skkn áp dụng cho giảng dạy và học tập thuộc môn toán 9, phân môn đại số 9, cấp THCS

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHÂN DẠNG TOÁN HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG” I.Tác giả sáng kiến: Chức vụ: Giáo viên II Lĩnh vực áp dụng: Áp dụng cho giảng dạy học tập thuộc mơn Tốn 9, phân mơn Đại số 9, cấp THCS III.Thực trạng trước áp dụng sáng kiến: Là giáo viên dạy Toán lớp 9, nhiều năm nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, thực ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy hệ thức Vi-ét thấy dạy theo thứ tự lí thuyết tập SGK, SBT chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải tập thuộc chủ đề Quan trọng việc nhớ kiến thức em khơng có hệ thống Như kết làm em không cao, bên cạnh hầu hết đề thi vào THPT tỉnh nói chung tỉnh Cao Bằng nói riêng có phần kiến thức hệ thức Vi-ét Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp tài liệu tham khảo để tập hợp tập hệ thức Vi-ét Sau tiến hành phân dạng với dạng rõ ứng dụng Từ cách nghĩ cách làm tơi nảy sinh việc viết sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” IV Mô tả chất sáng kiến Tính mới, tính sáng tạo, tính khoa học: Trong chương trình Đại số bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng phong phú việc giải tốn như: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng tích chúng, lập phương trình bậc hai có nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ nghiệm phương trình bậc hai Các ứng dụng cịn giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán học khác rèn luyện kĩ trình bày, phân tích, tổng hợp Tuy nhiên giải tập hệ thức Viét học sinh gặp nhiều lúng túng, khơng có kĩ phân tích đề, phương pháp giải khơng khoa học Ngun nhân em chưa hướng dẫn cụ thể theo dạng Vậy làm để giúp học sinh nắm kiến thức phương pháp giải tập hệ thức Vi-ét tơi tiến hành tìm tịi nghiêm cứu, tập hợp toán hệ thức Vi-ét từ tiến hành phân dạng rõ ứng dụng dạng Trên sở tơi viế sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” 1.1 Đối với giáo viên: Khi dạy vè hệ thức Vi-ét, chương trình thời lượng khơng nhiều có tiết lí thuyết tiết luyện tập Thông thường giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng tập hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể SGK SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng đề thi vào THPT Do kết học tập học sinh tập hệ thức Vi-ét thường khơng cao giáo viên khơng có tập hợp xếp đầy đủ khoa học 1.2 Đối với học sinh: Tháng năm 2016 sau hoàn thành việc giảng dạy ơn tập tốn hệ thức Vi-ét chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp với đề toán sau (thời gian làm 30 phút): Bài (5,0 điểm): Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 25x2 + 10x + = b) x2 - 2x + m = Bài (5,0 điểm): Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 − x = Với hai toán đưa ra, kiểm tra kiến thức thấy số lượng em giải trọn vẹn hai chiếm ít, số em giải toán 1, phần a, phần lớn em trình bày lời giải cịn mắc nhiều sai lầm, ngộ nhận, thiếu sở dẫn chứng (bài 1, phần b) khơng tìm hướng làm • Ngun nhân: - Không nắm hệ thức Vi-ét ứng dụng - Không biết làm để xuất mối liên hệ kiện cần tìm với yếu tố, điều kiện biết để giải tập • Kết khảo sát khối lớp cụ thể sau: Năm học 2016- Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 86 5,8 10,5 58 67,4 11 12,8 3,5 2017 Qua kết ta thấy số tỉ lệ giỏi chưa cao, tỉ lệ trung bình cịn nhiều Từ thực trạng vậy, tơi dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụng sáng kiến năm 2017-2018 khẳng định kết sáng kiến Các biện pháp 2.1 Ơn tập lí thuyết * Định lí Vi-ét: (thuận) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) b  x + x = −   a  x x = c  a  Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm • Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a • Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - c a * Định lí Vi-ét: (đảo) u + v = S Nếu hai số u, v thỏa mãn  hai số hai nghiệm phương u.v = P trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P ≥ 0) 2.2 Các dạng toán phương pháp giải Dạng toán 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Trước áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm hay khơng (Tức kiểm tra a ≠ 0, ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ ) có thỏa mãn khơng) Ví dụ (Bài 25/SGK-Trang 52): Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 2x2 - 17x + = b) 25x2 + 10x + = Giải a) 2x2 - 17x + = (a = ≠ 0, b = -17, c = 1) Ta có: ∆ = ( −17 ) − 4.2.1 = 281 > ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 b 17 c Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x = − = , x1.x = = a a b) 25x2 + 10x + = (a = 25 ≠ 0, b = 2b’ = 10, c = 1) Ta có: ∆ ' = 52 − 25.1 = ⇒ Phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức b 10 c Vi-ét, ta có: x1 + x = − = − = − , x1.x = = a 25 a 25 Ví dụ (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, tính tổng tích nghiệm theo m: b) x2 + ( m − 1) x + m2 = a) x2 - 2x + m = Giải a) x2 - 2x + m = (a = ≠ 0, b = 2b’ = - 2, c = m) Ta có: ∆ ' = ( −1) − 1.m = − m Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ − m ≥ ⇔ m ≤ Vậy với m ≤ , phương trình có hai nghiệm x 1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b c x1 + x = − = 2, x1.x = = m a a b) x2 + ( m − 1) x + m2 = (a = ≠ 0, b = 2b’ = ( m − 1) , c = m) Ta có: ∆ ' =  − ( m − 1)  − 1.m = m − 2m + − m = − 2m 1 Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ − 2m ≥ ⇔ m ≤ Vậy với m ≤ , 2 phương trình có hai nghiệm x 1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b −2 ( m − 1) c m2 x1 + x = − = = ( − m ) , x1.x = = = m2 a a Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Phương pháp: Để thực việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = ( a ≠ ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp (Trường hợp đặc biệt): • Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = c a • Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1, cịn nghiệm x2 = - c a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = Ta thực theo bước: • Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho nghiệm x x2  x1 + x = − b   x1.x = c • Bước 2: Thực phân tích c thành tích hai thừa số (c = m.n), từ ta tính m + n Khi đó: - Nếu m + n = - b ta chuyển sang bước (kết luận) - Nếu m + n ≠ - b, ta chuyển sang bước • Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = có hai nghiệm x1 = m x2 = n Chú ý: Thuật tốn có tính dừng hiểu sau: - Nếu tìm cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại đưa lời kết luận nghiệm - Nếu tìm cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b dừng lại trường hợp khơng nhẩm nghiệm Ví dụ: Ví dụ (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = a – b + c = để tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 35x2 - 37x + = b) x2 - 49x - 50 = Giải a) 35x2 - 37x + = Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + = Do phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = c = a 35 b) x2 - 49x - 50 = Nhận thấy phương trình có a - b + c = - (-49) + (-50) = Do phương trình có c ( −50 ) = 50 nghiệm x1 = - 1, x2 = - = − a Ví dụ (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm phương trình: a) x2 - 7x + 12 = b) x2 + 6x + = Giải a) x2 - 7x + 12 = Ta thấy ∆ = ( −7 ) − 4.1.12 = > Do phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa  x1 + x = x + x = + ⇔ mãn   x1.x = 12 = 3.4  x1.x = 12 = 3.4 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = x2 = b) x2 + 6x + = Ta thấy ∆ ' = 32 − 1.8 = > Do phương trình có hai nghiệm x x2 thỏa mãn  x1 + x = ( −2 ) + ( −4 )  x1 + x = −6 ⇔   x1.x = = ( −2 ) ( −4 )  x1.x = = ( −2 ) ( −4 ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = - x2 = - Nhận xét: Đối với phương trình có dạng ví dụ giải phương trình nhẩm nghiệm nhanh gọn việc vận dụng công thức nghiệm (cơng thức nghiệm thu gọn) Dạng tốn 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn lại phương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm nghiệm cịn lại x2 ? b Ta làm sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1 + x = − Thay x1 = m vào hệ thức, a b b c ta có x = − − x1 = − − m ta dùng hệ thức x1.x = Thay x1 = m a a a c c vào hệ thức, ta có x =  ÷: x1 =  ÷: m a a Ví dụ (Bài 39/SBT-Trang 44): a) Chứng tỏ phương trình 3x2 + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm b) Chứng tỏ phương trình -4x - 3x + 115 = có nghiệm Tìm nghiệm Giải a) x1 = - nghiệm phương trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Cách 1: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x = − b −2 −2 −2 ⇒ x2 = − x1 = − ( −3) = − = = a 3 3 Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x = c −21 = = −7 ⇒ x = ( −7 ) : x1 = ( −7 ) : ( −3 ) = a 3 b) x1 = nghiệm phương trình -4x2 - 3x + 115 = Vì -4.52 – 3.5 + 115 = - 100 – 15 + 115 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x = c −115 −23  −115   −115  = ⇒ x2 =  : x = : = ÷  ÷ a 4     Ví dụ (Bài 40/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau: a) x2 + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7; b) 3x2 – 2(m – 3)x + = 0, biết nghiệm x1 = Giải a) x2 + mx - 35 = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x = c −35 = = −35 Mà x1 = nên suy ra: a x = −35 : x1 = −35 : = −5 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x = − b −m = − m ⇔ + ( −5 ) = − m ⇔ m = −2 = a Vậy x2 = −5 , m = −2 b) 3x2 – 2(m – 3)x + = Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x = c = Mà x1 = nên suy ra: a 3 5 x = : x1 = : = 3 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x = − b ( m − 3) ( m − 3) ⇔ +5= ⇔ 16 = 2m − ⇔ m = 11 = a 3 Vậy x2 = 5, m = 11 Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng hệ thức Vi-ét x1.x = trước, sau sử dụng hệ thức Vi-ét x1 + x = − c trước để tìm x2 a b (vì lúc biết x1 x2) để a suy giá trị tham số Dạng tốn 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng u + v = S Nếu hai số u, v thỏa mãn  hai số hai nghiệm phương u.v = P trình x2 – Sx + P = (1)  Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P ≥ 0) ta được:  u = x1 u = x   v = x  v = x1 Ví dụ: (Bài 28/SGK-Trang 53): Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 32, u.v = 231; b) u + v = -8, u.v = - 105; c) u + v = 2, u.v = Giải a) Ta có u + v = 32, u.v = 231 Do u v nghiệm phương trình: x2 - 32x + 231 = ∆ = ( −32 ) − 4.231 = 100 > ⇒ ∆ = 100 = 10 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 32 + 10 32 − 10 = 21; x = = 11 2 Vậy u = 21, v = 11 u = 11, v = 21 b) Ta có u + v = -8, u.v = - 105 Do u v nghiệm phương trình: x2 + 8x - 105 = ∆ = 82 − 4.( −105 ) = 484 > ⇒ ∆ = 22 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −8 + 22 −8 − 22 = 7; x = = −15 2 Vậy u = 7, v = -15 u = -15, v = c) Ta có u + v = 2, u.v = Do u v nghiệm phương trình: x2 - 2x + = ∆ = ( −2 ) − 4.9 = −32 < ⇒ Phương trình vơ nghiệm Vậy khơng tồn cặp u, v thỏa mãn điều kiện Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau áp dụng sáng kiến, với so sánh đối chiếu kết trước sau áp dụng khẳng định sáng kiến giúp giáo viên giảng dạy chủ đề kiến thức hệ thức Vi-ét nhẹ nhàng đầy đủ hấp dẫn, lôi đối tượng học sinh tham gia học tập Học sinh tích cực, chủ động có nhiều em biểu sáng tạo, say mê, kết làm cao Đặc biệt kì thi tuyển sinh vào THPT năm học 2017-2018 học sinh làm tốt tập dạng 3.Khả điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Sáng kiến kịnh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” có khả áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp trường đại trà Giúp giáo viên có tài liệu phương pháp giảng dạy, ôn tập kiến thức hệ thức Viét cách đầy đủ khoa học Giúp học sinh nâng cao kết việc giải toán hệ thức Vi-ét củng cố nhiều kiến thức tốn học khác Từ góp phần nâng cao kết thi vào THPTcho học sinh tạo tiền đề vững cho em trình học tập sau 4.Thời gian người tham gia Để áp dụng sáng kiến giáo viên cần tích cực đọc nghiên cứu tài liệu liên quan, nắm phương pháp giải dạng toán sáng kiến Học sinh có đầy đủ SGK, SBT nắm vững định lí Vi-ét Tơi áp dụng sáng kiến từ tháng năm 2014 cho việc dạy ôn tập cho học sinh trường thi vào THPT năm học 2017-2018 V Kết luận: Mặc dù sáng kiến kinh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng” khẳng định tính khả thi giá trị áp dụng song với thời gian trải nghiệm chưa nhiều lực cá nhân cịn hạn chế nên tính bao qt tồn diện định cịn chưa hết Tơi mong muốn thân đồng nghiệp tiếp tục có tập bổ sung, đóng góp để sáng kiến ln giữ tính khả thi giá trị năm học, với việc dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh việc dạy học theo chủ đề ngày quan tâm XÁC NHẬN CỦA TỔ TRƯỞNG CHUYÊN MÔN Hợp Giang, ngày 11 tháng 11 năm 2018 Người viết sáng kiến Đào Thị Hằng XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ ... để áp dụng sáng kiến Sáng kiến kịnh nghiệm ? ?Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng? ?? có khả áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp trường đại trà Giúp giáo viên có tài liệu phương pháp giảng. .. Tơi áp dụng sáng kiến từ tháng năm 2014 cho việc dạy ôn tập cho học sinh trường thi vào THPT năm học 2017-2018 V Kết luận: Mặc dù sáng kiến kinh nghiệm ? ?Phân dạng toán hệ thức Vi-ét ứng dụng? ??... thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng đề thi vào THPT Do kết học tập học sinh tập hệ thức Vi-ét thường khơng cao giáo viên khơng có tập hợp xếp đầy đủ khoa học 1.2 Đối với học sinh: