LE QUANG DIEP " — LÊ QUANG BIỆP
SỐTIY(ÔM6THỦCT0ÁN — — SỔTV(ÔN6IHÚCTĐÁN -? ~
TRUNG HOC PHO THONG Hôn nh — TRUNG HỌC PHO THONG
@ Gập miệt theo chương triuểt thiện hành iF ; & đập nhạt theo chương tru hign hank
se (Dễ dàng tra cứu khi lan bài sa ẹ _: 8 (Đề dàng tra.eứu th lan bai
(Sp) NHÀ XUẤT BAN " ~ : (Sp) NHÀ XUẤT BẢN :
Trang 2NHA XUAT BAN DAI HOC SU PHAM TP Hồ CHÍ MINH 280 An Dương Vương, Phường 4, Quận 5, TP Hồ Chí Minh
Điện thoại: (08) 38 301 303 ~ Fax: (08) 39 381 382 Email: nxb@hcmup.edu.vn — Website: http://nxb.homup.edu.vn _ $6 TAY CONG THGC TOAN TRUNG HOC PHO THONG LE QUANG BIỆP Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc ` LÊ THANH HÀ Chịu trách nhiệm nội dụng: _ Tổng biên tập NGUYEN KIM DONG ta Bién tập: Vườn, BUI VAN HẢI ,„ SÁCH VIỆT Sửa bản in: r | THE ANH — TA
Mã số sách tiêu chuẩn quốc tế - (SBN: 978-604-947-777-5
Liên kết xuất bản: Công ty TNHH MTV Sách Việt 931/13 Huỳnh Tấn Phát, P.Tân Thuận Đông, Quận 7, TPHCM
In 2.000 cuốn khổ 10 x 16cm tại Công ty TNHH MTV In Song Nguyên Địa chỉ: 931/10 Hương Lộ 2, KP 8, P Bình Trị Đóng A, Q.Bình Tân, TP HCM, Số xác nhận đăng kỷ xuất bản: 583-2017/0XBIPH/02-22/ĐHSPTPHCM Quyết định xuất bản số 159/QĐ-NXBĐHSPTPHCM Ký ngày 14 tháng 04 năm 2017 In xong và nộp lưu chiểu qui lỊ năm 2017 on
Se TA -Trnkbaybiar — mm
1 Ph
NHÀ XUẤT BẢN DAI HQC SU PHAM TP HỒ CHÍ MÌNH 280 An Dương Vương, Phường 4, Quận 5, TP Hồ Chi Minh
Điện thoại: (08) 38 301 303 — Fax: (08) 39 381 382 Email: nxb@hemup.edu.vn - Website: http://nxb.hcmup.edu.vn _ $6 TAY CONG THUG TOAN TRUNG HOC PHO THONG LE QUANG DIEP Ỳ Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc ` LẺ THANH HÀ Chịu trách nhiệm nội dung: Tổng biên tập NGUYÊN KIM ĐỒNG Biên tập:
Ưng, BÙI VĂN HẢI „
oe TTY = Brink bay bìa: — >
SACH VIET Sửa bản in: , THE ANH
¬ 2 oA
Ma sé sách tiêu chuẩn quốc tế - SN 978-604-947-777-5
Liên kết xuất bản: Công ty TNHH MTV Sách Việt 931/13 Huynh Tấn Phát, P.Tân Thuận Déng, Quan 7, TPHCM
In 2.000 cudn khé 10 x 16cm tại Công ty TNHH MTV In Song Nguyên Địa chỉ: 931/10 Hương Lộ 2, KP 8, P Bình Trị Đóng A, Q.Bình Tân, TP HCM Số xác nhận đăng ký xuất bản: 583-2017/GXBIPH/02-22/0HSPTPHCM Quyết định xuất bản số 159/QĐ-NXBĐHSPTPHCM Ký ngày 14 tháng 04
năm 2017 In xong và nộp lưu chiểu qui II năm 2017
Trang 3ICM iCM 1g 04 - Số tay cơng thức Tốn (THPT) 12 - | Phin _ ĐẠI SỐ VẢ GIẢI TÍCH - Chuyên để.1: PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Phương trình hậc hai ax'+bx+¢e=0;(a#0) có:A=b°~—4ac;
Nếu b= 2 thì A'= (b -ae
* Nếu A > 0; (A' > 0) phương trình có 2-_ nghiệm phân biệt: 226, (, 2a) 2 | ' 2a a- -b- VA —b'- Ja" 2 * 2a " a * Nếu A = 0; (A’ = nghiệm kép: 0) phương trình có: AINH nh _du.vn : 7.5 2HCM “HOM, “dng 04 Số tay công thức Toán (THPT) ¡*: Phần A | ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chun để 1: PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - -1 Phương trình bậc hai ax’ + bx +-¢ = Ủ; (a # 0) có A = bề -4ac;
- Néu b “2 thì A =(b) -ac ^^ ' b ` f “ye *
Trang 4tử Lê Quang Điệp
Trang 5
$6 tay céng thie Todn (THPT) £22
_* Phương trình có 2 nghiệm cùng dương az~0- A>0 a , ls=-°x0 af * Phuong trinh cé 2 nghiém cing õm az#0 A>0 â{P==>0 ơt s=-P<0 a Cac hằng đẳng thức đáng nhớ: _ (a+b}=a°+2ab+b? (a? -b’)=(a-b)(a+b) | 7 (a + b)” =a? +3a?b + 3ab? + bể ¡- (a*#+b*)=(a+b)(a°zab+b2) s
Số tay công thức Toán (THPT) t3
Trang 6ti Le Quang Điệp 2 Dấu của hiểu thức a) Dấu của nhị thức bậc nhất Biểu thức: f(x)=ax+b;(a#0) 1a nhị thức bậc nhất f(x)=0 ©œ ax+b =0 © Xụ =— x | ~œ Xo ha
fx) | — tráidấuvớia 0 cùng dấu vớia
b) Dấu của tam thức bậc hai
Biểu thức: x) = ax2 + bx + c; (a # 0) là tam thức bậc hai f(x) = 0© ax” + bx+c=0 .* Nếu A>0= Phương trình có 2 nghiệm _— phân biệt x, < x, _ xX -km¿ woe OY me Na HOO
f(x) cùng dấu 0 tráidấu 0 cùng dấu -
với a với a với a
* Nếu A =0 Phương trình có nghiệm kép x, = %, = 2 1 2 2a Xx —œ c=——- boo + 2a 7 f(x) '| _ :ùng dấuvớia 0 cùng dấu với a t1 Le Quang Điệp 2 Dấu sủa hiểu thức _ a) Dấu của nhị thức bậc nhất : Biểu thức: f(x)=ax+b;(a#0) 1a nhị thức bậc nhất f(x)=0 œ ax+b=0 xạ =—C | | a x |-m_ Xo +00
f(x) | trái dấu vớia 0 cùng dấu với a b) Dấu của tam thức bậc hai
Biểu thức: f(x) = ax” + bx + ¢ (a # 0) la tam thức bậc hai fx) = 0 © ax?+bx+c=0 .* Nếu A>0= Phương trình có 2 nghiệm _ phân biệt x, <x) x: |-= - x X,- - Ky bos _
4x) | cùngdấu 0 trảidấu 0 cùng dấu
"với a với a Vớia
Trang 7
Số tay cơng thức Tốn (THPT) £4
* Nếu A<0= Phương trình vô nghiệm x | -0 | a) +00 f(x) | ˆ _ gừng đấu với a €) Dấu của đa thức bậc ba 7 “Biểu thức: | | f(x) = ax’ + bx’ + cx +d; (a # 0) f(x) = 0 ax® + bx? +ex+d=0 (1) * Néu phuong trinh (1) có 3 nghiệm phân biệt x, <x, <x, X |- X1 Xa Xa +œ, f(x)
vớia - với a với a với a
* Nếu phương trình (U có 2 nghiệm trong
đó có 1 nghiém kép x0; (xo < xị) Qua
nghiệm kép không đổi dau
x |- Xo - Xì +00
— 09
trái dấu 0 trái dấu 0 cùng dấu
với a' VỚI 4: với a
Sổ tay công thức Toán (THPT) 2)
* Nếu A < 0 > Phương trình vô nghiệm .= | e -trái đấu 0 cùng đấu 0 trái dấu 0 cùng dấu xX |-= Xp f(x) | cùng dấu với a _ e).Dấu của đa thức bậc ba “Biểu thức: 7 £ (x) = ax? + bx? + ex +; (a #0) f(x)=0 © ax? + bx? +ox+d = 0 (1) * Nếu phương trình (1) có 3 nghiệm phân “biệt xX, < xX, <X, x Lo _ Xo X $00
f0) trái dấu 0 cùng dấu 0 trái dấu 0 cùng dấu
vớa - với a với a ˆ với a
* Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép xo; (xo < x1) Qua nghiệm kép không đổi dấu
Xt +00
tá dấu 0 tráidấu 0 cùng dấu với a với:a _—— VỚI 8
Trang 8tử Lê Quang Điệp
d)'Tam thức bậc hai không đổi dấu
Cho tam thie f(x)= ax’ +bx+c; (a#0) - a>0 tx) 0 veer =| A <9 a<0 * ƒ(x)<0 và Si A<0 a>0- * f(x)20 veer of | A<0 a<0 # f(x)<0 veer eo Chuyén dé 2: PHUONG TRÌNH:
- BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 1 Phương trình — Bất phương trình chứa trị tuyệt đối mm" | [a khia>0: cỊ=|5 -akhia<0 ie |
ti Lê Quang Điệp
d)-Tam thức bậc hai không đổi dấu
Cho tam thức f(x)= ax”+bx+eœ; (a z0) - a>0 A<0 x i(x)>0 Vee Roo | a<0 A<0 f(x)<0 veeRo| a>0O A<0 % f(x)>0 veer of x a<0 (x) $0 Vane Ro | “ ~ see we A<0 " Chuyên dé 2: PHƯƠNG TRÌNH
: BAT PHƯƠNG 'TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
1 Phương trình — Bất phương trình chứa trị
tuyệt đối - -
a khi a 2.0:
* l= “a khi a'< o
Trang 9Sổ tay cơng thức Tốn (THPT) 23 s * la|=|-a| vae eld: * l= Ble] 27", a=b ` a=b' “la|=b b>0)<| |a|>a ¬ * VaeR jalz-a - b>0 ° lcd ole : *la|>b © R oe * (lal)” =a” Va eR * la| + |b| > |a + b| Đẳng thức có œ ab> 0!
_ |a-— b| > |a|~ |b| Đẳng thức có ©a.b>0 _
2 Phương trình - Bất phương trình vô tỉ * Phương trình: ˆ VF = a(x) = lệ : : (x) | *la|<b =| " la|>b °|
ˆ Sổ tay công thức Toán (THPT) E1
* lal = |-al vaeR oe fale [e7 a = b a=b kb jel=b (b20) 0) <2] 2" °, lajza - * VaeR a|>-a b>0 -b<a<b a>b a<-b
* (lal)’ =a’ VaeR
* Jal + +|bl>|a+b] Dang thức có œa.b>0
* la b|> [al —[b| Dang thức có © a.b > 0
Phuong trình — Bat phuong trình vô tỉ * * Phuong trinh:
Trang 1047 L6éQuang-Diép * Bat phuong trinh dang: (g(x) >0 JE (2) <e(x) f(x)20 f(x) < g(x)
* Bat phuong trinh dang: f(x) 2 g(x)
'>„.Íf)>0 THỊ: te b)<o T2 ữ (x) 2 &*(x) „ (a(x) 20 Chuyên đề 3: BAT BANG THUC
® Bat dang thie Cési: s Va,b>0 ta có khi a =b | a+b s Va,beR ta có ( Ì '>ab dấu “+” xây ra khi a = b ¢ Va, b, c'2 0 ta cd == 2 Yabe oo (24242) > abc đấu *=° xây ra khia=b=e | 10 2+P „SP dấu ©Ơxấy rn —- “e Va, be R ta có ` tìm ^^ er +" Lê Quang Điệp - * Bất phương trình dạng: g(x)>0 +f(x)>0 Lf (x) < 8’ (x) * Bất phương trình dang: jf(x) > 2 B(x _ THỊ: (co THe: (ee *) f(2) <g(x)@ 0 8" (x) IV Vv g(x) <0 F(x) Chuyén dé 3: BAT DANG THUC * Bất đẳng thức Côsi: ` khi a = b a+b ra khi a= b
e Va, b, c>0 ta có aap tte tbe
(22tesJ es > abe du "2 sly aia b= =e
bo Jab aa xây m
Trang 11Sổ tay công thie Todn (THPT) ii Va, 20, (= 1,n)) ta có: 8, +ay + tần hay va, ot Vv no dấu "=" xảy ra khí ai ag = 8n - * Bất shag thức Bunhiacopxk: ® 'Với a, b, C, X, a z là những số bất kỳ thị: : ta luôn C6: | (ax) 5 i: +b?)(x vi dấu “=” xảy ra kh » I ic
(ax + by + ea) < (a! _— y? +2") dấu “=” xây ra khi 222250 x ° Vdi a, b, ce R vax, y, z>0 ta luôn có: a? be ct (atbee) “sy = Xo yi _X+y+z.'
Số tay cơng thức.Tốn (THPT) 12:
Va, 20, (i= 1n)) taco:
a, tagt+ ta, -h 2> (aia; a, — n đấu "=”" xây ra khi ai =:8¿ = ‹ an * Bất đẳng thức Bunhiacoprki: ô Vi a, b, Â, X, ys z là những số bất kỳ thì ta luôn có:, (ax + by <{(a? +b?)(x? i) du “=” xdy rakhi 2-2 củ x ¥
(ax + by +z)’ < (a? +b? +0?)(x? +y? +2")
Trang 13oe Cho hệ phương trình: L (x
Sô tay công thức Toán (THPT) tt a 2 Hệ nhương trình hậc hai ẩn đối xứng loại I
f(xy) =a *
Cho hệ phương trình
Mà [s(%y) =
Cách giải: ¬
Dat S=x+y, P=xy, ĐK: S?-4P>0
0< bi ea G(s P) 0 giai hé tam được S,P -
= "hi đó, x, y là nghiệm của phương trinh:
x -SX+P=0.: Tim được nghiém x: y xem xét diéu kiện và kết, luận nghiệm
3: Hệ phương trình đối xứng loại II y)= f(y; x)= ` Catch giải: Trừ hai: phương trình của hệ cho , nhau ta được: f(x; y)- f(y; x) = 0, _ =x-v)a( ¥) =ủœ x=y g(xy)=0 ‡ Tà 13) -: Cho hệ phương trình | S6 tay công thức Toán — bt 2 Hệ nhương trình bậc hai ẩn đối xứng loại I - f(xy)=a Vy g(x;y) =b : © Catch giải: : Đặt 8= x+y, P = xy, ĐK: 8° -4P >0 ¬.- | Qe li, 7 G(SP)=0- „ Rhi đó x, y là nghiệm của phương trình: › #-§X+P=0 Tìm được nghiệm x; y
Xem xét điều kiện và kết luận nghiệm
Trang 14
t? Lê Quang Điệp
Xét từng trường hợp và thay vào một
phương trình của hệ ban đầu giải Sau đó
kết luận nghiệm nếu có
4 Hệ phương trình đẳng cấp
+ f " ; = -
chong [08 9% (ay f(y; x)=b |
Trong đó f(x,y) và g(x,y) đẳng _cấp
bậc k gọi là hệ đẳng cấp
* Liu y: Hé (*) goi la đẳng cấp bậc k nếu các phương trinh f(x, y) va g(x, y) phai 1a đẳng cấp bậc k Ñx, y) va g(x, y) đẳng cấp bậc k khi: f(x, y) = m*f(mx, my) va gtx y)= m*g(mx, my) Cách giải:
«Ổ Xét x = 0 thay vào hệ có phải là nghiệm hay không
° Với: x #0 dat y= tx thay vào hệ ta có fe x'f (1; t)=a (1) 14 ~ xeŒ 9=b 8) 4, Hệ phương trình đẳng cấp ._ w La 1ý: Hệ (*) gọi là đẳng cấp bậc k nếu - ‡¿ Le Quang Điệp
Xét từng trường hợp và thay vào một phương trình của hệ ban đầu giải Sau đó
kết luận nghiệm nếu có ue, (fix y)=a: Cho hé (x y) a - f(y; x)=b Trong đó f(x, bac k goi là hệ đẳng cấp * y) va g(x,y) đẳng cấp
các phương trinh f(x, y) va g(x, y) phai la dang cap bac k f(x, y) va g(x, y) dang cấp bậc k khi:
f(x, y) = m“f(mx, my)
và g(x, y) = m*g(mx, my)
Cách giải: có
« Xét x = 0 thay vào hệ có phải là
nghiệm hay không
° Với x#0 đặt y =tx thay \ vào hệ | ta có
+ |fg tx)=a - [x'f§; t)=a (I):
Trang 15
Số tay cong thức Toán (THPT) ic
Ta thực hiện chia các vế tương ứng của
'£(1;t) |
a): và (2) được ————=_— và giải phương
zit)"
trinh nay ta được nghiệm t rồi ¡ thay vào tìm được nghiệm (x; y)
Chuyên để 5: LƯỢNG GIÁC - _1, CÁC CONG THUC CO BAN “1 Hệ thuíc cơ bản sin” x + cos”x= 1 ` tảng = sin (: # 5 + ks) cosx | OSX c cotx = — sin Xx (x # kn) - tanx cot x=] 1+ tan? x= 2 COS”X '- 1w cot? x = | "Ta thực hiện chia các vế tương ứng của
`) và (2) được f(t) =— va giải phương _— 8t) 5
- trình này ta được nghiệm t rồi ¡ thay vào
“tim được nghiệm (x; y)
Chuyên đề 5: LƯỢNG GIÁC
Trang 16£0)-Lé Quang Diép 2 Giá trị các hầm lượng giác của góc (cung) đặc biệt: x T 1 a * 0 6 4 3 3 „i0-o|#.1{ #2 |# |#-¡ V2 2 2 2 | 92 12 COSX ` 1 ¥3 v2 1} 0 2 2 2 el tanx 0 B 1 V3 - 1 cotx | ⁄3 1 đã 0 |ieamgx| 1 |.H Sinx | + + + Giá Cung | Cung” 'Cung Cung trị cung x-|' 1 : -H_.},HL IV Sinx © FO + + — 1 ~ Cosx | + = 7 : = + Tanx " +5 | _ Cotx + ° — 16 _Cosx Tà
Eñ Lê Quang Điệp
Trang 173 Cung lién kết
a) Hai cung đối nhau:
cos(~x y= cos x; , ˆ tan (—x) = tan x sin (—x) =.-sin-x: eot(—x) = — coEx b) Hai cung bù nhau: -
` cos(x~x)=—cosx; tan(x— x) = - tan x
sin(m ~ x) = sinx; cot (x= x) = -cotx c) Hai cung phu nhau:
_cos 5~x)=sinx tan Ex) =cotx
\2 ¬ :
Sh v ẾT `
vn 2 -z] = COSx;: cot l§ — x} = tan x eo AR TM
d) Hai cung hơn kém nhau m:
cos(-+ x) = — cos x; jan (nsx) tanx Sö tay cơng thức Tốn (THPT) :¿i - Sư tay cơng thức Toán (THPT) :zI '3 Cung liên kết
.a) Hai cung đối nhau:
cos (-x) = cosx; ` tan (—x) = - tan x
sin(-x) =—sinx; cot (-x) = -cotx b) Hai cung bù nhau:
cos(n — x) = —cosx; tan ( - x) = - tan x sin(n ~ x) = sinx; cot (x- x) =—cotx - ¢) Hai cung phu nhau:
Tr wo -ÍT?t Si
cosl ——x |=sIinx; tan| — — x |= cotx lễ xem sm( o3)
“oo fm \ sin( Ex] = cosx cot( 2x) tanx — fn
2 2 ma
d) Hai cung hơn kém nhaun:
cos ( + x) = — cos x:tan (+ x) = tan x
sin (x 43) = -sin x, cot (1+ x) = cot x ag
He quả: + ot |
208 (kn-+ x) = = (- 1)" COS X ‘sin (ka + “x) 5 (-1)' sin x
Trang 18
¿ú} Lê Quang Điệp ` : TT ct xử} Lê Quang Điệp ¬ ae
cos (k2n +X) = cosx - — sus(kên +x) = cosx
sin (k2n + x) = sin xX " , sin (k2m + x) = sinx
cot (kn + x) = cotx " ca cot(km + x) = cotx i
e) Hai cung hon kém nhau gi : _e) Hai cung hơn kém nhau gi ag a Tt cos| —+xX|=-sInx G+) cos| —+xX |= -—sinx G+) TU a 1 ư sin} — + X |= C0S5X sin| —+ X |= cosx (5 (5 tan(E +x) =~cot , | tan +x) =—cotx 2 : : ¬ |
mr +x] =-tanx - - me woe oo of bố cot) e+ 2 x ~ —tanx
4, Công thức biến đổi: ose .aAa 4 Công thuức biến đổi: - a Be
8) Cong thức cong: Sy eps a he _ Công thức cộng: Sóc ee
¬- sim(x+y}° “ sinx, 08 Y sin y cos x
Trang 19
9O tay cong tnuc loan (INF 1) HY
_ tanx + tan y
tan(xty)=
(x+y) 1 + tan x.tan y
cot ty)e cot x:cot y —1
, : cotx+coty
cot (x _ y}= cot x.coty + 1 cot x —coty
_b) Cong thie nhan đôi: sin 2x = 2sin x cos x 2v 2 cos2x = cos°x =sin’x _¿ := 8cos?x — 1 = 1— 2sin? x tan 2x = 20x : _ 1-tan x : ¢) Cơng thức nhân 38:
‘sin 3x = 3sinx — 4 sin® x
_eo0s8x = 4cos” x — 3cos x d) Công thức hạ bậc: : “weg 1-cos2x- 2 1— cos2x sin°x= ———— tan°x=: — cà có Dr 1+ cos2x : a 19 cot (x +y)=
_ 9O tay Cong tnuc loan (IHR Ip Re
tan(x+y) = tanx+ tany “"* 1etanx.tany '
cot x.cot y—1
cotx+coty |
cot x cot.y +1 cot (x -¥) ~ cot x — cot y
ˆb) Công thức nhân đôi:
sin 2x = 2sin x.cosx + 2 2 - cos2x = cos*x — sin’ x = 2cos’x — 1 = 1— 2sin? x _2tanx - tan 2X =—— 5 1-tan.x
ce) Cong thie nhan 3:
Trang 20£7 Lé Quang Diép » L+cos2x \ cosx=———— cotx= 2 1—cos2x e) Công thức biến đối tổng thành tích: : X+y X~ cosx +cosy = 2cos*~» cos *—* 2 2 _ xt x cos x - cosy = —2sin Y sin 2 <= : - , X+ x—
sinx + sin y = 2sin “C” cos=_”
Trang 21
Sổ tay công thc Todn (THPT) 2
(3) cosx + sin x = VBeos{ x-) (4) cosx —sin x = Si cos( x + 2) Ð Công thức biến đổi tích thành tổng:
cos X.COS ÿ = 5[e08(x + y)+cos(x— y)]
sin X:c0s y= [sin (x + y)+ sin (x 7 y)|
cosx.sin y = 2[sin(x + y)~sin(x y)]
-E) Công thức chia đôi: part = tan š) 3% 2 _— 9 sin x = ; tan x = ~ 1+¢ 1-¢? 1-t? - 1-tẺ COSX = cotx = “Tse? 2t 21:
Sổ tay công thức Todn (THPT)
(3) cosx + sinx = Bcos{ x - 4
(4) cosx — sin x= V2 cos (x + 4
a) Công thức biến đổi tích thành tổng: cos x cosy = *[cos(x +y)+cos(x- y)] 8 |
sin x.cos y = [sin (x +y)+ sin (x -y)]
cos x.siny = sisin (x +y)—-sin(x-— y)]
Trang 224 Le Quang Diép 'Hệ quả: Nếu ta đặt (t = tan x) ‘sindx =; tan 2x = 2 1+t 1-t _ +2 _ +2 cos2x = v ; cot2x = int 1+t 4E II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Phương trình cơ bản a) Phuong trinh sin: +k2 vinx «sina 2 [57% * (k eZ) x=n-at+k2n Đặc biệt: sinx = l1 © x= at ken sins = -leyx= -s† k2n _ 8Ìnx= 0x: = kn 7: b) Phuong trình cos: ch [x=ơ; cosx = cosa’ : an “22 4 Lé Quang Diép Hé qud: Néu ta dat (t = tanx) sin 2x = at tan 2x = x" l+t 1-t 2 4 cos2x = ki ; cot2x = 1-t l+t 2t II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG BIÁC 1 Phương trình cơ bản a) Phương trình sin: - x=a+k2n inx = Si >> keZ)
sinx = sina ¢ eo cat kan )
Đặc biệt: sinx = 1 © c= Eon
sinx =-lox= —g +kên “sink = Dex kr
Trang 23
30 Tay cong tnuc loan (1H I) Ht
Dac biét: cosx =lox=k2n cosx = —1 © x = (2k + l)n ‘cosx=0 x= tke c) Phuong trình tan: _ | tanx = tana (x # 5 + ke] ©x=d+kr(k Z2) | Đặc biệt: tan x =1 ox =atke tanx = =1 © x= =2 +n tanx = 0 © x = km đ) Phương trình cotan cotx = cota.(x # km) © x=œ+kmx(k Z2) 7 - Đặc biệt: cotx = 1 © x = + km CotX = —1 © x =i tke cotx = 0 o> x= + km,
2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng siác `
_— Cách giải: Đặt t=sinx (hoặc cosx, tanx,: _ eotx) ta có phương trình:
23-
90 tay cong thực Ioan (1 FIP21) 12t
Đặc biệt: cosx =lox= k2n COSX = -Í © x = (2k + l)n cosx =0 G x= 2+ km c) Phuong trinh tan: tanx = tana (x #5 kr | o> x=a+tkn(k eZ) " - Đặc biệt: tanx =1 @ x = ~+ kn ; 4 tanx =-Le> x=-7 +l tanx = 0 © x = km .đ) Phương trình cotan
cotx = cota (x # kn) œ x= o+kn(k €Z) Dac biét: cotx= Les x= 24 kr
- 1
cotk= Lo x=—7 + km 1
, 90x =0 © x= 2 + ke
2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác
Cách giải: Đặt t =sinx (hoặc cosx, tanx, - cotx) ta cé phương trình:
Trang 24
z4) Lê Quang Điệp
a„t" +a,.,t"”!+ + at” =0 (néu t = sinx)
hoặc t = cosx thì điều kiện của t: — 1 < t < 1)
3 Phương trình bậc nhất theo six Uà c0sZ asinx+bcosx=c (1) |
a.b # Odiéu kiện có nghiệm: a” + bỶ > cŸ Cách giải: Chia 2 vế phương trình cho
v*a?+bˆ và sau đó đưa về phương
trình lượng giác cơ bản (1) © sinx _—3— +cos X _—=— — va’ +b? 4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối uới sinx 0À C0SX ‘asin’ x + bsin x.cox + ccos’ x =d
3} Lê Quang Điệp—
"-L+ ,+aạt” =0 (nếu t = sinx)
at? +a, t
hoặc t = cosx thì điều kiện của t: — 1 < t < 1) 3 Plutong trinh bac nhdt theo sinx vd cosx
asinx+bcosx=c (1)
a.b # 0 diéu kién c6 nghiém: a? +b? 2c?
- Cadch giải: Chia 3 vế phương trình cho
'a°+b? và sau đó đưa về phương
Trang 25
Số tay cơng thức Tốn (THPT) E8 4
Xét cosx #0 Chia 2 vế cho cos2x và đặt 3
t=tanx
5 Phuong trinh dang
a.(sinx + cos x)+b.sinx cos x = c Cách giải: Dat t =sinx +cosx =V8sin|x+5);(ÐK :- 2<t< 2) ở 2 - 1-t?
™ SMX cos xX = hoặc sinx.cosx = và giải phương trình bậc 2 theo t Chuyên để 6: TỔ HỢP - XÁC SUẤT I TỔ HỢP St 1 Hoán 0‡: s Pa = nl = (với n € N’) 2 k n! ,
2 Chink hop: Ak = (a-k) (l<k<n) Tinh chat: P, = At
" a
3 Tổ hợp: Ct'==——”——— (0< k <n) TO NOP: Cn = Tayi n)
pe | as
Số tay công thức Toán (THPT) E8
Trang 26
tỉ] Le Quang Điệp
4 Các tính chất: P,=A%;Af=Cik!;
ofc" cht 40%, =C8 (L<sk <n)
5 Nhi thtte Niu — ton:
(a+b) =Coa"+Cia™b’ + C?a"-?b? + + CP"2a?Ð"-2 + C"la!bP"! + Cha ”b”,
6 Hệ quả:
" (1+x}` = Ca + xG) + x'C: + + x"C,
* O04 CL 4.408 = 2" |
* C8 Cl +C? — +(-1)" Ch =0
7 Số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)” là:
Tea = Cha" *b* (ne N’) II XÁC SUẤT ~“ * Xác suất của biến cố A: E Le Quang Điệp 4A Các tính chất P, =A":A* =C*kl; C* =CP* ;Otl+C*, =C# (1<k<n) 5 Nhị thức Niu — tơn:
Trang 27
Số tay công thức Toán (THPT) :2:
Trong đó n(A) là số phần tử của biến cố A n(O) là số phần tử của không gian mẫu O ” _* Tính chất xác suất: - P(Ø) =0; P(O) =1; P(®) = 0 Nếu A và B xung khắc = P(AUB) = P(A)+P(B) công thức cộng xác suất A là biến cố đối cia A ch _=P(A)=1-P(A) A va B là biến cố độc lập : ros P(A.B) = P(A).P(B) Chuyên đề 7: DAY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP số NHÂN 1 Dãy số
_* Định nghĩa: uạ = u(n) là dãy số, với u,là _ sé hang dau, u, đà thứ hạng thứ n,neN
27
Sổ tay cơng thức Tốn (THPT) :z¡
“Trong đó n(A) là số phản tử của biến cố
Trang 28
13; Lê Quang Điệp
* Néu u,., >u, hay u,,, atl -u, >0goi la day
số tăng với Vn e N
+ Nếu u,,, nel <u, hay u ntl mm <0 gọi là
dãy số giảm với Vn eÑỂ
* Tén tai mot sé A ma u, <A, VneN gọi là dãy bị chặn trên bởi A
* Tôn tại một số B mà u, >B, vneÑ” gọi
là dãy bị chặn dưới bởi B
* Tôn tại hai số A, B mà B < u, < A, vn e Ñ gọi là dãy vừa bị chặn trên bởi
A, vừa bị chặn dưới bởi B 2 ấn số cộng =u, +d (neN’) —u, là công sai * Cho cấp số cộng: u n+] trong đó d=u n+] * Số hạng tổng quát:
u„=u,+(n-1)d (a>2) với u, là thứ H
hạng đầu, d là công sai _
*.Cho cấp số cộng có các thứ hang uy-1, Ux,
u, tu uụ,¡ nên ta có: : tính chất Uy = =“
với ae > 2 s
28
17: Lê Quang Điệp
* Néu u,,, >u, hay u,,, —u, > Ogoi la dãy số tăng với Vn eÑ”
* Néu u,,, <u, hayu,,,-u,<0O gọi là - dãy số giảm với VneNÏ
* Tén tai mét so A ma u, <A, VneN
gọi là dãy bị chặn trên bởi A
* Tên tại một số B mà u, >B, VneÑÏ gọi
là dãy bị chặn dưới bởi B
Trang 29Sư tay cơng thức Tốn (THPT) +2? * Tổng n số hạng của 1 cấp số cộng: S, =u, Uy + + U, ` n(u, +u,) " n(n-1) =———ˆ=nụ, + 5 d 3 Cap sO nhan _* Cho cấp số nhân: u,„ =u,.q (neÑ'} trong đó q = “2 Ja công bội (q # 0) TOUS uy * Số hạng tổng quát: uy =u¡.q”” (n > 2) với u, là thứ hạng đầu, q là công bội
* Cho cấp số nhân có các thứ hạng Uk, Ur,
Uke nên ta có tính chat -HỆ = Uy Uj gs
© |u,| = Jugs, với k>2
* Tổng n số hạng của l cấp số nhân:
: _ tụ (1- q ")
‘1l-q :
* Tổng n số hạng của 1 cấp số nhân lùi vô
S, =u, +u, + +u,
_ hạn: 8, =u, tu, + +U, =, lq] <1 " có -q_` Sö tay cơng thức Tốn (THPT) 1z * Tổng n số hạng của 1 cấp số cộng: _ Đa =Uy+U¿+ +U, n{u;+u "_ nÍín-l = níu; +u„) = nu; + n(n-l), 2 2 3 bấp số nhân * Cho cấp số nhân: u,„=u,q (neÑ) trong đó q= Mo là công bội (q # 0) n
* Số hang tổng quát: u„ =u;.q"" (n> 2)- với u, là thứ hạng đầu, q là công bội _*# Cho cấp số nhân có các thứ hạng u,-1, ur,
uy, nên ta có tinh chat uf =u,_,.u,., : mi © lu|= 4u¿-;.u,„; với k>2 * Tổng n số hạng của 1 cấp số nhân: | u (t= 4") Sạn =U tuy + +U, =————D 1-q
* Téng n sé hang của 1 cấp số nhân lùi vô H
hạn: 8„ =u¡ +u; + +u, “TC: |a|< - -q 1
¢
Trang 30
Ea Lê Quang Điệp : -Kñi Lê Quang Điệp _ Ti La
Chuyén dé 8: GIỚI HẠN Chuyén dé 8: GIGI HAN
1 Các giới hạn đặc biệt 1, ác giới hạn đặc biệt
* lmL=0 lim lim —= 0; lim =0 nếu ấu k nguyên ˆ nguy * lim—=0; lim =0 néu k nguyén 1 1 |
ave T1 n>*>Tì\
dương dương
1i 1 _ wt x A ‘1
dim ~y = te neu k am lim or = +0 nếu k âm
* lim q* =0 néu R|<b —* limq°= 0 nếu Rị<E
lim q° = +eo nếu |a|>1 lim q” = +ø nếu lal >
* am” = 00 néu k nguyên đương | * limn*=+0 nếu k nguyên dương
lim n* =0 nếu k nguyên âm lim n* =0 nếu k nguyên âm
* lim A = A; A là hằng số * lim A =A; A là hằng số
2 Giới hạn của hàm SỐ - " - 2 Giới hạn của hàm số
Giả sử tôn tại các giới i han, Khi đó căm, peek : lim fF)
Trang 31S6 tay céng thức loan (H21) s2: lim [f (x)-¢(x)] = lim f (x).lim g (x) KX £ (x) “eta F lim sm g(x) lime (x) (tim g(x) # 0] Đặc biệt: nó 1 - - Hm(1+x)*- = 6; lim SP 21 (xe<) m0 OK _ và x tính bằng radian tim! 24; 802 x30 x x30 x X) 23 3 Xét tính liên tực của hàm số * Hàm số y=f(x)liên tục tại điểm _ x; e lim (x) =f (x) |
* Hàm số y =f(x)liên tục trên khoảng -
(a;b)nếu nó liên tục với tất cả các
„ điểm trên khoảng đó
* Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b)
_ Và limf(x) =f(a); lim f(x) = f (b)
31!
Sô tay công thức Toan (irr 1) Fi
lim (f(x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) XX f(x) | - limf (x ) im To ` KeXn g(x yo lim g(x ) lim g(x) # 0] Dac biệt: 1 ‘ SÌNX
lim (1+ x}* =e; lim - =1 (xe R)
va x tinh bang radian
lim? 2 21; tim B24) x30 x x- im x 1 ,
3 Xét tính liên tực cửa hàm số
* Hàm số y=f(x)liên tục tại "điểm xạ © lim f(x) = f )
* Hàm số y =f(x)liên tục trên khoảng
(a;b)nếu nó liên tục với tất cả các , điểm trên khoảng đó
* Hàm số y =f (x) liên tục trên đoạn [a; bị
nếu nó liên tục trên khoảng (a;b)-
Trang 322 Lé Quang Biép
Chuyên đề 9: ĐẠO HÀM
Đạo hàm bằng định nghĩa
Cho hàm số y =f(x) Đạo hàm của hàm số tại điểm x,: f'(x,))= tim £ (2) =f (%) xo x _ Xo
(có và hữu hạn)
Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa: * Bước 1: Gọi Axlà số gia đối số tại Xụ, tinh Ay = f(x) +Ax)-f(x,) * Bước 2: Lập tỉ số Ay | Ax ; _ gt _ Ay Bước 3: Tìm lim Ax<+0 AX 2 =f(%¿)= lim —— Ax-+0 Ax ˆ _2 Cñng thức đạo hàm cần nhớ: (AY = 0 (A hằng số) (u + v) = ư + v (x) =1 :(uy} =uv+u.v' aj x) 1|Œ] # ka) cu? 32 z4: Lê Quang Điệp - Chuyên đề 9: ĐẠO HÀM 1 Đạo hàm hằng định nghĩa
Cho ham sé y =f(x) Dao ham của hàm `
số tại điểm x,: f'(x,) = tim £2) —£ 0)
- 17% = -X— Xp (có và hữu hạn) |
Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa: * Bước 1: Goi Axilà số gia đối số tại #g,
tính Ay =f(%Xạ + Ax)—f (x)
- * Bước 2: Lập tỉ số Ay "AX
* Bước 3: Tìm lim 5 Ax—>0 Ax => f'(x))= lim ÊY Ax+Í Ay
Trang 33Sổ tay công thức Tốn (THPT) EZ] ˆ a Sta CƠ S6 tay céng thitc Toan (THPT) £4 t (natin, ||Jeeame | | |@ƒ-eme ||Ej-uzm | (0, u} ou Wo fe oor |e "xa (og, uỷ = or a = iy “|: “q (le S8: as xina, = si 1 ulna yo 1 ' có , ` `
(sinx) = COS X (sinu) =u’.cosu ; (sinx) = COS X_ (sinu) =u’.cosu
Trang 34ii Lê Quang Điệp _— 1 _— u (cotx) = sin’ x (cotu) = sin? u (kx) =k(x) =k (Iku) =k(u) (iex*) = k(x") (ku*) = k(u*) = ko.x*? = k.aut.(u) (sin* u) z (cos*u) = ula sin*” u.cosu = -u.a.cos*u.sin u (tan* u) (cot” u) =ưœ tan”"”u, 1 cos2u =~au'.— sin? u 1 cot u
Chuyén dé 10: KHAO SAT HAM số
Trang 36t2 Lê Quang Điệp xo: nghiệm kép
a>0,y=0 a<0,y'=0 a>0,y' 50 a<0,y =0
có nghiệm kép xo - có nghiệm kép Xo có nghiệm kép Xo _ có nghiệm kép Xo
2 Hàm trùng phường | 2 Hàm trùng phương
y =ax' +bx? +c (a # 0) ysax'+bx’? +c (a #0)
a | Dang 1: Ham s6 cé 3 cuc tri > phương trình Poo, Dạng 1: Hàm số có 3 cực trị ©> phương trình|
Cy -„ y =0 có3 nghiệm phân biệt C Sy 3:0 66 8 nghiém phan bigt -
ì 36
Trang 38¿12 Lê Quang Điệp y — I 0 x Dang 2: ham số nghịch biến y'= _ad —b be (cx +d)
il CAC BAI TOAN LIEN QUAN 1 Sự tương eiao của hai đồ thị Cho ham sé: y=f(x) (C,) va y =ø(x) (G,) ¬ s Phương trình hoành độ giao điểm của _(Ø/)và (O,).là: f(x)=g(x) ©) (*) có.1 nghiệm xạ ©.(C.)và (C; cát nhau: 2 Lẻ Quang Điệp - y — I O x Dựng 2: hàm số nghịch biến y`= Ad = be <0 (cx +d)
i CAG BAI TOAN LIEN QUAN
Trang 39
Sổ tay cơng thức Tốn (THPT) li,
® có k nghiệm = (C,) va (C,) cat nhau tai k điểm b) Sự tiếp xúc của (C,) va (C,) (C,) va (C,) tiếp xúc với nhau _ff(x)= g(x © k ( ) g( ) có nghiệm là xạ (x, f(x) = g'(x) | |
là hoành độ tiếp điểm) ” Phương trình tiếp tin yen
Cho hàm số: y = f(%) có đô thị (C)
_a) Phương trình tiếp tuyến tại s
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M(x,;¥.) có dang:
_y=ff()(X=e)+Ya
f (xạ) là hệ số góc của tiếp tuy ến
.b)'Phương trình tiếp tuyến đi qua
-.Phương trình tiếp tuyến của dé thi di - qua N(x,;y,) có dạng:
“` y= k(x-x, )ty,
kla hệ số góc của tiếp tuyến Để Ala "tiếp tuyến cha 2 (G) |
39
Sổ tay công thức Toán (THPT) Ej -
(*) có k nghiệm ©> (C, ) và (C, ) cắt nhau tại k điểm ˆ _b) Sự tiếp xúc của (C,) và (C,) ¡ (C,) và (C,) tiếp xúc với nhau Ire = g(x) [P= ex) là hoành độ tiếp điểm) có nghiệm là xạ (Xụ 2 Phương trình tiếp tuuến Cho hàm số: y = f(œ) có đồ thị (C)
ˆ:.a) Phương trình tiếp tuyến tại
Phương trình tiếp tuyến của, đồ thị tại
M(%,;y,) có dang:
y=f'(x 0) (XX) +p
f'(x,) 1A hé sé géc ciia tiép tuy én
_ b) Phương trình tiếp tuyến đi qua
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đi
- qua N(x,;y,) có dạng:
A: y=k(x-x ity,
_klả hệ số góc của tiếp tuyến Để A là tiếp tuyến của (C)
Trang 40:# -Lê Quang Điệp
Jf (x)=k(x-x,)+y, 1
f'(x)=k Œ)
có nghiệm Giải hệ (1) tìm k rồi thay vào A đó là tiếp tuyến cần tìm
e) Phương trình tiếp tuyến song song
Tiếp tuyến của đề thị (C) song song với đường thẳng A: y = kạx + b nên có fŒa) = kạ Giải tìm xạ rồi thay vào hàm số để tìm yy = phương trình tiếp
tuyến cần tìm
d) Phương trình tiếp tuyến v vuông góc
Tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với
đường thẳng d: y = kạx + b nên có
f(xg).kạ = —1 Giải tìm xụ rồi thay vào hàm s6 dé tim yo > phuong trinh tiép
tuyến cần tim
_3 Tùm m để hàm dong bién, nghịch biến + Ham bac ba: y = ax? + bx* +ex+d TXD: D=k, y'= Ax? +Bx+C Ham số : đồng biến, trên D (ham tang trén :! Lê Quang Điệp f(x)=k(x-x,)+y, q)- f(x)=k ~
có nghiệm Giải hệ (1) tìm k rồi thay
vào A đó là tiếp tuyến cần tìm
c) Phương trình tiếp tuyến song song Tiếp tuyến của đề thị (C) song song với -
đường thẳng A: y = kạx + b nên có
f(Xxa) = kạ Giải tim xạ rồi thay vào ˆ
hàm số để tìm Yo = phương trình tiếp
tuyến cần tìm
d) Phương trình tiếp tuyến vuông góc Tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng d: y = kạx + b nên có f(xg).kạ = —1 Giải tìm xọ rồi thay vào hàm số để tìm yọ = phương trình tiếp
tuyến cần tìm
3 Tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến
* Ham bac ba: y= -ax” +bx” +cx+d TXĐ: D=&, y’ = Ax? +Bx+C Hàm số đồng biến trên D: (ham: tan