Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm chương 3 hình học không gian

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Câu 1: Đáp án B Ta loại phương án (IV) khối tứ diện S.ACD S.ABD có điểm chung (phần chung khối tứ diện S.AOD) Câu 2: Đáp án A x Nhận xét: chiều dài nhà chiều cao lăng trụ Đặt x (cm) chiều dài ngơi nhà Theo vẽ, ta có: 3 x  3 x  22  x   cm Tiếp theo, ta xét đến mặt trước nhà Tương tự tập 3.40, ta dễ dàng có diện tích phần mặt trước:  SABCDE  SBCDE  SABE  5.3  3.    18 cm 2  Vậy thể tích mơ hình ngơi nhà là:   V  SABCDE x  18.8  144 cm3 Câu 3: Đáp án C Số lần rót nước vào bình tỉ số thể tích V1 , V2 bình gáo V1 .42.25   9,375 suy số lần cần rót nước 10 lần V2 .43 Câu 4: Đáp án B Phân tích: Đọc giả nhầm tưởng số bút chì xếp vào hộp tỉ số thể tích hộp bút, thực chất xếp bút chì vào hộp, tùy cách xếp cho ta số lượng khác http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 3/15 y x Nhận xét: độ dài x y hình cho ta biết xếp bút chì theo chiều ngang chiều dọc Để tìm x y, ta cần xác định độ dài cạnh lục giác Cây bút chì có hình dạng khối lăng trụ lục giác với thể tích 1875 mm3 chiều dài 10 cm (thực chất chiều cao khối lăng trụ) Từ ta xác định diện tích đáy: 1875 V 75 B   h 100  mm  Gọi a (mm) độ dài cạnh đáy bút chì, ta có cơng thức diện tích đáy bút chì   3 a mm (tham khảo 3.35) Từ đây, ta tìm độ dài cạnh lục giác đều: 3 75 a   a   2,5  mm  Suy ra: x  2a   mm  ; y  a   mm  (tham khảo 3.39) Dựa kích thước hộp, ta có số viết xếp theo chiều ngang 60 60   13,86  12 (cây bút) theo chiều dọc y x hay nói cách khác 13 bút (dù kết 13,86 xếp tối đa 13 bút) Vậy tổng số bút chưa hộp là: 12.13=156 bút Câu 5: Đáp án B Các em biết cách tính diện tích lục giác đều, với ngũ giác ta làm hoàn toàn tương tự Một ngũ giác chia thành tam giác cân với góc đỉnh 360o  72o Từ ta tính diện tích miếng da thành phần Diện tích miếng da ngũ giác đều:   4,5 1  405 S1   4,5 .tan 54o   tan 54o cm 2  16 Diện tích miếng da lục giác đều: S2  3 243 4,52   cm  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 4/15 Diện tích bề mặt bóng tổng diện tích 12 miếng da ngũ giác 20 miếng da lục giác đều: S  12S1  20S2  1215 1215 tan 54o   cm  Giá thành sản xuất miếng da: S.150  220545 (đồng) Câu 6: Đáp án C Nhận xét: Độ dài cạnh hộp đường kính bóng Gọi d (cm) độ dài cạnh hộp, ta có cơng thức tính diện tích d bóng: S  4    d 2 Vì diện tích bóng hình cầu diện tích bóng da câu nên ta có: 1215 1215 tan 54o   d  10,82  cm  Câu 7: Đáp án D d  Thể tích tăng lên thể tích khối nước đá hình lập phương: 4.33  108 cm3   Để biết nước có tràn hay khơng ta cần tìm phần thể tích mà bình chứa trước thêm đá: .52. 13,5  12       75  cm3  108 cm3 Suy nước không tràn khỏi bình Để xác định độ tăng chiều cao mực nước, ta cần lấy độ tăng thể tích chia cho diện tích đáy bình: h  108  1,38  cm  .25 Câu 8: Đáp án B Sự chênh lệch thể tích buồng đốt thể tích khối trụ có chiều cao 2r bán kính đáy d/2 (xem hình b c)   Do ta có: V1  V2  .3  2.2   36 cm Câu 9: Đáp án C Nhận xét: Về chiều cao thùng: Dù gị theo cách chiều cao (đều 50cm, chiều rộng miếng tơn hình chữ nhật) http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 5/15 Về chu vi đáy: gò theo cách rõ ràng chu vi đáy nửa chu vi đáy gò theo cách 1, từ dẫn tới bán kính đáy cách nửa bán kính đáy cách (do chu vi bán kính tỉ lệ thuận) Từ ta có diện tích đáy thùng gị theo cách ¼ gị theo cách thể tích Với việc V2 tổng thể tích thùng gị theo cách ta có V1 2 V2 Đáp án A Đổi số đo: 10 ft = m; ft = 1,5 m Câu 10:   Gọi V1 , V2 , V3 m thể tích phần hình nón phần hình trụ   Thể tích phần dạng khối nón: V1  V2  .1,52.1,5   m3    9  m  Thể tích phần khối trụ: V3  .1,52.3  Tổng thể tích bồn chứa: V1  V2  V3 27  m3 Đáp án D Nhận xét: Chiều cao khối nửa cầu bán kính Vì chiều cao khối nên chiều cao chúng bán kính đáy R Thể tích khối trụ: V1  .R Câu 11: Thể tích khối nón: V2  R 3 Thể tích khối nửa cầu: V3  R  R Suy V2  V3  V1 Câu 12: Đáp án A Nhận xét: Trong khối có khối nửa cầu ta biết rõ chiều cao (cũng bán kính) Từ ta suy thể tích chung khối Đặt R bán kính đáy khối, thể tích khối là: V  R  R 3 Diện tích bề mặt gáo hình nửa cầu diện tích xung quanh khối nửa cầu: S3  4.R  2R Ta xét đến khối trụ, để xác định diện tích bề mặt gáo khối trụ, ta cần biết chiều cao h1 nó: R h1  V  h1  V  R R Diện tích bề mặt gáo khối trụ diện tích xung quanh diện tích đáy khối trụ tương ứng: S1  2Rh1  R  R http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 6/15 Tiếp theo, ta xét đến khối nón Để tính diện tích bề mặt khối nón ta cần biết độ dài đường sinh k, trước hết chiều cao h khối: 3V R h  V  h   2R R Độ dài đường sinh k: k  h 22  R  5R Diện tích bề mặt gáo khối nón diện tích xung quanh khối nón tương ứng: S2  Rk  5R Nhận xét: S3  S2  S1 Câu 13: Đáp án B Theo 3.53, diện tích vỏ hộp nhỏ a  b  c  V  330  6,91  cm  Đáp án A Câu 14: Theo 3.53, diện tích vỏ hộp nhỏ R  V ; h  2V Đáp án C Ta chia tủ bếp thành khối lập phương khối hộp chữ nhật có kích thước 6m x 5m x 1m Như vậy, thể tích tủ bếp tổng thể tích khối này: Câu 15:   13  6.5.1  31 m3 Câu 16: Đáp án D Nhận xét  Hình chiếu ống khói gồm hình chữ nhật có chiều dài 3x, chiều rộng x hình thang cân có độ dài đáy x 2x  Do khối chóp cụt tứ giác có đáy hình vng nên ta thấy mặt khối hộp chữ nhật hình vng cạnh x (mặt tiếp xúc khối) Từ ta có kích thước khối hộp chữ nhật x, x, 3x h  Đối với khối chóp cụt tứ giác đều, đáy có độ dài cạnh x 3x Nếu ta gọi h chiều cao hình thang cân hình h đồng thời chiều cao khối chóp cụt Giải Thể tích phần ống dạng khối hộp chữ nhật: V2  x.x.3x  3x http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 7/15 Dựa theo công thức 3.37, ta tính thể tích phần khối chóp  cụt: V1  h x  x.2x   2x  Vậy tỉ số thể tích:   13  x2 tan 60 .7x o  3 x V1  V2 18 Đáp án B Câu 17:   Thể tích phần khối trụ bị khoét: V  .5  4.15, 75  12 cm V   m .3 Bán kính phần khối trụ bị khoét: r  Suy đường kính phần khối trụ bị khoét m Câu 18: Đáp án C Nhận xét: Khối tứ diện tạo thành có độ dài cạnh cm Từ ta tìm chiều cao diện tích đáy khối tứ diện (tham khảo 3.56), có thể tích khối tứ diện   cm3 Câu 19: Đáp án B Nhận xét: Các mặt bên tam giác đều, tất cạnh khối chóp tứ giác Gọi a (cm) độ dài cạnh, S diện tích mặt bên S’ diện tích đáy Ta có: 4S  S'    a  a    a   cm  Thể tích khối chóp tứ giác có cạnh (cm)  cm  (tham khảo 3.57) Câu 20: Đáp án C Với độ dài cạnh khối chóp tứ giác a = (cm), gọi m, n (cm) chiều dài chiều rộng miếng bìa hình chữ nhật Chiều rộng miếng bìa lần độ dài cạnh khối chóp: n = 2a = (cm) Chiều dài miếng bìa tổng lần độ dài đường cao mặt  bên độ dài cạnh khối chóp: m    3     cm     Diện tích miếng bìa hình chữ nhật: m.n   16 cm Đáp án D Câu 22: Đáp án A Chỉ có hình (I) ghép thành khối lập phương Câu 23: Đáp án C Tham khảo 3.16 Câu 24: Đáp án B Câu 21: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 8/15 Nhận xét: Khi đổ nước vào bể nước dâng đầy phần nón trước sau đến phần trụ Như ta xét hai giai đoạn: (I) Từ lúc bắt đầu đổ nước đến nước dâng đầy phần khối nón (II) Từ lúc nước bắt đầu dâng vào phần khối trụ đến lúc đầy bể Ta xét trình (I): Khi nước dâng phần khối nón, giây trơi qua, lượng nước bể lại tạo thành khối nón nhỏ có bán kính đáy r(t) chiều cao (cũng chiều cao mực nước) h(t) (t thời gian, tính theo giây) Dễ thấy: h r h  r 1,5 0,5 3 Ở thời điểm t, ta có: V  t   r 2h  t  27t (mỗi giây lượng h  h  27  nước bơm vào lít nên t (giây) t (lít)) Vậy thay đổi chiều cao mực nước giai đoạn (I) cho hàm: h  t  27t  Hàm hiển nhiên khơng có đồ thị đường thẳng, ta loại bỏ hai câu A C Lẽ ta cịn phải làm thêm bước tìm tập xác định biến t đến thời điểm xác định, chuyển sang giai đoạn (II) thay đổi chiều cao mực nước khơng cịn biểu diễn hàm số vừa nêu Ta xét đến trình (II): Dễ dàng nhận thấy lúc mực nước tăng theo hàm bậc nhất, đồ thị từ đường thẳng Vậy đáp án B Câu 25: Đáp án A Hình quạt có bán kính cm độ dài cung  cm Độ dài cung hình quạt chu vi đáy hình nón, gọi r (cm) bán kính đáy nón, ta có: 2r    r   cm  Bán kính hình quạt độ dài đường sinh hình nón Gọi h (cm) chiều cao hình nón, ta có: h   r      35 6  cm  (tham khảo 3.58)   Vậy thể tích khối nón là: V  r h    343 35   9,84 cm3 648 Đáp án C Bán kính miếng bìa độ dài đường sinh l nón, l = 20 (cm) Độ dài cung hình quạt chu vi đáy nón Gọi r (cm) Câu 26: bán kính đáy nón: 2r  2l 2.20   r   cm  4 Gọi h (cm) chiều cao nón: h  l2  r  15  cm  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 9/15 3 Thể tích nón là: V  r h  .52.5 15  Tổng thể tích nón là: 4V    125 15  cm3   500 15  cm3  2, 03 (lít) Đáp án A Cách giải 1: Ta tìm thể tích V1 , V2 , V, V ' cách nhanh chóng Phương án 1: chia hình trịn thành phần Độ dài đường sinh nón bán kính hình trịn ban đầu, tức 16 cm Câu 27: Bán kính nón 1/3 bán kính ban đầu, tức 16  cm  Ta tìm chiều cao nón: 162   16   32  cm   3 Thể tích V1 nón:   16  V1         2       32 8192   cm  449, 33 cm 3 81    Tổng thể tích V nón: V  3V1  1348, 00 cm Phương án 2: chia hình trịn thành phần Bán kính nón 1/6 bán kính ban đầu, tức  cm  8 35 Ta tìm chiều cao nón: 162      cm   3 Thể tích V2 nón:  8 V2         2    35 512 35   cm3  117, 48 cm   81     Tổng thể tích V’ nón: V '  6V2  704,89 cm Cách giải 2: Tổng qt hóa tốn Chia hình trịn bán kính R thành x hình quạt ( x  ¥ * , x > 1), sau cuộn hình quạt lại tạo thành hình nón tích V, tổng thể tích hình nón V’ Đối với khối nón, bán kính hình trịn ban đầu độ dài đường sinh khối nón, độ dài cung hình quạt chu vi đáy nón Gọi r bán kính đáy nón: 2r  2R R r x x Chiều cao nón: h  R   R  x http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 10/15 2 Thể tích khối nón: V    R  R   R   R  x 3 x x x Dễ dàng khảo sát thấy hàm số V  x   R  x 3 nghịch biến x khoảng  2;   , với giá trị x  ¥ * , x > ta ln có V(x) > V(x+1) Hay nói cách khác, chia nhỏ hình trịn thể tích khối nón tạo thành bé Tổng thể tích khối nón: V '  x.V  R  x 2 a x Khảo sát hàm số V '  x   R  x 2 , ta có kết tương tự x trên, nghĩa chia nhỏ hình trịn tổng thể tích khối nón tạo thành bé Câu 28: Đáp án C   o o Đặt     360 số đo cung tròn dùng làm nón Ta dễ dàng xác định bán kính đáy nón: r   R ; 360 Và chiều cao nón: h  R    R   R 3602   360  360  Thể tích nón: V  r h    R  3602   3.360 Thể tích nón đạt giá trị lớn hàm số f  x   x 3602  x   x  360  đạt giá trị lớn Khảo sát hàm này, ta tìm hàm số đạt giá trị lớn x  294 , hay nói cách khác, thể tích nón đạt giá trị lớn   294o Vậy số đo cung tròn bị cắt là: 360o    66o Câu 29: Đáp án B Xét kích thước x y hình, y độ dài đường sinh khối nón cụt Bán kính đáy nhỏ đáy lớn khối nón cụt r = cm r’ = cm Để tính thể tích khối nón, ta cần tìm chiều cao khối nón cụt Như biết, khối nón cụt tạo cách xoay hình thang vng quanh cạnh góc vng Vì vậy, độ dài cạnh góc vng chiều cao h khối nón cụt http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 11/15 Như ta thấy, muốn tìm h, ta cần tìm y trước Dễ dàng chứng minh x 4  , suy x = cm y = cm 6 Từ đây, ta tìm chiều cao khối nón cụt: h  y      2  cm  Vậy ta tích khối nón cụt với bán kính đáy r =   2cm; r’ = 3cm chiều cao h  2 cm : V  h r  rr ' r '2    38  cm (tham khảo công thức 3.48) Câu 30: Đáp án A Gọi r1, r2 , r3 (cm) bán kính đường tròn màu cam, màu đỏ màu xanh Dễ dàng tính r1  43   cm  ; r2   2  cm  ; r3  43  2  cm  Gọi h1 , h , h  cm  chiều cao khối nón có đáy đường trịn bán kính r1, r2 , r3 với đường sinh tương ứng 4cm, 7cm, 9cm Dựa theo hệ thức đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối nón, ta có:  cm  ; h  92  r32  2 Từ đây, ta tính thể tích V1, V2 , V3 h1  42  r12   cm  ; h   r22   cm    Thể tích V1 khối nón có bán kính đáy r1 : V1  r12 h1   cm3 3   343 Thể tích V khối nón có bán kính đáy r2 : V  r22 h   cm 24 Thể tích V2 khối nón cụt hiệu thể tích V V1 : V2  V  V1    93  cm3 Tương tự, ta tìm thể tích V3 khối nón cụt cùng:   193  cm3 12 Câu 31: Đáp án C V3  Gọi h, r (m) chiều cao bán kính đáy bể Theo đề bài, ta có: r h  150  r h  150  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 12/15 Tổng chi phí sản xuất: A = 100000.r  90000  2r  h  120000.r  220000r  180000rh (đồng) Áp dựng bất đẳng thức Cauchy cho số dương 220000r , 90000rh, 90000rh :   220000r  90000rh  90000rh  1782.1012.3 r h  30000 1782 r h A 2   30000 1782 150     15038388     675  m r  22 11  Đẳng thức xảy  220000r  90000rh  h  r    h  22 675 m    11 Câu 32: Đáp án B Trong giây, thể tích nước tăng thêm 10 lít 10 t Chiều cao mực nước tăng lên giây là: 1000  t m ,   10.5 5000 t thời gian, đo giây Dựa thông tin ban đầu hồ có sẵn 200 lít nước, tức mực nước ban đầu 250  m Như ta có hàm số thể chiều cao mực nước thời điểm sau: h  t   1 t 5000 250 (m) Đáp án A Chiều cao cánh cửa chiều cao buồng cửa hình trụ Chiều rộng cánh cửa bán kính đáy buồng cửa hình trụ Theo cơng thức tính thể tích khối trụ, ta tích buồng cửa: Câu 33: V  .1, 52.2,5  45 m  Đáp án D Thể tích khối nón cụt: Câu 34: 1 695 V1  h r  rR  R  .10 52  5.1,  1, 52  cm3 3 27 cm3 Thể tích khối trụ: V2  .r h  .1, 52.3  1471 Tổng thể tích bình: V  V1  V2   ml  12 1471  1200  ml  Thể tích sỏi cần bỏ vào: V  100  12 V  100  24 (viên) Số viên sỏi cần bỏ vào: 12         http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 13/15 Đáp án C Nhận xét: cần biết thể tích hồ bơi, ta tìm thời gian cần để bơm nước đầy hồ Thể tích hồ bơi diện tích phần mặt bên dạng ngũ giác chiều rộng hồ 10m Câu 35:   Diện tích mặt bên: S      25.2  57 m   Thể tích hồ bơi: V  S.10  570 m  570 000 (lít) Thời gian cần thiết để bơm nước đầy hồ: 570000  5700 (giây) = 100 35 phút Đáp án B Nhận xét: để lon trà đặt vừa khít hộp đáy hộp tiếp giáp với đáy lon phải có dạng hình vng Hơn nữa, hình vng có độ dài cạnh a đường kính đáy lon 2R Gọi V, V’ thể tích lon trà thể tích hộp quà, ta có: Câu 36: V R h R R       78,54% V' a h a 4R (trong h chiều cao hộp, chiều cao lon) Câu 37: Đáp án A Nhận xét: ta cần tìm chiều cao bồn nước (A) thơng qua chiều cao thiết bị (B) Dựa vào hình vẽ, ta thấy thể tích nước (B) gồm thể tích cột nước hình hộp chữ nhật đứng có đáy hình vng cạnh cm khối hộp chữ nhật ngang có kích thước 4cm  2cm  2cm Từ ta tìm chiều cao cột nước h  Bán kính đáy bồn: R  616  4.2.2  150  cm  2.2 375000  50  cm  150. Đáp án C Nhận xét: Thể tích bồn nước tích chiều cao bồn (bằng 2m) diện tích phần hình trịn đáy, mà cụ thể hình viên phân Bởi lẽ diện tích hình viên phân tính theo cách khác dựa vào số đo cung tương ứng nên ta cần đánh giá số liệu đề cách cẩn thận Câu 38: Ở đây, chiều cao h mực nước 0,25 m, nước dâng lên chưa nửa bồn Từ ta thấy diện tích hình viên phân http://dethithpt.com – Website chun đê thi, tài liệu file word Trang 14/15 hiệu diện tích hình quạt hình tam giác tương ứng hình Gọi số đo cung hình quạt  , ta có: h  R  R.cos     R 1  cos  2     o Suy ra: 0, 25  0,5 1  cos    120  Ta tìm diện tích hình viên phân: Svp  Squat  S   R sin    3  R     m2  o  4 360     1 2 Thể tích nước bồn là: V  Svp    Câu 39: 3   307, 09 (lít)   Đáp án B   1, 264  0, 632 m  m  0, 632 m Diện tích S’ nửa hình trịn đáy: S'  R  Diện tích hình viên phân đáy: Svp    Như vậy, nước dâng nửa bồn Ta đưa tốn lại dạng 38 cách tính diện tích hình viên phân nhỏ cịn lại: Svp2  R  Svp  125  316 500 m  Theo 38, gọi số đo cung hình viên phân nhỏ  (tính theo radian), ta có:  R sin  R      sin   2 125  316 Giải phương trình:    sin    500 Svp  Squat  S  (1) Sử dụng máy tính bỏ túi, ta tìm nghiệm   2, 09  rad   120o Như phần không gian trống bồn có độ cao 0,25m, hay nói cách khác, độ cao mực nước 0,75 m Câu 40: Đáp án B Xét khối nón cụt có chiều cao h, bán kính đáy R r (R>r) Thể tích V khối nón cụt tính theo cơng thức: V  h R  R.r  r   Gọi r (cm) bán kính phần đáy tiếp xúc  30  5.r  r    555  r  0,5  cm  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Trang 15/15 ...   13  6.5.1  31 m3 Câu 16: Đáp án D Nhận xét  Hình chiếu ống khói gồm hình chữ nhật có chiều dài 3x, chiều rộng x hình thang cân có độ dài đáy x 2x  Do khối chóp cụt tứ giác có đáy hình. .. 32  cm   3? ?? Thể tích V1 nón:   16  V1         2       32 8192   cm  449, 33 cm 3 81    Tổng thể tích V nón: V  3V1  134 8, 00 cm Phương án 2: chia hình trịn thành... nón: h  R    R   R 36 02   36 0  36 0  Thể tích nón: V  r h    R  36 02   3. 360 Thể tích nón đạt giá trị lớn hàm số f  x   x 36 02  x   x  36 0  đạt giá trị lớn Khảo