Convergence Conditions Of Solutions For Set Optimization Problems And Related Problems

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐINH VINH HIỂN ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TẬP VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Ngành: Toán ứng dụng Mã số ngành: 9460112 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ Tp Hồ Chí Minh - 2022 ✬ ✩ Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: HDC: GS.TS Lâm Quốc Anh HDP: PGS.TS Nguyễn Lê Hoàng Anh Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Định Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: PGS.TS Lê Thanh Tùng Phản biện độc lập 1: miễn phản biện độc lập Phản biện độc lập 2: miễn phản biện độc lập Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, vào lúc ngày tháng năm 2022 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM - Thư viện Đại học Quốc gia Tp.HCM - Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM ✫ ✪ Chương Kiến thức chuẩn bị Cho X, Y không gian định chuẩn C nón lồi, đóng, có đỉnh, thường Y với phần khác rỗng Ký hiệu P(Y) họ tập khác rỗng Y, với A ∈ Y, min(A) := {a ∈ A : A∩(a−C) = {a}}, wmin(A) := {a ∈ A : A∩(a−int C) = ∅}, max(A) := {a ∈ A : A ∩ (a + C) = {a}}, wmax(A) := {a ∈ A : A ∩ (a + int C) = ∅} 1.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.1.1 Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y gọi (a) nửa liên tục (usc) x0 nếu, với tập mở V Y với F (x0 ) ⊂ V, tồn lân cận U x0 cho F (U ) ⊂ V ; (b) nửa liên tục (lsc) x0 nếu, với tập mở V Y, với F (x0 ) ∩ V ̸= ∅, tồn lân cận U x0 cho F (x) ∩ V ̸= ∅ với x ∈ U ; (c) nửa liên tục Hausdorff (H-usc) x0 nếu, với lân cận Ω điểm gốc 0Y Y, tồn lân cận U x0 cho F (x) ⊂ F (x0 ) + Ω với x ∈ U ; (d) nửa liên tục Hausdorff (H-lsc) x0 nếu, với lân cận Ω điểm gốc 0Y Y, tồn lân cận U x0 cho F (x0 ) ⊂ F (x) + Ω với x ∈ U ; (e) liên tục (liên tục Hausdorff ) x0 vừa usc lsc (H-usc H-lsc) x0 Một ánh xạ thỏa mãn tính chất A thỏa tính chất điểm A Khi A không gian đó, ta bỏ qua cụm từ “trên A” phát biểu Mệnh đề 1.1.1 Cho F : X ⇒ Y, khẳng định sau đúng: (i) Nếu F usc (tương ứng lsc, H-usc, H-lsc) x ¯, αF usc (tương ứng lsc, H-usc, H-lsc) x ¯ với α ∈ R (ii) Nếu F usc, F H-usc (iii) Nếu F H-usc có giá trị compact, F usc (iv) Nếu F H-lsc, F lsc (v) Nếu F lsc có giá trị compact, F H-lsc (vi) Nếu F H-usc có giá trị đóng, F ánh xạ đóng 1.2 Quan hệ thứ tự tập Định nghĩa 1.2.1 Cho A, B ∈ P(Y) (a) Quan hệ thứ tự tập kiểu lower ≼l định nghĩa A ≼l B : ⇐⇒ B ⊂ A + C (b) Quan hệ thứ tự tập kiểu upper ≼u định nghĩa A ≼u B : ⇐⇒ A ⊂ B − C Tương tự, ta có quan hệ chặt ≺l ≺u sau: A ≺l B : ⇐⇒ B ⊂ A + int C A ≺u B : ⇐⇒ A ⊂ B − int C Quan hệ thứ tự tập ≼ quan hệ thứ tự tập chặt ≺ P(Y) định nghĩa sau: với A, B ∈ P(Y), A ≼ B : ⇐⇒ A ≼l B A ≼u B, A ≺ B : ⇐⇒ A ≺l B A ≺u B Nếu A ≼ B B ≼ A, ta nói A tương đương với B, ký hiệu A ∼ B Định nghĩa 1.2.2 Cho G tập P(Y) A ∈ G (a) A gọi phần tử tối tiểu G B ∈ G B ≼ A kéo theo A ≼ B (b) A gọi phần tử tối tiểu mạnh (lý tưởng) G A ≼ B với B ∈ G (c) A gọi phần tử tối tiểu yếu G B ∈ G B ≺ A kéo theo A ≺ B Ta ký hiệu họ phần tử tối tiểu, tối tiểu mạnh tối tiểu yếu G , tương ứng Min(G ), SMin(G ) WMin(G ) 1.3 Hội tụ Painlevé–Kuratowski Cho (M, d) không gian metric {An } dãy tập khác rỗng M Tập hợp điểm giới hạn điểm tụ {An } tương ứng định nghĩa Li An := x ∈ M : x = lim xn , xn ∈ An , n đủ lớn , n→∞ Ls An := x ∈ M : x = lim xs , xs ∈ Ans , {ns } dãy {n} s→∞ Định nghĩa 1.3.1 Cho A tập đóng M Một dãy tập khác rỗng {An } M gọi K (a) hội tụ Painlevé–Kuratowski đến A, ký hiệu An ⇀ A, Ls An ⊂ A; K (b) hội tụ Painlevé–Kuratowski đến A, ký hiệu An ⇁ A, A ⊂ Li An ; K (c) hội tụ Painlevé–Kuratowski đến A, ký hiệu An → A, vừa hội tụ hội tụ Painlevé–Kuratowski đến A 1.4 Hội tụ Hausdorff Cho x ∈ M, hai tập khác rỗng A B M, ta ký hiệu d(x, A) := inf d(x, a), e(A, B) := sup d(a, B) a∈A a∈A Định nghĩa 1.4.1 Một dãy tập khác rỗng {An } M H gọi hội tụ đến tập A theo nghĩa Hausdorff (ký hiệu An → A) e(An , A) → 0, e(A, An ) → Điều kiện e(An , A) → tương ứng với hội tụ Hausdorff (ký H hiệu An ⇀ A) e(A, An ) → hội tụ Hausdorff (ký H hiệu An ⇁ A) dãy tập An ⊂ Γ Mệnh đề 1.4.1 Cho {An } dãy tập hợp X A ∈ X Khi đó, khẳng định sau đúng: H (a) An ⇀ A với lân cận ∆ điểm gốc 0X X, An ⊂ A + ∆ n đủ lớn H (b) An ⇁ A với lân cận ∆ điểm gốc 0X X, A ⊂ An + ∆ n đủ lớn Mệnh đề 1.4.2 Cho {An } dãy tập hợp X A ∈ X Khi đó, khẳng định sau đúng: H K (a) Nếu A đóng An ⇀ A, An ⇀ A H K (b) Nếu An ⇁ A, An ⇁ A K Bổ đề 1.4.1 Cho A, B Yn tập đóng Y Nếu Yn → A H Yn → B, A = B 1.5 Mơ hình toán tối ưu tập Cho F : X ⇒ Y Γ tập khác rỗng X Chúng ta xét toán tối ưu tập sau (SOP) Minimize F (x) subject to x ∈ Γ Đặt FG := {F (x) : x ∈ G ∩ domF }, với G tập khác rỗng X Một phần tử x0 ∈ Γ gọi nghiệm hữu hiệu (tương ứng nghiệm yếu, nghiệm mạnh) toán (SOP) F (x0 ) phần tử tối tiểu (tương ứng tối tiểu yếu, tối tiểu mạnh) FΓ 1.6 Tính chất phần tử không gian ảnh Định lý 1.6.1 Cho Γ Γn (n = 1, 2, ) tập khác rỗng H X cho Γn ⇀ Γ Γ compact, khẳng định sau đúng: (a) Nếu F nửa liên tục Hausdorff với dãy {An } với An ∈ FΓn , tồn dãy {Ank } phần tử A FΓ H cho Ank ⇀ A (b) Nếu F nửa liên tục Hausdorff với dãy {An } với An ∈ FΓn , tồn dãy {Ank } phần tử A FΓ H cho Ank ⇁ A Định lý 1.6.2 Cho Γ Γn (n = 1, 2, ) tập khác rỗng H X cho Γn ⇀ Γ Γ compact, khẳng định sau đúng: (a) Nếu F nửa liên tục có giá trị đóng, với dãy {An } với An ∈ FΓn , tồn dãy {Ank } phần tử A K FΓ cho Ank ⇀ A (b) Nếu F nửa liên tục có giá trị compact, với dãy {An } với An ∈ FΓn , tồn dãy {Ank } phần tử A K FΓ cho Ank ⇁ A (c) Nếu F liên tục có giá trị compact, với dãy {An } với An ∈ FΓn , tồn dãy {Ank } phần tử A FΓ K cho Ank → A Chương Điều kiện ổn định nghiệm yếu nghiệm mạnh toán tối ưu tập 2.1 Mục tiêu Chương nghiên cứu điều kiện ổn định nghiệm yếu nghiệm mạnh không gian ảnh toán tối ưu tập theo nghĩa hội tụ Painlevé–Kuratowski Hausdorff Các kết thu ứng dụng vào việc xét tính ổn định mơ hình kinh tế học phúc lợi 2.2 Ổn định Định lý 2.2.1 Cho {Γn } dãy tập khác rỗng X Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: K (i) Γn ⇁ Γ; (ii) F liên tục Hausdorff có giá trị compact H Nếu An ∈ WMin(FΓn ) với n An → A, với A ∈ FΓ , A ∈ WMin(FΓ ) Hệ 2.2.1 Cho {Γn } dãy tập khác rỗng X Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Γ compact; K H (ii) Γn ⇀ Γ Γn ⇁ Γ; (iii) F liên tục Hausdorff có giá trị compact Khi dó, với dãy {An } với An ∈ WMin(FΓn ), tồn dãy H {Ank } {An } cho Ank → A với A ∈ WMin(FΓ ) Định lý 2.2.2 Cho {Γn } dãy tập khác rỗng X Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: K (i) Γn ⇁ Γ; (ii) F liên tục Hausdorff có giá trị compact H Nếu An ∈ SMin(FΓn ) với n An → A, với A ∈ FΓ , A ∈ SMin(FΓ ) Hệ 2.2.2 Cho {Γn } dãy tập khác rỗng X Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Γ compact; H K (ii) Γn ⇀ Γ Γn ⇁ Γ; (iii) F liên tục Hausdorff có giá trị compact Khi đó, với dãy {An } với An ∈ SMin(FΓn ), tồn dãy H {Ank } {An } cho Ank → A với A ∈ SMin(FΓ ) 2.3 Ổn định Với ε ∈ int C, ta định nghĩa quan hệ tựa thứ tự xấp xỉ ≼ε A ≼ε B ⇐⇒ A ⊂ B − C − ε B ⊂ A + C + ε Định nghĩa 2.3.1 Cho G tập P(Y), A ∈ G , ε ∈ int C A gọi phần tử ε-tối tiểu (tối tiểu xấp xỉ ) G B ∈ G B ≼ε A kéo theo A ≼ε B Ta ký hiệu họ phần tử ε-tối tiểu G Minε (G ) Định lý 2.3.1 Cho {Γn } dãy tập khác rỗng X Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Γ compact; H K (ii) Γn ⇀ Γ Γn ⇁ Γ; (iii) F liên tục Hausdorff có giá trị compact Khi đó, với A ∈ WMin(FΓ ), tồn dãy {εn } ⊂ int C với εn → 0Y dãy {An } cho An ∈ Minεn (FΓn ) với n H An → A Định lý 2.3.2 Cho {Γn } dãy tập khác rỗng X Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Γ compact; H K (ii) Γn ⇀ Γ Γn ⇁ Γ; (iii) F liên tục Hausdorff có giá trị compact Nếu A ∈ SMin(FΓ ) SMin(FΓn ) ̸= ∅ với n, tồn dãy {Wnj } tập W ∈ SMin(FΓ ) cho W ∼ A, Wnj ∈ H SMin(FΓnj ) Wnj → W 2.4 Ứng dụng vào Kinh tế học phúc lợi Cho n, m ∈ N∗ , giả sử kinh tế gồm n khách hàng với tập tiêu dùng CS i ⊂ R, (i = 1, · · · , n), m nhà cung cấp với tập sản xuất P S j ⊂ R, (j = 1, · · · , m) tập tồn kho ban đầu W ⊂ R Các kế hoạch tiêu dùng chiến lược sản xuất ký hiệu y ∈ (y1 , · · · , yn ) ∈ CS × · · · × CS n v = (v1 , · · · , vm ) ∈ P S × · · · × P S m , tương ứng Giả sử với i = 1, · · · , n, tập tiêu dùng CSi đóng Với người tiêu dùng i, ánh xạ thỏa dụng Li : Rn ⇒ R xác định Li (y) = (−∞, yi ), với y = (y1 , · · · , yn ) Ta giả sử Li ̸= ∅ với số i ∈ {1, · · · , n} Ánh xạ tập mức L : Rn ⇒ Rn (b) C-lồi chặt D nếu, với x1 , x2 ∈ D với x1 ̸= x2 với t ∈ (0, 1), F (tx1 + (1 − t)x2 ) ⊂ tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) − int C; (c) C-lồi chặt D vừa C-lồi chặt C-lồi chặt D Định lý 3.2.1 Cho Γn tập lồi khác rỗng X Với toán (SOP), giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Γ compact lồi; H (ii) Γn → Γ; (iii) F liên tục, C-lồi chặt với giá trị compact lồi Khi đó, với dãy {An } với An ∈ Min(FΓn ), tồn dãy K {Ank } cho Ank → A, với A ∈ Min(FΓ ) Định nghĩa 3.2.2 Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y gọi có tính chất ngược (converse property) x0 x ˆ0 ∈ X nếu, F (ˆ x0 ) ̸≼ F (x0 ) với dãy {xn }, {ˆ xn } X với xn → x0 , x ˆn → x ˆ0 , tồn n0 ∈ N cho F (ˆ xn0 ) ≼ F (xn0 ) Định lý 3.2.2 Cho {Γn } dãy tập khác rỗng X Với toán (SOP), giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Γ compact; H K (ii) Γn ⇀ Γ Γn ⇁ Γ; (iii) F liên tục có giá trị compact; (iv) F có tính chất ngược x ∈ Γ y ∈ Γ, y ̸= x Khi đó, dãy {An } Min(FΓn ) có dãy {Ank } cho K Ank → A, với A ∈ Min(FΓ ) 11 3.2.2 Ổn định Cho G họ P(Y), ta ký hiệu tập mức G G∈G SG (G) := {A ∈ G : A ≼ G} Định nghĩa 3.2.3 Ta nói G ⊂ P(Y) có tính chất trội nếu, với A ∈ G tồn B ∈ Min(G ) cho B ≼ A Định lý 3.2.3 Cho Γn tập khác rỗng X Với toán (SOP), giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) Γ compact; H (ii) Γn → Γ; (iii) F liên tục có giá trị compact; (iv) FΓn có tính chất trội với n Nếu B ∈ Min(FΓ ), tồn dãy {Bj } tập D ∈ Min(FΓ ) K cho D ∼ B, Bj ∈ Min(FΓj ) Bj → D Định nghĩa 3.2.4 Một ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y gọi compact theo nghĩa Painlevé-Kuratowski (K-lower compact) với K dãy {Γn }, Γn ⇁ Γ, {Wn }, Wn ∈ FΓn , tồn dãy {Wnj } K {Wn } thỏa mãn Wnj ⇁ W ∈ FΓ cl j∈N Wnj compact Định lý 3.2.4 Cho {Γn } dãy tập khác rỗng X Với toán (SOP), giả sử giả thiết sau thỏa mãn: K (i) Γn ⇁ Γ; (ii) FΓn có tính chất trội với n; (iii) F compact theo nghĩa Painlevé-Kuratowski; (iv) F liên tục có giá trị compact Nếu H ∈ Min(FΓ ), tồn dãy {Hj } tập D ∈ Min(FΓ ) K cho D ∼ H, Hj ∈ Min(FΓj ) Hj ⇁ D 12 3.3 Ứng dụng Chúng xét điều kiện ổn định nghiệm hữu hiệu cho mơ hình Kinh tế học phúc lợi (WEP) nêu mục 2.4 Hệ 3.3.1 Cho Wi , SPij (i ∈ N, j = 1, · · · , m) tập lồi j m+1 Với toán (WEP), khác rỗng R, Si := ( m j=1 P Si )×Wi ⊂ R giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) W, SP j compact lồi với j = 1, · · · , m; H H (ii) Wi → W SPij → SP j với j = 1, · · · , m; ˆ (iii) Fˆ liên tục, C-lồi chặt với giá trị compact lồi Khi đó, với dãy {Ai } với Ai ∈ Min(FˆSi ), tồn dãy K {Ai } cho Ai → A, với A ∈ Min(FˆS ) k k Hệ 3.3.2 Cho Wi , SPij (i ∈ N, j = 1, · · · , m) dãy j m+1 Với tập lồi khác rỗng R, Si := ( m j=1 P Si ) × Wi ⊂ R tốn (WEP), giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (i) W, SP j compact với j = 1, · · · , m; H H K K (ii) Wi ⇀ W SPij ⇀ SP j với j = 1, · · · , m; (iii) Wi ⇁ W SPij ⇁ SP j , j = 1, · · · , m; (iv) Fˆ liên tục có giá trị compact; (v) Fˆ có tính chất ngược x ∈ S y ∈ S, y ̸= x Khi đó, dãy {Ai } Min(FˆSi ) có dãy {Aik } cho K Ai → A, với A ∈ Min(FˆS ) k 13 Chương Tính đặt chỉnh tốn tối ưu vectơ không chắn 4.1 Mục tiêu Chương nghiên cứu tính đặt chỉnh tốn tối ưu không chắn dạng lạc quan (optimistic) Trước hết, chúng tơi xét mối quan hệ tính đặt chỉnh tốn với tốn tối ưu vơ hướng tương ứng Sau đó, điều kiện đủ đặc trưng tính đặt chỉnh tốn tối ưu khơng chắn thiết lập 4.2 Bài tốn tối ưu vectơ không chắn P(U) Cho K tập đóng, khác rỗng X, U ⊂ Rm tập không chắn kịch xảy f : X × U → Y ánh xạ có giá trị vectơ Một tốn tối ưu vectơ khơng chắn P(U) cho họ {P(ξ) : ξ ∈ U} toán tối ưu vectơ P(ξ) f (x, ξ) subject to x ∈ K Dạng lạc quan tốn P(U) tốn cực tiểu hóa hàm mục tiêu ứng với kịch tốt 14 Định nghĩa 4.2.1 Cho tốn tối ưu vectơ khơng chắn P(U), phần tử x ¯ ∈ K gọi nghiệm hữu hiệu lạc quan (optimistic efficient solution) ¯ với x ∈ K] kéo theo [ ∀ξ¯ ∈ U, ∃ξ ∈ U : f (x, ξ) ≤C f (¯ x, ξ) ¯ ≤C f (x, ξ)] [ ∀ξ ∈ U, ∃ξ¯ ∈ U : f (¯ x, ξ) Ký hiệu Sol tập nghiệm hữu hiệu lạc quan toán P(U) 4.3 Quan hệ tính đặt chỉnh tốn P(U) lạc quan tốn tối ưu vơ hướng 4.3.1 Khái niệm đặt chỉnh toán P(U) lạc quan tốn tối ưu vơ hướng Định nghĩa 4.3.1 Cho p ∈ int C Một dãy {xn } ⊂ K gọi (a) p-cực tiểu toán P(U) s ∈ Sol tồn dãy {εn } ⊂ R+ , εn → 0, cho ∀η ∈ U, ∃ξ ∈ U, f (xn , ξ) ≤C f (s, η) + εn p; (b) p-cực tiểu suy rộng toán P(U) tồn dãy {εn } ⊂ R+ , εn → 0, dãy {sn } ⊂ Sol cho ∀η ∈ U, ∃ξ ∈ U, f (xn , ξ) ≤C f (sn , η) + εn p Định nghĩa 4.3.2 Cho p ∈ int C Một tốn tối ưu khơng chắn dạng lạc quan P(U) gọi (a) p-đặt chỉnh s ∈ Sol với dãy p-cực tiểu {xn } s ta có xn → s; (b) p-đặt chỉnh suy rộng với dãy p-cực tiểu suy rộng {xn } có dãy {xnk } hội tụ điểm x ¯ ∈ Sol Cho µ : K ⊂ X → R, xét tốn tối ưu vơ hướng OP(K, µ) µ(x) subject to x ∈ K 15 Định nghĩa 4.3.3 Bài tốn tối ưu OP(K, µ) gọi (a) đặt chỉnh Tykhonov, có nghiệm x ¯ ∈ K dãy cực tiểu {xn }, theo nghĩa µ(xn ) → inf µ, hội tụ đến x ¯; (b) đặt chỉnh Tykhonov suy rộng, tập nghiệm khác rỗng dãy cực tiểu {xn } có dãy hội tụ điểm cực tiểu 4.3.2 Mối quan hệ tính đặt chỉnh toán P(U) lạc quan toán tối ưu vô hướng tương ứng Định nghĩa 4.3.4 Ánh xạ h : X → Y gọi (a) C-nửa liên tục (C-l.s.c) x ¯ với lân cận V h(¯ x), tồn lân cận N x ¯ cho ∀x ∈ N, h(x) ∈ V + C; (b) C-nửa liên tục (C-u.s.c) x ¯ (−h) C-l.s.c x ¯; (c) C-bị chặn tập A X với lân cận V điểm gốc Y, tồn t > cho h(A) ⊂ tV + C; (d) C-bị chặn trên tập A X (−C)-bị chặn A Định nghĩa 4.3.5 Cho x0 ∈ X Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y gọi (a) C-nửa liên tục (C-usc) x0 với tập mở V chứa F (x0 ), tồn lân cận U x0 cho ∀x ∈ U, F (x) ⊂ V +C; (b) C-nửa liên tục (C-lsc) x0 với tập mở V Y với F (x0 ) ∩ V ̸= ∅, tồn lân cận U x0 cho ∀x ∈ U, F (x) ∩ (V − C) ̸= ∅; (c) C-liên tục x0 vừa C-usc C-lsc x0 Định nghĩa 4.3.6 Cho trước e ∈ − int C, hàm Gerstewitz suy rộng Ge : P(Y)2 → R định nghĩa sau Ge (A, B) := sup inf{t ∈ R : b ∈ te + A + C} for A, B ∈ P(Y) b∈B 16 Định lý 4.3.1 Cho p ∈ int C e = −p Giả sử s ∈ Sol, U compact, f C-bị chặn K × U, f (x, ·) C-l.s.c U với x ∈ K Khi đó, tốn P(U) lạc quan p-đặt chỉnh s toán OP (K, Ge (f (·, U), f (s, U))) đặt chỉnh Tykhonov Định lý 4.3.2 Cho p ∈ int C e = −p Giả sử U compact, f C-bị chặn K × U, f (x, ·) C-l.s.c U với x ∈ K Khi đó, tốn P(U) lạc quan p-đặt chỉnh suy rộng toán OP (K, inf s∈Sol Ge (f (·, U), f (s, U))) đặt chỉnh Tykhonov suy rộng Sol tập compact 4.4 Điều kiện đủ đặc trưng cho tính đặt chỉnh toán P(U) dạng lạc quan Định lý 4.4.1 Cho p ∈ int C, giả sử (i) K U compact; (ii) f C-l.s.c C-bị chặn K × U, C-u.s.c theo biến thứ K Khi đó, tốn P(U) lạc quan p-đặt chỉnh suy rộng Sol đóng Hơn nữa, Sol = {s}, toán P(U) lạc quan p-đặt chỉnh s Định nghĩa 4.4.1 Cho T ⊂ R+ tập chứa Một hàm c : T → R+ gọi cưỡng c(t) ≥ 0, c(0) = 0, [tn ∈ T, c(tn ) → 0] =⇒ [tnk → với {tnk } dãy {tn }] Định lý 4.4.2 Cho p ∈ int C, e = −p Giả sử U compact, f C-bị chặn K × U, f (x, ·) C-l.s.c U với x ∈ K Khi đó, khẳng định sau (a) Bài tốn P(U) lạc quan p-đặt chỉnh suy rộng Sol khác rỗng compact, với điểm cho trước x ∈ K, tồn hàm cưỡng c cho với s ∈ Sol, f (s, U) ∩ {Y \ [f (x, U) + c(d(x, Sol))e + int C]} = ̸ ∅ (b) Bài toán P(U) lạc quan p-đặt chỉnh s ∈ Sol với x ∈ K, tồn hàm cưỡng c thỏa mãn f (s, U) ∩ {Y \ [f (x, U) + c(d(x, s))e + int C]} = ̸ ∅ 17 Chương Điều kiện ổn định toán tựa cân vectơ tham số với nón phụ thuộc biến 5.1 Mục tiêu Trong chương này, chúng tơi xét tốn tựa cân vectơ tham số với nón phụ thuộc biến, trước hết điều kiện ổn định thông qua việc khảo sát tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm, sau tính đặt chỉnh tốn cuối số ứng dụng 5.2 Mơ hình tốn Cho A tập đóng khác rỗng X C : A ⇒ Y, với C(x) nón lồi, đóng, có đỉnh, thường, có phần khác rỗng ∀x ∈ A Cho T không gian định chuẩn, Λ không gian mêtric, P ⊂ T tập đóng khác rỗng, K : A × Λ ⇒ A, T : A × Λ ⇒ P ánh xạ đa trị, f : A × A × P → Y ánh xạ có giá trị vectơ Với λ ∈ Λ, ta xét toán tựa cân vectơ (WQEP) Tìm x ¯ ∈ K(¯ x, λ) cho, tồn t¯ ∈ T (¯ x, λ), f (¯ x, y, t¯) ∈ Y \ −intC(¯ x), 18 ∀y ∈ K(¯ x, λ) (SQEP) Tìm x ¯ ∈ K(¯ x, λ) cho, tồn t¯ ∈ T (¯ x, λ), f (¯ x, y, t¯) ∈ C(¯ x), ∀y ∈ K(¯ x, λ) Với λ ∈ Λ, ta định nghĩa tập nghiệm (WQEP), (SQEP): S w (λ) := {x ∈ E(λ) : ∃t ∈ T (x, λ), f (x, y, t) ∈ Y \ −intC(x), ∀y ∈ K(x, λ)}, S s (λ) := {x ∈ E(λ) : ∃t ∈ T (x, λ), f (x, y, t) ∈ C(x), ∀y ∈ K(x, λ)}, với E(λ) = {x ∈ A : x ∈ K(x, λ)} 5.3 Tính ổn định tốn tựa cân vectơ tham số 5.3.1 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm Định nghĩa 5.3.1 Cho (t¯, x ¯) ∈ T × X, ánh xạ có giá trị vectơ f : T × X → Y gọi (a) C-nửa liên tục (C-u.s.c) (t¯, x ¯) nếu, với lân cận V 0Y Y, tồn lân cận U (t¯, x ¯) cho, ∀(t, x) ∈ U , f (t, x) ∈ f (t¯, x ¯) + V − C(t¯); (b) C-nửa liên tục (C-l.s.c) nếu, −f C-nửa liên tục trên; (c) C-liên tục (t¯, x ¯) vừa C-u.s.c C-l.s.c (t¯, x ¯) Định lý 5.3.1 Giả sử (i) T usc có giá trị compact A × Λ; (ii) hai điều kiện sau thỏa mãn (ii1 ) E usc, có giá trị compact Λ, K lsc A × Λ; (ii2 ) K liên tục, có giá trị đóng A × Λ, A compact; (iii) f C-u.s.c A × A × P Khi đó, khẳng định sau (a) Nếu Y \ intC H-usc A S w usc có giá trị compact Λ (b) Nếu C H-usc A S s usc có giá trị compact Λ 19 5.3.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm Định nghĩa 5.3.2 Cho h : X → Y, G : X ⇒ Y với giá trị nón có phần khác rỗng, D tập lồi X Ta nói (a) h G-tựa lõm D với y ∈ Y, x1 , x2 ∈ D, θ ∈ [0, 1], h(x1 ) ∈ y + G(x1 ), h(x2 ) ∈ y + G(x2 ) kéo theo h(xθ ) ∈ y + G(xθ ); (b) h G-tựa lõm chặt D với y ∈ Y, x1 , x2 ∈ D, x1 ̸= x2 , θ ∈ (0, 1), h(x1 ) ∈ y+G(x1 ), h(x2 ) ∈ y+G(x2 ) kéo theo h(xθ ) ∈ y+int G(xθ ), xθ = θx1 + (1 − θ)x2 Định lý 5.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) E liên tục có giá trị compact-lồi Λ; (ii) T liên tục, có giá trị compact A × Λ T (·, λ) lồi ∀λ ∈ Λ; (iii) K liên tục, có giá trị compact Λ K(·, λ) lõm ∀λ ∈ Λ; (iv) C Y \ intC H-usc A; (v) f C-liên tục A × A × P Khi đó, khẳng định sau (a) Nếu f Y \ (− int C)-tựa lõm chặt A × A × P S w H-liên tục có giá trị compact Λ (b) Nếu f C-tựa lõm chặt A × A × P S s H-liên tục có giá trị compact Λ 5.4 Tính đặt chỉnh tốn tựa cân vectơ tham số Cho e : A → Y ánh xạ liên tục cho, với x ∈ A, e(x) ∈ int C(x) Với λ ∈ Λ, ε ≥ 0, ta đặt S w (λ, ε) := {x ∈ E(λ) : ∃t ∈ T (x, λ), f (x, y, t) + εe(x) ∈ / −intC(x), ∀y ∈ K(x, λ) S s (λ, ε) := {x ∈ E(λ) : ∃t ∈ T (x, λ), f (x, y, t) + εe(x) ∈ C(x), ∀y ∈ K(x, λ)} 20 Định nghĩa 5.4.1 Cho λ ∈ Λ {λn } ⊂ Λ dãy hội tụ đến λ Một dãy {xn }, xn ∈ K(xn , λn ), gọi dãy xấp xỉ toán (WQEP) ((SQEP), tương ứng) {λn }, tồn dãy {εn } ⊂ R+ , với εn → cho với n ∈ N tồn tn ∈ T (xn , λn ), f (xn , y, tn ) + εn e(xn ) ∈ Y \ −intC(xn ), ∀y ∈ K(xn , λn ) (f (xn , y, tn ) + εn e(xn ) ∈ C(xn ), ∀y ∈ K(xn , λn ), tương ứng) Định nghĩa 5.4.2 Bài toán (WQEP) ((SQEP), tương ứng) gọi đặt chỉnh, với λ ∈ Λ, (a) (WQEP) ((SQEP), tương ứng) có nghiệm; (b) với dãy {λn } ⊂ Λ hội tụ đến λ, dãy xấp xỉ {xn } (WQEP) ((SQEP), tương ứng) {λn } có dãy hội tụ đến phần tử S w (λ) (S s (λ), tương ứng) Định nghĩa 5.4.3 Bài toán (WQEP) ((SQEP), tương ứng) gọi đặt chỉnh Hadamard suy rộng nếu, với λ ∈ Λ, (a) (WQEP) ((SQEP), tương ứng) có nghiệm; (b) với dãy {λn } ⊂ Λ hội tụ đến λ xn thuộc S w (λn ) (S s (λn ), tương ứng), {xn } có dãy hội tụ đến điểm S w (λ) (S s (λ), tương ứng) Định lý 5.4.1 (a) Nếu điều kiện Định lý 5.3.1(a) thỏa mãn, tốn (WQEP) đặt chỉnh đặt chỉnh Hadamard suy rộng (b) Nếu điều kiện Định lý 5.3.1(b) thỏa mãn, tốn (SQEP) đặt chỉnh đặt chỉnh Hadamard suy rộng Định nghĩa 5.4.4 Bài toán (WQEP) ((SQEP), tương ứng) gọi đặt chỉnh nếu, với λ ∈ Λ, (a) tập nghiệm S w (λ) (S s (λ), tương ứng) có phần tử; (b) dãy xấp xỉ (WQEP) ((SQEP), tương ứng) hội tụ đến nghiệm Định nghĩa 5.4.5 Bài toán (WQEP) ((SQEP), tương ứng) gọi đặt chỉnh Hadamard nếu, với λ ∈ Λ, 21 (a) tập nghiệm S w (λ) (S s (λ), tương ứng) có phần tử; (b) với dãy {λn } ⊂ Λ hội tụ đến λ xn thuộc S w (λn ) (S s (λn ), tương ứng), {xn } hội tụ đến nghiệm Định lý 5.4.2 (a) Nếu điều kiện Định lý 5.3.1(a) thỏa mãn, với λ ∈ Λ, tốn (WQEP) có nghiệm nhất, (WQEP) đặt chỉnh đặt chỉnh Hadamard (b) Nếu điều kiện Định lý 5.3.1(b) thỏa mãn, với λ ∈ Λ, toán (SQEP) có nghiệm nhất, (SQEP) đặt chỉnh đặt chỉnh Hadamard 5.5 5.5.1 Các ứng dụng Bài tốn mạng giao thơng (TNP) Giả sử cặp điểm đầu-cuối mạng giao thông Wj , j = 1, , l, nối với tập đường Pj gồm rj đường, rj ≥ Ta ký hiệu vectơ lưu lượng F = (F1 , , Fm ), với m = r1 + .+rl Giới hạn lưu lượng xác định A := {F ∈ Rm : ≤ γs ≤ Fs ≤ Γs , s = 1, , m} Ta ký hiệu vectơ chi phí Σ(F ) = (Σ1 (F ), , Σm (F )), với Σs (F ) chi phí di chuyển ứng với lưu lượng Fs , s = 1, , m Một vectơ lưu lượng H gọi cân bằng, ∀Wj , ∀p, s ∈ Pj , [Σp (H) < Σs (H)] =⇒ [Hs = γs or Hp = Γp ] Xét toán tác động tham số nhiễu λ thuộc không gian định chuẩn Λ Ta ký hiệu vectơ nhu cầu ρ = (ρ1 , , ρl ), với ρj nhu cầu lại cặp đầu-cuối Wj Tập lưu lượng chấp nhận K(H, λ) = {F ∈ A : ψF = ρ(H, λ)}, với ψ = {ψjs }, j = 1, , l; s = 1, , m 1, s ∈ Pj , ψjs = 0, s ∈ / Pj , Giả sử chi phí di chuyển phụ thuộc vào λ, Σs (F, λ), s = 1, , m Bổ đề 5.5.1 Một vectơ lưu lượng H ∈ K(H, λ) lưu lượng cân nghiệm tốn tựa bất đẳng thức biến phân 22 (QVI) Tìm H ∈ K(H, λ) cho, với F ∈ K(H, λ), ⟨Σ(H, λ), F − H⟩ ≥ Bằng cách đặt f (H, F, λ) = ⟨Σ(H, λ), F − H⟩, (WQEP) ′ (SQEP) trở thành (QVI) Đặt E (λ) = {H ∈ A : H ∈ K(H, λ)} ′ Hệ 5.5.1 Nếu E lsc, ρ, Σ liên tục, K(·, λ) lõm với λ ∈ Λ, với F ∈ A, hàm (H, λ) → ⟨Σ(H, λ), F − H⟩ R+ -tựa lõm chặt A × Λ, ánh xạ nghiệm toán (TNP) H-liên tục Hệ 5.5.2 Nếu ρ Σ liên tục, họ tốn mạng giao thông chứa tham số đặt chỉnh đặt chỉnh Hadamard suy rộng Hơn nữa, (QVI) có nghiệm nhất, tốn đặt chỉnh đặt chỉnh Hadamard 5.5.2 Bài toán cân bị chặn hai phía Cho K : P ⇒ A, f : A × A × P → R, α, β ∈ R+ , α < β, cố định Với λ ∈ P , ta xét toán cân bị chặn hai phía (BEP) Tìm x ¯ ∈ K(λ) cho, với y ∈ K(λ), α ≤ f (¯ x, y, λ) ≤ β Bằng cách đặt C(x) ≡ R2+ f (x, y, λ) = (f (x, y, λ)−α; β − f (x, y, λ)), (SQEP) thu (BEP) Hệ 5.5.3 Giả sử, (i) K liên tục có giá trị compact-lồi P ; (ii) f liên tục A × A × P ; (iii) f R2+ -tựa lõm chặt A × A × P Khi ánh xạ nghiệm (BEP) H-liên tục Hệ 5.5.4 Giả sử, (i) K liên tục có giá trị compact P ; (ii) f liên tục A × A × P Khi tốn (BEP) đặt chỉnh đặt chỉnh Hadamard suy rộng Hơn nữa, tập nghiệm có phần tử tốn đặt chỉnh đặt chỉnh Hadamard 23 Kết luận Mục tiêu luận án nghiên cứu điều kiện hội tụ nghiệm cho toán tối ưu tập toán tựa cân vectơ với hai cách tiếp cận nhiễu toán tham số dãy tập chấp nhận Cụ thể vấn đề bao gồm: Nghiên cứu điều kiện ổn định toán tối ưu tập cách nhiễu toán dãy tập chấp nhận xét hội tụ nghiệm không gian ảnh theo nghĩa Painlevé–Kuratowski Hausdorff Đặc biệt, nghiệm hữu hiệu, luận án thu kết hội tụ trường hợp nghiệm hữu hiệu không trùng với nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu mạnh cách sử dụng tính chất ngược ánh xạ đa trị Khảo sát tính đặt chỉnh tốn tối ưu vectơ khơng chắn dạng lạc quan, mối quan hệ tính đặt chỉnh toán với toán tối ưu vô hướng Thiết lập điều kiện ổn định tốn tựa cân vectơ với nón phụ thuộc biến thơng qua việc nhiễu tốn tham số Các kết đạt luận án cải tiến kết có tài liệu khác 24 Danh sách báo liên quan đến luận án Anh, L.Q., Duy, T.Q., Hien, D.V., Kuroiwa, D., Petrot, N (2020) Convergence of solutions to set optimization problems with the set less order relation Journal of Optimization Theory and Applications 185(2), 416–432 Anh, L.Q., Duy, T.Q., Hien, D.V (2020) Stability of efficient solutions to set optimization problems Journal of Global Optimization 78(3), 563–580 Anh, L.Q, Duy, T.Q, Hien, D.V (2020) Well-posedness for the optimistic counterpart of uncertain vector optimization problems Annals of Operations Research 295(2), 517–533 Anh, L.Q., Duy, T.Q., Hien, D.V (2019) Stability for parametric vector quasi-equilibrium problems with variable cones Numerical Functional Analysis and Optimization 40(4), 461–483 Anh, L.Q., Hien, D.V (2016) On well-posedness for parametric vector quasiequilibrium problems with moving cones Applications of Mathematics 61(6), 651–668 ... D.V., Kuroiwa, D., Petrot, N (2020) Convergence of solutions to set optimization problems with the set less order relation Journal of Optimization Theory and Applications 185(2), 416–432 Anh,... Stability of efficient solutions to set optimization problems Journal of Global Optimization 78(3), 563–580 Anh, L.Q, Duy, T.Q, Hien, D.V (2020) Well-posedness for the optimistic counterpart of uncertain... uncertain vector optimization problems Annals of Operations Research 295(2), 517–533 Anh, L.Q., Duy, T.Q., Hien, D.V (2019) Stability for parametric vector quasi-equilibrium problems with variable