Một giải pháp phân tích khung có nút nửa cứng: Xem nút nửa cứng là một phần tử

Bài viết Một giải pháp phân tích khung có nút nửa cứng: Xem nút nửa cứng là một phần tử trình bày việc phân tích khung có nút nửa cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn với quan niệm xem nút nửa cứng là một phần tử. Ma trận độ cứng của phần tử nút nửa cứng với 12 bậc tự do được thiết lập bằng nguyên lý thế năng cực tiểu.

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(88).2015 11 MỘT giẢI PHÁP PHÂN TÍCH KHUNG CĨ NÚT NỬA CỨNG: XEM NÚT NỬA CỨNG LÀ MỘT PHẦN TỬ AN ANALYTICAL SOLUTION OF FRAMES WITH SEMI-RIGID CONNECTIONS: CONSIDERING SEMI-RIGID CONNECTION AS AN ELEMENT Đỗ Minh Đức, Lê Khánh Toàn Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng; ducdhbk@gmail.com Tóm tắt - Báo cáo trình bày việc phân tích khung có nút nửa cứng phương pháp phần tử hữu hạn với quan niệm xem nút nửa cứng phần tử Ma trận độ cứng phần tử nút nửa cứng với 12 bậc tự thiết lập nguyên lý cực tiểu Để kiểm tra độ tin cậy ma trận độ cứng phần tử thành lập, tác giả sử dụng phần mềm Matlab để lập trình, phân tích so sánh với cách tính truyền thống cho kết cấu khung cụ thể chịu nguyên nhân tải trọng tĩnh động Từ ưu điểm giải pháp đề xuất Kết nghiên cứu tạo phần tử mẫu sử dụng tính tốn, thiết kế nghiên cứu kết cấu khung có nút nửa cứng Abstract - This paper introduces the analysis of frames with semirigid connections with the finite element method from the view point: considering semi-rigid connection as an element The principle of minimum potential energy is conducted to establish the stiffness matrix of the semi-rigid connection element with 12 degrees of freedom To investigate the reliability of the element stiffness matrix, the authors use the Matlab sofware to program, analyse and compare the new method with the conventional way for a specific frame structure under static and dynamic loads Furthermore,it points out the advantages of the proposed solution The results of research create a prototype of element which is used to calculate, design as well as investigate the frame structures with semi-rigid conections Từ khóa - kết cấu khung; phương pháp phần tử hữu hạn; nút nửa cứng; ma trận độ cứng; bậc tự Key words - frame structure; finite element method; semi-rigid connections; stiffness matrix; degrees of freedom Đặt vấn đề Trước đây, tính tốn kết cấu, để đơn giản hơn, người ta thường quan niệm nút khung tuyệt đối cứng khớp lý tưởng Tuy nhiên, nhiều trường hợp thực tế, ví dụ khung bê tông cốt thép lắp ghép bán lắp ghép, khung thép, , kết cấu có nút liên kết với độ đàn hồi định, gọi nút nửa cứng, cho kết nội lực biến dạng sai lệch tính tốn theo quan niệm Điều phân tích, so sánh cụ thể [1, 3, 8, 12, 14] Các nghiên cứu công bố [3, 14, 16] rằng: Phân tích kết cấu khung có xét đến độ đàn hồi nút không phản ảnh xác phản ứng mà cịn có ý nghĩa việc thiết kế, cụ thể tiết kiệm vật liệu tăng khả chịu lực Đặc biệt, với yêu cầu ngày khắt khe tính tốn thiết kế, phức tạp đa dạng kết cấu chịu lực khả tính tốn máy tính điện tử việc xét đến độ đàn hồi liên kết cần thiết tính tốn thiết kế kết cấu cơng trình xây dựng Nhìn chung, lý thuyết phân tích khung có nút cứng khớp lý tưởng đến tương đối hoàn chỉnh, xây dựng nhiều chương trình tính tốn cho phép dễ dàng sử dụng để giải toán khác hình học, vật liệu nguyên nhân tác dụng tính tốn thiết kế cơng trình xây dựng thương mại hoá phổ biến Sap2000, ANSYS, Etabs, Abaqus,…Với khung có nút nửa cứng, theo [3, 14, 16] nhiều báo cáo công bố, bắt đầu nghiên cứu cách khoảng hai thập niên phát triển mạnh năm gần đây, cho thấy rằng: Có thể cho phép giải nhiều dạng tốn khác nhau, cịn phức tạp, cần có nhiều nghiên cứu nhằm giúp cho việc giải toán đơn giản hơn, để áp dụng dễ dàng thực tế mà đảm bảo tính xác Một phương pháp thường sử dụng nghiên cứu lý thuyết phân tích kết cấu khung phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), có nội dung xây dựng ma trận mẫu cho phần tử chịu nguyên nhân khác Với khung có nút nửa cứng, [1, 3, 9, 10, 14, 16] nhiều tài liệu khác, cho thấy quan niệm: Xem có liên kết đàn hồi hai đầu phần tử (Hình 1.b) Cách quan niệm tồn nhược điểm: Hình Khung có nút nửa cứng quan niệm phần tử lập sơ đồ tính a) khung ban đầu, b) xem liên kết đầu phần tử, c) xem liên kết phần tử Đỗ Minh Đức, Lê Khánh Tồn 12 + Phải thành lập mà khơng tận dụng phần tử mẫu có nút cứng hai đầu có sẵn nên tốn nhiều cơng sức Trong tài liệu [1, 3, 7, 9, 10, 13, 14, 17], nội dung nghiên cứu chủ yếu thiết lập ma trận mẫu cho phần tử nội dung cịn lại sử dụng lý thuyết phương pháp PTHH cho nút cứng + Mặt khác, có thêm điều kiện vật lý hai đầu phần tử, nên việc thiết lập ma trận mẫu phức tạp, ma trận cồng kềnh, gây nhiều khó khăn cho việc quản lý sử dụng Ta nhận thấy rằng, xem liên kết phần tử - gọi phần tử liên kết, có hai nút cứng hai đầu, có chiều dài khơng nối phần tử có nút cứng khác (Hình 1c) Khi đó, ta hồn tồn trở lại tốn với phần tử có nút cứng hai đầu quen thuộc Theo quan điểm này, cần thiết lập thêm ma trận độ cứng cho phần tử liên kết, lại sử dụng tồn ma trận mẫu phần tử có nút cứng hai đầu lập sẵn đầy đủ tài liệu phương pháp PTHH, [2, 4, 5, 15] Thành lập ma trận độ cứng cho phần tử liên kết Xét phần tử liên kết mơ hình hố Hình Hai nút (i, j) nối lò xo đàn hồi tương ứng với bậc tự nút Gọi (uq, Fq) chuyển vị lực tác dụng ứng với bậc tự thứ q (q = 1,…,12) Theo [5], tồn phần phần tử viết: 1 U = (u7 − u1 ) k1 + (u8 − u2 ) k2 + (u9 − u3 ) k3 2 1 + (u10 − u4 ) k4 + (u11 − u5 ) k5 + + (u12 − u6 ) k6 2 − F1.u1 − F2 u2 − F3 u3 − F4 u4 − F5 u5 − F6 u6 − F7 u7 − F8 u8 − F9 u9 − F10 u10 − F11.u11 − F12 u12 (1) Hình Mơ hình hố bậc tự hai đầu phần tử liên kết Để hệ cân ổn định, toàn phần cần phải thoả mãn điều kiện [5]: U =0; ui i = 1, 2,…, 12 (2) Thay (1) vào (2), viết dạng ma trận ta (3) Theo ý nghĩa học phương trình (3) phương trình cân cho phần tử khảo sát Hình ma trận hệ số [K] ma trận độ cứng  F1   k1 F    2   F3       F4   F    5   F6    F  =  −k  7   F8       F9    F10       F11   F    12   k2 0 0 − k2 0 0 0 k3 0 0 − k3 0 0 0 k4 0 0 − k4 0 0 0 k5 0 0 −k5 0 0 0 k6 0 0 − k6 −k1 0 0 k1 0 0 0 − k2 0 0 k2 0 0 0 − k3 0 0 k3 0 0 0 −k4 0 0 k4 0 0 0 − k5 0 0 k5 0   u1    u2    u3       u4    u5     − k   u6    u7       u8       u9   u10       u11  k6  u12  (3) Phương trình cân hệ kết cấu khung Khi phân tích tốn kết cấu phương pháp PTHH, theo [2, 5, 6, 14, 15], phương trình cân tồn hệ viết dạng: (4)  M u + C u +  K u = F (t ) Trong đó: [K], [M], [C] {F(t)} ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, ma trận cản, véc tơ tải trọng nút hệ, lắp ghép từ ma trận mẫu phần tử Phương trình (4) thường giải phương pháp tính phân số Newmark Lý thuyết thuật tốn phương pháp tìm thấy tài liệu [2, 6, 14] Ta xét số trường hợp riêng phương trình (4): - Khi hệ cân tĩnh:  K u = F suy u =  K  −1 F  (5) - Khi hệ dao động tự do:  M u +  K u = (6) Giả thiết chuyển động dao động điều hòa với tần số dao động riêng , phương trình (6) viết lại: ( K  −  (7)  M ) u = Giải phương trình ( K  −   M ) = xác định tần số dao động riêng i (i = 1, , n) Ví dụ phân tích khung phẳng 4.1 Số liệu toán Cho khung phẳng tầng, nhịp Hình Giả thiết hệ làm việc tuyến tính hình học, vật liệu, liên kết xét biến dạng xoay đàn hồi nút Thông số hình học vật liệu khung: Ac = 0,04m2; Ad = 0,06m2; E = 2.107kN/m2; Ic = 12.10-5 m4; Id = 45.10-5m4; khối lượng riêng  = 78,50kN.s2/m4; hệ số đàn hồi nút k = 4000kN.m/rad Giả thiết lực cản C = 0,25.M ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(88).2015 13 yêu cầu giải toán Kết số nội dung tính tốn thể bảng Bảng 1, 2, Hình q = 25kN/m P2 = 30sin(1,2t)kN P1 = 50kN k k 4m (Ad, Id) (Ac, Ic) (Ac, Ic) a) 6m Hình Sơ đồ tính tốn ví dụ phân tích 4.2 Phân tích kết tốn Khung phân tích với yêu cầu sau + Phản ứng khung chịu tải trọng tĩnh P1 = 50kN q = 25kN/m + Xác định tần số dao động riêng + Phản ứng khung chịu tải trọng động tuần hoàn P2 = 30sin(1,2.t)kN Để đánh giá lại độ tin cậy phần tử mẫu cho liên kết thiết lập, khung phân tích theo trường hợp: Xem nút nửa cứng hai đầu phần tử (TH1) – cách tính sử dụng trước đây, xem liên kết nút phần tử (TH2) Để giải tốn, hệ cho Hình rời rạc thành phần tử Ký hiệu nút phần tử Hình 4a tương ứng với TH1 Hình 4b tương ứng với TH2 Trên sở lý thuyết phương pháp PTHH [2, 4, 5, 6, 14] phần tử mẫu xây dựng phương trình (3), lập ma trận độ cứng, ma trận khối lượng, véc tơ tải trọng nút Từ đó, sử dụng Matlab [11], lập chương trình tính tốn giải phương trình (4), (5) (7) tương ứng với trường hợp b) Hình Sơ đồ rời rạc hố nút phần tử: a) theo TH1, b) theo TH2 Hình Đồ thị chuyển vị ngang nút theo thời gian Bảng Kết chuyển vị nút khung chịu tải trọng tĩnh Bậc tự u1(m) (nút 2) u2(m) (nút 2) u3(rad) (nút 2) u4(m) (nút 3) u5(m) (nút 3) u6(rad) (nút 3) TH1 0,06827 -0,00029 -0,01977 0,06809 -0,00045 0,00714 TH2 0,06827 -0,00029 -0,01977 0,06809 -0,00045 0,00714 u7(m) (nút 5) u8(m) (nút 5) u9(rad) (nút 5) u10(m) (nút 6) u11(m) (nút 6) u12(rad) (nút 6) - - - - - - 0,06827 -0,00029 -0,01942 0,06809 -0,00045 0,00910 Bảng Kết tần số dao động riêng Tần 1 số (rad/s) 2 (rad/s) 3 (rad/s) 4 (rad/s) 5 (rad/s) 6 (rad/s) TH1 4,4701 17,5461 54,2789 154,9888 159,4174 225,8453 7 (rad/s) 8 (rad/s) 9 (rad/s) 10 (rad/s) 11 (rad/s) 12 (rad/s) - - - - - - TH2 4,4702 16,6604 52,1373 126,5033 145,2163 191,1945 278,713 300,082 7727443,0 9229901,5 9610238,7 10251611,6 Bảng Kết chuyển vị ngang nút số thời điểm hệ chịu tải trọng động (m) Giây 0,005 0,01 0,02 0,05 12 15 18 20 thứ TH1 -1,69E-08 -5,44E-08 4,47E-07 1,93E-05 0,05058 -0,02418 0,02876 -0,04550 0,04311 -0,03222 0,01890 -0,04123 TH2 -2,87E-08 -8,94E-08 -8,94E-08 1,94E-05 0,05058 -0,02418 0,02876 -0,04550 0,04311 -0,03222 0,01890 -0,04123 Đỗ Minh Đức, Lê Khánh Toàn 14 4.3 Đánh giá kết Từ kết Bảng 1, 2, Hình 5, ta thấy: Đối với toán chịu tải trọng tác dụng tĩnh, kết phân tích theo hai cách (TH1 TH2) hồn tồn giống Đối với tốn chịu tải trọng động, đặc biệt tần số dao động riêng, kết có sai khác Nguyên nhân toán động ta sử dụng ma trận khối lượng phần tử theo [1, 2, 4, 6, 14] – thường sử dụng phân tích động Các ma trận khối lượng thiết lập gần Khi ta sử dụng ma trận khối lượng độ xác kết phụ thuộc vào số lượng bậc tự sử dụng phân tích hệ Nhận xét thêm rằng, việc phân tích tốn khung chịu tải trọng động theo TH2 có xu hướng cho kết xác TH1 số bậc tự nhiều Kết luận Bài báo cho thấy phân tích khung có nút nửa cứng phương pháp PTHH với quan điểm xem nút nửa cứng phần tử Cách phân tích đơn giản việc xây dựng sở lý thuyết dễ áp dụng cách xem với liên kết đàn hồi hai đầu phần tử thường sử dụng Ví dụ phân tích so sánh số cho toán cụ thể với trường hợp chịu lực khác cho thấy lý thuyết xây dựng tin cậy Trong báo thiết lập ma trận độ cứng tổng quát cho phần tử liên kết có 12 bậc tự Ma trận đơn giản việc thiết lập, quản lý, sử dụng, bổ sung thêm vào thư viện phần tử mẫu phương pháp PTHH, sử dụng để phân tích khung có nút nửa cứng Bên cạnh đó, việc xem nút nửa cứng phần tử cho phép nghiên cứu sâu số tính chất nút khung Vấn đề tiếp tục nghiên cứu trình bày báo Tuy có làm tăng số bậc tự toán so với cách phân tích thường sử dụng, điều lại có xu hướng làm tăng độ xác, đặc biệt toán chịu tải trọng động Mặt khác, với trợ giúp máy tính điện tử số lượng ẩn số tốn khơng cịn thách thức đáng kể TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Minh Đức, “Tần số dao động riêng khung thép có nút nửa cứng”, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 29, 2008, 8-13 [2] Nguyễn Văn Phượng, Động lực học cơng trình, Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội, 2005 [3] Vũ Quốc Anh, Tính khung thép có xét đến độ đàn hồi liên kết, Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội, 2013 [4] Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp động lực học, Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội, 2006 [5] Võ Như Cầu, Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội, 2005 [6] AK.Chopra, Dynamics of structures, Third edition, Prentice Hall, 1995 [7] A.U Ozturk and H.H Catal, “Dynamic Analysis of semi – rigid Frames”, 2005 [8] C.Faella, V.Piluso and G.Rizzano, Structural steel semirigid connections, Published by CRC Press LLC, 2000 [9] D.Zlatkov, S.Zdravković, B.Mladenović, R.Stojić, “Matrix formulation of dynamic design of structures with semi-rigid connections”, Architecture and Civil Engineering, Vol 9, 2011 [10] J.Dario Aristizabal-Ochoa, “Matrix method for stability and secondorder analysis of Timoshenko beam-column structures with semirigid connections”, Elsevier J Eng.Struct, 2012 [11] “Matlab”, Version R2013a, Mathworks, Inc, 2013 [12] M.E Kartal, H.B Basaga & A.Bayraktar, M.Muvafık, “Effects of Semi-Rigid Connection on Structural Responses”, Electronic Journal of Structural Engineering, 2010 [13] P.S Joana, G.M.S Knight, “Dynamic response of steel beam with semi – rigid connection”, IE (I) Journal – CV, 2005 [14] S.L Chan & P.T.T Chui, Non – linear static and cyclic analysic of steel freams with semi – rigid connections, Pubisher Elsevier 2000 [15] Y.W Kwon, H.Bang, The Finite Element Method Using Matlab, Second edition, CRC Press LLC, 2000 [16] W.Chen, Practical Analysis for semi – rigid Frame design, Pubished World Scienticfic Pulishing Co Pte.Ttd, Singapore, 2000 [17] W.Xinwu, “Nonlinear Finite Element Analysis on the Steel Frame with Semi-rigid Connections”, 7th WSEAS Int Conf on applied computer & applied computational science, Hangzhou, China, April 6-8, 2008 (BBT nhận bài: 11/12/2014, phản biện xong: 06/01/2015) ... rằng, xem liên kết phần tử - gọi phần tử liên kết, có hai nút cứng hai đầu, có chiều dài khơng nối phần tử có nút cứng khác (Hình 1c) Khi đó, ta hồn tồn trở lại tốn với phần tử có nút cứng hai... động theo TH2 có xu hướng cho kết xác TH1 số bậc tự nhiều Kết luận Bài báo cho thấy phân tích khung có nút nửa cứng phương pháp PTHH với quan điểm xem nút nửa cứng phần tử Cách phân tích đơn giản... độ tin cậy phần tử mẫu cho liên kết thiết lập, khung phân tích theo trường hợp: Xem nút nửa cứng hai đầu phần tử (TH1) – cách tính sử dụng trước đây, xem liên kết nút phần tử (TH2) Để giải toán,