Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2021 2022 Lạng Sơn

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2021 2022 Lạng Sơn. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2021 – 2022 trường THPT chuyên Hùng Vương – Bình Dương gồm 02 trang với 07 bài ...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) a) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x  (m  1) x  (m  1) x  có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2x  có đồ thị  C  Cho d tiếp tuyến  C  điểm M  x0 ; y0  , x 1 d cắt hai đường tiệm cận  C  A B Tính độ dài IA, IB theo x0 ( I giao b) Cho hàm số y  điểm hai đường tiệm cận) tìm bán kính lớn đường tròn nội tiếp tam giác IAB Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 4sin x  cos x  sin x   sin x 2  x3  y  y  x  28 y  30 b) Giải hệ phương trình sau    y   x  x  Câu (2,0 điểm) Cho 2021 thẻ đánh số theo thứ tự từ đến 2021 (mỗi thẻ đánh số khơng có hai thẻ có số giống nhau) Các thẻ úp xuống mặt bàn khơng nhìn thấy số thẻ Bốc ngẫu nhiên thẻ, tính xác xuất để số ghi thẻ a) Chia hết cho 15 b) Chia hết cho 2, chia hết cho chia hết cho Câu (2,0 điểm) Một cửa hàng bán quýt loại I với giá 50.000 đồng/kg Với giá bán cửa hàng bán khoảng 40kg ngày Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5000 đồng/kg số quýt bán tăng thêm 50kg Xác định giá bán để cửa hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập kg quýt ban đầu 30.000 đồng? Câu (6,0 điểm) Cho tứ diện ABCD với AB   BCD  AB  2 Tam giác ACD có ba góc nhọn, đường cao AK  AC  5, AD  a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Gọi L trung điểm BC Tính góc tạo đường thẳng KL mặt phẳng  ACD  c) Gọi M , N trọng tâm tam giác ABC , ABD I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  MNI  -Hết Họ tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh………… Chữ kí giám thị số 1: … .………Chữ kí giám thị số 2:… ……… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN Câu 1a (2,5 đ) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2021 - 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN LỚP 12 THPT (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Chú ý: Những cách giải khác HDC mà cho điểm theo thang điểm định Nội dung y  3x   m  1 x   m  1 Để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 phương trình y   phải có nghiệm phân biệt tức Điểm 0,5  '   m  1   m  1    33 m   m  5m       33 m   Theo đề x1  x2   m  5m    1b (2,5 đ) 0,5  4   a 0,5   m  5m  14   m  2  m  0,5 Kết hợp với điều kiện, có m  2, m  giá trị cần tìm 0,5 Đồ thị  C  có tiệm cận đứng x  , tiệm cận ngang y   I 1;  y  4  x  1 , x  0,5 Phương trình tiếp tuyến d  C  điểm có hồnh độ x0 y  x0  1 x x02  x0  , x0  x0   2x   Tọa độ điểm A 1;  , B  x0  1;2   x0   , IB  x0  Khi IA  x0  Tam giác IAB vng I có IA.IB  16 Gọi p , S , r nửa chu vi, diện tích bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB Ta có S IA.IB 16 IA.IB  42 r    p IA  IB  IA2  IB 2 IA.IB  IA.IB 16  32 2a (2,5 đ) 0,5 0,5 0,5  x0  Vậy Max  r    2 IA  IB     x0  1 0,5 sin x  cos x  sin x   sin x 2 0,5  sin x  1  2sin x   sin x   sin x 2 2 1   sin x  1  sin x   sin x 2 1  cos 2 x  sin x   sin x 2  cos4 x 1   sin x   sin x 2 2 1  cos x  sin x  sin x 2    sin  x    sin x 4   2     x   12  k  x   x  k 2   k    x  3  k 2  x      x  k 2   20 2b (2,5 đ)  x3  y  y  x  28 y  30    y   x  x  x  ĐK:  y  0,5 0,5 0,5 0,5 1  2 0,5 PT 1  x  x   y  3   y  3 Xét hàm số f  t   t  t có f '  t   3t   0, t   Suy f  t  hàm số đồng biến, liên tục  Phương trình f  x   f  y  3  x  y   y  x  0,5 Thay y  x  vào phương trình   ta 0,5 5 x  x3 x  x      x   x   y   x  5x    x   Vậy hệ phương trình có nghiệm  4;1 3a (1,0 đ) 3b (1,0 đ) 0,5 0,5 Số cách chọn thẻ từ 2021 thẻ n     2021 Gọi X biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 15", X biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 30”  2021  Số số thỏa mãn n  X     67  30  n X  67 Do đó, xác suất cầm tìm P  X    n    2021 Gọi A biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 2" Gọi B biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 3" Gọi C biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 5" Khi đó: A  B biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 6" B  C biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 15" 0,5 0,5 0,25 A  C biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 10" A  B  C biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 30", biến cố X ý a A  B  C biến cố "Số thẻ bốc chia hết cho 2, chia hết cho chia hết cho 5" biến cố cần tính xác suất  2021   2021   2021  n  A    1010; n  B     673; n  A     404          2021   2021   2021  n  A  B    336; n  A  C     202; n  B  C     134      10   15  n  A  B  C   n  X   67 Vậy xác suất cần tìm P  A  B  C   P  A  P  B   P  C  P  A  B  P  A  C   P  B  C   P  A  B  C  1010  673  404  336  202  134  67 1482  2021 2021 Gọi x giá bán thực tế kg quýt, ( x : đồng; 30000  x  50000 đồng) Khi số kg bán thêm là: 50   50000  x   50000  x  5000 100 Do số kg quýt bán tương ứng với giá bán x : 1 40   50000  x    x  540 100 100 Gọi f ( x ) hàm lợi nhuận thu ( f ( x) : đồng)   Ta có: f ( x)    x  540   x  30000    x  840 x  16200000 100  100  Bài toán trở thành tìm GTLN f ( x)   x  840 x  16200000 với 30000  x  50000 100 f '  x    x  840 50 f '  x     x  840   x  42000 50 Vì hàm f  x  liên tục 30000  x  50000 nên ta có: 0,25 0,25 0,25  (2,0 đ) 0,5 0,5 0,5 f  30000   f  42000   1440000 f  50000   800000 Vậy với x  42000 f  x  đạt GTLN Vậy để cửa hàng thu lợi nhuận lớn giá bán thực tế kg quýt 42.000 đồng 0,5 5a (2,5 đ) A 2 N Z M T I G B D L E C K Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ACK , ADK ta có CK  AC  AK  25  24  1; DK  AD  AK  49  25  , suy CD  AB   BCD   AB  BK , áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ABK ta có BK  AK  AB  24   Vì CD  AK , CD  AB  CD   ABK   CD  BK 1 BK CD    12 2 1 Thể tích khối chóp cho V  AB.S BCD  2.12  (đvtt) 3 Ta có S BCD  5b (2,5 đ) Kẻ BT  AK (1), CD   ABK   CD  BT   Từ (1) (2) suy BT   ACD  , d  B;  ACD    BT Tam giác ABK vuông nên 5c (1,0 đ) 1 1 ,       BT  2 BT BA BK 16 16 d  B;  ACD    BT  d  L;  ACD   CL 1 3 Ta có      d  L;  ACD    3 d  B;  ACD   CB d  L;  ACD   Ta gọi  KL;  ACD      sin    KL 1 17 KL trung tuyến tam giác vuông BKC suy KL  BC  BK  KC  2 2 d  L;  ACD   51 51      arcsin Do đó, sin   KL 51 51 17 Gọi AI  CD  E, AN  BD  G Vì CI , DI phân giác tam giác ACE , DCE nên AI AC AD   IE CE DE 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 AI AC  AD AC  AD      IE CE  DE CD AM AN AM AN AI   ,   Theo tính chất trọng tâm ta có ML NG ML NG IE MI || LE, MN || LG (theo Ta-lét đảo) suy  MNI  || ( BCD) Theo tính chất tỉ lệ thức AZ AN 2    BZ  ZB NG 2 Do đó, d  D;  MNI    d  B;  MNI    BZ  Ta gọi Z   MNI   AB  Z  -Hết - 0,5