Tài liệu ôn toán lớp 12

1 PHẦN :HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VẤN ĐỀ I : KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC TRONG KHƠNG GIAN A KHOẢNG CÁCH ⊥ thẳng a không gian độ dài đọan thẳng 1) Khoảng cách từ điểm M đến đường ∈ MH, MH a với Ha ⊥ (P) độ dài đọan MH, MH (P) với 2) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ∈ H(P) 3) Nếu đường thẳng a // (P) khỏang cách từ a đến (P) khỏang cách từ điểm M a đến (P) 4) Nếu hai mặt phẳng song song khỏang cách chúng khỏang cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 5) Hai đường thẳng chéo a b luôn ∆ có đường thẳng chung Nếu cắt a b A B độ dài đọan thẳng AB gọi khỏang cách a b chéo nói Muốn tìm khỏang cách hai đường thẳng chéo người ta cịn có thể: a) Tính độ dài đoạn vng góc chung b) Hoặc tìm khỏang cách từ đường thẳng thứ đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ c) Hoặc tìm khỏang cách hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với B GĨC 1) Góc hai đường thẳng ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ) khơng gian góc hai đường thẳng qua điểm tùy ý không gian song song với hai đường thẳng cho 2) Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu vng góc mặt phẳng 3) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng VẤN ĐỀ II : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc Thể tích khối lập phương V = a3 Thể tích khối lăng trụ V = B.h Thể tích khối chóp V = B.h ( a, b, c kích thước) ( B diện tích đáy ) Chú ý : Tỉ số thể tích S I’ C’ A’ B’ I C A B VẤN ĐỀ III : DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = ( R: 2.π R.l bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) Thể tích khối trụ: V = ( h : độ dài đường π R h cao ) Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = Thể tích khối nón: V = Diện tích mặt cầu: S = Thể tích khối cầu: V = Phần II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ π R.l π R h 4.π R π R 3 TRONG KHÔNG GIAN I Tọa độ điểm véctơ :  Tọa độ điểm: uuuu r r r u r M ( x;y;z ) ⇔ OM = xi + y j + zk  Tọa độ véctơ : r r r r u r a = ( a1 ;a ;a ) ⇔ a = a1 i + a j + a k CÔNG THỨC : Cho A ( x Ar; y A ; z A ) , B ( xB ; ryB ; z B ) , C ( xC ; yC ; ZC ) a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) uuu r Toạ độ véc tơ : AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) r r Tổng – Hiệu hai véc tơ : a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r Nhân k a = ( ka ; ka ; ka ) r r số với véc tơ :  a = kb ; k ∈ R Điều kiện hai véc  a1 = b1 r r tơ :  a1:a : a 3r= b1:br2 : b3 a = b ⇔ a2 = b2 Điều kiện hai véc  a a a a/ / b ⇔ a = b tơ phương :  = =  3  b1 b b3  r r  r a, b =    ta có: uuu r uuur ⇔ AB // AC Điều kiện ba điểm thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước ( ≠ k ) uuur ⇔ uuur ĐN : Điểm M gọi chia đoạn AB MA = k MB theo tỉ số k Khi đó: xM = x1 − kx2 y − ky2 z − kz2 ; yM = ; zM = 1− k 1− k 1− k x + xB y +y z +z xI = A ; yI = A B ; zI = A B 2 Toạ độ trung điểm I đoạn AB : Toạ độ điểm M’ đối xứng với  xM ' = xI − xM điểm M qua điểm I :  y = y − y  M' I M  z = z x−A z+ xB + xC y + y B + yC z +z +z M  M ' xG =I ; yG = A ; zG = A B C 3 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC : xK = x A + xB + xC + xD y + yB + yC + yd z + z + z + zD ; yK = A ; zk = A B C 4 10 Toạ độ trọng tâm K tứ diện ABCD : rr a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 11 Tích vơ hướng hai véc tơ : r a = a12 + a22 + a32 12 Độ dài véc tơ : 13 Độ dài đoạn thẳng ( Khoảng cách hai điểm AB ) : uuu r AB = AB = hai véc tơ : ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) rr r r ϕ = a, b ⇒ ⇒ aϕ.b∈ [ 0;π ] Lưu ý: Góc hai véc tơ thường cos ϕ = r r a.b dùng để tính số đo góc tam giác r r rr 15 Điều kiện hai véc tơ vng góc : a ⊥ b ⇔ a.b = ( ) Cơng thức tích có hướng tích hỗn tạp 1/ đồng phẳng 2/ không đồng phẳng 3/ A,B,C,D đồng phẳng 4/ ABCD tứ diện 5/ Diện tích tam giác ABC : r rr r r⇔  a,a  , b ,c=  r rbr.c rr  a,a b.,cc≠ ,⇔ b  uuur uuu r uuur⇔  AB, AC  AD =  uuu  uuur r uuur⇔  AB, AC  AD ≠   r uuur uuu  SABC =  AB, AC  2 Gọi 14 Góc 6/ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: 7/ Thể tích tứ diện ABCD : Chú ý: uuu r uuur uuur V =  AB, AC  AA' VABCD r uuur uuur uuu  =  AB, AC  AD † Một số điểm đặc biệt : M Ox M( x;0;0 ) , M Oy M( 0;y;0 ) , M ∈ Oz M( 0;0;z ) ⇒ ∈ Oyz M( 0;y;z) ⇒ 2.M OxyM( x;y;0 ), M Oxz M( x;0;z ), M II Mặt phẳng : u r α Định lý : Mpqua điểm nhận làm y;0B ;z;0C) ) n( =x0( ;A VTPT có phương trình tổng quát A ( x − x ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = 0 0 : Chú ý:  MpOxy có phương trình : z = có VTPT  MpOxz có phương trình : y = có VTPT  MpOyz có phương trình : x = có VTPT Định lý :mặt phẳng chắn trục Ox , Oy , Oz với có pttq : III Đường thẳng: u r k = ( 0;0;1) r j = ( 0;1;0 ) r i = ( 1;0;0 ) a,(b ,αcb≠;0 y0; z0 ,C 0;0; c) A( a;0;0)x,B + + =) ( a b c r ∈;0a;+z;a0a) t ) Định lý: Đường thẳng d qua điểm ;xy xx= a(= ( 0a 13 Mvà nhận làm VTCP có phương trình  y = y + a 2t tham số : t R phương trình x − x 0az1 ,=ya2z−, ay3+0≠a0tz − z  = =3 tắc : () a1 a2 a3 Chú ý: u r Trục Ox có phương trình có VTCP , Trục kij == = t0 )) x((1;0;0 0;1;0 0;0;1 Oy có phương trình có VTCP , Trục Oz  y = t0 có phương trình có VTCP z = t0  IV Vị trí tương đối đường thẳng - mặt phẳng: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng TH1 : cắt TH2 : song song TH3 : ( α1) : A1x + B1y + C1z + D1 = + B⇔ +) C z+ D = ( α2A ) :1A: B 2x α≠y12A : C(12 :2B2 : C22 A1 B1( ⇔ α 12)C1 D1 = = ≠ A2 B2⇔ C2 D2 ≡ A1 B1( α 12)C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng có VTCP qua điểm A r (d ) a= ( a 1;1a2; a3 ) r Đường thẳng có VTCP qua điểm B b = ( b ( d1;2b) 2;b3 ) TH1: cắt TH2: song song phương TH3: không TH4: , chéo Chú ý: , đồng phẳng r r⇔ (3d≠12)b1 : b2 : b3 a1 :aa2 //: ab r r u u ruuru u rur    r rru ⇔ a , b AB =   d a , b AB ( a AB // b      12) = r r≡ uuur ⇔ d//12)AB a//(b r r uuur d12) ≠  a,b(⇔   AB r r uuur d12) =  a,b(⇔   AB Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cách 1: r Cho đường thẳng d có VTCP qua ;y ;z ) a(=x(0a 1;0a2;0a3 ) điểm A u r α;B;C Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = có n = ( A ) VTPT u rα r → TH1: d cắt () ⇔ ≠ () ⊥ na n a rr rr α ⇔ TH2: d // () ⇔ n.a=0n.a=  r r r r B.y α+C.z A ∉⇔ α +D ≠ A.x TH3: d ⊂ () ⇔ o+ omp 0n.a= n.a= ( o)   B.y A ∈ mp ( αo)+D=0 Cách : Tìm giao điểm đưa A.xo+ o +C.z kết luận u r r n//αa ⇔ Chú ý: d ⊥ () ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C V Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M đến mp () α α ;z ) Cho điểm M mp() : Ax + By + Cz + D = ( x ;y 0 Ta có : Ax0 + By + Cz + D Chú ý : , , d ( M;α ) = 2 A +) B d ( M; mpOyz mpOxy mpOxz = yxz+0 C Các dạng khoảng cách khác : i Khoảng cách hai mặt phẳng song song αβ Phương pháp: Lấy điểm M mp α ∈ ii Khoảng cách đường thẳng d( α,β ) ⇒ = d( M,β ) α ∆ song song mặt phẳng Phương pháp: Lấy điểm M đường thẳng ∈ ∆ Khoảng cách từ điểm M đến đường ∆ thẳng Phương pháp : Gọi H hình chiếu vng góc ∆ điểm M đt d( ∆,α ) ⇒ = d( M,α ) B1: Lập mặt phẳng qua điểm M vng góc α ∆ đt α I∆ B2: H = d( M,∆r) =uru MH uuur ⇒ ∆ a  aAM  ,   d( M,∆ ) = r a Chú ý: Để tính khoảng cách từ điểm B3: Cơng thức: có véctơ qua điểm A M đến trục Ox , Oy , Oz ta tìm hình chiếu vng góc H điểm M trục tương ứng tính MH d12 song song r có véctơ qua điểm A d a1 r uuu uu uu urr ⇒ có véctơ qua điểm B d b2  a, AB   Khoảng cách hai đường thẳng d( d ,d ) d =12 r chéo a r có véctơ qua điểm A d a r1 có véctơ qua điểm B d b2 Hệ quả: Khoảng cách hai đường thẳng Phương pháp: α song d2 Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 song d( d1;d2 )⇒= d( B,α ) r r uuur Công thức:  a,b AB   d( d1,d2 ) = r r VI Góc :  a,b   Góc hai mặt phẳng va ( α12) r u r 0 ⇒u Gọi · ,αu r u r n n 20 ,90  ϕ = α ⇒ ϕ ∈ ⇔ Hệ quả: α⊥212u ) 0ur n cosnϕ1(.= r= n1 n2 Góc hai đường thẳng : d12 r r ⇒ Gọi · ,d r ⇒ r ϕab  00,900  ϕ = d ∈ Hệ quả: ⊥12)r0 r uuur uuur d cosab= ϕ(.⇔ = Chú ý : Trong tam giác ABC ta u u u r u u u r a b AB AC · A = AB, AC ⇒ cosA= có : ( ( ) ( ) ) AB AC α Góc đường thẳng d mặt phẳng rr 0 ⇒u Gọi · u r r na ϕ = d,α ⇒⇔ ϕ ∈. ,90  Hệ quả: ⊥ α d ( sinϕn=// )a u r r ( ) n a VII Mặt cầu: ĐL1: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ;c ) bán kính R có phương trình: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 2 ĐL2: Mọi phương trình có dạng : x2 + R = a + b + c − d y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= đk: a2 + b2 + c2 – d > phương trình mặt cầu tâm I( a ; b ; c ) bán kính Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu ( S ) α: TH1: cắt ( S ) α d ( I ;⇔ α) < R TH2: không cắt ( S ) α d ( I ;⇔ α) > R TH3: tiếp xúc ( S ) α d ( I ;⇔ α) = R α Thường hợp gọi tiếp diện MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình mặt phẳng Phương pháp: Tìm điểm véctơ pháp tuyến ( cặp VTCP ) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình mặt đường thẳng Phương pháp : Tìm điểm véctơ phương (hoặc cặp VTPT) VẤN ĐỀ 3: Hình chiếu – Đối xứng Dạng 1: Hình chiếu vng góc điểm M α mặt phẳng Phương pháp: Gọi H hình chiếu vng góc α điểm M mp B1: Lập đường thẳng d qua điểm M vng α góc mp B2: H = d α I Chú ý: Điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp α ⇒ xM/ = ⇒ 2xH − xM  yM/ = 2yH − yM  zM/ = 2zH − zM M’ đối xứng với điểm M qua điểm H Dạng 2: Hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng d Phương pháp: Gọi H hình chiếu vng góc điểm M đt d B1: Lập mặt phẳng qua điểm M vng góc α đt d B2: H = d α I Đặc biệt : Cho điểm M (x;y; z) ta có: + Hình chiếu vng góc điểm M trục Ox có tọa độ ( x;0;0 ) -M trục Oy có tọa độ ( 0;y;0 ) -M trục Oz có tọa độ ( 0;0;z ) +Hình chiếu vng góc điểm M Mp(Oxy) có tọa độ (x;y;0 ) -M Mp(Oxz) có tọa độ (x;0;z ) M Mp(Oyz) có tọa độ (0;y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox có tọa độ M’( x;-y;-z ) -M qua trục Oy có tọa độ M’( -x;y;-z ) -M qua trục Oz có tọa độ M’( -x;-y;z ) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua Mp(Oxy) có tọa độ M’(x;y;-z) M qua Mp(Oxz) có tọa độ M’(x;-y;z) - M qua Mp(Oyz) có tọa độ M’(-x;y;z) + Điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc O có tọa độ M’( -x;-y;-z ) Dạng 3: Hình chiếu vng góc đường α thẳng d xuống mặt phẳng Phương pháp: Gọi d’ hình chiếu vng góc α đtd xuống mp B1: Tìm giao điểm I đt d mp α B2 : Lấy điểm A đường thẳng d tìm hình α ∈ chiếu H A mp KL : Đt d’ qua hai điểm I A Đặt biệt: Hình chiếu vng góc đường thẳng d : mặt phẳng tọa độ Oxy có pt : mặt phẳng tọa độ Oxz có pt : mặt phẳng tọa độ Oyz có pt : VẤN ĐỀ 4: Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo   có véctơ qua điểm A có véctơ qua điểm B x = x0 + a1t  = xy ++ aa 2tt yx = z = z + a 1t y = y00 + a32t x = x + a t z = 0 y = x = z = z + a3t y = yd012 + a 2t z = z + a t  r d a r1 d b2 Phương pháp : Gọi đường vng góc chung d ∆12 u r B1: Gọi VTCP đường vng góc chung ∆ u r ur r Vì ∆ u =⊥da,b 1 ⇒   ∆ ⊥ d  B2: Lập mặt phẳng chứa d1 qua điểm A có cặp VTCP α ∆r rα ⇒u a,u α d u r2 B3: Tìm giao điểm I với KL: Đường vng góc chung qua điểm I có ∆ u VTCP VẤN ĐỀ 5: Lập đường thẳng cắt đường thẳng cho trước thỏa điều kiện khác Dạng 1: Lập đường thẳng qua điểm M cắt d ∆12 hai đường thẳng , Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng qua điểm M chứa đường α thẳng d1 B2: Tìm giao điểm I với Đường thẳng qua hai điểm M I α d2 ⇒ ∆ B3: So sánh VTCP VTCP đường ⇒ ∆1 thẳng Kết luận d Dạng 2: Lập đường thẳng qua điểm M , ∆12 vng góc đường thẳng cắt đường thẳng d Phương pháp: α đường thẳng d1 B1: Lập mặt phẳng qua điểm M vng góc α d2 B2: Tìm giao điểm I với Đường thẳng qua hai điểm M I ⇒ ∆ Dạng : Lập đường thẳng qua điểm M , ∆ vng góc cắt đường thẳng d Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng qua điểm M vng góc α đường thẳng d B2: Tìm giao điểm I với Đường thẳng qua hai điểm M I αd ⇒ ∆ Dạng : Lập đường thẳng qua điểm M , song ∆ song mặt phẳng ( P ) cắt đường thẳng d Phương pháp: B1: Lập mặt phẳng qua điểm M song song α mặt phẳng ( P ) B2: Tìm giao điểm I với Đường thẳng qua hai điểm M I αd ⇒ ∆ Dạng : Lập đường thẳng ∆ nằm mp( P ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước Phương pháp: B1: Tìm giao điểm A B d1 , d2 mp( P ) B2: ∆ đường thẳng qua hai điểm A B 10 d⊂ ( P) VẤN ĐỀ : Lập đường thẳng ∆ nằm mp( P ) cách đường thẳng cho trước khoảng L r Phương pháp : Cho đường thẳng d có ;y ;z ) a(=x(0a 1;0a2;0a3 ) VTCP qua điểm A u r Mặt phẳng : Ax + By + n = ( A P;B;C ) Cz + D = có VTPT ( ) B1: Lập mặt phẳng vng góc mặt phẳng ( P ) , α song song đường thẳng d cách điểm A khoảng L B2: Lấy điểm Đường thẳng qua điểm M có VTCP P) ∩ ( α ) rM ∈ ( ⇒ a = ( a1∆;a2;a3 ) VẤN ĐỀ : Lập đường thẳng ∆ nằm mp (P) vng góc đường thẳng d cho trước giao điểm I d mp (P) Phương pháp: B1: Tìm giao điểm I d mp( P ) B2: Vì d có VTCP Đường thẳng qua điểm I có VTCP VẤN ĐỀ 8: Lập phương trình mặt cầu ( S ) u r uur uu r u∆=⊂ n u rPP,) ad  (⇒ ∆   u ⇒ ∆ ⊥ d  Phương pháp1: Tìm tâm bán kính  Phương pháp2: (Có kiện mặt cầu qua điểm) B1 : Chỉ dạng  Nếu có kiện liên quan đến bán kính tiếp xúc Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - ⇒ b)2 + (z - c)2 = R2  Nếu khơng có kiện liên quan đến bán kính tiếp xúc Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 – ⇒ 2ax–2by–2cz+ d= B2 : Khai thác kiện để lập hệ phương trình VẤN ĐỀ 9: Đường trịn giao tuyến Phương trình đường tròn giao tuyến: Khi mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) ta có đường trịn giao tuyến có pt : 1.1 Tâm đường tròn giao tuyến: Ax+By+Cz+D=0 ( α )  2 2 (x-a) +(y-b) +(z-c) =R ( S) 11 Gọi K tâm đường trịn giao tuyến K hình chiếu vng góc tâm I mặt ⇒ phẳng α B1: Lập đường thẳng d qua điểm M vng α góc mp α I B2: H = d Chú ý: Toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thoả hệ : 1.2 Bán kính đường trịn giao tuyến  IA2 = IB  2  IA = IC  uuur uuur uur   AB, AC  AI = r= r =R2R-2 d-2IK ( I ,2α ) VẤN ĐỀ 10: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) (Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc) Dạng 1: Tiếp diện điểm M thuộc (S) Phương pháp : Tiếp diện điểm M vng góc IM có véctơ u⇒ uu r pháp tuyến IM Dạng 2: Tiếp diện song song mặt phẳng song song hai đường thẳng không phương vng góc đường thẳng cho trước Phương pháp: Phương trình tiếp diện có dạng : Ax + By + ⇒ B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc d( I ,tiế p diệ n) =R Cz + m = ... A1x + B1y + C1z + D1 = + B⇔ +) C z+ D = ( α2A ) :1A: B 2x α≠y12A : C (12 :2B2 : C22 A1 B1( ⇔ α 12) C1 D1 = = ≠ A2 B2⇔ C2 D2 ≡ A1 B1( α 12) C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 Vị trí tương đối hai đường thẳng... không TH4: , chéo Chú ý: , đồng phẳng r r⇔ (3d? ?12) b1 : b2 : b3 a1 :aa2 //: ab r r u u ruuru u rur    r rru ⇔ a , b AB =   d a , b AB ( a AB // b      12) = r r≡ uuur ⇔ d/ /12) AB... d( B,α ) r r uuur Công thức:  a,b AB   d( d1,d2 ) = r r VI Góc :  a,b   Góc hai mặt phẳng va ( ? ?12) r u r 0 ⇒u Gọi · ,αu r u r n n 20 ,90  ϕ = α ⇒ ϕ ∈ ⇔ Hệ quả: α⊥212u ) 0ur n cosnϕ1(.=