ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013
www.MATHVN.com www.mathvn.com 1 TRNG THPT CHUYấN VNH PHC K THI TH I HC LN 1 NM HC 2012-2013 Mụn: Toỏn 12. Khi A. Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) A.PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (8,0 im) Cõu I (2,5 im) Cho hm s : 3 3 2 y x mx = + ( ) 1 , m là tham số thực. 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s ( ) 1 khi 1 m = 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) 1 có ti p tuy n t o v i ng th ng : 7 0 d x y + + = gúc ,bi t 1 cos 26 = . Cõu II (2,5 im) 1) Gii phng trỡnh : 4 3 4cos2 8sin 1 sin 2 cos2 sin 2 x x x x x = + 2) Gii h phng trỡnh: ( ) 3 3 2 2 4 16 1 5 1 x y y x y x + = + + = + ( , ) x y R . Cõu III (1,0 i m) Tớnh gi i h n : 3 2 2 2 6 4 lim 4 x x x L x + = Cõu IV. (1,0 im) Cho hỡnh lp phng 1 1 1 1 . ABCD A B C D có di cnh bng 3 v im M thuc cnh 1 2 CC = .Mt phng ( ) i qua , A M v song somg vi BD chia khi lp phng thnh hai khi a din. Tớnh th tớch hai khi a din ú. Cõu V. (1,0 im) Cho cỏc s thc , , x y z tho món 2 2 2 3 x y z + + = . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 2 2 3 7 5 5 7 3 F x y y z z x = + + + + + B. PHN RIấNG (2,0 im). Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn 1 hoc 2) 1.Theo chng trỡnh Chun Cõu VIa. ( 1,0 im) Trong mt phng vi h to Oxy cho hai điểm ( ) ( ) 2;1 , 1; 3 A B và hai đờng thẳng 1 2 : 3 0; : 5 16 0. d x y d x y + + = = Tìm toạ độ các điểm , C D lần lợt thuộc 1 2 , d d sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Cõu VIIa. ( 1,0 i m) Tớnh t ng : 2 1 2 2 2 3 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 3 2012S C C C C= + + + + 2. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VIb. ( 1,0 i m) Trong m t ph ng h to Oxy cho e lớp ( ) 2 2 : 1 9 4 x y E + = và các điểm ( ) 3;0 A ; ( ) 1;0 I .Tìm toạ độ các điểm , B C thuộc ( ) E sao cho I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cõu VII B:( 1,0 i m): Tớnh t ng: 0 1 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 3 2013 C C C C T = + + + + HT Ghi chỳ: - Thớ sinh khụng c s dng bt c ti liu gỡ! - Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! chớnh thc ( thi g m 01 trang) www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 – LẦN 1 MÔN TOÁN – KHỐI A (Đáp án gồm 5 trang) Câu Nội dung trình bày Điểm I(2,0đ) 1. (1,50 điểm) Khi 1 m = hàm số (1) có dạng 3 3 2 y x x = − + a) Tập xác định D = ℝ b) Sự biến thiên +) Chiều biến thiên: 2 ' 3 3 y x = − , ' 0 1 y x = ⇔ = ± . Khi đó xét dấu của ' y : + + - 0 0 1-1 + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ y x hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ( ) ; 1 , 1; −∞ − + ∞ và ngh ị ch bi ế n trên kho ả ng ( ) 1;1 − . 0,50 +) C ự c tr ị : hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i 1, 4 CD x y = − = Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i 1, 0 CT x y = = +) Gi ớ i h ạ n: 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 lim lim 1 ; lim lim 1 x x x x y x y x x x x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ = − + = −∞ = − + = +∞ 0,25 +) B ả ng bi ế n thiên: : x −∞ -1 1 +∞ y' + 0 − 0 + y 4 +∞ −∞ 0 0,25 c) Đồ th ị : 3 0 3 2 0 1, 2 y x x x x = ⇔ − + = ⇔ = = − , suy ra đồ th ị hàm s ố c ắ t tr ụ c Ox t ạ i Ox t ạ i các đ i ể m ( ) ( ) 1;0 , 2;0 − '' 0 6 0 0 y x x = ⇔ = ⇔ = ⇒ đồ th ị hàm s ố nh ậ n đ i ể m ( ) 0;2 làm đ i ể m u ố n. 0,50 www.MATHVN.com www.mathvn.com 3 2. (1,0 điểm) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có VTPT ( ) 1 ; 1 n k = − Đường thẳng : 7 0 d x y + + = ti ế p tuy ế n có VTPT ( ) 2 1;1 n = 0,25 Ta có ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 1 cos cos , 26 2 1 n n k n n n n k ⋅ − α = = ⇔ = + 2 3 2 12 26 12 0 2 3 k k k k ⇔ − + = ⇔ = ∨ = 0,25 YCBT tho ả mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: , 2 2 , 2 2 3 3 2 1 2 1 3 3 0 2 2 2 2 2 2 9 2 9 2 3 3 0 3 3 9 9 m m y x m x m m y x m x + + = − = = ≥ ⇔ ⇔ ⇔ + + = − = = ≥ 1 2 2 9 m m ≥ − ≥ − 1 2 m ⇔ ≥ − 0,25 V ậy để đồ thị có tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 7 0 d x y + + = góc α ,có 1 cos 26 α = . thì 1 2 m ≥ − 0,25 II(2,5đ) 1.(1,25 điểm). Giải phương trình : 4 3 4cos2 8sin 1 sin 2 cos2 sin 2 x x x x x − − = + §/k ( ) sin 2 cos2 0 8 2 sin 2 0 2 x l x x l x x l π π π ≠ − + + ≠ ⇔ ∈ ≠ ≠ Z 0,25 1 -1 4 x x x 0 y 3 3 2 y x x = − + www.MATHVN.com www.mathvn.com 4 ta cã: 2 4 1 cos2 8sin 8 3 4cos2 cos4 2 x x x x − = = = − + ⋯ Ph−¬ng tr×nh ( ) 3 4cos2 3 4cos2 cos4 1 sin 2 cos2 sin 2 x x x x x x − − − + ⇔ = + ( ) cos4 1 sin 2 cos2 0,sin 2 0 sin 2 cos2 sin 2 x do x x x x x x − ⇔ = + ≠ ≠ + 0,50 ( ) ( ) 1 cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos2 0 sin 2 x x x x x x ⇔ − − = ⇔ + = ( ) ( ) cos2 0 sin 2 cos2 0 2 2 4 2 x x x loai x k x k k π π π π ⇔ = ∨ + = ⇔ = + ⇔ = + ∈ℤ 0,25 VËy ph−¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm ( ) 4 2 x k k π π = + ∈ Z 0,25 2.(1,25điểm). Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: ( ) 3 3 2 2 4 16 1 5 1 x y y x y x + = + + = + ( , ) x y ∈ R . Vi ế t l ạ i h ệ ph ươ ng trình: ( ) 3 3 2 2 4 4 0(*) 5 4(**) x y x y y x + − − = − = Thay ( ) ** vào ( ) * ta được: ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 5 4 0 21 5 4 0 x y x y x y x x y xy + − − − = ⇔ − − = ( ) 2 2 1 4 21 5 4 0 0 3 7 x x xy y x x y x y ⇔ − − = ⇔ = ∨ = − ∨ = 0,25 0,25 • 0 x = thế vào ( ) ** ta được 2 4 2 y y = ⇔ = ± • 1 3 x y = − thế vào ( ) ** ta được 2 2 2 3 1 5 4 9 3 1 9 y x y y y y x = ⇒ = − − = ⇔ = ⇔ = − ⇒ = • 4 7 x y = − thế vào ( ) ** ta được 2 2 2 80 31 4 4 49 49 y y y − = ⇔ − = Vô nghiệm 0,50 Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0; 2 , 1; 3 , 1;3 x y = ± − − 0,25 III(1đ) Tính giới hạn : 3 2 2 2 6 4 lim 4 x x x L x → − − + = − 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 4 6 2 4 2 lim lim lim 4 4 4 x x x x x x x L x x x → → → − − + − + − − + − = = − − − − 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 6 2 4 2 lim lim 4 6 2 4 4 2 4 4 x x x x x x x x x → → − − + − = − − − + − + + + + 0,25 www.MATHVN.com www.mathvn.com 5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 23 3 1 1 lim lim 2 6 2 4 2 4 4 x x x x x x → → − = − + − + + + + + 1 1 7 16 12 48 = − − = − 0,25 Vậy giới hạn đã cho bằng 7 48 − 0,25 IV(1đ) Cho hình lập phương 1 1 1 1 . ABCD A B C D cã độ dài cạnh bằng 3 Dựng thiết diện của mặt phẳng đi qua , A M và song song với BD . Gọi 1 1 1 1 1 , , O AC BD O AC B D I AM OO = ∩ = ∩ = ∩ . Trong mặt phẳng ( ) 1 1 BDD B qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt 1 1 , BB DD lần lượt tại , K N .Khi đó AKMN là thi ết diện cần dựng. 0,25 Đặt 1 1 1 1 1 . . 2 . 1 A BCMK A DCMN ABCD A B C D V V V V V V = + ⇒ = − . Ta có: 1 1 1 2 2 OI AO DN BK OI CM CM AC = = ⇒ = = = = 0,25 Hình chóp . A BCMK có chiều cao là 3 AB = ,đáy là hình thang BCMK .Suy ra: ( ) 3 . . 1 1 3 9 . . 3 3 2 6 2 A BCMK BCMK BC BK CM V AB S AB + = = = = . Tương tự . 9 2 A DCMN V = 0,25 Vậy 3 1 2 9 9 9 3 9 18 2 2 V V = + = ⇒ = − = (đvtt) 0,25 V(1,0đ) …Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 3 7 5 5 7 3 F x y y z z x = + + + + + Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 6 12 18 2 2 18 2 2 3 F x y z x y z x x ≤ + + ≤ + + = + − 0,25 Xét hàm s ố ( ) ( ) 2 2 2 2 3 f x x x = + − trên miền xác định 3 3 x− ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 4 2 3; 3 2 3 x f x x x x = − ∀ ∈ − − 0,25 ( ) ' 0 f x = trên ( ) 3; 3 − 0 1 x x = ⇔ = ± ( ) ( ) ( ) 3 3, 0 2 6, 1 5 f f f ± = = ± = 0,25 ( ) 2 3; 3 max 5 18.5 90 3 10 f x F F − ⇒ = ⇒ ≤ = ⇒ ≤ d ấ u b ằ ng khi 1 x y z = = = V ậ y max 3 10 1 F x y z = ⇔ = = = 0,25 6a(1,0đ) T Tim to¹ ®é c¸c ®iÓm , C D lÇn l−ît thuéc 1 2 , d d sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Do tø giác ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn ta cã ( ) ( ) 3 3;4 * 4 D C D C x x CD BA y y − = = = ⇒ − = 0,25 www.MATHVN.com www.mathvn.com 6 Mặt khác : ( ) 1 2 3 0 ** 5 16 0 C C D D x y C d D d x y + + = = 0,25 Từ (*) và (**) ta giải đợc 3 6 ; 6 2 C D C D x x y y = = = = ta có ( ) ( ) 3;4 , 4; 3 BA BC = = cho nên hai véc tơ , BA BC không cùng phơng ,tức là 4 điểm , , , A B C D không thẳng hàng ,hay tứ giác ABCD là hình bình hành. 0,25 .Đáp số ( ) ( ) 3; 6 , 6; 2 C D 0,25 7a(1,0) Tớnh tng : 2 1 2 2 2 3 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 3 2012S C C C C= + + + + ( ) ( ) 2 2012 2012 2012 2012 1 1 1 1,2, ,2012 k k k k k C k k C k k C kC k = + = + = 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2012 2010 2011 2012! 2012! 1 2012(2011 ) 1,2 ,2012 ! 2012 ! ! 2012 ! k k k k C k k k C C k k k k k = + = + = 0,25 T ú ( ) ( ) 0 1 2010 0 1 2011 2010 2010 2010 2011 2011 2011 2012 2011S C C C C C C = + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) 2010 2011 2010 2011 2010 2012 2011 1 1 1 1 2012 2011.2 2 2012.2013.2 + + + = + = 0,25 ỏp s : 2010 2012.2013.2 S = 0,25 6b(1,0) Tìm toạ độ các điểm , B C thuộc ( ) E sao cho I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có 2 IA = Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có pt: ( ) 2 2 1 4 x y + + = 0,25 Toạ độ các điểm , B C cần tìm là nghiệm của hệ pt: ( ) 2 2 2 2 1 4 1 9 4 x y x y + + = + = 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 1 4 3 3 5 18 9 0 5 x y x y x x x x + + = + + = = = + + = 3 0 x y B A C A = = (loại) 3 4 6 3 4 6 3 4 6 ; , ; 5 5 5 5 5 5 x y B C = = 0,25 0,25 7b(1,0) Tớnh t ng : 0 1 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 3 2013 C C C C T = + + + + ( ) ( ) ( ) 1 2012 2013 2012! ! 2012 ! 1 2013! 1 1 1 2013 2013 1 ! 2013 1 ! k k k k C C k k k k + = = = + + + + 0,1,2,3, ,2012 k = 0,50 www.MATHVN.com www.mathvn.com 7 ( ) ( ) 2013 2013 1 2 2013 0 2013 2013 2013 2013 1 1 2 1 1 1 2013 2013 2013 T C C C C − ⇒ = + + + = + − = ⋯ 0,25 Đáp số 2013 2 1 2013 T − = 0,25 Lưu ý khi chấm bài: -Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. -Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. -Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Hết