Chuong 2 PHƯƠNG PHÁP định lượng cô hương DHBK

Chương Mơ hình hồi qui hai biến - ước lượng kiểm ể định ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy 1 Phương g pháp p p bình p phương g nhỏ • Xét hàm hồi qui tổng thể (PRF) y = β1 + β2x2 + β3x3 + βkxk + u β1 = E(Y x 2, x 3, x k = 0) βj = • Với mẫu: ∂Y ∂x j yˆ = βˆ1 + βˆ2 X + βˆ3X + + βˆk X k βˆ = βˆ (X X X ) = ? j j 2, 3, k, Sử dụng OLS ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy Phương pháp bình phương nhỏ • Đây phương pháp đưa nhà toán học Đức Carl Friedrich Gauss, phương pháp mạnh nhiều người sử dụng, ký hiệu OLS (ordinary least squares) • Tư tưởng phương pháp cực tiểu tổng bình phương phần dư • Chúng ta đặt: yi ký k hiệu hi giá i trịị thực h biến biế y tạii quan sát i yˆ i ký hiệu giá trị hàm hồi qui mẫu ei ký hiệu phần dư, yi − yˆ i ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy Phương pháp bình phương nhỏ y y4 e4 { yˆ = βˆ1 + βˆ2 x y3 y2 y1 e2 { } e3 e1 } x1 x2 ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy x3 x4 x Phương pháp bình phương nhỏ • e12 + e22 + e32 + e42 • Bởi vì, ei = yi − yˆ i • Do cực tiểu hố ∑ ( y i − yˆ i )2 tương đương với cực tiểu ∑ ei từ tìm β1 β2 ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy OLS- Hồi qui đơn * Hàm hồi qui mẫu yˆ i = βˆ1 + βˆ x i ) đặt L = ∑ ( yi − yi ) = ∑ ( yi − βˆ1 − βˆ2 xi ) i i • Ta thấy βˆ1, βˆ2 nghiệm hệ thống phương trình sau ∂L = − ∑ ( y i − βˆ1 − βˆ x i ) = (1) ∂ βˆ1 i ∂L = − ∑ x i ( y i − βˆ1 − βˆ x i ) = (2) ∂ βˆ i ∑ (y i − βˆ1 − βˆ x i ) = ⇔ ∑ y i − n βˆ1 − βˆ2 ∑ x i • Từ (1), i • Nhưng ∑ yi i =0 i = n y ∑ xi = n x ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy OLS- Hồi qui đơn • Do ta viết ny − nβˆ1 − nβˆ2 x = hay y − βˆ1 − βˆ x = (3) • Từ (2), (4) ∑ x i ( y i − βˆ1 − βˆ x i ) = i βˆ1 = y − βˆ x • Thay vào (4) với βˆ1 từ (5), (5) ta có: • Từ (3), (5) ∑ xi ( yi − y + βˆ2 x − βˆ2 xi ) = i ∑ xi yi − y ∑ xi + βˆ2 x ∑ xi − βˆ2 ∑ xi = i ∑ xi yi − nyx + βˆ2nx − βˆ2 ∑ xi = i ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy OLS- Hồi qui đơn • Tương đương với , βˆ ( n x − ∑ xi2 ) = n y x − ∑ xi y i • Do βˆ1, βˆ2 xác định sau: βˆ = • ∑ x i y i − n x y = ∑ ( x i − x )( y i − y ) ∑ x i2 − n x ∑ (x i − x )2 & βˆ1 = y − βˆ x βˆ1, βˆ2 ước lượng β1 β2 tính phương pháp bình phương nhỏ nhấtấ gọi ước lượng bình phương nhỏ ấ ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy OLS- Hồi qui đơn Các giả thiết • Trong phân tích hồi qui, qui mục đích ước lượng, lượng dự báo tổng thể thể Chúng ta biết chất lượng ước lượng nào, chất lượng phụ thuộc vào: dạng hàm mơ hình; phụ thuộc vào xi ui , phụ thuộc vào kích thước mẫu mẫu • Chúng ta đưa vào giả thiết xi ui , nhằm để ước lượng tìm phương pháp bình phương nhỏ ước lượng tuyến tính, khơng chệch, có phương sai nhỏ nhất • Giả thiết E(ui) = Kỳ vọng yếu tố ngẫu nhiên ui Var V (u ( i) = σ2 Phương Ph saii bằ h vàà h ầ hấ với ới mọii ui Cov (ui,uj)=0 Khơng có tương quan ui Cov (ui,xi)=0 U X không tương quan với ui Phân phối chuNn ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy OLS- Hồi qui đơn y Phương sai f(y|x) x1 E(y|x) = β + β x x2 ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy 10 Dự báo a- Dự D bá báo giá iá trị t ị ttrung bình bì h ủ biế biến phụ h th thuộc ộ • Giả sử ta biết biến độc lập x giá trị x0 mà ta cần đưa kết luận giá trị trung bình biến phụ thuộc y, ta có: E(ylx0)= E(β1 + β2x0+ u0) = β1 + β2x0 Khi đường hồi qui mẫu cho ước lượng điểm E(ylx0): yˆ = βˆ1 + βˆ x ŷ0 ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ E(ylx0), nhiên ŷ0 khác g giá trịị thực ự ŷ0 có phân bố chuNn với kỳ vọng β1 + β2x0 nên ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy 36 Dự báo a- Dự D bá báo giá iá trị t ị ttrung bình bì h ủ biế biến phụ h th thuộc ộ Var ( yˆ ) = E ( βˆ1 + βˆ x − β − β x ) = E [( βˆ1 − β ) + x ( βˆ − β )] = E [( βˆ1 − β ) + x ( βˆ − β )( βˆ1 − β ) + x 02 ( βˆ − β ) ] Var ( yˆ ) = E [( βˆ − β ) ] + E [ x ( βˆ − β ) ] 1 2 + x E [( βˆ − β )( βˆ1 − β ) ] = var( βˆ1 ) + x 02 var( βˆ ) + x cov( βˆ1 , βˆ ) V ( yˆ ) = var(( y − βˆ x ) + x 02 var(( βˆ ) + x cov(( βˆ1 , βˆ ) Var Var ( yˆ ) = σ n + x var( βˆ ) + x 02 var( βˆ ) + x cov( βˆ1 , βˆ ) ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy 37 Dự báo a- Dự D bá báo giá iá trị t ị ttrung bình bì h ủ biế biến phụ h th thuộc ộ cov(( βˆ1 , βˆ ) = E ( βˆ1 − β )( βˆ − β ) βˆ1 − β = y − βˆ x − E ( βˆ1 ) = y − βˆ x − ( y − β x ) = − x ( βˆ − β ) Var ( yˆ ) = σ2 n +x σ2 ∑ (x i − x ) + x 02 2 ⎡1 − ( x x ) =σ 2⎢ + ⎢⎣ n ∑ (x i − x )2 Do chưa biết σ2 , σ2 ∑ (x i − x ) − 2x 0x σ2 ∑ (x i − x )2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ nên ta sử dụng ụ g ước lượng ợ g không g chệch ệ σ2 )2 σ , đó: yˆ − ( β + β x ) T = ~ T(n - 2) Se ( yˆ ) ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy 38 Dự báo a- Dự D bá báo giá iá trị t ị ttrung bình bì h ủ biế biến phụ h th thuộc ộ Khoảng tin cậy 1-α α E(y|x0): P ( βˆ1 + βˆ x − t α / ( n − ) Se ( yˆ ) ≤ β + β x ≤ βˆ1 + βˆ x + t α / ( n − ) Se S ( yˆ )) = − α yˆ − t α / ( n − ) Se ( yˆ ) ≤ E ( y x ) ≤ yˆ + t α / ( n − ) Se ( yˆ ) ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy 39 Dự báo b Dự bD bá báo giá iá trị t ị cáá biệt Giả sử muốn dự báo giá trị cá biệt y=y0 với x=x0, ước lượng y0 là: yˆ = βˆ1 + βˆ x E ( e ) = E ( y − yˆ ) = E ( y ) − E ( yˆ ) = var(( y − yˆ ) = var(( y ) + var(( yˆ ) ⎡ − ( x x ) =σ +σ 2⎢ + n ( x − x ) ⎢⎣ ∑ i ⎡ ⎤ − ( x x ) = σ ⎢1 + + ⎥ n ∑ ( x i − x ) ⎥⎦ ⎣⎢ ‘Bài giảng Kinh tế lượng’ © Phạm Cảnh Huy Slide 38 ⎤ ⎥ ⎥⎦ 40 Dự báo b Dự bD bá báo giá iá trị t ị cáá biệt Ta có: e ~ N ( , var( e )) N gười ta chứng minh được: y − yˆ e0 − ~ T ( n − ) => ~ T (n − 2) Se ( e ) Se ( e ) Với giá trị 0