BT VDVDC HK2 HDG

BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CÂU HỎI MỨC ĐỘ VD, VDC – HK1 Chủ đề Giới hạn, hàm số liên tục Câu 1: lim n n 1 n2  n  n2  1 1 2  n n  lim    sin  n n2 1  n n n 1  lim N Do S  a  b  Chọn B an  5n  a  3 an  5n  n n3  a  a n  lim  lim Câu 2: lim 3 3n  n  3n  n  3  n n n 3 Do b  a a0 ,c   P   27 Chọn D a 27 V Câu 4: lim u n  lim  EN  200  Câu 3: lim 200  3n  2n  lim n      lim 3n   Chọn D n n    n  an   n   lim n N LU Y  lim  lim n  an   n  Câu 5: Ta có L  lim  5 n 5.2 n  1 a   1 n n2 n  n 1   5 n 1  lim 3  n  an   n  a an   n  an   n   a  1  a  2 Chọn C 2n  n2  n n     3      2 2  2.2  5  5  n n  lim  lim  lim  lim n n n 1     5.2 n  5  1 1       n n  5  5   n n O    a  1 a  2 2  c    b   a  b  c  30 Chọn B b c   Câu 6: lim  a 42 n n  n 1 n  n a 1    2    lim n 4a 1024 3 a   4 a  a a  có 2008 số nguyên a Chọn B      a  10 mà  0a  2018 45 Trang HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11 Câu 7: Ta có S tổng CSN lùi vơ hạn với u1  1; q  cos x Suy S  u1 1   Chọn C  q  cos x sin x n 3 1  lim  lim  a n a n  n a 5 a 9 9   Câu 8: lim n  n 1 1   a   3a  2187  a  n n a 2187 2187 9 N Do n 1 9n 1 n 1 Kết hợp a   a   0; 2019  suy có 2012 giá trị a Chọn C un       .  n 3 3 n 1 n 1   3 EN    u1    q   V   u  u1  u  Câu 9: Ta có  n cấp số nhân với  u u n  n u   n 1  n un  n 1  3n n  n n 1 1  n v1  un 3 1 3 1     1     Đặt v n   S n      n  1 n 2 3  3 v n  n     3 Chọn A N LU Y Khi n   S n  Câu 10: Ta có lim u n  lim  2n 1  n4  n  1  3n  1  lim 9n  2n   n  1  3n  1 lim n4 9n  1 1 n4 2 k h n n  lim lim  lim   lim  0; lim  9n  3 9 n n  1  1 9 1  n    n  n     2 a  a     P    1 Chọn B b b   O Mà lim u n  n n 9  2 11       11n 1  32n 1  n  11   11   11  lim Câu 11: Ta có lim u n  lim n n 1 n 11  1  1    11  Do suy a  11, b   P  a  b  10 Chọn A Câu 12: Ta có lim u n  lim Trang 2n.3n 4n  4n  9n   S  65 Chọn D BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI Câu 13: Ta có lim  lim  9n  2n  8n  6n   n   9n  2n  3n  lim   1   Chọn C 3  8n  6n   2n  Câu 14: Ta có lim n  n2    n  n n2       1     1     n   n   lim    32 5 Chọn B   x   a  x   2ab  xb  lim x 4x  3x   ax  b  .V = lim  a x    2ab  x   b N 4x  3x    ax  b  Câu 15: lim  4x  3x    ax  b    lim x   x 4x  3x   ax  b b 4  a x x x Câu 16: lim x  EN 4  a  a  a   Khi  3  2ab    a  4b  Chọn D 0 3  2ab  4b  3   2a  a  1 x   b  x3  a  1 x  1  b  x   ax  x   x   bx   lim x ax  x   x  bx  N LU Y a   a     a.b  Chọn A  lim    b x 1 b3 1 b    a    1   a  x x x x Câu 17: lim x  ax  bx  cx   a  c  x  lim x  bx ax  bx  cx  a  c  x  b  2  lim x a b c x a  c  a  c  Khi  b  2    b  2 a  2c    a c Kết hợp với c  a  18 O Do 2c  18  c   a  c  (vì c   a ) Vậy b  2 a  2c  2  2.3  12 nên a  b  5c   12  5.3  12 Chọn B Câu 18: lim x1 Do lim x1  f  x   10 x 1   f  x   10   x  1  f  x   5x  f  x   10 x 1  4f  x      lim x1 5x    x 1 20x  29    Chọn D Câu 19: lim f  x   lim  x  1  1 ; x2 x2 Do để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x  x 2 x2 x2 Trang HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11 Suy lim f  x   lim x2 x2 x  ax  b  1 nên x  2 nghiệm tử số x2  x  ax  2a  x2    2   a  2   b   b  2a   lim x2 x2 x2a a4   1  a   b  12 Vậy 3a  b  12 Chọn C x2 4 Câu 20: lim x1 Khi lim x1 x  mx  n   x  mx  n   x  1 x  n  x1  x  1 x  n   lim x  n   n   n  2 x  mx  n  lim   x  x1 x 1 x 1 N  lim Do mn  2 Chọn D  x  1   5x  1 Câu 21: lim x3 x   5x  x  4x   lim x  21  5x  x3 x  4x   lim x3 x  x  3 x  4x   x   x  1 x   Câu 22: lim x3 x  3x x  4x  x  4x  x   5x  5x   lim x3 x x  4x   Chọn D x  x   5x   ax  bx   ax  bx   lim 4x  3x  x 2x  1  x  1  ax   b x  4bx  N LU Y x  lim EN x  4x  V Suy x  mx    x  1 x    x  x   m  1  ax  bx   Khi phương trình:  có nghiệm kép x   ax  bx     a  b x  4bx  có nghiệm kép x  2   b2 b2  2b a  a     4b  a  b  3  a  b    2 b  3a   b 2   4b  a  b  4b  4b  4b   b    3   a  b   loai   ax  bx   3x  3x   suy lim  lim 1 4x  3x  4x  3x  x x  b  3,a  3 2 O  3x  9x  12x   3x  3x   lim x x 2  2x  1  x  1  lim  lim 3  2x  1   x 12x  12x   2  3x  3x   2x  1  x  1   3x  3x   2x  1  x  1  lim x 3    3x  3x   x  1  2  c Khi ax  bx  c   3x  3x   0(VN) nên phương trình vơ nghiệm Chọn A Câu 23: Ta có lim x Trang   9x  ax  27x  bx   lim x  9x  ax  3x  27x  bx   3x  BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI   9x  ax  9x  = lim  x  9x  ax  3x    ax  = lim  x  9x  ax  3x      3x 27x  bx   9x   27x  bx   27x  27x  bx       3x 27x  bx   9x   bx   27x  bx   V N     b   a a b x   lim     x  27 27 a    b  b    x   27     3 27         x x  x x    9a 2b 14    2b  9a  14 Ta số thỏa mãn  16;  ,  25;  54 54 54 Suy tồn số a  2b  25  4.2  33 Chọn A    x2 x 0 x  16   lim x 0   x  lim x  16    x 0 x  16  16 5   x2 x  16  EN   x2 Câu 24: lim a   a  2b  14 Chọn D Do  b  f x  N LU Y Câu 25: Do lim x2 x2   f x   A x.x  2 Suy f      f    f x   Ta có: I  lim x2  x2  lim f x  x2 O x2 Câu 26: I  lim Xét lim x1 f x   x1  f x    f x    x   x   3  f x       f  x   4  x      2    2.2  2  2  2  Chọn C 24  x 2022   x 2021     x  1 x 2022  x 2021   x  2022  lim x1 x 2022  x 2022       x  1 xn1  xn2   xn  x n 1  x n 2   n  lim  lim  2022 2021 2020 2021 2020 x  x  x 1 x x   2022  x  1 x  x   2022  2021   Do I   2022 Câu 27: lim x 0 2023.2022 2023 Chọn C  2022 1  x 1  2x 1  3x  1  100x   x Trang HỌC GIỎI KHÔNG KHĨ TỐN 11  lim 1    x     x     x   2x     x   2x     x   2x   3x  x x 0  1  x  2x  1  x 1  2x  3x  1  x 1  2x  100x   lim    x0  x x x     lim    x     x   2x   100   x   2x    99  x 100.101  50.101 Chọn D      100  Câu 28: I  lim x    a  x   lim   a  x  x x 1 x x2  x2  x  x2    lim  a   x   x   x2   x N x 0 Để I   a    a  Pmin  2  2.2   Chọn A Câu 29: lim x a 2x   2017  lim x 2x  2018 2017 2x  2017 a 2   x a x x x  lim x 2018 2018 2 2 x x V a EN a 2x   2017 a 1    a Chọn A x 2x  2018 2 2 Do lim 1 4x  x    4   x x  2  x x  lim x 2 m m m x x 4x  x    lim x mx  Câu 30: Ta có: lim x N LU Y  m  4 Chọn B Câu 31: lim x 0 3x   3x    lim  lim x 0 x 0 x x 3x   x   3x  3x     lim x 0 3x    Khi a  3, b   P  13 Chọn A Câu 32: Ta có lim f  x   f    m  x0 Lại có lim f  x   lim x 0 x 0 x4 2 x44  lim x 0 x x x4 2  O Để hàm số có giới hạn x  m  Câu 33: lim f  x   lim x1 x1  x  lim x 0 x  x4 2 1   m  Chọn B 4 x2    Chọn A 1 x Câu 34: lim f  x   f    Mặt khác: lim f  x   lim  ax  1  2a  x2 x2 x2 Để tồn lim f  x   2a   a  Chọn B x   Câu 35: I  lim ax  bx  2x  2018  lim x Trang x a x  bx  2x  2018 ax  bx  2x  2018   lim x 0 x4 2  BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI 2018 x  lim 2018 ax  bx  2x  2018 x a b  x x a  lim x a   b x  2x  2018 2 Để I hữu hạn a  b I  a a Câu 36: lim x0  b x2   Chọn C aa a ax    bx ax      bx  lim x 0 x x   V  N  ax          ax  1  ax   1   bx  a b    lim      lim  x 0 x 0  x   bx   bx x     ax  1  ax         a  a b   , mặt khác a  b    Chọn D b  lim x1  lim x1  x 32   x2     x  1  x2    x2      lim x1 N LU Y x1 x2    lim x 1 x1 EN Câu 37: Ta có: f  1  m  Để hàm số liên tục x  m   Câu 38: Với x   f  x   x2   x  1  x2     m2   m   Chọn D 2 x  3x  hàm phân thức xác định liên tục  ;    x2 Với x   f  x   3x  a hàm đa thức xác định liên tục   ;  Ta có lim x2  x   x  1  lim x   x  3x   lim   x  x2 x2 x2 lim  3x  a   a  x2 Để hàm số liên tục   Hàm số liên tục x  O  lim f  x   lim f  x   f    a    a  5 Chọn B x2 x 2 Câu 39: Ta có lim x 0 4x    lim  x  ax   2a  1 x  ax  2a  1 4x   2a   Hàm số liên tục x  Câu 40: Ta có lim x1  a x2  x3    a   Chọn C 2a    a , lim  x1 3x    lim x1 x2   x  1  3x     Trang HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11 Để hàm số liên tục x  x 0 x4 2 1  1  lim  ; lim  mx  2x    2x  x  x  x 4 x4 2  Để hàm số liên tục x  2m  Câu 42: Ta có lim x3 1   m  Chọn B 4 3 x2  b Để hàm số liên tục x  b    3 3 x x6 Chọn D 3 x9 Câu 43: Ta có: lim f  x   lim  lim x 0 2x   x 0 x 0   x     2x      2x    x   2x    x9 V x 0  lim N Câu 41: Ta có lim a 3   a  Chọn D   x    2x      2x      x   EN   1 Mặt khác: lim f  x   lim  5x  m    m f     m x0 x 0 3   Để hàm số y  f  x  liên tục x  khi: 1 lim f  x   lim f  x   f     m    m  1 x0 x 0 3 N LU Y Câu 44: Chứng minh phương trình x  8x   ln có nghiệm âm Đặt f  x   x  8x  Vì f  x  hàm đa thức nên f  x  liên tục   f  x  liên tục   2;  Ta có: f 0     f  2  f    f  2   15   phương trình f  x   có nghiệm  2;   phương trình f  x   ln có nghiệm âm 7x  10  7x  10   lim x2 x2  x   7x  10  lim f  x   lim x2 x2 O Câu 45: Ta có:  lim x2 7x  14 x  2  7x  10    lim x2  7x  10      lim f  x   lim  mx    2m  ; f    2m  x2 x2 Hàm số liên tục x   lim f  x   lim f  x   f    2m   x 2  x 2  m Câu 46: Xét hàm số f  x   m  m  x 2019  x  23 liên tục    Ta có f    23  ; f    m  m  2019  Trang BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI Xét hàm số f  m   m  m   m  m  1  m2  m   4 2  1  1   m     m      f    m  m  2019   2  2    Vậy f   f     f  x   ln có nghiệm thuộc khoảng  ;  hay phương trình ln có nghiệm dương với giá trị tham số m x   hàm đa thức  f(x) liên tục  0  Ta có f(0)  07  sin     1 ; f( )  ( )7  sin     7 2 2 Do f(0).f( )  N Câu 47: Xét f(x)  x7  sin Chủ đề Đạo hàm V Vậy x  (0, ) cho f(c)   phương trình cho có nghiệm Câu 48: Theo cho ta có: y  3x   m   x  EN y '  0, x    3x   m   x   0, x   a  3     5  m      m     Vì m    m  5; 4  3; 2; 1; 0; 1 hay có giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn B N LU Y Câu 49: Hàm số liên tục x  nên ta có a  b  Hàm số có đạo hàm x  nên giới hạn bên lim x1 f  x   f  1 x 1 f  x   f  1 x 1 ta có:  lim ax  b   a  b   lim a  x  1  lim a  a x1 x1 x1 x 1 x1 x 1 ax  b   lim x1 x2  f  x   f  1  x  1 x  1  lim  x  1  lim  lim 2  lim x1 x1 x1 x1 x 1 x 1 2  x  1 Chọn A 4 Câu 50: Ta có y  Gọi M  x ; y  tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị  C  x  2 O Vậy a  1; b    y0  x0  x0  Phương trình tiếp tuyến  C  M  x ; y  y  y  x0  x  x0   y   x  2 x0  2 x  x   x Trang HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11 Vì tiếp tuyến qua điểm A  6;     x  2 x0  2  6  x   x x    x0      x0    x   x    4x02  24x0     x0  Với x   PTTT : y  x  1 1 x  6   y  x  Chọn A  4 Câu 51: Với x  ta có: f '(x)  2x  Với x  ta có: f '(x)  N Với x   PTTT : y  x 1 f(x)  f(1) x2  x   lim  x1 x 1 x1 lim f(x)  f(1) x 1  lim   suy hàm số khơng có đạo hàm x  x1 x 1 x 1 x1 x1 V lim EN 2x  x   Vậy f (x)   Chọn D x   2 x  N LU Y    x   k2  1 Câu 52: y '  cos x    cos x   ,(k, l  ) 2  x    l2       5 2  5    k2      k2    12  k  k     x   nên  Mà        2    l    l2     l2   l    3   12 Thay vào ta được: x    Chọn D Câu 53: Ta có: y  s inx  cos x  2x  2021 y  cos x  sin x  y   cos x  sin x    sin x  cos x  2      sin x  cos x  1  sin  x    1  x     k2  x    k2   k    2   O  Vì x  0; 4    Câu 54: Ta có: y   25  k2  4  k Mà k    k  1; 2 Chọn B 12 12 1  3x  x  2  3x  x   2x y     3x  x Trang 10   2x  3x  x       2x      2     3x  x    2x    3x  x    3x  x     BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI  3x  x    2x   3x  x  13    3x  x  3x  x    2x  2     3x  x    4  3x  x    2x      3x  x  3x  x       4x  12x    3x  x   13   3x  x          2x Ta có  y   y.y      3x  x       13     3x  x   3x  x  3x  x       1 Chọn B  1  3x  x  4x  12x    3x  x      N     4  3x  x 2 V   2 1  2   Câu 55: Tập xác định: D   ; 1   1;   Ta có y  x     x  1 : y x  1 x  1 2 x  x   9  x   3x0  Mà A  9;    nên suy x0   x  1  t / m  3x0   3x 02  4x     x  t / m x0     N LU Y 0 EN  3x   Giả sử M  x0 ;   x  1 tiếp điểm Ta có phương trình tiếp tuyến  C  M là: x0    7  1   Vậy tích hệ số góc hai tiếp tuyến y '  1 y '           Chọn B      16  64 Câu 56: Xét 2f  2x   f   2x   12x Cho x  ta có: 2f  1  f    ; cho x  ta có: 2f    f  1  Giải hệ ta có: f    1  f  1  Ta có: 2f  2x   f   2x   12x  4f   2x   2f    2x   24x Cho x  ta có: 4f   1  2f     12 ; cho x  ta có: 4f     2f   1  O f     Giải hệ ta có:  Với f  1  f   1  ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm là: f   1  y   x  1   4x  Chọn D Câu 57: +) Từ giả thiết: chia f(x) cho x  ta phần dư 2021 , ta được: f(x)  h(x).(x  2)  2021  f '(x)  h '(x)(x  2)  h(x)  h(x)  f '(x)  h '(x).(x  2) +) Từ giả thiết: chia f '(x) cho x  phần dư 2020 , ta f '(x)  k(x)(x  2)  2020  f(x)   f '(x)  h '(x)(x  2)  (x  2)  2021   k(x)(x  2)  2020  h '(x)(x  2)  (x  2)  2021  f(x)  k(x)(x  2)2  h '(x)(x  2)2  2020(x  2)  2021 Suy g(x)  2020(x  2)  2021 Vậy g( 1)  4039 Chọn C Trang 11 HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TOÁN 11   1 1 Câu 58: Ta có M  a; (x  1)  y  a    y  2 a     x  1  a  1 Gọi  tiếp tuyến đồ thị hàm số y  Khi  có phương trình là: y    a  1 điểm M  a; b  x 1  x  a   a 1    a  1 x 2a   a  1   2a  1  a  1 2 4  2a  1  a  1 2a  OA.OB   OA.OB   2a  4 2  a  1 2   4a   a   Suy b  4 EN Vậy 4a  b    4   Chọn B V Diện tích tam giác OAB là: S  N  2a   Tiếp tuyến  cắt trục Ox điểm A  2a  1;  , cắt trục Oy điểm B  0;   a  1      Câu 59: Xét g  x   f x  2x  m liên tục  có g  x    2x   f  x  2x  m    Khi phương trình: g  x     2x   f  x  2x  m  *  * *  N LU Y  x  1  2x       x  2x  m    h  x   x  2x  m     x  2x  m  2   k  x   x  2x  m   Để phương trình g  x   có nhiều nghiệm phương trình  *   * *  có nghiệm phân biệt, đồng thời nghiệm khác khác 1 h x   m     h  1   m   Nên ta có:   m  2  k x   m     k  1   m   O Do m số nguyên, m  20; 20  thỏa mãn điều kiện m  2 nên m  1; 0; 1; 2; ; 20 Vậy có 22 giá trị m Chọn C Câu 60: y  x  3x   y  3x  Tiếp tuyến với  C  A, B có hệ số góc x  xB  L  f   x A   f   x B   x 2A  x 2B   A  A, B đối xứng qua I  0;  tâm đối xứng  x A  x B  C AB  d : x  y    AB : x  y  m  AB qua I nên ta có m   AB : x  y   Khi hồnh độ A, B thỏa mãn phương trình  x  (L) x  3x   x     A  2;  , B  2;  x A  2x B  2y A  3y B  14 Chọn B  x  2 Trang 12 BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI Câu 61: Lấy điểm M  m;  thuộc đường thẳng y  Đường thẳng d qua M  m;  có hệ số góc k có phương trình y  k  x  m   Ta có: y  3x  12x  Để d tiếp xúc với đồ thị  C  hệ sau có nghiệm:  x  6x  9x   k  x  m     k  3x  12x     1 Thay 2 vào  1 ta có:  x  6x  9x   3x  12x   x  m    2x   m   x  12mx  9m   N x    x  1  2x    3m  x  9m       2x    3m  x  9m   Với x   k  Tiếp tuyến y  Do khơng có tiếp tuyến đồ thị vng góc với tiếp y  3, nên yêu cầu toán tương đương với phương V tuyến trình 2x    3m  x  9m     có nghiệm phân biệt x1 ; x , tiếp tuyến chúng vng góc với Phương trình    có nghiệm phân biệt khi: EN  m      3m    9m     9m  48m  48      m    3m x1  x  Ta có: f  x f  x  1  3x  12x  3x  12x   1 Theo Viet   1  2 1 2 9m  x x   N LU Y  2   x1x   4x1x  x1  x    x1  x   10x1x  12  x1  x      1 26 m 27  26  Vây M  ;  thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A  27  Câu 62: Ta có: y   m  1 x  4x  2m y    m  1 x  4x  2m  , x    1 Nếu m  bất phương trình trở thành 4x    x  O m  m  m     Nếu m  ,  1      m  1  m  1 Chọn D   2m m        m    Câu 63: Ta có: y  cos 2x  sin x   2 sin x  sin x  y   x  x   ; 50  nên    k2 ; k    99  k2  50    k  Mặt khác k   nên k  0 ; 1; ; ; ; 24 4 Suy tổng nghiệm đoạn 0 ; 50 phương trình y  là:   97   25   2  1225  5 9 13 97  S 25          Chọn B 2 2 2 Trang 13 HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11 Câu 64: Ta có C4n Cnn4  C6n Cnn 6  2C4n Cnn 6  C4n Cnn4  C6n Cnn6  2Cn4 Cnn6    Cnn4 Cnn4  Cnn6 Cnn6  2Cnn4 Cnn6   C nn 4  C nn 6    Cnn4  Cnn6  n  10 n Ta có   3x   C0n  C1n 3x  C n2 32 x   C nn 3n x n Đạo hàm hai vế ta được: 3n   3x  n 1  3C1n  2.32 C n2 x   n.3n C nn x n 1  3C1n x  2.32 C 2n x   n.3n C nn x n  Đạo hàm vế ta được: 3n    3x   n 1   3x  n  11  3x  n 2   3.C1  2.32.C2 x   n 3n.Cn x n 1 n n n  N  3nx   3x  n 1 Thay x  vào vế : 3n  n 1   n  1 n 2   3.C1n  2.32 C n2   n 3n.C nn    V Với n  10, T  12.3.C1n  2.32.C n2   n 3n.C nn  3n  n1   n  1 n 2   T  30  27.4  30 4.4  27.48  930.48 Chọn A n EN Câu 65: Với n số nguyên dương, xét hàm số f(x)    x  f (x)  n.(1  x)n 1 , f (x)  n.(n  1)(1  x)n 2 Mặt khác f(x)  C0n  C1n x  C2n x   Cnn2 x n2  Cnn1x n1  Cnn x n f (x)  C1n  2C2n x  3C3n x   (n  2)Cnn2 xn3  (n  1)Cnn1x n2  nCnn x n1 N LU Y f (x)  2C2n  3.2C3n x   (n  2).(n  3)Cnn2 x n4  (n  1).(n  2)Cnn1x n3  n.(n  1)Cnn x n2 Thay n  2021 , x  vào biểu thức f (x) 2020 S  2.C22021  3.2.9.C2021  4.3.9 2.C2021   2019.2020.9 2018 C2021  2020.2021.9 2019.C2021 2021  2020.2021.10 2019 Chọn C Câu 66: Tam giác OAB vuông cân O nên hệ số góc tiếp tuyến 1 Gọi tọa độ tiếp điểm (x , y ) ta có : 1  1  x0  2 x  1 (2x0  3)2 Với x0  1, y  , phương trình tiếp tuyến là: y  x loại khơng cắt hai trục tạo thành tam giác O Với x0  2, y  , phương trình tiếp tuyến là: y  x  Khi tiếp tuyến y  x  cắt hai trục Ox, Oy A  2;  ; B  0;   tạo thành tam giác OAB vuông cân O nên S OAB  Trang 14 1 OA.OB  2.2  Chọn B 2 BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI Chủ đề Quan hệ vng góc Câu 67: Ta có H trung điểm AB tam giác SAB nên SH  AB (1) S Mặt khác: SH  a 3; SC  2a , HC  BH  BC  4a  a  a  Dễ thấy: SH  HC  3a  5a  8a  2a   SC K A  SHC vuông H  SH  HC (2) D H N Từ (1) (2)  SH   ABCD  B C Khi đó: AC  SH, AC  HK  AC   SHK   AC  SK Suy C .V   AHD  mà AHD   ADH   90 Ta có: AHD  DKC  c  g  c   DKC   ADH   90  CK  HD Lại có: SH  CK  CK  SHD  DKC   A' EN Suy phương án A, B Chọn D Câu 68: Gọi M trung điểm CC suy AM // CN C' Khi  AB, CN    AB, AM  Ta có: AA  AB2  AB2  7a  3a  2a 2 2 B' N M BM  CM  BC  a  4a  a A C N LU Y BC  AB  AC  a  3a  2a Vì tứ giác AMCN hình bình hành AA  CM  AN  AN  a AM  CN  AC  AN  a  a  a B Áp dụng định lý côsin tam giác ABM ta có:  M  cos BA AB2  AM  BM 7a  2a  5a 2 14 Chọn A    2.AB.AM 2.a 7.a 14 Câu 69: Xét SAB tam giác vuông A SA  2a, AB  a S O Vì I hình chiếu vng góc A lên SB nên ta có: 1 1 2a       AI  AI SA AB2  2a 2 a 4a I IB AB  Lại có: AIB đồng dạng với SAB  hay AB SB IB  A AB a a a    2 SB a SA  AB  SI  SB  IB  a  a 4a  5 D J B C Trang 15 HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11 Vì  P  mặt phẳng chứa AI song song với BC  AD   P  cắt SC điểm J thỏa mãn: IJ SI SI.BC   IJ   IJ // BC  BC SB SB 4a a 4a  a Khi  P  giao với hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình thang ADJI với đáy AD  a IJ  Vậy diện tích thiết diện  P  hình chóp S.ABCD là: 1 4a  2a 15a AD  IJ  AI   a   Chọn A   2   25 V S Câu 70: a   2a   SC  SA  AC  AI  2 S  a2  a    a a 7; EN Ta có: AC  AD2  CD2  1 SD  SA  AD2  2  2a     a  I a   AI.SC   AI.SC   Khi đó: cos  AI, SC   cos AI, SC     AI SC a a          Lại có: AI  AS  AD ; SC  AC  AS  AB  AD  AS         AI.SC  AS  AD AB  AD  AS                AS.AB  AS.AD  AS.AS  AD.AB  AD.AD  AD.AS  N LU Y   B A D C       N 2a ADJI AI  4a Lại có AD   SAB   AD  AI hay AI chiều cao hình thang  1 a2 AS  AD2  4a  2a  a  cos  AI, SC    Chọn B 2 a 42 42     O Câu 71: Gọi M, N hình chiếu vng góc I K lên A' C' mặt phẳng  ABC  B' Ta có góc hai mặt phẳng  AIK   ABC  K J góc hai mặt phẳng  AIK   AMN  I Mặt khác AMN hình chiếu vng góc AIK lên A  ABC  N M Khi ta có S AMN Trang 16 S  S AIK cos   cos   AMN S AIK  B C BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI Ta có S AMN  a2 AM.AN.sin 60  Xét AAB vng A ta có AA  AB tan 60  2a ; AB  AB2  AA  4a  12a  4a  AI  AK  2a Gọi J trung điểm IK suy AJ  AI  IJ  4a  a a 15  a2 1 a 15 a 15  AJ.IK  a  Vậy cos    Chọn D 2 a 15 Câu 72:         Đặt AB  x , AD  y , AS  z SP  kSC      Ta có AM  AD  AS  y  z 2      AN  AB  BN  x  y         AP  AS  SP  AS  kSC  AS  k AC  AS  S  M  P A EN  V Ta có S AIK N         AS  k AB  AD  AS  kx  ky    k  z B N    AM, AN, AP Vì véc tơ đồng phẳng nên    AP  mAM  nAP      m 2n   m          y z Khi kx  ky    k  z  m  y  z   n  x  y   nx       2    N LU Y  D C   n  k n  k   2k 2k  m 2n  kk Suy    k  1  k   k , từ phương trình  k  3 2  m m    k    k SP  Chọn D SC Câu 73: Vậy Xét ABD vuông cân A , ta có O S BD  AB2  AD  a  a  a Góc đường thẳng BA BD 45 , suy   AB, BD  135   M Xét SAB vuông cân A , ta có 2 A D SB  SA  AB  a  a  a AM  SA.AB a  SB B C    Vì M trung điểm SB nên: 2AM  AS  AB Trang 17 HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11            Ta có 2AM.BD  AS  AB BD  AS.BD  AB.BD  AB.BD       AB.BD AB.BD.cos AB, BD a.a 2.cos  135  a Suy AM.BD     2 2 a       AM.BD Do cos AM, BD      AM, BD  120 AM.BD a 2 a 2 Vậy góc AM BD 60 Chọn D Câu 74: S Dựng hình vng ABCD Ta có AB   SAD  , CD   SAD  Từ A kẻ AH  SD H suy       N   H Ta có:   60   SBC  ,  ABC     SB, BA   SBA   a tan 60  a Ta có: SA  AB tan SBA SA  AD  a 3.a A a  a B C N LU Y Câu 75: Gọi H trung điểm BC , tam giác SBC nên SH  BC , mà  SBC    ABC  theo giao tuyến BC  SH   ABC  , SH    D 60° a  Chọn A EN Ta có: AH  SA.AD V AH  AB  AH   SCD  Ta có   d  AB, SC   AH AH  SC  S a   Ta có: d C,  SAB   2d H,  SAB  , K Gọi M trung điểm AB suy AB   SHM    SHM    SAB  theo giao tuyến SM , vẽ  HK  SM  HK   SAB   HK  d H,  SAB  Ta có HM  BH.sin 30  H B  C M a a  2 A a 39 1 16 52 a 39 Vậy d C,  SAB   Chọn C       HK  2 13 26 HK HS HM 3a a 3a Câu 76: S Gọi O giao điểm AC BD  SO đường cao  O  hình chóp S.ABCD Nên SO  2a Ta có: AB   SAB    ABCD   1 Gọi H trung điểm AB Mà SAB cân S  SH đường cao SAB  SH  AB   Lại có: OH đường trung bình ABC  OH  AB   OH  Trang 18 BC a  2 D A H O C B BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI   Từ  1 ,   ,   , suy    SAB  ;  ABCD   SHO   Xét SOH vuông O  tan   SO 2a   Chọn C OH a Câu 77: Gọi O tâm đáy, ta có: S AC a a   SO  2 Gọi H hình chiếu vng góc M lên đáy SO  (ABCD), AO  H  BD, MH / /SO MH DM 1 a    MH  SO  SO DS 3 A D V Với MS  2MD  N M Ta có: O H B C DH DM 1 5    DH  DO  BD  BH  BD  a DO DS 3 6 EN   MBH   tan   MH  a  Chọn B   (BM,(ABCD)) BH 5a Câu 78: Ta có :  SBC    SCD   SC Ta lại có:  S  N LU Y  BD  SA SA   ABCD  , BD   ABCD   BD  SC   BD  AC Trong mp  SAC  , kẻ OH  SC H SC  HD   SDC  suy SC   HBD    SC  HB   SBC      SBC  ,  SCD    HD, HB  A D O B C   2DHO  Vì BD   SAC   OH nên BD  OH  vgHOD  vgHOB  2cgv   DHB DO  OH OC DB a   OHC đồng dạng với SAC  g.g   SA SC 2 O a a SA.OC   DO   a Xét tam giác vuông DHO , ta có : tan DHO  OH   OH SC a   60  DHB   2DHO   120 Vậy  DHO   SBC  ,  SCD    60 Chọn D Trang 19 HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11 Câu 79: Kẻ CH  SB , CK  SA hình vẽ S AB  BC  AB   SBC   AB  CH Có  AB  SC K H Suy CH   SAB   CH  HK, CH  SA Từ suy SA  HK Có BC  AC  AB2  2a ; N CH Chọn A  CK 13 EN  Xét tam giác vng CHK , có sin CKH Trong mặt phẳng  BBCC  , kẻ MH  BC H AM  BC AM  BB Ta có BC  BB  B B 1 13 78a     CH  2 2 13 CH SC BC 24a 1 6a     CK  2 CK SC AC 8a Câu 80: A C V  SAB    SAC   SA  Có HK  SA CK  SA    Suy góc  SAB  ,  SAC     HK, CK   CKH A' C' N LU Y      AM   BBCC   BC, BB   BBCC   B' H Mà HM   BBCC   AM  HM M  d  AM; BC   MH A C Lại có BBC đồng dạng với HMC M a a BB BC MC.BB    MH    a Chọn D  MH MC BC a B O Câu 81: Gọi O trung điểm AB  SO  (ABCD) S 2a  a SO đường cao tam giác cạnh 2a SO  H Từ giả thiết suy tam giác BCD tam giác ABD A tam giác  CD  OD CD  OD  CD   SOD  Ta có  CD  SO Trang 20 D O B C BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI OH  SD  OH   SCD  Trong tam giác SOD kẻ OH  SD H ta có  OH  CD     Do AB   SCD  suy d B,  SCD   d O,  SCD   OH Nhận thấy tam giác SOD tam giác vuông cân O với OD  a 1 a SD  3a  3a  Chọn C 2 Câu 82: OH  Trong  SAC  kẻ AK  SO K N  S  Mặt khác AK  BD BD   SAC  ;  SBD  : SO  BD  O H  AO  AS a a  a     a       AD.AS Kẻ AH  SD H Suy AH  AD  AS AH  2  D O B a.a a  3a C  a a 15   cos   Chọn C 5 a N LU Y Ta có sin    d A;  SBD  K A a 15  EN  d A;  SBD   AK  AO.AS V Nên AK   SBD  K Câu 83: Gọi I  BM  AC Kẻ IE // SC cắt SA E S Khi SC //  BME   d(BM; SC)  d  SC; (BME)   d  C; (BME)   d A;  BME  ( I trọng tâm BCD )  E  H Gọi N trung điểm BC , P  AN  BM P B O AN  BM  BM   SAN  Ta có  SA  BM D A M I C N Suy  SAN    SBM  theo giao tuyến SP Trong  SAN  dựng AH  SP H Suy AH   SBM  H  d  A; (BEM)   AH Ta có: AN.AP  AB2  AP  AB2 2a  AN Trong tam giác vng SAC có SA  SC  AC  a Ta có AH  AE AI 2AS 2a    AE   AEP vuông A , đường cao AH có AS AC 3 AP.AE AP  AE  2a 38 a 38  d(BM; SC)  AH  Chọn A 19 19 Trang 21 HỌC GIỎI KHƠNG KHĨ TỐN 11 Câu 84: SO  BD  BD   SAC   BD  SC Ta có  AC  BD S H Trong mặt phẳng  SAC  dựng OH  SC  SC   BDH    BDH  //  P  Tứ giác ABCD hình vng nên CD // AB C B  góc tạo đường thẳng AB với mặt phẳng  P  O A  BHD  D N góc tạo đường thẳng CD với mặt phẳng V Theo cách dựng ta có CH hình chiếu vng góc đường thẳng CD lên mặt phẳng  BHD   Góc tạo đường thẳng CD với mặt phẳng  BHD  góc CDH HD  CD2  CH  a  Câu 85: a a 33   DH  11 Chọn A   cot CDH 12 CH N LU Y Đặt AM  x,  x  EN a    CH CO CO   a    CH    Xét CHO  COS CO SC SC a A' C' Gọi E giao điểm CM AC Ta có (CMB)  (ABC)  EB B' Kẻ CH  EB H CH  d(C, EB) d(C,(ABC)) CC Suy sin  (CMB),(ABC)     d(C, EB) CH CH Do đó, góc mặt phẳng (CMB) mặt phẳng M E I H (ABC) nhỏ CH lớn EA AM x x x x    EA  EC  (EA  AC)    EA  EC CC 2 2 2x Suy EA  EC  EA  AC  2x 2x Xét tam giác EAB có: O Ta có: AM // CC     2x   2  2x 2.cos 120 EB  EA  AB  2EA.AB.cos EAB   2x 2x 4x  8x  16 x  2x   2x 2x Gọi I trung điểm AC Khi đó:  Trang 22 C A B BỘ CÂU HỎI HAY XUẤT HIỆN TRONG ĐỀ THI S EBC 1 BI.EC 2x   CH.EB  BI.EC  CH   2 EB x  2x  2x Do đó, CH  CH  CC2  12 4  (x  2x  4) x  2x  12  x  1 2 4 2 3 Từ suy CH max  2 xảy x  hay M trung điểm AA CC 2     (CMB),(ABC)   45 CH 2 N Khi đó, sin  (CMB),(ABC)   Vì ABC hình chiếu vng góc CMB lên mp(ABC) nên EN a b   a  c  1; b   T  a  b  c  Chọn A c O N LU Y Suy S CMB  22  2 V S ABC  S CMB cos  (CMB),(ABC)   S CMB S ABC   cos  (CMB),(ABC)  Trang 23