BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 CHƯƠNG i II

BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ    CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai số thực a số thực x cho x  a  Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu âm x mà bình phương a :  x  a     x  a  ax  Với hai số thực không âm a , b ta có:  Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A0 A + A2  A   A0  A + A2 B  A B  A B với A, B  ; + A  B + A.B  B2 a số thực không a  b  ab A2 B  A B   A B với A  0; B  A.B với AB  0, B  B M M A  với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A   M A B M  với A, B  0, A  B (Đây gọi phép trục thức mẫu) A B A B 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n + 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: 1/81  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a  R; a  x  x3    3 a a số x cho x  a a https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ    Mỗi số thực a có bậc  Nếu a  a 0  Nếu a  a 0  Nếu a  a 0  a 3a với b   b 3b  ab  a b với a , b  ab a  b  A3 B    A  B 3  A3 B AB với B  B A A  B B3 A2 AB  B  với A   B A B A3 B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a  R, n  N ; n  Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k  N  Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a  x  x k 1  a , a  k 1 a  , a  k 1 a  , a  a 0 Trường hợp n số chẵn: n  2k , k  N k 1  Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu 2k a , 2k a a  x  x  x 2k  a ; 2 k a  x  x  x 2k  a Mọi số thực a  khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x  b) P  8x3  3 c) P  x  x  2/81 2k https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   Lời giải:     x  a) P   x   x    x  x   x   b) P   x       2x    3x  c) P   x  1  x   x  x  1 x  x  1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  x  x  x  b) B  x  x   x  x  x  c) C     10  Lời giải: a) A  x  x  x  x + Nếu x 1   x  x   x 2  1  x  1   x  x x x 1  x  A 2 + Nếu 1  x  A2 x 2 b) B  4x  4x 1  x  x 1  x 1  x 1   x 1  x 1  Hay B    4x 1 1    + Nếu 4x 1 1   4x 1   x  + Nếu 4x 1 1   4x 1    c) Để ý rằng:    3/81 4x 1   4x 1 1  2 4x 1 1  4x 1  x    x   suy B  x  1  x   4x 1   x     x   suy B   74  2 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   Suy C     10(2  3)    28  10    9 5 5  Hay C    5(5  3)   25     Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên 84 84  1 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường 9 THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B   c) Chứng minh rằng: x  a   a  8a  a  8a  1  a với a  số tự nhiên 3 3 d) Tính x  y biết x  x  2015  y   y  2015  2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó A2   72  72          14  2.5  Suy A  2 b) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v  3uv  u  v  Ta có: 3   84 84  84 84 84 84    1  B   1  1 1  3  1   9  9 9       84 84   1  Hay  1  9     84  84  84 3 1 B   3 1   B  B   B  B3   B  B3  B         81  1    B  1  B  B    mà B  B    B     suy B  Vậy B số nguyên 2  2 c) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v  3uv  u  v  4/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ     Ta có x3  2a  1  2a  x  x   2a  1 x  2a    x  1 x  x  2a   Xét đa thức bậc hai x  x  2a với    8a  + Khi a  1 ta có x    8 + Khi a  1 ta có: , ta có    8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x  Vậy với a  8 x  a a  8a  a  8a   a  số tự nhiên 3 3 d) Nhận xét:  x  2015  x Kết hợp với giả thiết ta suy    x  2015  x  x  2015  x  2015 x  2015  x  y  2015  y y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y  Ví dụ 4) a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: P x  x3  x  x  12 x  x  12 b) Cho x   Tính giá trị biểu thức B  x  x  x3  3x  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x    Tính giá trị biểu thức: P  x5  x  x3  x  x  2015 Giải:   a) Ta có: x    10    10      10   10     x2        1 82   1        x   Từ ta suy  x  1   x  x  x Ta biến đổi: P   x    x  x   12 x  x  12  42  3.4  12   12 b) Ta có x     x  1   x3  3x  3x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P  x ( x3  3x  3x  3)  x  x  3x  3x  3   x  3x  3x  3  1945  1945 5/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   c) Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với  a  b3   a  b   a  ab  b  Khi ta có:       1 x  3  để tận dụng đẳng thức: 1   22    x   x  x   x3   x  1  x3  3x  3x      Ta biến đổi: P  x5  x  x3  x  x  2015  x  x  x  3x  3x   2016  2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z  xy  yz  zx  1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  a) Tính giá trị biểu thức: P  x b) Chứng minh rằng: 2  x2 x y z    2 1 x 1 y 1 z2 2 1 y2 1 z2 xy 1  x 1  y 1  z  2 Lời giải: a) Để ý rằng:  x  x  xy  yz  zx  ( x  y)( x  z ) Tương tự  y ;1  z ta có: 1  y 1  z   x  y  x  y  z  z  x  z  y   x y  z   x  x  y  x  z   x2 Suy P  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   b) Tương tự câu a) Ta có:  x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  z  x  x  y  z  y  z  x  z  x  y xy    x  y  y  z  z  x   x  y  y  z  z  x  a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: b) Cho f (n)  xy 1  x 1  y 1  z  2 x12  12  x2  22   n xn  n   x1  x22   xn2  4n  4n  với n nguyên dương Tính f (1)  f (2)   f (40) 2n   2n  Lời giải: 6/81 Ví dụ 6) https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   a) Đẳng thức tương đương với:    x12  12    x2  22     xn  n2  n  0 Hay x1  2, x2  2.22 , , xn  2.n  x  y  4n  b) Đặt x  2n  1, y  2n    xy  4n   x2  y   x  xy  y x3  y3    x  y3   Suy f (n)  x y x y 2 tốn ta có: f 1  f     f  40    33  13    813  13  364      2n 1   2n  1  53  33      Áp dụng vào  813  793   Ví dụ 7) a) Chứng minh rằng: 1     Đề thi chuyên ĐHSP 2011 1 3 79  80 1 1        1   2 3 n n 1 n 1   1 1       n  với số nguyên c) Chứng minh: n   n dương n  b) Chứng minh rằng: Lời giải: a) Xét A  1 1 1       , B 1 2 3 4 80  81 79  80 Dễ thấy A  B Ta có A  B  Mặt khác ta có: 7/81 1 1      1 2 3 79  80 80  81 k  k 1    k 1  k k 1  k   k 1  k   k 1  k https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ    Suy A  B     2      2A  A  B   A  b) Để ý rằng:  Suy VT  1   c) Đặt P  n  n 1 Từ suy 2       T  1   1 1 với k nguyên dương    k k 1 2k k  k (k  1) k   k     1              1     2 2  3 n 1  n 1   n   2   với số tự nhiên n  n n n  n 1  n 1  n  n 1  n  Do đó:   81  80  81   Do A  B suy 1 1      n Ta có:  2 n  2   2 n 1  n n n  n 1 n  n 1   n  n  hay         n 1  n   T  1       n  n    2  Hay n   T  n  Ví dụ 8) a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  b  c  c  a  rằng: a  b  c  Chứng minh a) Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  y  z  z  x  (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có 8/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   a  b2  b  c  c  a  a   b2 b2   c c   a    2 2 a   b a   b    Đẳng thức xảy b   c  b   c  a  b  c  (đpcm)  c   a 2 c   a   b) Ta viết lại giả thiết thành: x  y  y  z  z  x  Áp dụng bất đẳng thức : 2ab  a  b ta có: x  y  y  z  z  x  x   y  y   z  z   x  Suy VT  VP Dấu xảy khi:  x  y  z  3; x, y, z   x, y , z  x  1 y2   2   x  y  x  y       x  1; y  0; z  Ví dụ 9) Cho y z    y  z2  y  z2      z   x  z  x2   z  x2    A x  x4 x4  x4 x4 x  x  16  với x  a) Rút gọn A Tìm x để A đạt giá trị nhỏ b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Lời giải: a) Điều kiện để biểu thức A xác định x   x A  x   x4 2    x  4 x4 2 x4 2  2  x4 2  x    x4 2  x4 2 x4   x4 + Nếu  x  x    nên A  x  x4 22 x4 x4  4x 16  4 x4 x4 Do  x  nên  x    A  9/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   10 + Nếu x  x  x    nên x4 2 x4 2   2x x   2x  x4   16  (Theo bất x4 x4 x4 x4 đẳng thức Cô si) Dấu xảy x    x4 4 x 8 x4 A Vậy GTNN A x  b) Xét  x  A   16 16 , ta thấy A  Z  Z  x  ước số x4 x4 nguyên dương 16 Hay x  1;2;4;8;16  x  5;6;8;12;20 đối chiếu điều kiện suy x  x  + Xét x  ta có: A  A  m2   m  2m  2x , đặt x4  x  m2  ta có: x4  m  m  suy m 2;4;8  x 8;20;68 m Tóm lại để A nhận giá trị nguyên x 5;6;8;20;68 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014) Với x  , cho hai biểu thức A  2 x B  x x 1 x   x x x 1) Tính giá trị biểu thức A x  64 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Tính x để  B Câu (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội) 1) Cho biểu thức A  x 4 Tính giá trị biểu thức A x 2  x  x  16  2) Rút gọn biểu thức B   (với x  0, x  16 )  : x  x  x    10/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   67 b) Tìm m để diện tích tam giác OAB Lời giải:  a) Phương trình hồnh độ giao điểm  d   P  là: x  mx   x  mx   Ta có   m2  16  , với m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt, suy đường thẳng  x1  x2  m 2m  ta có Q  m 8  x1.x2  4  d  cắt  P  hai điểm phân biệt Theo định lý Viet ta có:  (dùng phương pháp miền giá trị hàm số- Xem thêm phần ứng dụng toán GTLN, GTNN) ta dễ tìm giá trị lớn Q GTNN Q  đạt m  m  8 b) Để ý đường thẳng  d  qua điểm cố định I  0;4  nằm trục tung Ngoài gọi A  x1; y1  , B  x2 ; y2  x1.x2  4  nên hai giao điểm A, B nằm hai phía trục tung Giả sử x1   x2 ta có: 1 SOAB  SOAI  SOBI  AH OI  BK OI với H , K hình chiếu vng góc điểm 2 A, B trục Oy Ta có OI  4, AH  x1   x1 , BK  x2  x2 Suy SOAB   x2  x1  2  SOAB   x1  x2    x1  x2   x1 x2  Theo định lý Viet ta có: x1  x2  m, x1 x2  4     m  16   64  m  Thay vào ta có: SOAB Nếu thay điều kiện S  thành diện tích tam giác OAB nhỏ ta có kết Vì m2   S   m  16   64 2 Ví dụ 5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d  : x  y  a  parabol  P  : y  ax (a  0) a) Tìm a để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A, B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung b) Gọi xA , xB hoành độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T (Trích Đề thi vòng THPT chuyên – TP Hà Nội năm học 2005 x A  xB x A xB 2006) Lời giải: a) Xét phương trình ax  x  a  ax  x  a  (1)  d  cắt  P  hai điểm phân biệt 67/81 A, B (1) có hai nghiệm phân biệt https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   68   '   a  Kết hợp với điều kiện ta có  a  (1) có hai nghiệm dương nên A, B nằm bên phải trục Oy  b) Theo định lý Vi et ta có:   x A  xB   Ta có: T  2a  theo bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có: a  a  x A xB  a  1 2a   2 Vậy T  2 a  Ví dụ 6) Cho parabol a  P  : y  x2 đường thẳng  d  : y  mx  a) Chứng minh đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt với giá trị m b) Gọi A  x1; y1  B  x2 ; y2  giao điểm  d   P  Tìm giá trị lớn biểu thức M   y1 1 y2 1 (Trích đề TS lớp 10 Trường THPT chuyên ĐH sư phạm Hà Nội năm 2009) Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng Parabol là: x  mx   x  mx   (1)   m   với m nên (1) có hai nghiệm phân biệt, suy  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A  x1; y1  B  x2 ; y2  b) Theo định lý Viet, ta có: x1  x2  m; x1 x2  1 M   y1 1 y2 1   x12  1 x22  1  x12 x22  x1 x2   x1  x2    m2  Vậy max M  m  BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Cho phương trình x   2m  1 x  m  m   có nghiệm x  Tìm giá trị m 2 tìm nghiệm cịn lại phương trình 2) Cho phương trình x  3x   (1) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi nghiệm phương trình x1 , x2 Khơng tính giá trị x1 , x2 , tính giá trị biểu thức sau: A  x12  x22 68/81 B  x13  x23 C 1  x1  x2  https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   69 3) Cho phương trình bậc hai x2   m  2 x   m2  , m tham số  a) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tính giá trị biểu thức P sau theo m : P x1 x2  Từ tìm giá trị m để P đạt giá trị lớn tìm x  x22   x1 x2  1 giá trị m để P đạt giá trị nhỏ 4) Cho phương trình x   2m  1 x  4m  4m   Tìm giá trị m để phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt có nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại 5) Cho phương trình x  x  m  , m tham số tìm điều kiện tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  6) Cho phương trình x  2mx   5m  4  , với m tham số Xác định giá trị m để phương trình có: a) Nghiệm b) Hai nghiệm phân biệt trái dấu c) Hai nghiệm phân biệt dương 7) Cho phương trình x  x  3m  , với m tham số Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1   x2 2 8) Cho phương trình x  ax  b  (1); x  cx  d  (2), hệ số a, b, c, d khác Biết a , b nghiệm phương trình (2) c, d nghiệm phương trình (1) 2 2 Chứng minh a  b  c  d  10 9) a) Cho phương trình ax2  bx  c   a  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ax1  bx2  c  Chứng minh ac  a  c  3b   b3  b) Giả sử p, q hai số nguyên dương khác Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm x2  px  q  0; x  qx  p  10) Tìm số a , b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: a) Hai phương trình x  ax  11  x  bx   có nghiệm chung; 69/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   70 b) a  b bé  11) a) Cho số a, b, c thỏa mãn a  0, bc  4a , 2a  b  c  abc Chứng minh a  b) Cho a, b, c ba số khác c  Chứng minh phương trình x  ax  bc  x  bx  ac  có nghiệm chung nghiệm cịn lại chúng nghiệm phương trình x  cx  ab  12) a) Cho f  x   ax2  bx  c  a  0 , biết phương trình f  x   x vô nghiệm chứng minh phương trình af  x   bf  x   c  x vô nghiệm b) Cho số a1 , a2 , b1 , b2 cho phương trình sau vơ nghiệm: x  a1 x  b1  x  a2 x  b2  Hỏi phương trình x  1  a1  a2  x   b1  b2   có nghiệm hay khơng? 2 Vì sao? 13) Cho phương trình x  2mx  m   ( x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m 24 b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức M  đạt x1  x22  x1 x2 giá trị nhỏ 14) Cho phương trình x   m  2 x  m  , với m tham số 2 1) Giải phương trình m  2) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 với x1  x2 , tìm tất nghiệm m cho x1  x2  15) Cho phương trình x  x  3m2  , với m tham số 1) Giải phương trình m  2) Tìm tất các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2  thỏa điều kiện x1 x2   x2 x1 70/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   71 16) Cho phương trình bậc hai: x  2mx  m2  m   ( m tham số)  a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x12  x22  3x1 x2  17) Cho phương trình: x2   m  1 x  2m4  m2  ( m tham số) a) Giải phương trình m  b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 18) Cho phương trình: x2   m  1 x  m2   ( m tham số) a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12   m  1 x2  3m2  16 19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  d  : y  mx  tham số m parabol  P  : y  x2 a) Tìm m để đường thẳng  d  qua điểm A 1;0  b) Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  20) Cho phương trình: x  x  m   (1) ( m tham số, x ẩn) 1) Giải phương trình (1) với m  2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  thỏa mãn:  m  x1  m  x2 10   x2 x1 21) Cho phương trình: x  x  m   ( m tham số) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  22) Chứng minh phương trình: x   m  1 x  m   ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 biểu thức M  x1 1  x2   x2 1  x1  không phụ thuộc vào m 23) Cho phương trình x   m  1 x  m  3m   (1) ( m tham số) 71/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   72 1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m để phương  trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  12 24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y    m  1 x  ( m tham số) 1) Chứng minh giá trị m  P   d  cắt hai điểm phân biệt 2) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm  P   d  , đặt f  x   x3   m  1 x2  x Chứng minh rằng: f  x1   f  x2     x1  x2  (Trích đề thi vào lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2013) LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Vì x  nghiệm phương trình nên ta có:   2m  1  m  m   Với m  1 ta có phương trình: x  x    m2  5m    m  1 m  Phương trình cho có nghiệm x  , nghiệm cịn lại x  3 (vì tích hai nghiệm  6 ) Với m  , ta có phương trình x  13x  22  , phương trình cho có nghiệm x  , nghiệm cịn lại x  11 (vì tích hai nghiệm 22) 2) Xét    3        Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Có thể nhận xét ac  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu  x1  x2   b) Áp dụng định lý Vi ét, ta có:   x1.x2       A  x12  x22   x1  x2   x1 x2       2 2      B  x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2        3  C x1  x2  x1  x2  1  32     x1  x2   x1  1 x2  1 x1 x2   x1  x2      3) a) Ta có     m    m  1  m  4m    m   72/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   73  x1  x2  m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2     m  Theo hệ thức Viet ta có:    x1.x2  m  Khi P  x1 x2   x1  x2  2  2m  m2  2  m  1  Dấu đẳng thức xảy 2m  m    m  1 Ta có P    1 m  nên giá trị m 2 m 2 m 2 lớn max P  Tương tự ta có giá trị nhỏ P   , đạt m  2 (Xem thêm 2 phần phương pháp miền giá trị hàm số) 4) Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt   '     2m  1    4m2  4m  3   0, m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá   trị m Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có:  x1  x2   2m  11   x1.x2  4m  4m    Có thể giả sử x1  x2 (3) Khi từ (1)  2m  1   x2  (3)có  Thay vào (2) ta có phương trình  x   2m  1   2m  1  4m2  4m   4m2  4m  35  Giải phương trình ta m  m   (thỏa mãn điều kiện) 2 Cách 2: Từ yêu cầu đề suy x1  x2 x2  x1 , tức là:  x1  x2  x2  x1    x1 x2   x1  x2   áp dụng hệ thức Viet ta phương trình 4m2  4m  35  5) Phương trình có hai nghiệm phân biệt   '    m   m  73/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   74  x1  x2  1  Ta có x1  x2   x1   x2 (3) Từ (1) (3) ta có  x1.x2  m   Theo hệ thức Viet, ta có:   x2  1 Thay vào (2) ta có m  3 thảo mãn điều kiện  x1   6) a) Phương trình có nghiệm x   5m    m  b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu   5m     m  c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   '   m2   5m  4    m  1 m  4   m  m   x1  x2  2m  x1.x2  5m  Theo hệ thức Viet ta có:   2m  m 5m   Hai nghiệm phương trình dương   Kết hợp với điều kiện ta có  m  m  Cách Đặt x 1  t , ta có x1   x2  x1    x2   t1   t2 7) Phương trình ẩn x x  x  3m  đưa phương trình ẩn t :  t  1   t  1  3m   t  t  3m  Phương trình ẩn t phải có hai nghiệm trái dấu  3m   m  Vậy m  Cách 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2      12m   m   x1  x2   x1.x2  3m hệ thức Viet ta có:  (1) Hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1   x2  x1    x2   x1  x2  trái dấu 74/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen Khi theo 12 BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   75   x1 1 x2 1   x1 x2   x1  x2    (2) Thay (1) vào (2) ta có:  3m 1 1   m  Kết hợp với điều kiện ta có m  giá trị cần tìm Chú ý: Nếu hai nghiệm x1 , x2  phương trình ẩn t có hai nghiệm số âm Nếu hai nghiệm x1 , x2  phương trình ẩn t có hai nghiệm số dương 8) Giải: Áp dụng hệ thức Viet ta có: a  b  c; ab  d ; c  d  a; cd  b c  d   a c  a  d  bd  a  b  c  a  b  c Ta có:  Kết hợp với ab  d cd  b suy a  1, c  Do a  b  c c  d  a suy b  2, d  2 Do a  b  c  d  12   2   12   2   10 2 9)  c  c bc  a) Vì a  nên ac  a  c  3b   b3  ac  a 2c  b3  3abc  a      (*) Theo a   a  a b c hệ thức Viet, ta có: x1  x2   ; x1 x2  Khi (*) thành: a a a3  x12 x22  x1 x2   x1  x2   3x1 x2  x1  x2     a3  x12 x22  x1 x2   x13  x23   a3  x12  x2  x22  x1   ac  a  c  3b   b3  a  x12  x2  x22  x1  Mà theo giả thiết ta có ax22  bx2  c  ax1  bx2  c   a  0 Suy bx2  c  ax22  ax1  x22  x1  Do ac  a  c  3b   b3  b) Vì p, q nguyên dương khác nên xảy hai trường hợp p  q p  q Nếu p  q suy p  q  Khi   p  4q   q  1  4q   q  1  2 Vậy trường hợp phương trình x2  px  q  có nghiệm 75/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   76 Tương tự trường hợp p  q phương trình x2  qx  p  có nghiệm (đpcm)  10) a) Theo điều kiện đầu ta gọi x0 nghiệm chung hai phương trình, ta có:  x02  ax0  11   x02   a  b  x0  18   x  bx    0 Do phương trình x2   a  b  x  18  có nghiệm (*) Khi    a  b   144  hay a  b  12 Mặt khác, ta có a  b  a  b  12 Vậy a  b bé 12 a b dấu Với a  b  12 , thay vào (*) ta được: x  12 x  18  Phương trình có nghiệm kép x  20 16 Thay x  vào phương trình cho ta a   ; b   3 Với a  b  12 thay vào (*) ta được: x  12 x  18  Phương trình có nghiệm kép x  3 20 16 Thay x  3 vào phương tình ta được: a  ; b  Vậy cặp số sau thỏa mãn điều kiện 3  20 16   20 16  toán:  a; b     ;   ,  ;  3  3  11) a) Từ giả thiết ta có: bc  4a b  c  abc  2a  4a  2a  2a  2a  1 Suy b, c nghiệm phương trình x   4a  2a  x  4a  Khi  '  a  2a  1  4a    2a  1   a  2 (vì a  ) 2   x0  ax0  bc  b) Giả sử x0 nghiệm chung, tức    x0  bx0  ca    a  b  x0  c  a  b    a  b  x0  c   Vì a  b nên x0  c Khi ta có: c2  bc  ca   c  a  b  c   0, Do c  nên a  b  c   a  b  c Mặt khác theo định lý Viet, phương trình x  ax  bc  cịn có nghiệm x  b; phương trình x  bx  ac  cịn có nghiệm x  a Theo định lý đảo định lý Viet, hai số a b nghiệm phương trình: x2   a  b  x  ab  hay x  cx  ab  (đpcm) 12) 76/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   77 a) Vì phương trình f  x   x vô nghiệm, nên suy f  x   x f  x   x, x   Khi af  x   bf  x   c  f  x   x, x  af  x   bf  x   c  f  x   x, x  Tức phương trình af  x   bf  x   c  x vô nghiệm b) Từ giả thiết suy a12  4b1  a22  4b2  Do a  a  4b2 a  a  4b1   x  a1 x  b1   x     0, x  x  a2 x  b2   x     0, x  2 2   1 2 nên x   a1  a2  x   b1  b2    x  a1 x  b1  x  a2 x  b2   Do 2 1 phương trình x   a1  a2  x   b1  b2   vô nghiệm 2     13) 1  a)  '  m  m   m     với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm với 2  m b) Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  2m; x1 x2  m  2 M  24 24 24   2 x  x2  x1 x2  x1  x2   x1 x2  x1 x2  x1  x2 2  x1 x2 24  2m    m  2  24 6   2 Dấu “=” xảy m  Vậy giá trị 4m  8m  16  m  12  nhỏ M  2 m  14) 1) Khi m  phương trình thành: x  x   x  x    2)  '   m  2  m2  2m2  4m   m2  2m   2   m  1   0, m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Ta có S  x1  x2    m ; P  x1x2  m2  Ta có x1  x2   x12  x1 x2  x22  36   x1  x2   x1 x2  x1 x2  36    m   36   m    2  m  1 m  15)  x  1 1) Khi m  phương trình thành: x  x     (do a  b  c  ) x  77/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   78 2) Với x1 , x2  ta có: x1 x2     x12  x22   x1 x2 x2 x1 3   x1  x2  x1  x2   8x1x2 Ta có a.c  3m2  nên   0, m b c  x1.x2   3m  a a Phương trình có hai nghiệm  m     x1 x2  Giả sử x1  x2 Khi   , ta có: x1  x2   Với a   x1  b '  ' x2  b '  '  x1  x2   '   3m   Do u cầu tốn  3.2 2  3m   3m  m  m2   4m  3m      m  1  m   (l )  16) a) Khi m  ta có phương trình: x  x   x   x2  x  3x    x  x  1   x  1    x  1 x  3    Phương trình có x  tập nghiệm là: S  1;3 b) Ta có  '  m2   m2  m  1  m  Để phương trình bậc hai cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  '   m 1   m   x1  x2  2m Khi theo hệ thức Viet ta có:  Theo ra: x12  x22  3x1 x2   x1 x2  m  m    x1  x2   x1 x2  3x1 x2    x1  x2   5x1 x2    4m2   m2  m  1   m   m2  5m     m  1 m      m  Đối chiếu điều kiện m  ta có m  thỏa mãn toán 17) a) Khi m  phương trình thành: x  x   có  '  22    Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  2  5; x2  2  1 b) Ta có:  '  2m  2m   2m  2m   2m  2m  2 78/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   79  m  0  1 1       m     m    , m Nếu  '    (vơ nghiệm) Do 2 2   m      '  0, m Vậy phương trình ln có hai nghiêm phân biệt với m 18) x  a) Với m  , ta có phương tình: x  x     x  2   b) Xét phương trình (1) ta có:  '   m  1  m2   2m  Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2  m  Theo hệ thức Viet:  x1  x2   m  1 Theo giả   x1 x2  m  thiết: x12   x1  x2  x2  3m2  16  x12   x1  x2  x2  3m  16  x12  x22  x1 x2  3m  16   x1  x2   x1 x2  3m2  16   m  1   m2  4  3m2  16 2  8m  16  m  Vậy  m  2 19) 1) Đường thẳng  d  qua điểm A 1;0  nên có:  m.1   m  2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm  d   P  : x  mx   Có   m2  12 , nên  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 m    m2  12   m2  12  m    Áp dụng hệ thức Viet ta có: m     x1  x2  m 2 Theo ta có: x1  x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2    x1 x2   m2  4.3   m  16  m  4 (TM) Vậy m  4 giá trị cần tìm 20) 1) Thay m  vào phương trình ta có: x  x   1  1  ; x2  2 21 2) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:     m     m  Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  1 (1); x1 x2  m  (2) Có   12  4.1.1  Vậy phương trình có nghiệm: x1  Xét: 79/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   80   m  x1    m  x2  x12  x22  10  m  x1  m  x2 10     x2 x1 x1.x2   m  x1  x2    x1  x2    x1 x2 x1 x2  10 1  m     m   10 3m  17 10    m5 m5  m  1 (thỏa mãn).Vậy với m  1 tốn thỏa mãn 21) 1) Phương trình có nghiệm x   32  2.3  m     m   m  6 Ta có: x1  x2    x2   x2  1 Vậy nghiệm lại x  1 Thay (1),(2) vào ta có: 2)  '    m  3  m  Để phương trình có hai nghiệm  m    m  2 Khi đó: x13  x23    x1  x2   x1  x2   3x1 x2     Áp dụng hệ thức Viet ta được:  22   m  3      3m      6m 18   6m 18   m  3 (thỏa mãn) Vậy m  3 giá trị cần tìm 22) a) Phương trình: x2   m  1 x  4m   (1) có  '   m  1   4m  3  m  2m   4m    m2  2m  1    m  1   với m Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: S  x1  x2  2m   m   S 2 (2) P  x1 x2  4m   m  P3 S 2 P3   2S   P   2S  P    x1  x2   x1 x2  x1 x2  23) Phương trình x2   m  1 x  2m2  2m   Có  '   m  1  2m2  2m   m  2m   2m  2m   m 2 Phương trình có nghiệm phân biệt m    x1  x2  2  m  1  x12  x2  12   x1  x2   x1 x2  12  Theo định lý Vi et ta có:    x1.x2  2m  2m  1 Hay  m  1   2m  2m  1   m   80/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ   81 24)  y  x2   y  x  a) Xét hệ phương trình:  2  m  1    3x   m  1 x   10 1 y  3  (1) Có hệ số a c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt m nên  P   d  cắt hai điểm phân biệt với m 2  m  1   3  x1  x2   x1  x2  m   b) Theo hệ thức Viet:    x x  3x x  1   Ta có: f  x1   f  x2   x13  x23   m  1  x12  x22   x1  x2   f  x1   f  x2    x13  x23   x1  x2   x12  x22   x1  x2   x13  x23  3x1 x2  x2  x1    x1  x2    x13  x23   x1  x2    x1  x2     x13  x23  3x1 x2  x1  x2     x1  x2   x12  x22  x1 x2     x1  x2  Nên f  x1   f  x2   81/81 1  x1  x2  https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen ... đẳng thức cu? ?i nên ta có ? ?i? ??u ph? ?i chứng minh 23/81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen B? ?I DƯỠNG HSG Đ? ?I SỐ   24 26 Gi? ?i: Để gi? ?i toán ta cần... thẳng (d1 ) lớn c) Chứng minh hai đường thẳng cắt ? ?i? ??m I Tìm quỹ tích ? ?i? ??m I m thay đ? ?i 29/ 81 https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen B? ?I DƯỠNG HSG Đ? ?I SỐ ... https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen B? ?I DƯỠNG HSG Đ? ?I SỐ   29 viết l? ?i: y  m m m 1 1  1  m   3m  m  x ? ?i? ??u kiện để (d )  OI  3m  3m  3m  2 2 1 1 Khi