AC EF suy 10 17 uur uur AC : x y 29 P AC EK P ; IC IP C 3;8 3 Dạng 4: Ba điểm phân biệt mối liên hệ thẳng hàng Bài 4.1.[2].( Đề thi thử trường chuyên ĐH Vinh 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có góc ·ACD với cos = điểm H uuur uuur thỏa mãn điều kiện HB 2 HC , K giao điểm hai đường thẳng AH BD 4 Cho biết H ; , K 0;1 điểm B có hồnh độ dương Tìm tọa độ điểm 3 A, B, C , D Nhận xét: Bài cho tọa độ hai điểm H K ta nghĩ đến việc tìm mối liên hệ điểm A, H , K ta tìm tọa độ điểm A Khi cách lập hệ phương trình ta tìm tọa độ đỉnh B, C , D lại Giải: Từ giả thiết suy H thuộc cạnh BC BH BC Vì BH / / AD nên uuur uuur BH HK 2 KH KA HA HK AD KA 3 A x A xK x 2 H 1 A 2; K y y B y A K H H 1 · tan ·ACD nên AD 2CD, AC 5CD Vì ACD vng D cosACD Đặt: CD a a AD 2a, AB a, BH a Trong tam giác vng ABH ta có: AB BH AH a AB 5, BH 17 SangKienKinhNghiem.net D C Giả sử B x; y với x 0, ta có: x 2 y 2 x 3, y 2 1 80 x 1 , y ktm B 3;0 x y 5 3 3 uuur uuur uuur uuur Mặt khác: BC BH C 1; 2 , AD BC D 2;0 Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật : A 2; , B 3;0 , C 1; 2 , D 2;0 Bài 4.2.[2].Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H 1; , tâm đường tròn ngoại tiếp I 3;0 trung điểm cạnh BC M 0; 3 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Nhận xét: Từ kiện toán, ta xác định tọa độ A điểm A ta viết phương trình đường thẳng BC từ lấy giao điểm với đường trịn ngoại tiếp tìm H tọa độ đỉnh B, C G I Vậy việc tìm tọa độ điểm A mấu chốt B C tốn M Để tìm tọa độ điểm A , ta đề xuất giả thiết mối quan hệ thẳng hàng ba điểm M , G, A Từ A1 dẫn đến việc ta phải tìm tọa độ điểm G Vậy ba điểm G, H , I có mối quan hệ đặc biệt, mối quan hệ uuur uur toán quen thuộc đường thẳng Ơ-le: HG 2.GI Giải: Gọi A1 điểm đối xứng A qua tâm I ta dễ dàng chứng minh tứ giác HCA1 B hình bình hành, từ suy M trung điểm HA1 Gọi G trọng tâm tam giác ABC , suy G trọng tâm tam giác AHA1 Do uuur uur HG 2GI xH xI 7 xG uuur uuuur 14 26 7 3 G ; Mặt khác: GA 2GM ; A 7;10 3 3 y yH yI G 3 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC : x 3 y 116 Phương trình cạnh BC : x y 2 x 3 y 116 x 7, y Tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình : x 7, y 10 x y Vậy tọa độ A 7;10 , B 7; , C 7; 10 A 7;10 , B 7; 10 , C 7; 2.4 Một số tập khác 18 SangKienKinhNghiem.net 2.4.1 Một số tập có lời giải chi tiết ( Do quy định số trang SKKN nên tập đưa vào phần phụ lục) 2.4.2 Bài tập tự luyện Bài toán 1.[2] Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: x y 31 0, hai đỉnh B, D thuộc đường thẳng d1 : x y 0, d : x y Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A có hồnh độ âm Bài toán 2.[1].Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I 2;1 AC BD Điểm M (0; ) thuộc đường thẳng AB , điểm N 0;7 thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hồnh độ dương Bài tốn 3.[2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn T : kẻ đến T hai tiếp tuyến MA , MB với A, B tiếp điểm Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác MAB Bài toán 4.[2] Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : y Gọi C đường tròn cắt d điểm B, C cho tiếp tuyến C B C cắt O Viết phương trình đường trịn C , biết tam giác OBC Bài toán 5.[2] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC , N điểm cạnh CD cho CN ND Giả x y x y điểm M (7;7) Chứng minh từ M sử M ; đường thẳng AN có phương trình x y Tìm tọa độ điểm 2 A Bài toán 6.[2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn C nội tiếp hình vng ABCD có phương trình: ( x 2)2 ( y 3)2 10 Xác định tọa độ đỉnh hình vng biết đường thẳng chứa cạnh AB qua điểm M (3; 2) điểm A có hồnh độ dương Bài tốn 7.[2] Cho đường trịn O tâm O , đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn O cho tam giác ABC không cân C Gọi H chân đường cao tam giác ABC hạ từ C Hạ HE , HF vuông góc với AC , BC tương ứng Các đường thẳng EF AB cắt K Gọi D giao điểm O đường tròn đường kính CH , D C Chứng minh K , D, C thẳng hàng Bài toán 8.[2] Cho tam giác ABC , đường trịn đường kính BC cắt AB, AC E D Gọi F , H hình chiếu D E BC Gọi M giao điểm EF DG Chứng minh AM BC 11 Bài tốn 9.[2] Cho tam giác ABC vng A vuông cân, cạnh AB AC lấy M , N cho BM CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định 2.5 Các biện pháp tổ chức thực hiện: 2.5.1 Về thời gian: 19 SangKienKinhNghiem.net Sau cho học sinh học xong phương trình đường trịn tiến hành bồi dưỡng tài liệu cho học sinh với quỹ thời gian 10 tiết học buổi học thêm, học bồi dưỡng lớp: +) Giáo viên đưa tài liệu SKKN cho học sinh để học sinh tự nghiên cứu trước +) tiết thực hành dạng tập, dạng tiết +) tiết kiểm tra đánh giá kết ( Đề kiểm tra phần phụ lục) 2.5.2 Về đối tượng giảng dạy: Học sinh lớp 10A1, 10A2 năm học 2018- 2019 Trường THPT Thường Xuân 2.6 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Như phần đặt vấn đề nêu, sáng kiến “Một số giải pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp 10 trường THPT Thường Xuân giải tốn hình học tọa độ Oxy “ phương pháp có kết hợp chặt chẽ tư đại số hình học, cách tiếp cận tìm lời giải phù hợp với yêu cầu đổi phương pháp dạy học, kích thích tính tự học, tự nghiên cứu phát vấn đề Với tinh thần đó, q trình soạn, dạy dạng tốn tơi thực theo cách phân loại từ dễ đến khó, thơng qua giải pháp tập dạng toán chọn lọc Kết thúc phần nhận thấy đạt hiệu cao, cụ thể: - Học sinh tỏ hứng thú giải toán, tập trung đào sâu suy nghĩ vấn đề, phát vấn đề hiệu hơn, nhanh - Giờ dạy tránh tính đơn điệu, nhàm chán theo lối mòn lâu - Học sinh có nhiều thay đổi tích cực phương pháp học tập tư giải tốn Kết cịn thể rõ rệt qua kiểm tra Giỏi Khá TB Yếu Lớp Số HS 10A1 45 13.3 17 37.8 20 13 28.9 10A2 47 14,9 19 40.4 15 31,9 12,8 SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) Kết luận đề xuất 3.1 Kết thực đề tài Qua thời gian thực tế giảng dạy, nhận thấy chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy, học sinh giải tập đơn giản Không biết phân tích tốn, đặc biệt toán đề thi học sinh giỏi tỉnh Sau học chuyên đề học sinh làm tốt tập khó, em hứng thú say mê học tập Qua khảo sát kết học tập em tăng lên rõ rệt 3.2 Kiến nghị 20 SangKienKinhNghiem.net ... chương trình hình học lớp 10 THPT, toán dành cho học sinh khá, giỏi từ xây dựng thao tác cần thiết để giúp học sinh sử dụng tốt phương pháp tọa độ vào giải toán tổng hợp 1 .3 Đối tượng nghiên... giảng dạy Tôi cho học sinh lớp 10A1, 10A2 (2 lớp tập trung nhiều học sinh khá, giỏi khối10) giải thử số câu lấy từ nguồn tài liệu Kết sau: Lớp Tổng Giỏi Khá Trung bình Yếu,kém số HS SL TL % SL... thiệu số dạng tốn áp dụng cụ thể phương pháp tọa độ hóa vào giải tốn hình học phẳng đề thi THPT Quốc gia, đề thi thử trường THPT nước năm trước đề thi học sinh giỏi số tỉnh 2 .3. 3 Một số dạng toán