Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2021 2022 Thái Bình

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2021 2022 Thái Bình. 50 đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh có đáp án được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 109 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) MÃ ĐỀ 101 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ sau Khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận B Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) ( 0;+ ) C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ Câu Có giá trị nguyên tham số m để phương trình log ( x − m ) = x + có nghiệm thực phân biệt? A B C D Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  có đáy ABC tam giác vng B , biết AB = a , AC = 2a , CC  = 2a Gọi M , I trung điểm AB BC  Tính góc hai đường thẳng IM AC  A 90 B 60 C 45 D 30 cos x − Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm y = nghịch biến cos x − m    ;  2  0  m  0  m  C  D   m  −1  m  −1 Câu Cho hình lăng trụ ABC  ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A m  B m  điểm A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách đường AA BC a Tính theo a thể tích lăng trụ ABC  ABC a3 a3 a3 a3 B C D 12 24 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đồ thị (C ) Tiếp tuyến đồ thị ( C ) A điểm ( 2;m) có phương trình y = x − Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f  f ( x ) y = f ( 3x − 10 ) điểm có hồnh độ có phương trình y = ax + b y = cx + d Tính giá trị biều thức S = 4a + 3c − 2b + d A S = 176 B S = 174 C S = 178 Câu Tập xác định hàm số y = ( − 3x − x A B ( −4;1) ) C \ −4;1 −2021 D S = −26 D  −4;1 Câu Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A B f ( x ) = x3 + ax2 + bx + C − x2 − x2 −1 D f = −3 đạt cực tiểu điểm x = ( ) Tính b + 2a B −3 C 15 D −15 x+m Câu 10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 1;2 ( m x +1 tham số thực) Khẳng định sau đúng? A  m  10 B  m  C  m  D m  10 Câu 11 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số Câu Hàm số A y = x8 + ( m + 1) x5 − ( m2 − 1) x + đạt cực tiểu x = ? A B Vô số C D Câu 12 Cho tứ diện ABCD có cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A B C D Câu 13 Cho đa thức f ( x ) có hệ số thực thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1 − x ) = x2 , x  Số điểm cực trị hàm số y = 3xf ( x ) + x2 + 4x + A B C D Câu 14 Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Tính theo a thể tích khối tứ diện ACBD a3 2a 2a 2a B C D Câu 15 Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = −x3 + 3x2 − mx có A hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến khoảng ( −;0) Số phần tử tập S A B Câu 16 Cho hàm số y = f ( x ) xác định hình vẽ C D , hàm số y = f  ( x ) liên tục có đồ thị y O x Hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng sau đây? A ( −1;0 ) C ( 0;+ ) B (1;3) D ( 0;1) Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f ( x ) = A B D C Câu 18 Gọi Sn tổng n số hạng cấp số nhân ( un ) có cơng bội q khác Biết S8 = 257S4 u3 = 32 Tính u1 A B C D Câu 19 Có số nguyên dương n cho S số có 1000 chữ số Biết: S = + ( C10 + C20 + + Cn0 ) + ( C11 + C21 + + Cn1 ) + + ( Cnn−−11 + Cnn−1 ) + Cnn A B C Câu 20 Tổng tất nghiệm thực phương trình log ( 3.4 + 2.9 x A B Câu 21 Phương trình log C ( mx − x ) + 2log ( −14 x 2 D x ) = x + D + 29 x − ) = có nghiệm thực phân biệt A m  19 B 19  m  39 D 19  m  39 C m  39 Câu 22 Cho tam giác ABC cân A , góc BAC = 120 AB = cm Tính thể tích khối trịn xoay lớn ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa cạnh 16 16 cm3 ) A 16 3 ( cm3 ) B 16 ( cm3 ) C D cm3 ( 3 ( Câu 23 để phương trình log A B ( x −1) = log2 ( mx − 8) ) có hai nghiệm thực phân biệt C D Vô số Câu 24 Cho bất phương trình: + log5 ( x + 1)  log5 ( mx + x + m ) (1) Tìm tất giá trị m để (1) nghiệm với số thực x A  m  B −3  m  C m ( −;3  7; + ) D  m  Câu 25 Một khối cầu tích V qua đỉnh đường tròn đáy khối nón có thiết diện qua trục tam giác Tỉ số thể tích khối cầu thể tích khối nón 32 32 23 A B C D 32 32 23 Câu 26 Một hình trụ có bán kính đáy a Cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục a cách trục khoảng ta thiết diện hình vng Tính thể tích khối trụ A 3 a B  a3 C  a3 D  a Câu 27 Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S , xác suất để ba số lấy lập thành cấp số cộng A B C D 114 38 38 38 Câu 28 Cho hàm số y = f  ( x − 1) có đồ thị hình vẽ Hàm số y =  f ( x)−4 x đạt cực tiểu điểm nào? A x = B x = C x = D x = −1 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có dáy ABCD hình vng cạnh 2a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M trung điểm AD Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCM ) 3a a B a C 3a D Câu 30 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B Biết A AB = BC = a , SAB = SCB = 90 khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 12 a B 8 a C 2 a D 16 a Câu 31 Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x + 2x ) +1 B C ax + b Câu 32 Cho hàm số y = có đồ thị hình vẽ bên: cx − A Giá trị tổng a + b + c A B C D D −2 1  Câu 33 Cho ba số thực a, b, c   ;1 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức 4  1 1 1    P = log a  b −  + logb  c −  + logc  a −  4 4 4    A Pmin = B Pmin = 3 C Pmin = D Pmin = Câu 34 Cho số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác Biết theo thứ tự chúng số thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng công sai d , a ( d  0) Tính d 4 A B C D Câu 35 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Tổng 9.6 f ( x) tất + ( − f ( x ) ) A giá f ( x) trị nguyên  ( −m2 + 5m ) B f ( x) tham số để m bất nghiệm với x phương trình D 10 C Câu 36 Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = x − mx2 − ( m − 6) x + đồng biến khoảng ( 0;4 ) A ( −;3) B 3;6 C ( −;6 Câu 37 Tính tổng hệ số lũy thừa lẻ P ( x ) = (1 + x + x + x3 + + x100 )(1 − x + x − x3 + + x100 ) A B 2100 C D ( −;3 x khai triển: D 299 Câu 38 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SA ⊥ ( ABC ) Mặt phẳng ( SBC ) cách A khoảng a hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 30 Thể tích khối chóp S ABC 8a 8a 4a a 5b − a Câu 39 Cho a, b số thực dương thỏa mãn log a = log16 b = log12 Giá trị b A B C 3a3 12 D a a a 1+ a 7+2 = −1 + B = − C = D = b b b b 25 Câu 40 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số bậc ba y = f ' ( x ) hình vẽ bên A Hàm số g ( x ) = e f ( x−1) đồng biến khoảng sau đây? B ( −1; + ) A ( −1;1) Câu 41 Có cặp C ( 0; ) số nguyên ( x; y ) D ( 0;1) thỏa mãn  x  2021 y − log ( x + y −1 ) = x − y ? A B 10 C 2022 D 2021 Câu 42 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1)(13x − 15) , x  Tìm số điểm  5x  cực trị hàm số y = f    x +4 A B C D Câu 43 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, cạnh SA vng góc với đáy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) Tính cos thể tích khối chóp S ABC nhỏ C cos  = D cos  = 3 Câu 44 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 6x + có hệ số góc nhỏ phương trình A y = 3x + 12 B y = x + C y = 3x + D y = 3x + Câu 45 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có cạnh đáy AB = a Trên cạnh BB lấy điểm M cho BM = 2BM Biết AM ⊥ BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC A cos  = B cos  = 3a 3a 3a3 3a3 A B C D 16 Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với SC , cắt cạnh SB B với a3 A a3 B SB = Tính thể tích khối chóp S ABCD SB a3 C a3 D Câu 47 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SC = 2, BCS = 45 ; góc hai mặt phẳng ( SAB) ( SBC ) 90 ; góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) 60 Thể tích khối chóp S ABC B V = C V = 2 D V = 15 15 Câu 48 Cho hình chóp S ABCD hình bình hành Hai điểm M , N trung điểm A V = AB SC Hai đường thẳng AN , MN cắt mặt phẳng ( SBD ) I K Gọi V thể tích khối chóp S ABCD V  thể tích khối tứ diện CNIK Tỉ số V V 1 1     B C D 18 24 36 48 Câu 49 Cho a  0, a  vả hai số thực dương b, c thỏa mãn loga b = loga c = −2 , Tính A a2 b c5 A P = B P = −2 C P = −7 D P = 13 Câu 50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = b cạnh giá trị biểu thức P = log a bên SA = c vng góc với mặt phằng ( ABCD ) Gọi M điếm cạnh SA cho AM = x ,  x  c Tìm x để mặt phằng ( MBC ) chia khối chóp thành hai khối đa diện tích A x = ( ) − ab 2c B x = ( − ) ab C x = (3 − ) c 2c HẾT D x = (3 − ) c HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ sau Khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận B Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) ( 0;+ ) C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ Lời giải Chọn C Ta có lim− y = − lim+ y = + nên x = tiệm cận đứng x →0 x →0 Mặt khác lim y = −2 suy y = −2 tiệm cận ngang x →− Lại có lim y = suy y = tiệm cận ngang x →+ Vậy hàm số cho có ba đường tiệm cận Câu Có giá trị nguyên tham số m để phương trình log ( x − m ) = x + có nghiệm thực phân biệt? A B C D Lời giải Chọn A Phương trình cho tương đương x − m = x +1  22 x − 2.2 x − m = (1) Đặt t = x với t  , phương trình (1) trở thành t − 2t − m = ( 2) Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình ( 2) có hai    1 + m     −1  m  nghiệm phân biệt dương  S   2  P  −m    Vì m nên không tồn giá trị nguyên m thỏa yêu cầu tốn Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  có đáy ABC tam giác vng B , biết AB = a , AC = 2a , CC  = 2a Gọi M , I trung điểm AB BC  Tính góc hai đường thẳng IM AC  A 90 B 60 C 45 D 30 Lời giải Chọn A Ta có I trung điểm BC  nên I trung điểm BC Do MI đường trung bình tam giác BAC nên MI AC Mặt khác ACC A hình vng suy AC  ⊥ AC Vậy AC  ⊥ MI hay góc hai đường thẳng IM AC  90 cos x − Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm y = nghịch biến cos x − m    ;  2  A m  0  m  C   m  −1 Lời giải B m  0  m  D   m  −1 Chọn D Đặt t = cos x với t  ( −1;0 )   t  = − sin x  x   ;   2  t −3 Ta có y = t −m 3− m Khi y = (t − m) Hàm số y = cos x − nghịch biến cos x − m t −3    ;    Hàm số y = t − m đồng biến ( −1;0 ) 2  m   m   0;3) 3 − m     m    m  − m  ( −1;0 )    m  −1 Xét hàm số g ( x ) = x3 + x, g  = 3x2 +  với x  nên g ( x ) đồng biến mà lim g ( x ) = −; lim g ( x ) = + nên phương trình x3 + x = a có nghiệm đồ thị x →− x →+ hàm số y = có đường tiệm cân đứng f ( x + 2x ) +1 Vậy tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = Câu 32 Cho hàm số y = f ( x + 2x ) +1 ax + b có đồ thị hình vẽ bên: cx − Giá trị tổng a + b + c A B C Lời giải D −2 Chọn C Theo đồ thị hàm số ta có: =  c = c a Đồ thị có đường tiệm cận ngang đường thẳng y = −1  = −1  a = −c  a = −1 c Đồ thị cắt trục Ox điểm có hồnh độ nên 2a + b =  b = Vậy a + b + c = −1 + + = 1  Câu 33 Cho ba số thực a, b, c   ;1 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức 4  Đồ thị có đường tiệm cận đứng đường thẳng x =  1 1 1    P = log a  b −  + logb  c −  + logc  a −  4 4 4    A Pmin = B Pmin = 3 C Pmin = Lời giải Chọn C D Pmin = 1  1  Ta có  a −   0, a   ;1 , dấu xảy a = 2  4  1 Nên a  a − , dấu xảy a = Tương tự b  b − c2  c − 1 , dấu xảy b = 1 dấu xảy c = 0;1 nên loga b  0,logb c  0,logc a  Vì a, b, c 1  Do với số thuộc  ;1 P  loga b2 + logb c2 + logc a2 = ( loga b + logb c + logc a ) 4  Suy P  2.3 loga b.logb c.logc a =  a = b = c = Dấu xảy  a=b=c= 2  log a b = logb c = log c a Câu 34 Cho số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác Biết theo Vậy Pmin = a = b = c = thứ tự chúng số thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng công sai d , a ( d  0) Tính d 4 A B C D Lời giải Chọn A Do a, b, c theo thứ tự số thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng công sai b = a + 3d d , ( d  0) nên  c = a + d Hơn a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác nên ac = b Khi a ( a + 7d ) = ( a + 3d )  a + 7ad = a + 6ad + 9d 2  9d − ad =  9d = a  Vậy a = (Do d  ) d a =9 d Câu 35 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Tổng 9.6 f ( x) tất + ( − f ( x ) ) giá f ( x) A trị nguyên  ( −m2 + 5m ) f ( x) tham m số để bất nghiệm với x trình D 10 C B phương Lời giải Chọn Ta D 9.6 f ( x ) + ( − f ( x ) ) f ( x )  ( −m2 + 5m ) f ( x ) có 3  ( − f ( x ) )   2 f ( x) 3 +   2 f ( x) (1)  −m2 + 5m Từ đồ thị hàm số suy f ( x )  −2, x  3 Do ( − f ( x ) )   2 f ( x) 3 Suy ( − f ( x ) )   2 3   2  0, x  2 f ( x) 3 +   2 f ( x) −2  3    = 4, x   2 f ( x)  4, x  Dấu " = " xảy x = −2 (khi f ( 2) = −2 ) nên giá trị lớn hàm số 3 g ( x ) = ( − f ( x )).  2 f ( x) 3 +   2 Vậy (1) có nghiệm x  f ( x)  −m2 + 5m   m  Do m số nguyên nên m1, 2, 3, 4 Suy tổng giá trị m S = + + + = 10 Câu 36 Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − mx2 − ( m − 6) x + đồng biến khoảng ( 0;4 ) A ( −;3) B 3;6 C ( −;6 Lời giải Chọn D D ( −;3 Ta có: y = 3x2 − 2mx − ( m − 6) Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) y  , x  ( 0;4)  3x2 − 2mx − ( m − 6)  x  ( 0;4)  3x +  m x  ( 0;4 ) 2x +1 3x + Xét hàm số g ( x ) = ( 0; ) 2x +1 g ( x) = x + x − 12 ( x + 1)  x = 1 ( 0; ) , g ( x ) =    x = −2  ( 0; ) Ta có bảng biến thiên: Vậy để g ( x ) = 3x +  m x  ( 0;4) m  2x +1 Vậy m ( −;3 Câu 37 Tính tổng hệ số lũy thừa lẻ P ( x ) = (1 + x + x + x + + x A 100 )(1 − x + x − x + + x B 2100 100 C ) x khai triển: D 299 Lời giải Chọn C Giả sử P ( x ) = a200 x200 + a199 x199 + + a1x + a0 Ta có: P (1) = a200 + a199 + + a1 + a0 = 101 P ( −1) = a200 − a199 + a198 − a197 + + a2 − a1 + a0 = 101 Suy ra: a199 + a197 + + a1 =  P (1) − P ( −1)  = 2 Vậy tổng hệ số lũy thừa lẻ x Câu 38 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, SA ⊥ ( ABC ) Mặt phẳng ( SBC ) cách A khoảng a hợp với mặt phẳng ( ABC ) góc 30 Thể tích khối chóp S ABC 8a B 8a A 4a D 3a3 C 12 Lời giải Chọn A S K A C M B Gọi M trung điểm BC , ( SAM ) kẻ AK ⊥ SM K Suy AK ⊥ ( SBC )  AK = d ( A; ( SBC ) ) = a Lại có ( SBC ) , ( ABC ) = SMA = 30 Suy AM = Suy BC = AM Vậy VS ABC AK sin AMK = 2a; SA = AK sin ASK = 2a 4a = 3 = SA.S ABC  4a  2a   =   3 = 8a3 Câu 39 Cho a, b số thực dương thỏa mãn log a = log16 b = log12 a 5b − a Giá trị b A a = −1 + b B a =7−2 b C a 1+ = b D Lời giải Chọn B  a = 9t  5b − a Đặt log9 a = log16 b = log12 = t  b = 16t  5b − a  = 12t  t 9  12  Suy 5.16 − = 2.12  −   =    16   16  t t t t a 7+2 = b 25  t   = −1 + 2t t 3 3     + 2  − =   t 4 4   = −1 −   t 2t ( a    3 Mà =   =   = −1 + b  16    ) ( L) = − Câu 40 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số bậc ba y = f ' ( x ) hình vẽ bên Hàm số g ( x ) = e f ( x−1) đồng biến khoảng sau đây? C ( 0; ) B ( −1; + ) A ( −1;1) D ( 0;1) Lời giải Chọn D Ta có g  ( x ) = f  ( x − 1) e f ( x−1)  x 2 x −   Suy g  ( x )   f  ( x − 1)      −1  x −  0  x   5  Suy hàm số đồng biến khoảng ( 0;1)  ; +  2  Câu 41 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn  x  2021 y − log ( x + y −1 ) = x − y ? A B 10 C 2022 Lời giải Chọn B Ta có D 2021  2x + 2y  y − log ( x + ) = x − y  − log   = 2x + − y    y +1 + ( y + 1) = log ( x + y ) + x + y (*) y +1 y −1 y Xét hàm số f ( u ) = 2u + u , ta có f  ( u ) = 2u ln +  0, u  Hàm số f ( u ) = 2u + u đồng biến từ (*) ta có y + = log ( x + y )  y +1 = x + y  y = x Mặt khác theo giả thiết  x  2021   2x  4042   y  4042   y  log2 4042 Do y số nguyên nên y 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11  có 10 cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn điều kiện Câu 42 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1)(13x − 15) , x   5x  cực trị hàm số y = f    x +4 A B C Lời giải Tìm số điểm D Chọn C Ta có: 2 x   x  ( x + ) − x.2 x  x   x 5x    y =  − 113 − 15   f  =    2  x +4  x +4 ( x2 + 4)  x +   x +  x +  −5 x + 20  x   x − x −  65 x − 15 x − 60  =      2 ( x2 + 4)  x +   x +  x +  = ( − x )( + x ) (x + 4)  (5x ) (x 2 + 4) ( x − 1)( − x )  ( − x ) (15 x − 20 )  x2 + (x + 4) 3  x =   x = −2 x =  y =   x = x =  x =  x =   5x  Do phương trình y = có nghiệm đơn nghiệm kép nên hàm số y = f   có  x +4 điểm cực trị Câu 43 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác đều, cạnh SA vng góc với đáy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) Tính cos A cos  = thể tích khối chóp S ABC nhỏ B cos  = C cos  = D cos  = Lời giải Chọn D S H C A I B Gọi I trung điểm BC Ta có BC ⊥ ( SAI ) nên mp ( SBC ) vng góc mp ( SAI ) theo giao tuyến SI Kẻ AH ⊥ SI H AH ⊥ ( SBC ) hay AH = d ( A, ( SBC ) ) Ta có góc tạo ( SBC ) ( ABC ) SIA Theo giả thiết AH =  = SIA Lại có AI = AH sin SIA SA = AI tan  = cos  Thể tích = , sin  mặt khối khác AB = AI AB = hay chóp AI = 3 sin  S ABC 1 AB2 16 V = S ABC SA = SA = = 2 3 12 3sin  cos  9sin  cos  V nhỏ P = sin  cos  lớn Ta có P = (1 − cos2  ) cos  = − cos3  + cos  Đặt t = cos Do     Xét hàm số f ( t ) = −t + t , t  ( 0;1) ta có f  ( t ) = −3t + ; f  ( t ) =  t = Bảng biến thiên: nên t  ( 0;1) Vậy V nhỏ cos  = Câu 44 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 6x + có hệ số góc nhỏ phương trình A y = 3x + 12 B y = x + C y = 3x + D y = 3x + Lời giải Chọn C Xét hàm số y = x3 − 3x2 + 6x + có y = 3x2 − 6x + Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 k = 3x02 − x0 + = ( x0 − 1) +  Đẳng thức xảy x0 = , k = , tiếp điểm (1;9 ) Vậy phương trình tiếp tuyến y = ( x −1) + hay y = 3x + Câu 45 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có cạnh đáy AB = a Trên cạnh BB lấy điểm M cho BM = 2BM Biết AM ⊥ BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC A 3a3 B 3a C 3a D Lời giải Chọn B Cách 1: Gọi I trung điểm BC A' I B' C' M B A C 3a3 16  AI ⊥ BC  Ta có   AI ⊥ ( BCC B )  AI ⊥ BC  AI ⊥ BB Lại có BC ⊥ AM nên BC ⊥ ( AMI ) suy BC ⊥ MI ( )( ) Khi BC.MI =  BC  + BB MB + BI = ( )    BC + BB  − BB + BC  =    BC 2 − BB =  2 3a a a − BB =  BB =  BB = Thể tích khối lăng trụ VABC ABC = BB.S ABC = a a 3a3 = Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Chọn a = đặt AA = 3x , với x  z B A M C y A' B' C' x ( 3;1;0) , C ( 3;1;3x ) ; M ( 0; 2; x ) Suy AM = ( 0; 2; x ) ; BC = ( 3; −1;3 x ) Ta có A ( 0;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C  Theo đề A ' M ⊥ BC  AM BC =  −2 + x =  x = Do AA = 3x = = a a a 3a3 = Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Mặt phẳng ( P ) qua A Thể tích khối lăng trụ VABC ABC = AA.S ABC = vuông góc với SC , cắt cạnh SB B với A a3 B a3 SB = Tính thể tích khối chóp S ABCD SB C a3 D a3 Lời giải Chọn D S B' H A B O C D Trong mặt phẳng ( SAC ) vẽ AH ⊥ SC H Trong mặt phẳng ( SBC ) , qua H dựng HB ⊥ SC với B  SB Cách 1: Đặt SA = SB = SC = SD = x, x  suy SB = x x − a ) x ( BS + CS − BC 2 x2 − a2 Ta có cos BSC = suy SH = SB.cos BSC = = 3x 2BS.CS x2 x2 − a2 x2 − a SH AS + CS − AC Lại có cos ASH =  = = 3x x2 SA AS.CS  x − a = ( x − a )  x = 2a  x = a Khi SO = SC − CO = 2 Thể tích khối chóp VS ABCD Cách 2: Gọi K = AH  SO (a ) 2 a 2 a −   = 2   1 a a3 = SO.S ABCD = a = 3 S H B' K A B O C D ( P ) ⊥ SC   SK SB Ta có BO ⊥ SC   BO // ( P ) mà ( SBO )  ( P ) = KB  KB//BO  = = SO SB  BO  ( P )  Suy K trọng tâm tam giác SAC nên AH vừa trung tuyến vừa đường cao Từ ta ASC cân A SAC  SO = AC a = 2 1 a a3 Thể tích khối chóp VS ABCD = SO.S ABCD = a = 3 Câu 47 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với đáy, SC = 2, BCS = 45 ; góc hai mặt phẳng ( SAB) ( SBC ) 90 ; góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) 60 Thể tích khối chóp S ABC A V = 15 B V = C V = 2 Lời giải Chọn D D V = 15 CE ⊥ SA Giả sử CE ⊥ SB mà ( SAB ) ⊥ ( SBC )  CE ⊥ ( SAB )   CE ⊥ AB Ta lại có: SA ⊥ ( ABC ) nên CE  CB Kẻ BH ⊥ AC , HK ⊥ SC Ta có BH ⊥ AC, BH ⊥ SA  BH ⊥ ( SAC )  BH ⊥ SC  SC ⊥ ( BHK )  SC ⊥ BK Từ ta có ( SAC ) , ( SBC )  = ( KH , KB ) = BKH = 600 Ta có SBC vng cân B  SB = BC = Ta có KBC vng cân K  KB = KC = Từ ta suy HK = ; BH = ; HC = 2 Xét ABC ta có HC AC = BC  AC = Ta có: SA = SC − AC = BC = HC 5 1 = Vậy VS ABC = SA BH AC = 3 2 15 Câu 48 Cho hình chóp S ABCD hình bình hành Hai điểm M , N trung điểm AB SC Hai đường thẳng AN , MN cắt mặt phẳng ( SBD ) I K Gọi V thể tích khối chóp S ABCD V  thể tích khối tứ diện CNIK Tỉ số A  24 B  48 C  36 V V D  18 Lời giải Chọn B Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi O = AC  BD; J = CM  BD Trong mặt phẳng ( SAC ) gọi I = SO  AN , SO  ( SBD )  I = AN  ( SBD ) Trong mặt phẳng ( SCM ) gọi K = MN  SJ , SJ  ( SBD )  K = MN  ( SBD ) Ta có VC NIK CN = =  VC NIK = VS NIK VS NIK SN Ta lại có: VS NIK SI SN SK = VS COJ SO SC SJ Ta có I trọng tâm tam giác SAC  Ta có N trung điểm SC  SI = SO SN = SC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SCJ với điểm N , K , M thẳng hàng nằm cạnh cho tam giác SCJ , ta có: KS MJ NC KS KS SK =1 =  =3 = KJ MC NS KJ KJ SJ ( Ta có J trọng tâm tam giác ABC  VS NIK 1 = =  VS NIK = VS COJ  VC NIK = VS COJ VS COJ 4 4 Ta suy Ta có VS COJ S = COJ VS ABCD S ABCD Ta có: SCOJ =  MJ = ) MC 1 1 1 d ( J ; AC ) CO = d ( B; AC ) AC = S ABC = S ABCD 2 12 VS COJ 1 =  VS COJ = VS ABCD  VC NIK = VS ABCD VS ABCD 12 12 48 Vậy V = V 48 Câu 49 Cho a  0, a  vả hai số thực dương b, c thỏa mãn loga b = loga c = −2 , Tính a2 b c5 B P = −2 giá trị biểu thức P = log a A P = C P = −7 Lời giải D P = 13 Chọn D P = log a a2 b 1 = log a a + log a b − log a c5 = + log a b − 5log a c = + − ( −2 ) = 13 c 3 Câu 50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = b cạnh bên SA = c vng góc với mặt phằng ( ABCD ) Gọi M điếm cạnh SA cho AM = x ,  x  c Tìm x để mặt phằng ( MBC ) chia khối chóp thành hai khối đa diện tích A x = ( ) − ab 2c B x = ( − ) ab 2c C x = (3 − ) c D x = (3 − ) c Lời giải Chọn D  M  ( MBC )  ( SAD )  ( MBC )  ( SAD ) = MN , MN / / AD, MN  SD = N    AD / / BC Mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp thành hai khối đa diện khối chóp S.MNBC khối MNBCAD VS.MNBC = VS.MBC + V S.MCN ( c − x ) V VS MBC MA =  VS MBC = S ABC ; VS ABC SA c VS MNC SM SN c−x c−x =  VS MDC =   VS ADC =   VS ABC VS ADC SA SD  c   c  VS BCMN = c− x  c − x 1+ VS ABC c  c  Theo ta có  c− x  c− x VS MNBC = VS ABC =  VS ABC = VS ABC  ( c − x )( 2c − x ) = c  x − 3cx + c =  1 +  c   c   3− c x = 3−  x   x= c   1   c  3+ c x = 