PHẦN I LÝ THUYẾÉT ĐẠO HÀM TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG

PHẦN I : LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM I.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y= f(x), y : R  R xác định khoảng (a,b) x0  (a,b) Giới hạn, có, tỷ số số gia hàm số số gia đối số x0, số gia đối số dần tới 0, gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0 Kí hiệu : y’(x0 ) f’(x0 ) f’(x0 ) = lim x 0 hay : f ( x0  x)  f ( x0 ) x y’(x0 ) = lim x  y x  Ý nghĩa đạo hàm Ap dụng đạo hàm để tính độ dốc đường cát tuyến tiếp tuyến Độ dốc đường cát tuyến : Với P1  ( x1 , y1 ) P2  ( x2 , y2 ) Ta có : m y2  y1 f ( x1  x)  f ( x1 ) y   x2  x1 x x Độ dốc đường tiếp tuyến : y f ( x1  x)  f ( x1 )  lim x  x x 0 x m  lim Độ dốc tiếp tuyến độ dốc đồ thị điểm ( x1 , f ( x1 )) Ví dụ : Cho hàm số y  f ( x)  x Tìm độ dốc phương trình tiếp tuyến x  Giải : y x y f (1  x)  f (1) (1  x)  12   x x x  2x  x    x  x Tính số gia x , y Độ dốc đường tiếp tuyến : m  lim x 0 y  lim  x  x x 0 I.2 Cách tính đạo hàm Bước : Tính f ( x0  x)  f ( x0 ) x Bước : Tìm giới hạn f’(x0 ) = lim x  f ( x0  x)  f ( x0 ) x Ví dụ : Tìm đạo hàm f’(x) hàm f x, cho biết f(x) = 3x2 Giải : Bước : f ( x  x)  f ( x) 3( x  x)  3x xx  (x) = =  x  x x x x Bước : Tìm giới hạn f’(x) = lim x  x = 6x x  I.3 Đạo hàm bên  Đạo hàm bên trái hàm y= f(x) x0 :  f ' ( x0 )  lim x 0  y x Đạo hàm bên phải hàm y= f(x) x0 :  f ' ( x0 )  lim x  y x Hàm y = f(x) có đạo hàm x0  f ' ( x0  )  f ' ( x0  )  f ' ( x0 ) I.4 Các cơng thức tính đạo hàm Kí hiệu : y ' , f ' ( x), dy dx Hàm số y = f’(x) y=C y = x n (n số nguyên dương) y = Cx y = u(x)  v(x) y = u.v y = un y  ex u ' v  uv' v2 y'   x v' y v ad  bc y'  (cx  d ) y'  x u' y'  u y'  x y'  x ln a y'  e x y  ax y '  a x ln a u v y x y v ax  b y cx  d y y x y u y  ln x y  log a x II Đạo hàm y = f’(x) y’ = y’ = nx n1 y’ = C y’ = u’(x)  v’(x) y’ = u’v + uv’ y’ = nu n1u ' y'  Hàm hợp – Đạo hàm hàm hợp II.1 Khái niêm hàm hợp Cho g(x) f(y) có miền xác định X Y Với x  X , g : x  y , y = g(x) Và y  Y , f : y  u , u = f(y) với u  U u  f [ g ( x)]  F ( x) hàm hợp II.2 Đạo hàm hàm hợp Hàm số hợp y  f ( g ( x)) có đạo hàm theo x : y ' x  y 'u u ' x Trong : u  g (x) II.3 Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y   x Giải : Đặt u   x y u Ta có : Theo cơng thức tính đạo hàm hàm hợp y ' x  y 'u u ' x Ta có :  u = III .u ' x  1 x2 x  x2 (2 x) (1  x  1) Hàm ngược – Đạo hàm hàm ngược Cho y  f ( x) Tồn x   ( y ) , y ' x  f ' ( x)  x' y   ' ( y ) Khi : Và x' y  y'x IV Hàm nhiều biến – Đạo hàm riêng Hàm biến độc lập : u  f ( x, y ) Hàm nhiều biến độc lập : v  f ( x, y , z ) v  f ( x, y , z , t ) IV.1 Đạo hàm riêng cấp Cho u  f ( x, y ) Đạo hàm riêng theo biến x : Kí hiệu : u , x f ' x hay f ' x ( x, y ) u f ( x  x, y )  f ( x, y )  lim x x0 x Đạo hàm riêng theo biến y : Kí hiệu : u , f ' y hay f ' y ( x, y ) y u f ( x, y  y )  f ( x, y )  lim y y 0 y Ví dụ : Tính f , biết f ( x, y )  3x y  y  x x Giải : Để tính đạo hàm theo x, ta xem y số Ta có : f   (3x y  y  x)  xy  x x Tính f , biết f ( x, y, z )  x cos(2 yz  z ) z Ta có : f   x cos(2 yz  z ) z z  (2 yz  z ) z   x(2 y  z ) sin(2 yz  z )   x sin(2 yz  z ) IV.2 Đạo hàm riêng cấp Cho f ( x, y )  x 2e xy f ( x, y )  xe xy  x ye xy  (2 x  x y )e xy x f ( x, y )  x 3e xy y  f a) ( )  (2  xy )e xy  y (2 x  x y )e xy x x  (2  xy  x y )e xy  theo biến x lần b) 2 f  ( x, y ) : gọi đạo hàm riêng bậc x  f ( )  x e xy  x(2 x  x y )e xy y x  (3x  x y )e xy  2 f ( x, y ) : gọi đạo hàm riêng bậc xy  theo x (trước), y (sau) c)  f ( )  3x e xy  x ye xy x y  (3x  x y )e xy  2 f ( x, y ) : gọi đạo hàm riêng xy bậc  theo y (trước), x (sau) d)  f ( )  x e xy y y  2 f ( x, y ) : gọi đạo hàm riêng bậc  theo y lần y Tóm lại : Cho z  f ( x, y ) , đạo hàm riêng cấp  z  z  ( )  f XX ( x, y )  f XX x x x  z  z  ( )  fYY ( x, y )  fYY y y y 2 z  z  ( )  f XY ( x, y )  f XY xy x y f XY  f YX  z  z  ( )  fYX ( x, y )  fYX yx y x V Hàm ẩn – Đạo hàm hàm ẩn V.1 Phương trình f ( x, y )  V.1.1 Hàm ẩn : y  y (x) : y hàm theo x x  x( y ) : x hàm theo y  y  y (x) hay x  x( y ) hàm ẩn Ví dụ : f ( x, y )  x  y2 1  Tính y theo x ? Giải : y  4(1  x ) y1 ( x)   x = y2 ( x)  2  x Tính x theo y ? x2  1 y2 x1 ( y )   y2 = x2 ( y )    y2 V.1.2 Đạo hàm hàm ẩn : y  y (x) , f ( x, y ( x))  , x Ap dụng công thức đạo hàm hàm hợp Đạo hàm theo x : f f ( x, y )  ( x, y ) y ' (0)  x y f  ( x, y ) f ; 0  y ' ( x)  x f  y ( x, y ) y V.2 Phương trình f ( x, y, z )  V.2.1 Hàm ẩn theo biến z  z ( x, y ) y  y ( x, z ) x  x( y, z ) V.2.2 Đạo hàm hàm ẩn f ( x, y, z ( x, y ))   x, y : Ap dụng công thức đạo hàm hàm hợp Đạo hàm riêng theo x : f f y f z ( x, y , z )  ( x , y , z )  ( x, y , z )  x y x z x f ( x, y , z ) z  ( x, y )   x f x ( x, y , z ) z Đạo hàm riêng theo y : z f x f f ( x, y , z )  ( x, y , z )  ( x, y , z )  x y y z y f ( x, y , z ) z y  ( x, y )   f y ( x, y , z ) z Ví dụ : Cho z  xz  y   Biết x=1, y=2 z=2 Tính z (1,2) ; x z (1,2) y Giải : f f f  4 z;  y;  x  x  x y z f ( x, y , z ) 4z z ( x, y )   x  f x ( x, y , z ) z  x y () Thay x = , y = , z = vào () Ta có : z 8 (1,2)    x 16  12 f ( x, y , z ) 2y z y   f 3z  x y ( x, y , z ) z () Thay x = , y = , z = vào () Ta có : z 4 (1,2)   12  y V.3 Hệ Phương trình biến số f ( x, y , z )  g ( x, y , z )  V.3.1 Hàm ẩn : x  x( z ); y  y ( z ) x  x( y ); z  z ( y ) y  y ( x); z  z ( x) V.3.2 Tính đạo hàm Cho z 0 x yz 2 x2  y2  Tính (1) (2) x' ( z ) , y' ( z) x' ' ( z ) , y ' ' ( z ) z = Giải : Khi z = x2  y2  x y 0 x2   x  y x1  y1  1  x2  1 y2  Trong (1) , (2) xem x  x( z ); y  y ( z ) Đạo hàm riêng theo z : xx' ( z )  yy ' ( z )  z  x' ( z )  y ' ( z )   xx'2 yy '   z (3) x' y '  1 (4)  10 q q ED  p p Độ co giãn tức thời cầu : q f ( p  p )  f ( p ) f ( p) q  lim E ( p )  lim p 0 p p  p p p E ( p )  lim p 0 f ( p  p )  f ( p ) p  p f ( p) E ( p)  p f ( p  p )  f ( p )  lim f ( p ) p 0 p E ( p)  p  f ' ( p) f ( p) Độ co giãn cầu theo giá tác động đến tổng chi tiêu người tiêu dùng tổng doanh thu hãng kinh doanh Ta có tổng chi tiêu hay tổng doanh thu : TR  P  Q Khi cầu co giãn nhiều ED  TR tăng giá giảm TR giảm giá tăng Khi cầu co giãn ED  TR tăng giá tăng TR giảm giá giảm Khi cầu co giãn đơn vị ED  P TR độc lập  TR khơng thay đổi P thay đổi Ví dụ 21 : 44 Cho phương trình đường cầu : q  f ( p )  500(20  p ) a) Tìm phương trình độ co giãn cầu tức thời E ( p) b) Tìm E ( p) p = $ , p = 16 $ , p = 10 $ Giải thích ý nghĩa ? Giải : a) E ( p)  p p  f ' ( p)   (500) f ( p) 500(20  p )  p  20 E ( p)  p 20  p  E ( p)   p  20 p  Vì  b) 4  0.25 20   16 E (16)   4 E (10)  1 E ( 4)  Giải thích :  Ơ mức giá p = : giá p tăng % lượng sản phẩm giảm 0.25 %  Ơ mức giá p = 16 : giá p tăng % lượng sản phẩm giảm %  Ơ mức giá p = 10 : giá p tăng % lượng sản phẩm giảm % I.4.2 Tính mềm dẻo đường cầu: Khi thị trường diễn tả đường cầu dốc xuống Một gia tăng giá bán sản phẩm dẫn đến giảm sút doanh số bán Trong thực tế , câu hỏi quan trọng doanh thu giá tăng Nếu giá tăng lên, doanh số bán q giảm Nhưng, tổng thu nhập 45 TR  q  p doanh thu tăng giảm Ap dụng đạo hàm ta trả lời cho câu hỏi Giả sử, trường hợp công ty sản xuất tăng khơng phải xem xét hậu cạnh tranh nhà sản xuất khác Cơng ty cần biết, tăng giá tăng thu nhập Tính đạo hàm hàm TR  q  p theo giá p Với điều kiện q hàm p Ta có : TR '  q ' p  q 46 Điều kiện để thu nhập tăng : TR '   q ' p  q  Thông thường để biểu biến thiên ta viết dạng:  q' p 1 q  q' p : gọi độ mềm dẻo đường cầu q  q' p Kí hiệu :  ( p)  q Độ co giãn xác định rõ thu nhập tăng hay giảm giá tăng sau :  Nếu  ( p)  : Một lượng tăng nhỏ giá dẫn đến doanh thu tăng  Ta gọi đường cầu cố định  Nếu  ( p)  : Một lượng tăng nhỏ gi dẫn dến doanh thu giảm  Ta gọi đường cầu mềm dẻo Ví dụ 22 : Giả sử hm cầu : q D ( p)  K  K p C C p K , C số dương không đổi Độ mềm dẻo cầu là:  ( p)   q ' p  C.K p  C 1  C q K p C Độ mềm dẻo hàm cầu số  ( p)  C p Vì : Nếu C  : Đường cầu ổn định Nếu C  : Đường cầu mềm dẻo 47 Ta có cách khác để xác định tính mềm dẻo: Giả sử giá bán thay đổi lượng nhỏ p doanh số bán thay đổi lượng q Ta biết : q  q '.p Ta thay : q'  Ta có : q vào  ( p) p q p q' p   p q q q ( ) q  ( p)  p p  ( p)   Công thức cho biết cầu ổn định doanh thu tăng theo giá :  q p  q p Ví dụ 23 : Cho tập cầu : D  (q, p ) / q  p  30 Xác định điều kiện để có tính ổn định ? Giải : (D) : q D ( p )  30  p  q D ' ( p )  5 q ' p (5) p 5p  ( p)     q 30  p 30  p Để có tính ổn định  ( p)  5p 1 30  p  p  30  p  p3  II ĐẠO HÀM TRONG KINH TẾ II.1 Hiệu công ty nhỏ 48 Ta mô tả hoạt động cơng ty nhỏ thị trường cạnh tranh hồn hảo Thị trường cạnh tranh hoàn hảo thị trường trước hết phải có nhiều người mua nhiều người bán, phải có thơng tin hồn hảo điều kiện mua bán, phải có đồng sản phẩm phải dể dàng thay đổi đến thị trường thuận lợi cho việc mua bán Ap dụng đạo hàm ta xác định lượng sản xuất cơng ty nhỏ có hiệu giới hạn hàm chi phí C cơng ty giá thị trường p0 Mối quan hệ lượng sản xuất giá thị trường thể tập cung hình sau : p0 PL P0 q0 L q0 Hình : Tập cung cơng ty nhỏ Trong : p0 : giá thị trường, không bị ảnh hưởng mức sản xuất công ty q0 : lượng hàng hóa lợi nhuận đạt tối đa  Khi p0 tục xuống mức giá thấp pS cơng ty ngưng sãn xuất  Khi p0 tăng lên pS cơng ty bắt đầu sản xuất với mức sản lượng qS  Sản lượng sản xuất tăng lên giá tăng  Khi p0 tăng đến mức pL công ty sản xuất mức sản lượng qL 49 Giả sử công ty sản xuất lượng q giá thị trường p0 doanh thu : R (q )  q p0 Với hàm chi phí C (q) lợi nhuận cơng ty :  (q )  R (q )  C (q )  q p0  C (q ) Vì hiệu cơng ty nên cơng ty sản xuất với sản lượng : q  q0 Và :  (q)  max   ' (q)   p0  C ' (q0 )  Vậy công ty định sản xuất sản lượng q0 mức giá thị trường p0 xác định hàm : p0  C ' (q0 ) Bằng cách luận chứng đơn giản này, giải phần lớn vấn đề xác định tập cung II.2 Điểm bắt đầu điểm hòa vốn p qs qb q 50 Khi giá thị trường p, công ty phải sản xuất số lượng q thỏa : p  C ' (q ) Khi : Lợi nhuận từ q sản phẩm :  (q)  q p  C (q)  q.C ' (q)  C (q) Tại điểm bắt đầu sản xuất qS :  (qS )   (0)  qS C ' (qS )  C (qS )  C (0) Giá để bắt đầu sản xuất : pS  C ' ( qS ) C (qS )  C (0)  qS Lượng C (q)  C (0) : hiệu giá, gọi biến động giá Kí hiệu : VC Nếu chia cho q gọi trung bình biến động giá AVC AVC  C ' (q)  Ta có số tính chất sau : Tại điểm bắt đầu : Chi phí biên trung bình biến động giá MC  AVC Chứng minh : Ta có : dC  C ' (q) dq AVC  C ' (q )  MC  AVC MC  Tại điểm hòa vốn qb với  (qb )  : chi phí biên trung bình giá MC  AC Chứng minh : Ta có : AC  C (q ) q (1) Tại điểm hòa vốn :  (qb )   qb C ' (qb )  C (qb )  51  C ' (qb )  C (qb ) q Mà : MC  C ' (qb ) (2) Từ (1) (2)  MC  AC (đpcm) Tại điểm bắt đầu : đạo hàm trung bình biến động giá = Thật vậy, với mức giá thị trường p xác định Ta có : AVC  MC  p  C ' (q) ( AVC )'  p'   Tại điểm hòa vốn : đạo hàm trung bình giá = Tương tự ta có : AC  MC  p  C ' (q) ( AC )'  p '   Ví dụ 23 : Tìm mơ hình hiệu cho công ty nhỏ với hàm giá : C (q )  800  70q  12q  q Giải : Hàm lợi nhuận : C ' (q )  70  24q  3q  (q)  q.C ' (q )  C (q )  (q)  70q  24q  3q  800  70q  12q  q  (q)  2q  12q  800 Điểm bắt đầu :  (qS )   (0)    2q  12q  800  800 2q  12q  q  q   Vậy : Bắt đầu sản xuất q  giá bắt đầu p  C ' (q)  p  70  24    36  34 52 Điểm hòa vốn :  (qb )    2q  12q  800 q1  10 q  2  Vậy với mức giá hòa vồn p  C ' (q) Tại q  10  p  70  24 10  10  130 Ví dụ 24 : Giả sử cơng ty sản xuất sản phẩm / tuần với hàm chi phí : C (q )  100  20q  6q  q Xác định : a) Hàm lợi nhuận b) Điểm bắt đầu c) Điểm hòa vốn d) Tập cung Giải : a) Hàm lợi nhuận :  (q)  q.C ' (q)  C (q) Với : C ' (q )  20  12q  3q   (q )  20q  12q  3q  100  20q  6q  q  2q  6q  100 b) Điểm bắt đầu :  (qS )   (0)  2q  6q  q   q  Với giá bắt đầu pS  C ' (qS ) Tại q  pS  20  12     11 c) Điểm hòa vốn :  (qb )   2q  6q  100  53 q  1  q  Với pb  C ' (qb ) Tại q  pb  20  12    25  35 d) Tập cung : p  C ' (q ) pS  11 Giá bắt đầu : Giá tối đa : pL  C ' (q )  C ' (6)  56 Nếu  p0  11 : không sản xuất Nếu p0  11 : bắt đầu sản xuất với qS  Nếu 11  p  56 : Tăng số lượng sản xuất p0  C ' (q )  20  12q  3q  3q  12q  20  p0   (3 p0  24) Điều kiện :  q  q  (3 p0  24) 6    (3 p0  24)  18  3  11  p0  56 III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TỪNG PHẦN III.1 Hàm sản xuất : III.1.1 Khái niệm : Hàm sản xuất xác định mức sản lượng tối đa đạt từ đầu vào sản xuất Sản lượng đầu : số lượng sản phẩm q Các yếu tố đầu vào :  Lao động (L)  Đất đai (La)  Vốn (K)  Thuế (T)  Quãng cáo (A) Hàm sản xuất với nhiều biến đầu vào : Q  f ( L, La, K , T , , A) 54 III.1.2 Hàm sản xuất Cobb – Douglass : Dạng hàm đơn giản với hai yếu tố vốn (K) lao động (L) Q( K , L)  AK  L Trong : A,  ,  : số EK   , EL   : hệ số co giản Hàm Q( K , L) thay đổi K, L thay đổi Ap dụng đạo hàm xác định suất biên yếu tố : Q  AK  1 L K Q  AK  L 1 MPL  L MPK  Với hàm chi phí : TC  pK K  pL L Ta áp dụng đạo hàm để xác định mức sử dụng lao động vốn cho lợi nhuận đạt tối đa Ta có :   P  Q  ( p K K  p L L)  p  AK  L  ( p K K  pL L)   max   '     K       L  p  AK  1 L  pK    p  AK  L 1  p L   pK  MPK  p   pL  MPL  p Ví dụ 25 : Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 1 Q  K  L2 Với PK  , PL  , p  Xác định mức sử dụng vốn lao động để lợi nhuận tối đa ? Giải : 55 Ta có :   P  Q  ( PK K  PL L) 2   ( K  L )  (6 K  L )   max   '  1 MPK  p    K  PK  1 MPL  p    L  PL K 1 6  1 L 4 K 36 L 16  56 III.1.3 Hàm chi phí hai sản phẩm Hàm chi phí hai sản phẩm A B tổng hai hàm chi phí A chi phí B Ví dụ công ty sản xuất loại sản phẩm A sản phẩm B sau : C ( x)  500  x , x sản Sản phẩm A : phẩm A Sản phẩm B : C ( y )  200  100 y , y sản phẩm B Hàm chi phí hai sản phẩm A B : C ( x, y ) C ( x, y )  C ( x )  C ( y ) C ( x, y )  700  70 x  100 y Tính chi phí sản xuất để sản xuất 10 sản phẩm A sản phẩm B C (10,5)  700  70 10  100   1900 $ III.2 Hàm doanh thu hàm lợi nhuận hàng tuần Gọi p x giá số lượng sản phẩm A Gọi q y giá số lượng sản phẩm B p q xác định sau :  p  210  x  y  q  300  x  12 y III.2.1 Hàm doanh thu hàng tuần R( x, y )  p.x  q y Theo ví dụ R( x, y )  (210  x  y ).x  (300  x  12 y ) y R ( x, y )  210 x  300 y  x  xy  12 y Ap dụng xác định doanh thu mức 20 m sảnv phẩm A 10 m sản phẩm B Ta có : R (20,10)  4800 $ III.2.2 Hàm lợi nhuận hàng tuần 57 P ( x, y )  R ( x, y )  C ( x , y ) Theo ví dụ p ( x, y )  140 x  200 y  x  xy  12 y  700 p (20,10)  1700 $ 58 ... thường ấn định cho loại hàng hóa thi? ??t yếu thời kỳ khan Mức giá tối thi? ??u (giá sàn) _ PF : mức giá thấp mà nhà nước ấn định buộc người mua phải tuân thủ Mục tiêu giá tối thi? ??u hổ trợ người bán, thường...  Nếu dD D D M    dpi pi M p dD  hàng xét hàng thứ i hai dpi mặt hàng thay cho  Nếu dD  hàng dang xét hàng thứ i hai dpi mặt hàng bổ sung cho 33 I.2 Tỷ lệ thay đổi hàm cung hàm cầu... tiêu : bảo hộ hàng hóa nước, khuyến khích sức khẩu, thực hành tiết kiệm thơng qua sách thuế can thi? ??p giá Ví dụ : Hàm số cung cầu lúa mì Mỹ năm 80 sau : QS  1800  240 p QD  3550  266 p Trong