SKKN Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình Toán 6 0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC BÀI TỐN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ CĨ QUY LUẬT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Người thực hiện: Chức vụ: Đơn vị công tác: SKKN thuộc lĩnh vực: Nguyễn Thị Lâm Giáo viên Trường THCS Thăng Long Toán NÔNG CỐNG, NĂM 2017 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC TT Tên mục Trang I PHẦN MỞ ĐẦU 02 Lý chọn đề tài 02 Mục đích nghiên cứu 02 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 03 Phương pháp nghiên cứu 03 II PHẦN NỘI DUNG 04 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 04 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 04 Các giải pháp giải vấn đề 04 10 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 11 III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21 12 Kết luận 21 13 Kiến nghị 21 SangKienKinhNghiem.net I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Nghị Trung ương khóa VIII nêu rõ: “Giáo dục quốc sách hàng đầu”, phát triển giáo dục động lực quan trọng thúc đẩy nghiệp cơng nghiệp hóa - đại hóa đất nước, điều kiện phát huy nguồn nhân lực người, yếu tố để phát triển xã hội Giáo dục đào tạo thực mục đích “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong thời đại hội nhập nay, phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ địi hỏi dân trí ngày phải nâng lên Vì vậy, từ cịn ngồi ghế nhà trường, học sinh cần giáo dục nhân cách trí tuệ cách tồn diện nhất, tạo tảng vững để giúp em trở thành người đủ phẩm chất lực, có ích cho xã hội Muốn vậy, em cần rèn luyện lối tư sắc bén, lập luận chặt chẽ, linh hoạt nhanh nhẹn, có khả phán đốn, phân tích, tổng hợp, khái quát vấn đề, Để đáp ứng yêu cầu giáo dục, môn Tốn chiếm vị trí vơ quan trọng tốn học khơng giúp học sinh có khả tính tốn, phát triển tư duy, suy luận lơgic mà tốn học cịn tiền đề cho mơn khoa học khác Tuy nhiên, tốn học, có nhiều vấn đề trừu tượng, cần vận dụng trực tiếp công thức làm Qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy có số dạng tốn mà học sinh gặp phải thấy có nhiều khó khăn, dạng tốn địi hỏi vẽ đường phụ hình học, tốn bất đẳng thức, tốn suy luận lơgic, Đối với lớp 6, đặc biệt có dạng toán dãy số viết theo quy luật, dạng tốn tương đối khó với em tiếp xúc Nhiều học sinh khó hiểu gặp dạng tốn này, chưa tìm quy luật dãy số, em cịn lúng túng, chưa định phương pháp giải tập cho hợp lý Trong đề thi học sinh giỏi cấp thường hay gặp dạng toán mà sách giáo khoa lại chưa đề cập nhiều, sách nâng cao có đề cập đến chưa sâu, thường cho em số tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho em biết cách khai thác toán thành toán đa dạng hơn, nên gặp khác chút em lại lúng túng Vì vậy, tơi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác tốn dãy phân số có quy luật chương trình tốn 6” để nghiên cứu, tìm tịi viết sáng kiến kinh nghiệm Mục đích nghiên cứu: Mục đích việc nghiên cứu đề tài khai thác, mở rộng dạng toán dãy phân số có quy luật thành toán đa dạng hơn, giúp học sinh biết cách nhận quy luật dãy cách nhanh chóng để từ định hướng phương pháp giải Khơng vậy, đề tài cịn giúp học sinh rèn luyện thói quen gặp tốn, khơng tìm cách giải tốn mà cịn phải cố gắng tìm cách khai thác tốn để tốn mới, góp phần nâng cao kiến thức, khả tư tốn học, suy luận lơgic cho học sinh, khuyến khích em ln biết tìm tịi, khám phá, tăng đam mê niềm u thích toán học cho SangKienKinhNghiem.net em Đề tài giúp cho giáo viên hệ thống hóa dạng tốn dãy phân số có quy luật cách rời rạc thành chuỗi thống nhất, từ giúp học sinh tiếp thu dễ dàng, trình dạy học đạt hiệu cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu: a Đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu số dãy phân số có quy luật chương trình tốn lớp - Nghiên cứu hướng khai thác toán dãy phân số có quy luật Cụ thể, đề tài này, nghiên cứu hướng khai thác hai toán tổng dãy phân số có quy luật, là: - Khai thác toán 1: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp - Khai thác tốn 2: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp b Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phạm vi 33 em học sinh lớp 6D trường THCS Trần Phú năm học 2016 - 2017 (trường THCS Trần Phú nơi làm nhiệm vụ dạy tăng cường) Phương pháp nghiên cứu: a Phương pháp xây dựng, hệ thống kiến thức: - Dựa vốn kiến thức sẵn có thân - Thảo luận, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp - Tham khảo tài liệu (sách vở, mạng internet) kiến thức đề tài b Phương pháp điều tra, khảo sát tình hình thực tế: - Nghiên cứu giải học sinh - Trò chuyện với học sinh khó khăn gặp dạng tốn dãy phân số có quy luật, cách xử lý vấn đề em c Phương pháp phân tích, tổng hợp: - Phân tích tốn dạng dãy phân số có quy luật - Phân tích ngun nhân khó khăn học sinh - Tổng hợp kinh nghiệm khai thác tốn cách có hệ thống SangKienKinhNghiem.net II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình dạy học ôn tập cho học sinh thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 6, dạng tốn dãy phân số có quy luật dạng thường gặp Nhưng 0thực tế, gặp dạng này, nhiều học sinh tỏ lúng túng, khơng tìm cách giải, đặc biệt với dãy dạng mà có biến đổi phức tạp gây khó khăn cho học sinh, nhiều em thấy khó cịn nản chí Vì vậy, việc tìm quy luật dãy khai thác toán theo nhiều dạng tập khác trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo gặp dạng tự tin gặp đề thi có tập liên quan Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong trình dạy chương III phần Số học lớp - chương “Phân số”, thấy nhiều em lúng túng, khơng tìm phương pháp giải cho dạng tốn dãy phân số có quy luật Cả lớp 18/33 em làm tính tổng dãy phân số có quy luật mà em học từ lớp 4, có thay đổi nhỏ đề không em làm Trong trình trao đổi, trị chuyện với học sinh q trình khảo sát làm thực tế em, tơi nhận số khó khăn em thường gặp, là: khơng tìm quy luật dãy có em tìm quy luật khơng biết cách giải vấn đề, em chưa biết cách khai thác dạng toán nên thay đổi đề chút lại khơng có hướng giải Các giải pháp giải vấn đề: Qua tham khảo tài liệu q trình tìm tịi, nghiên cứu với kinh nghiệm thực tế giảng dạy mình, tơi hướng dẫn học sinh khai thác toán chủ đề “dãy phân số viết theo quy luật” thành toán Cụ thể sau: Bài toán 1: 1 1 Tính giá trị biểu thức: A = 1 2 3 48 49 49 50 Nhận thấy: A tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp Giải: Ta có: 1 1 A= 1 2 3 48 49 49 50 1 1 1 1 2 3 48 49 49 50 1 1 2 3 49 49 50 SangKienKinhNghiem.net 1 50 49 50 Từ tốn này, ta có số cách khai thác toán sau: Khai thác 1: Thêm vào biểu thức nhiều số hạng theo quy luật dãy, ta toán Chẳng hạn: 1 1 1 2 3 2015 2016 2016 2017 1 1 Ta có: A1 = 1 2 3 2015 2016 2016 2017 1 1 1 1 2 3 2015 2016 2016 2017 1 1 1 2 3 2016 2016 2017 1 2017 2016 2017 Tính giá trị biểu thức: A1 = Giải: Khai thác 2: Từ toán 1, ta phát triển thành toán tổng quát Cụ thể là: Tính giá trị biểu thức: A2 = Giải: 1 1 với n * 1 2 3 (n 1) n n (n 1) Với n * , ta có: 1 1 A2 = 1 2 3 ( n 1) n n ( n 1) 1 1 1 1 2 3 n 1 n n n 1 1 1 1 2 3 n n n 1 1 n 1 n n 1 1 Khai thác 3: Từ kết toán trên, ta phát triển thành toán so sánh hai biểu thức biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 1 So sánh: A3 = với 1 2 3 98 99 99 100 1 1 Giải: Ta có: A3 = 1 2 3 98 99 99 100 SangKienKinhNghiem.net 1 1 1 1 2 3 98 99 99 100 1 1 2 3 99 99 100 1 100 1 Vì > nên < 100 100 Vậy A3 < Khai thác 4: Ta phát triển thành tốn chứng minh bất đẳng thức vế tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 1 Cho biểu thức: A4 = 1 2 3 998 999 999 1000 2017 Chứng minh: A4 < 2016 1 1 Giải: Ta có: A4 = 1 2 3 998 999 999 1000 1 1 1 1 2 3 998 999 999 1000 1 1 2 3 999 999 1000 1 1000 1 2017 2017 Vì > nên < Lại có : < suy < 1000 1000 2016 1000 2016 2017 Vậy A4 < (đpcm) 2016 Khai thác 5: Từ toán 1, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên liên tiếp, ta có tốn khác Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 1 2017 2017 2017 2017 2017 1 23 3 2015 2016 2016 2017 2017 2017 2017 2017 2017 Giải: Ta có: A5 = 1 23 3 2015 2016 2016 2017 1 1 2017 2015 2016 2016 2017 1 2 3 A5 = SangKienKinhNghiem.net 1 1 1 1 2017 1 2015 2016 2016 2017 2 3 1 1 1 2017 1 2016 2016 2017 2 3 2017 1 2017 2016 2017 2017 2016 Khai thác 6: Từ toán trên, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên chẵn (hoặc lẻ) liên tiếp, ta có tốn khác Chẳng hạn: 2 2 Tính giá trị biểu thức: A6 = 1 3 5 95 97 97 99 2 2 Giải: Ta có: A6 = 1 3 5 95 97 97 99 1 1 1 1 3 5 95 97 97 99 1 1 3 5 97 97 99 1 99 98 99 Khai thác 7: Từ toán trên, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích hai số tự nhiên tử số, ta có toán khác Chẳng hạn: 5 5 6 11 11 16 2006.2011 2011.2016 5 5 Giải: Ta có: A7 = 6 11 11 16 2006.2011 2011.2016 1 1 1 1 6 11 11 16 2006 2011 2011 2016 1 1 1 6 11 11 2011 2011 2016 1 2016 2015 2016 Tính giá trị biểu thức: A7 = SangKienKinhNghiem.net Khai thác 8: Từ toán trên, ta phát triển thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên cách lượng khác tử số, ta có tốn khác Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 3 3 6 11 11 16 2006 2011 2011 2016 3 3 Giải: Ta có: A8 = 6 11 11 16 2006 2011 2011 2016 5 5 6 11 11 16 2006 2011 2011 2016 1 1 1 1 1 6 11 11 16 2006 2011 2011 2016 A8 = 1 1 1 1 6 11 11 2011 2011 2016 1 2016 2015 2016 403 672 Khai thác 9: Từ toán 1, bỏ số hạng vị trí chẵn (tính từ trái sang phải), ta toán Cụ thể sau: 1 1 1 97 98 99 100 1 1 Giải: Ta có: A9 = 1 97 98 99 100 1 1 99 100 1 1 1 1 1 1 99 100 98 100 2 1 1 1 1 1 1 99 100 49 50 1 1 51 52 53 99 100 Tính giá trị biểu thức: A9 = Khai thác 10: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu số theo quy luật tốn tính giá trị cụ thể Chẳng hạn: 1 1 1 14 35 65 4850 5150 1 1 1 Ta có: A10 = 14 35 65 4850 5150 Tính giá trị biểu thức: A10 = Giải: SangKienKinhNghiem.net 2 2 2 28 70 130 9700 10300 2 2 2 4 7 10 10 13 97 100 100 103 3 3 4 7 10 97 100 100 103 1 1 1 1 1 4 7 10 97 100 100 103 1 1 1 4 7 100 100 103 1 103 102 103 68 103 Khai thác 11: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu phân số tích ba số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: 1 1 A11 = 1 97 98 99 98 99 100 1 1 Giải:Ta có:A11 = 1 97 98 99 98 99 100 1 1 1 1 1 2 3 97 98 98 99 98 99 99 100 1 1 99 100 4949 9900 4949 19800 Khai thác 12: Kết hợp dạng toán toán vừa phát triển hướng khai thác 11 ta toán Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: A12 = 1 1 1 1 1 1 99 100 99 100 101 Giải: Ta có: A12 = 1 1 1 1 1 1 99 100 99 100 101 SangKienKinhNghiem.net 1 1 1 99 100 1 99 100 101 1 2 3 1 1 1 1 99 100 2 3 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 100 101 1 1 100 1 100 101 99 5049 100 20200 14949 20200 Khai thác 13: Từ toán 1, ta phát triển thành toán với tử số nhau, mẫu phân số tích bốn số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Tính giá trị biểu thức: A13 = Giải: A13 = 1 1 1 96 97 98 99 97 98 99 100 Ta có: 1 1 1 96 97 98 99 97 98 99 100 1 1 1 1 1 96 97 98 97 98 99 97 98 99 98 99 100 1 1 98 99 100 161699 970200 161699 2910600 Khai thác 14: Đổi dấu phân số 1, ta toán Cụ thể là: 1 1 1 2 3 48 49 49 50 1 1 Ta có: A14 = 1 2 3 48 49 49 50 Tính giá trị biểu thức: A14 = Giải: 1 1 48 49 49 50 1 2 3 1 1 1 1 1 48 49 49 50 2 3 1 50 10 SangKienKinhNghiem.net 49 50 Khai thác 15: Ta phát triển tốn thành tốn tìm x biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: Tìm x biết : Giải : 1 2017 2017 2017 2017 x 99 100 51 52 53 100 1 1 2017 2017 2017 2017 (1) x 99 100 51 52 53 100 1 Nhận thấy : 1 1 1 97 98 99 100 1 1 99 100 1 1 1 1 1 1 99 100 98 100 2 Lại có: 1 1 1 1 1 1 99 100 49 50 1 1 51 52 53 99 100 2017 2017 2017 2017 2017 51 52 53 99 100 1 1 1 2017 99 100 51 52 53 Nên từ (1) suy : 1 1 1 1 1 1 x 2017 99 100 99 100 51 52 53 51 52 53 x 2017 Khai thác 16: Ta phát triển dạng toán thành tốn tính tỉ số hai biểu thức, có biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: Tính tỉ số 1 1 A với: A = 1 2015 2016 B 1 1 1009 1010 1011 2016 1 1 Giải: Ta có: A = 1 2015 2016 1 1 1 2015 2016 1 1 1 1 1 1 2015 2016 2016 2 B = 11 SangKienKinhNghiem.net 1 1 1 1 1 1 2015 2016 1008 1 1 1009 1010 1011 2016 A 1 1 Mà B = nên suy B 1009 1010 1011 2016 A Vậy B Khai thác 17: Từ toán 1, giữ nguyên tử số 1, phát triển dãy mẫu số từ dạng dãy tích hai số tự nhiên liên tiếp thành dạng dãy giai thừa số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: Cho biểu thức: A17 = 1 1 Chứng minh: A17 < 2! 3! 4! 200! Giải: Nhận thấy: 1 1 2! 2 1 1 3! 3 1 1 4! 4 1 1 200! 199 200 199 200 199 200 Từ đó, suy ra: A17 = 1 1 1 1 1 1 1 1 < 2 3 199 200 200 2! 3! 4! 200! Vậy A17 < Khai thác 18: Từ toán 1, ta phát triển thành tốn tính chia hết Chẳng hạn: Cho phân số: a 1 1 b 1 99 100 a, b ; b Chứng minh: a chia hết cho 151 1 1 1 97 98 99 100 1 1 99 100 1 1 1 1 1 1 99 100 98 100 2 1 1 1 1 1 1 99 100 49 50 1 1 51 52 53 99 100 Giải: Ta có: 12 SangKienKinhNghiem.net a 1 1 b 51 52 53 99 100 1 1 51 100 52 99 75 76 151 151 151 51 100 52 99 75 76 Chọn MC = 51 52 53 99 100 , gọi thừa số phụ tương ứng k1, k2, k3, , k25, ta : a 151 k1 k2 k3 k25 b 51 52 53 99 100 Phân số có tử số chia hết cho 151 (151 số nguyên tố) mà mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 151 nên rút gọn đến phân số tối giản tử số chia hết cho 151 hay a chia hết cho 151 Vậy a chia hết cho 151 1 1 Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức: B = 10 2 2 Nhận thấy: A tổng phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp 1 1 10 (1) Giải: Ta có: B = 2 2 Suy ra: Suy ra: 2B = 1 (2) 2 Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B 10 1024 1023 1024 1023 Vậy B = 1024 1 Từ tốn này, ta có số cách khai thác toán sau: Khai thác 1: Thêm vào biểu thức nhiều số hạng theo quy luật dãy, ta toán Chẳng hạn: 1 1 Thu gọn biểu thức: B1 = 2017 2 2 Giải: Ta có: Suy ra: 1 1 2017 (1) 2 2 1 2B1 = 2016 (2) 2 B1 = 13 SangKienKinhNghiem.net Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B1 2016 Khai thác 2: Từ toán 2, ta phát triển thành toán tổng quát Cụ thể là: 1 1 * Thu gọn biểu thức: B2 = n với n 2 2 * Giải: Với n , ta có: 1 1 n (1) 2 2 B2 = Suy : 2B2 = 1 n1 2 (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được: B2 Vậy B2 2n với n * n Khai thác 3: Từ kết toán trên, ta phát triển thành tốn so sánh hai biểu thức biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 1 1 So sánh : B3 = 100 với 2 2 1 1 100 (1) Giải :Ta có : B3 = 2 2 1 Suy : 2B3 = 99 (2) 2 Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B3 100 Vì 1 < Suy B3 < 100 > nên 2100 Khai thác 4: Từ toán 2, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp, ta có tốn khác Chẳng hạn: 3 3 100 4 4 3 3 100 4 4 Thu gọn biểu thức: B4 = Giải: Ta có : B4 = = Suy : 4B4 = 1 100 4 4 1 1 99 4 4 (1) (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : 1 3B4 100 4 14 SangKienKinhNghiem.net 1 100 4 Khai thác 5: Ta phát triển thành tốn chứng minh bất đẳng thức vế tổng dãy phân số theo quy luật Chẳng hạn: 3 3 Cho B5 = 1000 Chứng minh: B5 < 4 4 3 3 Giải: Ta có: B5 = 43 4 41000 1 = 1000 (1) 4 4 1 1 Suy : 4B5 = 999 (2) 4 4 1 Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : 3B5 1000 4 B4 = B5 = Vì 1000 1 1000 4 > nên 1 1 1000 < Suy B5 < 4 4 Khai thác 6: Từ toán 2, ta phát triển thành toán với dãy phân số có tử số khác 1, mẫu phân số lũy thừa số với số mũ số tự nhiên theo cấp số cộng Chẳng hạn: 2017 2017 2017 2017 2017 10 4 4 2017 2017 2017 Giải: Ta có : B6 = 2017 10 2017 4 4 1 1 = 2017 10 2017 (1) 4 4 Thu gọn biểu thức: B6 = 1 1 Suy : 43 B6 = 2017 2014 (2) 4 4 Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : 1 4 63 B6 2017 B6 2017 2017 1 2017 63 4 Khai thác 7:Từ toán 2,đổi dấu phân số (dấu “+” thành dấu “-”, ta có tốn Chẳng hạn: 1 1 10 2 2 1 1 Giải: Ta có: B7 = 10 (1) 2 2 Tính giá trị biểu thức: B7 = 15 SangKienKinhNghiem.net 2B7 = 1 Suy ra: 1 (2) 2 Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B7 1 10 1024 1023 1024 1 Khai thác 8: Từ toán 2, đan xen dấu phân số, ta có tốn Chẳng hạn: 5 5 5 75 79 713 717 7197 201 5 5 5 B8 = 13 17 197 201 7 7 7 Thu gọn biểu thức: B8 = Giải: Ta có: = 13 17 197 201 (1) 7 7 7 1 1 1 1 1 1 74.B8 = 13 193 197 (2) 7 7 7 Suy : 1 7 Cộng vế với vế đẳng thức (2) với đẳng thức (1), ta được: 2402 B8 B8 201 1 201 2402 7 Khai thác 9: Ta phát triển dạng toán thành tốn tìm x biểu thức tổng dãy phân số theo quy luật 1 1 1917 Chẳng hạn: Tìm x biết : 1 100 x 2 2 Giải : 1 1 100 2 2 1 2B9 = 99 2 Đặt B9 = Suy : (1) (2) Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta : B9 1 1 2100 1917 Khi đó: 1 100 x 2 2 1917 1 2100 x x 21917 100 x 2017 16 SangKienKinhNghiem.net Vậy x 2017 Khai thác 10: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc hai số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: Chứng minh: Giải: B10 = 1 1 1 22 32 42 1002 Nhận thấy: 1 1 2 1 2 1 1 23 1 1 3 4 1 1 100 99 100 99 100 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: B10 = 1 1 1 1 1 22 32 42 1002 2 3 99 100 B10 < 1 100 Vậy B10 < Khai thác 11: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc ba số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: Chứng minh: Giải: B11 = 1 1 23 33 43 1003 Nhận thấy: 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 3 5 3 4 5 1 1 1 100 99 100 101 99 100 100 101 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: B11= 1 1 1 1 1 1 3 100 1 2 3 99 100 100 101 B11 < 1 1 1 100 101 100 101 17 SangKienKinhNghiem.net Vậy B11 < Khai thác 12: Từ toán 2, giữ nguyên tử phân số 1, thay dãy mẫu số phân số thành dãy lũy thừa bậc bốn số tự nhiên liên tiếp, ta toán Chẳng hạn: Chứng minh: Giải: B12 = 1 1 4 100 18 Nhận thấy: 1 1 1 4 1 1 1 1 1 3 5 3 3 5 1 1 1 3 5 3 5 5 1 1 1 100 97 98 99 100 97 98 99 98 99 100 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 4 1004 1 1 1 1 1 97 98 99 98 99 100 B12 B12 < 1 1 1 98 99 100 18 98 99 100 18 Vậy B12 < 18 Khai thác 13: Từ toán 2, ta phát triển thành toán với tử số khác 1, dãy mẫu số dãy lũy thừa bậc năm số tự nhiên liên tiếp Chẳng hạn: Chứng minh: Giải: B13 = 4 4 5 100 24 Nhận thấy: 4 1 1 1 4 1 5 3 5 3 5 3 5 4 1 3 5 3 5 5 4 1 100 97 98 99 100 101 97 98 99 100 98 99 100 101 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: 18 SangKienKinhNghiem.net 4 4 5 1005 1 1 1 1 97 98 99 100 98 99 100 101 1 1 B13 < 98 99 100 101 24 98 99 100 101 24 B13 Vậy B13 < 24 Từ đây, ta cịn khai thác để phát triển toán thành nhiều toán dãy phân số có quy luật mà giới hạn đề tài chưa thể trình bày hết Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Qua trình vận dụng kinh nghiệm việc giúp học sinh biết cách khai thác toán dãy phân số có quy luật mà tơi trình bày, tơi nhận thấy đề tài đạt số hiệu sau: - Học sinh biết nhận dạng quy luật dãy nhanh hơn, vận dụng toán dãy để làm tốn thành thạo Khi tơi thay đổi đề tốn để có tốn mới, từ chỗ ban đầu em lúng túng, nản chí chưa tìm cách giải em nhận quy luật, biết cách làm tỏ hứng thú với dạng tốn - Sự tị mị, thích khám phá nhiều em kích thích, em chủ động tìm cách khai thác toán để phát triển thành toán chưa yêu cầu Bài tập em đưa phong phú, đa dạng đầy sáng tạo Tham khảo hệ thống tập mà em phát triển khiến tơi có nhiều trải nghiệm bất ngờ thú vị Nhiều tập hay mà em khám phá được, cho em trao đổi lẫn để tăng cường khả rèn luyện cho thân tinh thần học hỏi từ bạn bè, từ em cịn đua học tập kết học tập em nâng lên - Các em học tập tích cực, chủ động, tư linh hoạt, nhanh nhẹn Nhiều em khơng tìm cách khai thác dạng tốn dãy phân số có quy luật mà cịn tích cực tìm cách khai thác, phát triển tốn dạng khác mà em gặp q trình học tập - Sau bảng so sánh kết thu trước sau thử nghiệm đề tài: + Đánh giá theo hiểu biết, vận dụng làm bài: Mức độ Làm tốt, nhanh Thời điểm Số lượng Phần trăm Trước 6,06% Sau 20 60,61% Làm bài, chưa nhanh Số lượng Phần trăm 16 48,48% 10 30,3% Còn khúc mắc Số lượng Phần trăm 15 45,46% 9,09% + Đánh giá theo tiêu chí hứng thú tích cực học tập HS nội dung này: Mức độ Thời điểm Trước Sau Hứng thú Số lượng Phần trăm 6,06% 30 90,91% Chưa hứng thú Số lượng Phần trăm 31 93,94% 9,09% 19 SangKienKinhNghiem.net ... - Khai thác tốn 1: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số tích hai số tự nhiên liên tiếp - Khai thác toán 2: tổng dãy phân số có quy luật: tử phân số 1, mẫu phân số lũy thừa số. .. cứu số dãy phân số có quy luật chương trình tốn lớp - Nghiên cứu hướng khai thác tốn dãy phân số có quy luật Cụ thể, đề tài này, nghiên cứu hướng khai thác hai toán tổng dãy phân số có quy luật, ... có : < suy < 1000 1000 20 16 1000 20 16 2017 Vậy A4 < (đpcm) 20 16 Khai thác 5: Từ toán 1, ta thay dãy phân số có tử số thành dãy phân số có tử số khác 1, mẫu số tích số tự nhiên liên tiếp, ta có