chuyên đề vè sự tiếp xúc 2 đường cong

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT VÀ LUYN THI I HC, CAO NG 2009 Môn: TOÁN Chuyên đ: S TIP XÚC CA HAI NG CONG I. MC ÍCH CHUYÊN  Bài toán tip xúc gia 2 đ th rt hay và khó, tuy nhiên chuyên đ này các bn s nm vng đc các bc gii và cách làm dng toán này. II. KIN THC C BN Hai đng y = f(x), y = g(x) tip xúc vi nhau ti đim có hoành đ x 0 , nu h sau đây tho mãn: f(x 0 ) = g(x 0 ) f ’ (x 0 ) = g’(x 0 ) Xin đa ra vài ví d sau: Thí d 1: Cho y = x 3 - 3x 2 + 2. Tìm trên đng thng y = - 2, các đim mà t đó có th v đc hai tip tuyn ti đng cong và vuông góc vi nhau. Gii. Gi đim phi tìm là M ( α , 2).  ý rng đng thng x = α đi qua M ct đng cong và song song vi trc tung và nó không th là tip tuyn, vì th mi tip tuyn vi đng cong đi qua M (nu có), đu có dng:y = k (x - α )+ 2 . Gi x 0 là hoành đ tip đim. Khi đó ta có h phng trình sau: x 3 0 - 3x 2 0 + 2 = k(x 0 - α ) +2 (1) 3x 0 2 - 6x 0 = k (2) Thay (2) vào (1) ta có: 2x 3 0 - 3x 2 0 (1 + α ) + 6 α x 0 - 4 = 0 ú (x 0 - 2) [2x 2 0 + (1- 3 α )x 0 + 2] = 0 (3) Vi mi α , (3) luôn có nghim x 0 = 2 ng vi nó, t (2) suy ra k = 0 Vì mi tip tuyn ca đng cong đã cho không th có dng x = c, vy không có bt kì tip tuyn nào ca đng cong đã cho vuông góc vi tip tuyn y=-2.Vì th đ tho mãn điu kin đu bài, thì phng trình sau (n x 0 ) 2x 2 0 + (1 - 3 α )x 0 + 2 = 0 (4)có hai nghim phân bit x’ và x’’, sao cho: (3x’ 2 - 6x’) (3x’’ 2 - 6x’’) = -1  tho mãn điu y, h sau đây cn đc tho mãn Δ = (1 - 3x 2 0 ) 2 - 16 > 0 (5) 9(x’x’’) 2 - 18x’x’’(x’ + x’’) + 36x’x’’ = -1 (6) Da vào đnh lí Viét, thì x’ + x’’ = 31 ;''' 1 2 xx α − = Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2 Vì th t (6) có: 27x 0 = 55 => x 0 = 55 27 . Thay x 0 = 55 27 vào (5) thy đúng. Tóm li: trên đng y = -2, ch có duy nht đim M( 55 ,2 27 − ) tho mãn yêu cu đu bài. Thí d 2. Cho y = x 3 - 3x 2 . Tìm tt c các đim M nm trên đng cong sao cho t M ch có th v đc duy nht mt tip tuyn ti đng cong đ cho. Bài gii Gi M ( 32 ,3) α αα − là đim cn tìm. Tip tuyn qua M ch có th có dng: y = k(x - α ) + α 3 -3 α 2 Gi x 0 là hoành đ tip đim. Ta có h phng trình sau: x 3 0 - 3x 2 0 = k (x 0 - α ) + α 3 - 3 α 2 (1) 3x 3 0 - 6x 0 = k (2) Thay (2) vào (1), ta có: 2x 3 0 - 3x 2 0 ( α + 1) + 6 α x 0 + α 3 - 3 α 2 = 0 (*) ú (x 0 - α ) [2x 2 0 - ( α + 3)x 0 - α 2 + 3 α ] = 0 ú (x 0 - α ) 2 (2x 0 + α - 3) = 0 x 0 = α x 0 = 3 2 α − (3) Chú ý rng vì y = x 3 - 3x 2 là đng cong bc ba, nên s tip tuyn v đc bng s tip tuyn vi đng cong. Vì th qua M có 1 tip tuyn duy nht vi đng cong khi và ch khi h (1) (2) (n x 0 ) có nghim duy nht. Da vào (3) điu đó xy ra khi: 3 1 2 α αα − =<=>= Vy trên đng cong y = x 3 - 3x 2 có mt đim duy nht tho mãn yêu cu đ bài. ó là đim M (1, - 2) Nhn xét: - Ta có th thy M (1, -2) chính là đim un ca đng cong đã cho. - Bng phép toán tng t bn đc có th d dàng chng minh kt qu tng quát sau: “Vi đng cong bc ba tu ý y = ax 3 + bx 2 + cx + d, a 0 ≠ , đim un là đim duy nht trên đng cong mà qua đó có đúng 1 tip tuyn vi đng cong”. - Chính vì M ( α , α 3 - 3 α 2 ) nm trên đng cong, nên chc chn (*) có nghim x 0 = α . Vì th có th h bc (*) nh đã làm  trên. - Trong bài đã s dng tính cht “Vi đng cong bc ba mi tip tuyn ch tip xúc vi đng cong ti mt đim” (d chng minh). Tính cht này xin lu ý không còn đúng vi đng cong bc bn. Có th xem thí d sau: Xét hàm s y = x 4 - 2x 2 ú Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3 Ta có: y’ = 4x 3 - 4x = 4x (x 2 - 1) và bng bin thiên sau : x - ∞ -1 0 1 + ∞ y ’ - 0 + 0 - 0 + y -1 0 -1 T đó suy ra đ th ca y = x 4 - 2x 2 có dng: ( th) Ta thy tip tuyn y = -1 tip xúc vi y = x 4 - 2x 2 ti hai đim cc tiu ca nó. Nh vy thí d này đã chng minh nhn xét ca ta. Thí d 3 . Cho đng cong y = 2 1 () 1 xx C x ++ + Chng minh rng t đim A(1, -1) luôn k đc 2 tip tuyn vuông góc vi nhau ,đn đ th (C). Gii: Vì đng thng x = 1 không th là tip tuyn ca (C), nên mi tip tuyn qua A(1, - 1) (nu có) đu có dng: y = k (x - 1) - 1 Gi x 0 là hoành đ tip đim, khi đó ta có h 2 00 0 0 2 00 2 0 1 (1)1(1 1 2 (2) (1) xx kx x xx k x ⎧ ++ =−− ⎪ + ⎪ ⎨ + ⎪ = ⎪ + ⎩ ) Thay (2) vào (1) ta có: 2 00 2 0 31 0 (1) xx x ++ = + <=> (3) 2 00 31xx+++=0 Rõ ràng = 3 > 0, vy (3) có hai nghim phân bit t 1 , t 2 . ' Δ Nh vy, qua A có hai tip tuyn vi đng cong. Còn li ta chng minh hai tip tuyn này vuông góc vi nhau. T (2) suy ra hai tip tuyn có h s góc tng ng là: 2 11 1 2 12 2 ; () tt k tt + = + 2 22 2 2 2 2 (1) tt k t + = + Ta có: [] 2 12 1212 12 12 2 12 1 2 ()2()4( ()1 tt tttt tt) tt t t ++ ++ = ++ + kk (4) Da vào đnh lí Viet, thì: t 1 + t 2 = - 3; t 1 t 2 = 1 Thay li vào (4) ta có: 12 2 164 1 (1 3 1) kk − + = −+ = (5) Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 T (5) suy ra hai tip tuyn cng vuông góc vi nhau => (đpcm) Thí d 4. Cho đng cong y = 2 3 2 xx x +− + (C) Tìm các đim trên trc hoành, nu t đó k đc mt tip tuyn ca (C). Gi đim phi tìm là M ( α , 0). Do x = α không th là tip tuyn ca (C), nên mi tip tuyn vi (C) qua M đu có dng y = k (x - α ) Gi x 0 là hoành đ tip đim, khi đó ta có h sau: 2 00 0 0 3 () 2 xx kx x α +− =− + (1) 2 00 2 0 45 (2) xx k x ++ = + (2) Thay (2) vào (1) ta có: f(x 0 ) = (1 - α ) x 2 0 + 2x 0 (3 - 2x) + 6 - 5 α = 0 (3) x 0 -2 (4) ≠ Da vào tính cht: Mi tip tuyn ca đng y = 2 (, ' 0) '' ax bx c aa ax b ++ ≠ + ch tip xúc vi đng cong đó ti mt đim duy nht, nên suy ra ta cn tìm giá tr ca tham s α đ h (3) (4) (n x 0 ) có nghim duy nht. Xét các kh nng sau: 1. Nu α ≠ 1, khi đó (3) (4) 2x 0 + 1 = 0 x 0 ≠ - 2 T đó suy ra h (3) (4) có nghim duy nht trong trng hp này <=> 2. Nu α ≠ 1. Khi đó h (3) (4) có nghim duy nht khi a. Hoc <=> '2 30 (2) 2 0F αα α ⎧ ⎪ Δ=− − + = ⎨ −=−−≠ ⎪ ⎩ α = 113 2 −± b. Hoc <=> '2 30 (2) 2 0F αα α ⎧ ⎪ Δ=− − + > ⎨ −=−−≠ ⎪ ⎩ α = 2 Vy trên trc hoành có 4 đim cn tìm là: M 1 (1, 0), M 2 (-2, 0), M 3 ( 113 2 −+ , 0), M 4 ( 113 2 −− , 0) III. CNG C KIN THC Bài 1 : (i hc, cao đng, khi D - 2002) Tìm m đ đng cong (c) có phng trình 2 (2 1) 1 mxm x −− − (c) tip xúc vi đng thng y = x Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4 Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5 Bài gii xét y = 2 (2 1) 1 mxm x −− − , Ta có y’ = 2 2 (1) (1) m x − − Gi x o là hoành d tip đim ta có h sau đây 2 0 (2 1) 1 o mxm x −− − = x o (1) 2 2 (1) (1) o m x − − = 1 (2) Bài toán tr thành: tìm m đ h (1),(2) (ca x o ) có nghim: t (2) suy ra m ≠ 1 (vì m = 1, thì VT (2) = 0) Khi đó (2) tr thành (m - 1) 2 = (x o - 1) 2 (*) Rõ ràng x o = m tho mãn, (vì do m ≠ 1=> x o ≠ 1) Thay vào x o = m vào (1) thy tho mãn, vì khi đó VT(1) = 2 (2 1) 1 mmm m −− − = 2 1 mm m − − = m = VF (1) Vy vi mi m 1, h (1) (2) (ca x o . chc chn có nghim) ≠ do đó có giá tr cn tìm ca thay s m là m ≠ 1. Bài 2 : Tìm m đ đng cong y = x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 14x + 2m 2 + m và y = 2x 3 –10x 2 +10x+1 tip xúc vi nhau Bài gii : Gi 0 x là hoành đ tip đim. Khi đó ta có h sau: 43 2 2 3 2 00 0 0 0 0 0 32 2 00 0 0 0 612142 210101( 4 18 24 14 6 20 10(2) xx x xmmx x x xx x x x ⎧ −+ − + +=− + + ⎪ ⎨ −+−=−+ ⎪ ⎩ 1) xxx++−= Ta thy (2) ⇔ 32 000 42444240 ⇔ 32 00 0 6116xx x 0 − +−= ⇔ ( 0 x - 1)( 0 x - 2)( 0 x - 3) = 0 ⇔ 0 x = 1 hoc 0 x = 2 hoc 0 x = 3 - Nu 0 x = 1. Thay vào (1) và ta có: 2m 2 + m – 7 = 3 ⇔ 2m 2 + m – 10 = 0 ⇔ 2 5 2 m m = ⎡ ⎢ ⎢ = − ⎣ - Nu 0 x = 2. Thay vào (1) và ta có: 2m 2 + m – 7 = 0 ⇔ m = 157 4 −± - Nu 0 x = 3. Thay vào (1) ta có: 2m 2 + m – 10 = 0 (Quay v trng hp 0 x = 1) Vy các giá tr cn tìm ca m là : m = 2 , m = 5 2 − , hoc m = 157 4 −± Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Luyn thi i hc, Cao đng 2009 Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 6 IV. BÀI TP V NHÀ Bài 1 : Cho y = 2 1 1 x x x −+ − (C) Tìm trên Oy các đim có th k đc ít nht mt tip tuyn đn (C). Bài 2 : Cho y = 2 21 1 x x x ++ + (C) Tìm trên Oy các đim có th k đc đn (C) 2 tip tuyn vuông góc vi nhau Bài 3 : Cho hàm s 32 y x 3x 3mx 4 = −+ + . Xác đnh m đ đ th hàm s trên tip xúc vi trc hoành. Bài 4 : Cho đng cong có hàm s: ( m C ) 2 2(1)1 x mx m y x m + −++ = − . Tìm m đ ct trc Ox ti 2 đim và tip tuyn vi ( ti 2 đim đó vuông góc vi nhau ( m C ) ) m C T Toán Trung tâm BDVH Hocmai.vn Ngun: Hocmai.vn . y’ = 4x 3 - 4x = 4x (x 2 - 1) và bng bin thiên sau : x - ∞ -1 0 1 + ∞ y ’ - 0 + 0 - 0 + y -1 0 -1 T đó suy ra đ th ca y = x 4 - 2x 2 có. 2x 3 0 - 3x 2 0 ( α + 1) + 6 α x 0 + α 3 - 3 α 2 = 0 (*) ú (x 0 - α ) [2x 2 0 - ( α + 3)x 0 - α 2 + 3 α ] = 0 ú (x 0 - α ) 2 (2x 0 + α -