de va dap an mon toan thi mon chuyen lop 11 nam hoc 2015 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán - Lớp 11; Thời gian làm bài: 150 phút Câu (1,5 điểm) Giả sử n nguyên dương Tính tổng Sn = 1.2C 22n − 2.3C 23n + 3.4C 24n − L + (2n − 1)2nC 22nn Câu (1,5 điểm) Giả sử f (x) hàm số chẵn ¡ tồn f '(0) Chứng minh f '(0) =  1 x Câu (1,5 điểm) Chứng minh phương trình  − ÷cosx +  x2 sin x = có vô số nghiệm Câu (1,5 điểm) Cho dãy số ( un ) n ≥1 xác định u1 = 5, un +1 = n −1 un + , n = 1, 2, n +n Tìm lim ( nun ) Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, a vng góc với (ABCD ) · BAD = 600, SA = a) Tính góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD) b) Gọi H hình chiếu B lên SC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB DH Câu (2,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác cân · A, ABC = α , góc BC ' (ABC ) β Gọi I trung điểm AA ' 2 · Biết BIC = 900 Tính giá trị biểu thức S = tan α + tan β - HẾT - Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu; - Cán coi thi khơng giải thích thêm! ` TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN Câu Câu (1,5 điểm) ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn - Lớp 11; Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung Giả sử n nguyên dương Tính tổng Điểm Sn = 1.2C 22n − 2.3C 23n + 3.4C 24n − L + (2n − 1)2nC 22nn Thay trực tiếp ta có S1 = 1.2C 22 = Với n ≥ Sử dụng khai triển Niu-tơn cho biểu thức ( f (x) = + x ) 2n 0,5 0,5 , x∈¡ Tính f '' ( −1) = theo hai cách suy Sn = Câu (1,5 điểm) 0,5 Giả sử f (x) hàm số chẵn ¡ tồn f '(0) Chứng minh f '(0) = Theo định nghĩa ta có f '(0+ ) = lim + t→0 f (t) − f (0) t 0,5 f (−h) − ff(0) (h) − f (0) ff'(0− ) = lim+ = − lim+ = − '(0+ ) h→ h→ −h h Theo giả thiết, tồn f '(0) Suy ff'(0+ ) = '(0− ) (1) 0,5 (2) Từ (1) (2) ta có ff'(0+ ) = '(0− ) = Do f '(0) = Câu (1,5 điểm)  1 x Chứng minh phương trình  − ÷cosx +   1 x Đặt f (x) =  − ÷cosx + x2 x2 0,5 sin x = có vơ số nghiệm sin x, x ≠ 0,5  Rõ ràng f (x) hàm liên tục khoảng 0;+∞ ( Xét hai dãy số ( an ) n ≥1 , ( bn ) n ≥1 xác định ) an = n2π , bn = π + n2π , n = 1, 2, 3, ( Rõ ràng ta có an < bn < an +1, với n ≥ Do an ; bn khoảng rời với ∀m, n ≥ 1, m ≠ n  Mặt khác ta lại có f (an ).f (bn ) = −  − ( )  ) ( am; bm ) (1)   ÷ − ÷ < 0, ∀n ≥ n2π   π + n2π  Suy khoảng an ; bn phương trình f (x) = có nghiệm Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu (1,5 điểm) 0,5 (2) Cho dãy số ( un ) n ≥1 xác định u1 = 5, un +1 = un + Tìm lim ( nun ) Ta có 0,5 n −1 n2 + n , n = 1, 2, 0,5 2n − (n + 1) 1 n −1 un + ⇔ un +1 = un + = u + − n 2 n+1 n n +n n2 + n 1 2 =  un − ÷ Suy un = + Hay ta có un +1 − n + 2 n 2n −1 n un +1 = n +1 Chú ý rằng, quy nạp ta chứng minh > n , ∀n ≥ Suy < 3n n −1 < Khi lim ( nun ) Câu (2,0 điểm) 12 3n Từ suy lim n −1 = n  3n  = lim  + n −1 ÷ = 2   0,5 0,5 · Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD = 600, SA = a vng góc với (ABCD ) a) Tính góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD) b) Gọi H hình chiếu B lên SC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB DH a) Ta có ∆SBC = ∆SDC (ccc ) nên chân đường cao hai tam giác kẻ từ B D 0,5 trùng H Khi · , HD) ((· SBC ), (SCD)) = (HB Gọi O = AC ∩ BD Vì SC ⊥ (BHD) nên SC ⊥ OH Kẻ đường cao AI tam giác SAC Khi a a 1 AS.AC a OH = AI = = = 2 AS + AC 2 3a2 + 3a2 OB a/ · · · = = Do BHD Suy tan BHO = = 2BHO = 1200 OH a / 0,5 · · Suy ((SBC ), (SCD)) = (HB, HD) = 1800 − 1200 = 600 b) Mặt phẳng chứa DH song song với AB (SCD) Kẻ AM ⊥ CD M , AK ⊥ SM K Khi AK ⊥ (SCD ) Suy d(AB, DH ) = d(AB, (SCD )) = d(A, (SCD )) = AK 0,5 Ta có AM = AD sin600 = a Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AMS ta có 0,5 a = + = + = ⇒ AK = AK AM AS 3a2 3a2 a2 a Vậy d(AB, DH ) = · Cho lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác cân A, ABC = α, Câu (2,0 điểm) 1 góc BC ' (ABC ) β Gọi I trung điểm AA ' Biết 2 · BIC = 900 Tính giá trị biểu thức S = tan α + tan β Vì CC ' ⊥ (ABC ) nên · ', (ABC )) = CBC · β = (BC ' Gọi M trung điểm BC Ta 0,5 có AM ⊥ BC Đặt BC = x Ta có AA ' = BB ' = CC ' = x tan β x 2cosα Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông AIB ta có AB = AC = 2 ( )  x tan β   x  x2 IB = IA + AB =  tan2 α + tan2 β + ÷ + ÷ =    2cosα  Vì BC ⊥ AM , BC ⊥ IA ⇒ BC ⊥ (IAM ) ⇒ BC ⊥ IM Do tam giác 2 1 IBC vuông cân I Suy BI = BC = x2 2 Từ suy 0,5 0,5 ( ) x2 tan2 α + tan2 β + = x2 ⇒ S = tan2 α + tan2 β = 4 0,5 ... số ( an ) n ≥1 , ( bn ) n ≥1 xác định ) an = n2π , bn = π + n2π , n = 1, 2, 3, ( Rõ ràng ta có an < bn < an +1, với n ≥ Do an ; bn khoảng rời với ∀m, n ≥ 1, m ≠ n  Mặt khác ta lại có f (an ).f... ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN Câu Câu (1,5 điểm) ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn - Lớp 11; Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung Giả sử n nguyên dương Tính tổng... Do tam giác 2 1 IBC vuông cân I Suy BI = BC = x2 2 Từ suy 0,5 0,5 ( ) x2 tan2 α + tan2 β + = x2 ⇒ S = tan2 α + tan2 β = 4 0,5