Năng lượng trong mạch dao động

Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ Bài giảng Dao động điện từ Website: www.hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt! Mobile: 0985074831 1) Năng lượng điện trường, (W C ) Là năng lượng tích lũy trong tụ điện, tính bởi công thức 2 2 C 1 q W Cu 2 2C = = 2) Năng lượng từ trường, (W L ) Là n ă ng l ượ ng tích l ũ y trong cu ộ n c ả m, tính b ở i công th ứ c 2 L 1 W Li 2 = 3) Năng lượng điện từ, (W) Là tổng của năng lượng điện trường và năng lượng từ trường, cho bởi 2 2 2 2 L C 2 1 1 Cu Li 2 2 q 1 W W W Li 2C 2 1 1 qu Li 2 2 + = + = + + 4) Sự bảo toàn năng lượng điện từ của mạch dao động điện từ lí tưởng Gi ả s ử ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 o o 2 o o q Q cos ωt Q cos ωt q 1 1 W Li L ωQ sin ωt 2C 2 2C 2 i q ωQ sin ωt  =  → = + = + −  =    ′ = = −   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o o o o o Q Q Q 1 1 1 cos ωt Lω Q sin ωt cos ωt L. Q sin ωt const. 2C 2 2C 2 LC 2C = + = + = = Vậy trong mạch dao động LC thì năng lượng có thể chuyển hóa qua lại giữa năng lượng điện trường và năng lượng từ trường nhưng tổng của chúng là năng lượng điện từ luôn được bảo toàn. Nhận xét:    Từ các công thức tính ở trên ta thấy năng lượng điện từ bằng năng lượng từ trường cực đại và cũng bằng năng lượng điện trường cực đại. Khi đó ta có ( ) ( ) 2 o 2 2 2 o 2 2 o o C o o o max o o 2 2 2 L o o o max o o Q LC I Q Q 1 1 1 W CU QU LI C 2C 2 2 2 2C W I U L 1 1 1 W LI LI CU 2 2 2 L U I C  =    = = = =     = → ⇔ =     = =    =     Cũng giống như động năng và thế năng của dao động cơ, nếu mạch dao động biến thiên tuần hoàn với chu kỳ T, tần số f thì năng lượng điện trường và năng lượng từ trường biến thiên tuần hoàn với tần số là 2f và chu kỳ là T/2.  Để tính các giá trị tức thời (u, i) ta dựa vào phương trình bảo toàn năng lượng: ( ) ( ) 2 2 o 2 2 2 2 2 2 o o 2 2 o 2 2 2 2 2 2 o o C U u 1 1 1 CU Cu Li Li CU Cu i 2 2 2 L L I i 1 1 1 LI Cu Li Cu LI Li u 2 2 2 C − = + ⇔ = − → = − = + ⇔ = − → =  Để tính các giá trị tức thời (i, q) ta dựa vào hệ thức liên hệ: ( ) ( ) 2 2 o o o o q Q cos ωt i q 1. ωQ Q i q ωQ sin ωt  =      → + =      ′ = = −       Bài giảng 2: N¨ng l−îng N¨ng l−îng N¨ng l−îng N¨ng l−îng M¹ch dao ®éng ®iÖn tõ M¹ch dao ®éng ®iÖn tõM¹ch dao ®éng ®iÖn tõ M¹ch dao ®éng ®iÖn tõ Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ Bài giảng Dao động điện từ Website: www.hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt! Mobile: 0985074831 Từ đó ta có một số các cặp (i, q) liên hợp: C o L L o C o o C L o o L C o o L C W W i 0; q Q W 0 W W i I ; q 0 W 0 I Q 3 i ; q W 3W 2 2 I 3 Q i ;q W 3W 2 2 I 2 Q 2 i ; q W W 2 2 =  = = ± →  =  =  = ± = →  =  = ± = ± → = = ± = ± → = = ± = ± → = Ví dụ 1: Mạch dao động lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C = 1 (µF) và cuộn dây có độ từ cảm L = 1 (mH). Trong quá trình dao động, cường độ dòng điện qua cuộn dây có độ lớn lớn nhất là 0,05 (A). Sau bao lâu thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện có độ lớn lớn nhất, độ lớn đó bằng bao nhiêu? Hướng dẫn giải:  Th ờ i gian t ừ lúc c ườ ng độ dòng đ i ệ n đạ t c ự c đạ i đế n lúc hi ệ u đ i ệ n th ế đạ t c ự c đạ i là T/4 (T là chu kì dao độ ng riêng c ủ a m ạ ch). V ậ y th ờ i gian c ầ n tìm là 6 2 4 1 1 t .2 π LC π 10 .10 1,57.10 (s). 4 2 − − − ∆ = = =  Bảo toàn năng lượng ta được 2 2 2 o o o o 6 1 1 L 10 CU LI U I 0,05. 5 (V). 2 2 C 10 − − = → = = = Ví dụ 2: Mạch dao động LC có cường độ dòng điện cực đại I o = 10 (mA), điện tích cực đại của tụ điện là Q o = 4.10 –8 (C). a) Tính tần số dao động riêng của mạch. b) Tính hệ số tự cảm của cuộn dây, biết điện dung của tụ điện C = 800 (pF). Hướng dẫn giải: a) Ta có 3 5 o o o 8 o I 10.10 I ωQ ω 2,5.10 (rad/s). Q 4.10 − − = → = = = Từ đó tần số dao động riêng của mạch là 5 ω 2,5.10 f 40000 (Hz). 2 π 2π = = = b) Từ phương trình bảo toàn năng lượng 2 2 2 8 2 o o o 12 3 o Q Q 1 1 1 4.10 LI L . 0,02 (H). 2C 2 C I 800.10 10.10 − − −     = → = = =         Vậy hệ số tự cảm của cuộn dây là L = 0,02 (H). Ví dụ 3: Mạch dao động LC lí tưởng dao động với chu kì riêng T = 10 –4 (s), hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ U o = 10 (V), cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây là I o = 0,02 (A). Tính điện dung của tụ điện và hệ số tự cảm của cuộn dây. Hướng dẫn giải:  Bảo toàn năng lượng ta được ( ) 2 2 2 4 o o o 2 o U 1 1 L LI CU 25.10 , 1 . 2 2 C I = → = =  Theo giả thiết ( ) 2 8 10 2 2 T 10 T 2 π LC LC 2,5.10 , 2 . 4π 4.π − − = → = = = Từ (1) và (2) ta có 4 10 L 25.10 L 7,9 (mH) C C 31,6 (nF) LC 2,5.10 −  = =   →   =   =  Ví dụ 4: M ạ ch dao độ ng LC g ồ m t ụ C = 6 ( µ F) và cu ộ n c ả m thu ầ n. Bi ế t giá tr ị c ự c đạ i c ủ a đ i ệ n áp gi ữ a hai đầ u t ụ đ i ệ n là U o = 14 V. T ạ i th ờ i đ i ể m đ i ệ n áp gi ữ a hai b ả n c ủ a t ụ là u = 8 V, n ă ng l ượ ng t ừ tr ườ ng trong m ạ ch b ằ ng A. W L = 588 µ J. B. W L = 396 µ J. C. W L = 39,6 µ J. D. W L = 58,8 µ J. Hướng dẫn giải: Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ Bài giảng Dao động điện từ Website: www.hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt! Mobile: 0985074831 Bảo toàn năng lượng ta được ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 o L o o 1 1 1 1 1 1 1 CU Li Cu W Li CU Cu C U u 2 2 2 2 2 2 2 = + → = = − = − Thay số ta được năng lượng từ trường của mạch là ( ) 2 2 L 1 W .6. 14 8 396 µJ. 2 = − = Vậy chọn đáp án B. Bình luận: Trong ví dụ trên các em thấy được các đáp án đều để đơn vị của W L là bội số của µ nên trong phép tính toán ta không cần thiết phải đổi đơn vị của điện dung C ra Fara. Đó là một kĩ năng quan trọng của làm trắc nghiệm: hãy quan sát đáp án để có hướng tính toán hợp lý. Ví dụ 5: Tại thời điểm cường độ dòng điện qua cuộn dây trong một mạch dao động có độ lớn là 0,1 (A) thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện của mạch là 3 (V). Tần số dao động riêng của mạch là 1000 (Hz). Tính các giá trị cực đại của điện tích trên tụ điện, hiệu điện thế hai đầu cuộn dây và cường độ dòng điện qua cuộn dây, biết điện dung của tụ điện 10 (µF). Hướng dẫn giải: i = 0,1 A u = 3 V f = 1000 Hz C = 10 µC Tính Q o ; U o ; I o  Bảo toàn năng lượng ta được ( ) 2 2 2 2 2 2 2 o o Q 1 1 Li Cu Q LCi C u , 1 . 2 2 2C + = → = + Mà 2 2 1 1 f LC 4 π f 2π LC = → = , thay vào (1) ta được 2 2 2 2 6 2 2 5 o 2 2 2 2 i 0,1 Q C u (10.10 ) .3 3,4.10 (C). 4π f 4.π .1000 − − = + = + =  Hiệu điện thế cực đại và cường độ dòng điện cực đại được tính bởi 5 o o 5 5 o o o Q 3,4.10 U 3,4 V. C 10 I ωQ 2πfQ 2.π.1000.3,4.10 0,21A. − − − = = = = = = = Ví dụ 6: Một mạch dao động LC, cuộn dây có độ tự cảm L = 2 (mH) và tụ điện có điện dung C = 0,2 (µF). Cường độ dòng điện cực đại trong cuộn cảm là I o = 0,5 (A). Tìm năng lượng của mạch dao động và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện ở thời điểm dòng điện qua cuộn cảm có cường độ i = 0,3 (A). Bỏ qua những mất mát năng lượng trong quá trình dao động. Hướng dẫn giải:  Năng lượng điện từ của mạch 2 3 2 3 o 1 1 W LI .2.10 .0,5 0,25.10 (J). 2 2 − − = = =  Mặt khác ta cũng có 2 3 3 2 2 2 6 1 1 2W Li 2.0,25.10 2.10 .0,3 W Li Cu u 40 (V). 2 2 C 0,2.10 − − − − − = + → = = = Ví dụ 7: Cường độ dòng điện tức thời trong một mạch dao động LC lí tưởng là i = 0,08cos(2000t) A. Cuộn dây có độ tự cảm là L = 50 (mH). a) Hãy tính điện dung của tụ điện. b) Xác định hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện tại thời điểm cường độ dòng điện tức thời trong mạch bằng giá trị cường độ dòng điện hiệu dụng. Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết ta có 6 2 3 2 1 1 1 ω C 5.10 F 5 (µF). Lω 50.10 .2000 LC − − = → = = = = b) Bảo toàn năng lượng ta được 2 2 2 o 1 1 1 Li Cu LI 2 2 2 + = Tại thời điểm 3 o o 6 I L 50.10 i I u I 0,08 4 2 (V). 2C 25.10 2 − − = = → = = = Ví dụ 8: Trong m ạ ch dao độ ng LC có dao độ ng đ i ệ n t ừ t ự do (dao độ ng riêng) v ớ i t ầ n s ố góc 10 4 rad/s. Đ i ệ n tích c ự c đạ i trên t ụ đ i ệ n là Q o = 10 –9 C. Khi c ườ ng độ dòng đ i ệ n trong m ạ ch b ằ ng 6.10 –6 A thì đ i ệ n tích trên t ụ đ i ệ n là A. q = 8.10 –10 C. B. q = 4.10 –10 C. C. q = 2.10 –10 C. D. q = 6.10 –10 C. Hướng dẫn giải: Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ Bài giảng Dao động điện từ Website: www.hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt! Mobile: 0985074831 Áp dụng hệ thức liên hệ ta được ( ) ( ) 2 2 o o o o q Q cos ωt i q 1. ωQ Q i q ωQ sin ωt  =      → + =      ′ = = −       Thay số với 2 2 6 4 6 9 10 o 5 9 6.10 q ω 10 ; i 6.10 ; Q 10 1 q 8.10 (C) 10 10 − − − − − −     = = = → + = ⇔ =         Vậy chọn đáp án A. Ví dụ 9: Mạch dao động điện từ LC có điện tích cực đại giữa hai bản tụ điện là Q o , cường độ dòng điện cực đại trong mạch là I o . Tìm khoảng thời gian ngắn nhất a) từ khi tụ bắt đầu phóng điện đến khi cường độ dòng điện qua cuộn dây cực đại. b) từ thời điểm mà năng lượng điện trường cực đại đến thời điểm năng lượng điện trường bằng 3 lần năng lượng từ trường. c) từ thời điểm năng lượng từ trường cực đại đến thời điểm năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường. d) từ thời điểm năng lượng từ trường bằng ba lần năng lượng điện trường đền thời điểm năng lượng từ trường cực đại. Hướng dẫn giải: a) Tụ bắt đầu phóng điện thì q = Q o , cường độ dòng điện cực đại thì o o i I q Q = ⇔ = khi đ ó ta đượ c ( ) o T 2 π LC π LC t : q Q q 0 t 4 4 2 ∆ = → = →∆ = = = b) Năng lượng điện trường cực đại tức q = Q o Khi năng lượng điện trường bằng 3 lần năng lượng từ trường thì 2 2 o C L o Q 3 3 3 W 3W W q Q q 4 4 2 = = ⇔ = → = ± Khi đó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn o o Q 3 T 2 π LC π LC t : q Q q t 2 12 12 6   ∆ = → = →∆ = = =       c) Năng lượng từ trường cực đại tức o i I q 0. = ⇔ = Khi năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường thì 2 2 o C L o Q 2 1 1 W W W q Q q 2 2 2 = = ⇔ = → = ± Khi đó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn o o Q 2 T 2 π LC π LC t : q Q q t 2 8 8 4   ∆ = → = ± →∆ = = =       d) Khi năng lượng từ trường bằng 3 lần năng lượng điện trường thì 2 2 o L C o I 3 3 3 W 3W W i I i 4 4 2 = = ⇔ = → = ± khi năng lượng từ trường cực đại, tức là i = I o . Khi đó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn o o I 3 T 2 π LC π LC t : i i I t 2 12 12 6   ∆ = → = →∆ = = =       Ví dụ 10: Mạch dao động LC có − = = 2 10 1 L (H),C ( µF). π π Bỏ qua điện trở dây nối. Tích điện cho tụ điện đến giá trị cực đại Q o , trong mạch có dao động điện từ riêng. a) Tính tần số dao động của mạch. b) Khi năng lượng điện trường ở tụ điện bằng năng lượng từ trường ở cuộn dây thì điện tích trên tụ điện bằng bao nhiêu phần trăm Q o ? Hướng dẫn giải: a) Tần số dao động riêng của mạch là 2 6 1 1 f 5000 (Hz). 2π LC 10 10 2π. . π π − − = = = b) Khi năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường ta có 2 2 o C L o Q 2 1 1 W W W q Q q 2 2 2 = = ⇔ = → = ± Vậy o q 70%Q ≈ . Ví dụ 11: Trong mạch dao động tụ điện được cấp một năng lượng W = 1 (µJ) từ nguồn điện một chiều có suất điện động e = 4 (V). Cứ sau những khoảng thời gian như nhau ∆ ∆∆ ∆ t = 1 (µs) thì năng lượng trong tụ điện và trong cuộn cảm lại bằng nhau. Xác định độ tự cảm L của cuộn dây ? Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ Bài giảng Dao động điện từ Website: www.hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt! Mobile: 0985074831 A. = 2 32 L (nH). π B. = 2 34 L ( µH). π C. = 2 32 L ( µH). π D. = 2 30 L ( µH). π Hướng dẫn giải: Tụ được nạp điện bằng suất điện động một chiều nên e = U o = 4 (V). Khi năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường thì 2 2 o C L o Q 2 1 1 W W W q Q q 2 2 2 = = ⇔ = → = ± Kho ả ng th ờ i gian gi ữ a hai l ầ n liên ti ế p mà W L = W C th ỏ a mãn o o Q 2 Q 2 T T t : q q t 2. 2 2 8 4   ∆ = − → = →∆ = =       T ừ đ ó ta đượ c T = 4. ∆ t = 4 ( µ s). M ặ t khác ( ) 2 6 2 2 2 2 o o o 2 2 2 2 6 2 2 2 1 4.10 .4 W CU U T U 2W 32 2 L ( µH). T 4π L 8π W 8π .10 π T 2π LC T 4π LC − −  =  → = ⇔ = = =   = ⇔ =  Vậy chọn đáp án C. III. SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ Các đại lượng tương tự nhau của dao động cơ và dao động điện từ thể hiện qua bảng sau: Dao động cơ học Dao động điện từ x q v i 2 d 1 E mv 2 = 2 L 1 W Li 2 = 2 t 1 E kx 2 = 2 C q W 2C = m L k 1 C . dao ®éng ®iÖn tõ M¹ch dao ®éng ®iÖn tõM¹ch dao ®éng ®iÖn tõ M¹ch dao ®éng ®iÖn tõ Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ Bài giảng Dao. QUAN GIỮA DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ Các đại lượng tương tự nhau của dao động cơ và dao động điện từ thể hiện qua bảng sau: Dao động cơ học Dao động