Đề thi Olympic môn Toán lớp 11 năm 2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam

“Đề thi Olympic môn Toán lớp 11 năm 2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Nam” là tài liệu luyện thi Hóa học hiệu quả dành cho các bạn học sinh lớp 11. Cùng tham khảo và tải về đề thi để ôn tập kiến thức, rèn luyện nâng cao khả năng giải đề thi để chuẩn bị thật tốt cho kì thi giữa học kì 2 sắp tới nhé. Chúc các bạn thi tốt!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2019 Mơn thi: TỐN – Lớp 11 Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi  : 21/3/2019 Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình sau:          a)                           b)  Câu 2 (4,0 điểm).           a) Chứng minh mệnh đề sau bằng phương pháp quy nạp:  “ Tổng các góc trong của đa  giác lồi có n cạnh bằng  ”          b) Cho dãy số  biết:   với  Tìm số hạng tổng qt của dãy số                            Câu 3 (6,0 điểm).            a) Cho số ngun dương  thỏa mãn: và  theo thứ  tự  lập thành cấp số  cộng. Tìm số  hạng khơng chứa  trong khai triển của với            b) Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên từ   ra một số. Tính xác suất để  chọn được số  khơng có hai chữ số chẵn đứng liền kề          c) Cho hàm số  .     Tìm giá trị của tham số m để hàm số  liên tục tại .                         Câu 4 (3,0 điểm).            a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ   Oxy, cho hai đường thẳng  . Biết phép vị  tự tâm  A(0;1), tỉ số  biến đường thẳng  thành đường thẳng . Viết phương trình ảnh của đường trịn  qua phép vị tự tâm A, tỉ số k b) Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B cố  định, điểm M di động trên nửa mặt phẳng  bờ  AB sao cho tam giác ABM vng tại M. Trên nửa mặt phẳng bờ  AB khơng chứa điểm M  vẽ  tia Bx vng góc với BM. Trên tia Bx lấy điểm C sao cho BM = BC. Qua  điểm C dựng  đường thẳng d vng góc với AB cắt tia BM ở N. Hãy xác định phép quay biến AM thành BN.  Khi M di động thì điểm N di động trên đường nào? Câu 5 (4,0 điểm).            Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hinh ch ̀ ư nhât,  ̃ ̣ SA vng góc với mặt đáy,    a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC  và  SB  theo   b) Goi  ̣ G là trọng tâm của tam giác SCD, M  là trung điểm của SC,  là  góc giữa hai đương thăng  ̀ ̉ AG va ̀BM. Tinh  ́ –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ và tên thí sinh: … …………………………………….; Số báo danh:…………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO  KỲ THI OLYMPIC QUẢNG NAM NĂM 2019 TẠO Mơn thi: TỐN – Lớp 11 QUẢNG NAM ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm 07 trang) Câu 1 (3,0 điểm) a 1,5 0.25 0.25 0.25  (0.25)    (0.5) 0.75 1,5 b 0.25   0.25 0.25 0.25   () Vậy phương trình có nghiệm là:   0.5 Câu 2 (4,0 điểm)   Chứng minh mệnh đề  sau bằng phương pháp quy nạp : “ Tổng các góc trong  a của đa giác lồi có n cạnh bằng . ” ­ Xét :  Mệnh đề trở thành “ tổng các góc trong của một tam giác bằng 180 0 ” là mệnh  đề đúng ­  Giả sử mệnh đề trên đúng với một số tự nhiên  tùy ý () tức là:   “ Tổng các góc trong của đa giác lồi có k cạnh bằng . ” ­ Ta đi chứng minh mệnh đề trên đúng với , tức là đi chứng minh   “ Tổng các góc trong của đa giác lồi có k +1 cạnh bằng . ” 2,0 0.25 0.25 0.25 + Xét đa giác lồi có k + 1 cạnh A1A2….Ak+1 Nối A1  và Ak  ; khi đó tổng các góc trong của đa giác lồi có  k  + 1 cạnh A1A2….Ak+1  bằng tổng các góc trong của tam giác A1AkAk+1   cộng với tổng các góc trong của đa  0.5 giác lồi k cạnh A1A2….Ak Do đó tổng các góc là: 1800 + (k – 2).1800 = (k – 1).1800  0.5 Suy ra mệnh đề đúng với  Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi số thự nhiên  thỏa  0.25 Cho dãy số  biết:   với  Tìm số hạng tổng qt của dãy số  b 2,0 0.5  (*) 0.5 Đặt , khi đó (*) trở thành:  Suy ra  là cấp số nhân có cơng bội q=3. Do đó  0.25 0.25 Mà . Suy ra  0.25 0.25 Câu 3 (6,0 điểm) a Cho số  ngun dương  thỏa mãn:  theo thứ  tự  lập thành cấp số  cộng. Tìm số  hạng khơng chứa  trong khai triển của với   Theo tính chất của cấp số cộng ta có:    (điều kiện ) 2,0 0.25 0.25 0.25  Vậy  0.25 Ta có .  Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên là:  (với ) 0.25 0.25 b   Số hạng khơng chứa  x  khi  hay k = 6 0.25 Vậy số hạng khơng chứa x trong khai trên trên là:  0.25 Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các  chữ số   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên từ X ra một số. Tính xác suất  2,0 để chọn được số khơng có hai chữ số chẵn đứng liền kề ­ Số phần tử của khơng gian mẫu là   0.25 Gọi A là biến cố: “ chọn được số khơng có hai chữ số chẵn đứng liền kề ” ­ Xét số chọn từ X có dạng  , vị trí các chữ số tương ứng các ơ ngang dưới đây: Khi đó A xảy ra các trường hợp sau: * Trường hợp 1: Số có 5 chữ số lẻ. Trường hợp này có  số * Trường hợp 2: Số có đúng 1 chữ số chẵn.       + Khả năng 1: a là chữ số chẵn. Khả năng này có  số      + Khả năng 2: a là chữ số lẻ. Khả năng này có  số * Trường hợp 3: Số có đúng 2 chữ số chẵn.       + Khả năng 1: a là chữ số chẵn, khi đó b là số lẻ        Khả năng này có  số      + Khả năng 2: a là chữ số lẻ, khi đó có 3 cách chọn ra 2 ơ cho hai số chẵn  khơng kề nhau (ơ2­ơ4, ơ2­ơ5, ơ3­ơ5). Khả năng này có  số 0.25 0.25 0.25 0.25 * Trường hợp 4: Số có đúng 3 chữ số chẵn.  c c c 0.25      Trường hợp này có: 4.4.3.5.4 = 960 số 0.25 Vậy xác suất của biến cố A là   c 0.25 Cho hàm số  Tìm giá trị của tham số m để hàm số  liên tục tại .                         2,0       0,25     0,25   0,25 + Tính được:  0,5 + Tính được:  0,25 Suy ra  Để  liên tục tại  thì  0,25 Suy ra:  là giá trị cần tìm 0,25   Câu 4 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ  Oxy, cho hai đường thẳng  . Biết phép vị  tự  tâm A(0;1), tỉ  số   biến đường thẳng  thành đường thẳng .  Viết phương trình  1,5 ảnh của đường trịn  qua phép vị tự tâm A, tỉ số k + Chọn , phép vị tự  biến  thành  0.25 +  thuộc  nên . Suy ra  a 0.25 0.25 + Đường trịn  có tâm , bán kính  + Gọi đường trịn  có tâm , bán kính  là ảnh của đường trịn  qua phép vị tự  +  0.25 +  0.25 Phương trình đường trịn  là  b 0.25 Trong mặt phẳng, cho hai điểm  A,  B  cố  định, điểm  M  di động trên nửa mặt  phẳng bờ  AB sao cho tam giác ABM vng tại M. Trên nửa mặt phẳng khơng  chứa điểm M vẽ tia Bx vng góc với BM. Trên tia Bx lấy điểm C sao cho BM =  1,5 BC. Qua  điểm C dựng đường  thẳng d vng góc với AB cắt tia BM   N.  Hãy  xác định phép quay biến AM thành BN. Khi M di động thì điểm N di động trên  đường nào? HV 0.25 Ta có  ( góc có cạnh tương ứng vng góc), nên  Suy ra AM = BN 0.25 Ta thấy M di động trên nửa đường trịn đường kính AB, tâm O (trung điểm AB) Trung trực AB cắt nửa đường trịn trên  tại K (điểm chính giữa cung AB) ­ Xét hai tam giác AMK và BNK có: AM = BN, KA = KB,  Suy ra  nên KM = KN  + Hơn nữa   nên tam giác KMN vng cân tại K Xét phép quay tâm K góc quay 900.  Ta có    (Trường hợp  M trùng K thỏa u cầu) M di động trên nửa đường trịn tâm O đường kính AB, nên N di động trên ảnh  của nửa đường trịn (O) qua phép quay  là nửa đường trịn (O’) đường kính BB’  qua K (xem hình vẽ) 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 6 (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hinh ch ̀ ữ nhât,  ̣ SA vng góc với mặt đáy, ,    a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  AC và SB  theo   b) Goi  ̣ G là trọng tâm của tam giác SCD, M là trung điểm của SC,  góc giữa hai đương ̀   thăng  ̉ AG va ̀BM. Tinh  ́ (Hình vẽ phục vụ câu a ­ 0,5 điểm) a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo  1,5 + Qua B, dựng đường thẳng d song song với AC, hạ AH vng góc với d tại H  Suy ra  0,5 + Lập luận suy ra được   0,25 ,  +  Suy ra  b Goi  ̣ G là trọng tâm của tam giác SCD, M là trung điểm của SC,  góc giữa hai  đương thăng  ̀ ̉ AG va ̀BM. Tinh  ́ 0,5 0,25 2,0 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Suy ra  b Cách khác:                 Gọi E là điểm trên đường chéo BD sao cho , suy ra GE // BM  10 0,25 Do đó  0.25 0.25 Ta có  ( trung tuyến = nửa cạnh huyền) 0.25 Nên   (1) 0.25    (2) ( với F trung điểm BC ) 0.25 Tam giác AMD cân ở M nên  0.25 Trongtam giác AMG có (3) 0.25 Từ (1); (2) và (3) Trong tam giác AGE có  0.25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang   điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm  ...ĐÁP? ?ÁN? ?– THANG ĐIỂM Mơn? ?thi:  TỐN (Đáp? ?án? ?– Thang điểm gồm 07 trang) Câu 1 (3,0 điểm) a 1,5 0.25 0.25 0.25  (0.25)    (0.5) 0.75 1,5 b 0.25   0.25 0.25 0.25   () Vậy phương trình? ?có? ?nghiệm là:  ... * Trường hợp 1: Số? ?có? ?5 chữ số lẻ. Trường hợp này? ?có? ? số * Trường hợp 2: Số? ?có? ?đúng 1 chữ số chẵn.       + Khả năng 1: a là chữ số chẵn. Khả năng này? ?có? ? số      + Khả năng 2: a là chữ số lẻ. Khả năng này? ?có? ? số * Trường hợp 3: Số? ?có? ?đúng 2 chữ số chẵn. ... Chứng minh mệnh? ?đề  sau bằng phương pháp quy nạp : “ Tổng các góc trong  a của đa giác lồi? ?có? ?n cạnh bằng . ” ­ Xét :  Mệnh? ?đề? ?trở thành “ tổng các góc trong của một tam giác bằng 180 0 ” là mệnh  đề? ?đúng