HƯỚNG DẪN GIẢI HÌNH HỌC - NGUYỄN QUỐC TUẤN

HÌNH HỌC - NGUYỄN QUỐC TUẤN

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - Hình học giải tích trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức) Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD, các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là 3 0 x y + = và 4 0 x y − + = ; đường thẳng BD đi qua điểm 1 ;1 3 M   −     . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 10 0 P x y z + − + = và điểm ( ) 2;1;3 I . Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4 H ướ ng d ẫ n gi ả i Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình ( ) 3 0 3;1 4 0 x y A x y + =  ⇒ −  − + =  Gọi N là điểm thuộc AC sao cho MN song song voái AD. Suy ra MN có phương trình là 4 0 3 x y − + = . Vì N thuộc đường thẳng AC nên tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ phương trình 4 0 1 1; 3 3 3 0 x y N x y  − + =    ⇒ −       + =  . Đường trung trực ∆ của MN đi qua trung điểm của MN và vuông góc với AD nên ta có phương trình 0 x y + = Gọi I và K lần lượt là giao điểm của ∆ với AC và AD. Suy ra tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ phương trình 0 3 0 x y x y + =   + =  và tọa độ của điểm K thỏa mãn hệ phương trình 0 4 0 x y x y + =   − + =  . Do đó ( ) 0;0 I và ( ) 2;2 K − Ta có: ( ) ( ) 2. 3; 1 ; 2 1;3 AC AI C AD AK D= ⇒ − = ⇒ −     . ( ) 1; 3 BC AD B = ⇒ −   2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Suy ra H là tâm của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. Ta có ( ) ( ) ; 3 IH d I P = = Bán kính của mặt cầu (S) là 2 2 3 4 5 R = + = Vậy phương trình mặt cầu (S) là : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 25 x y z − + − + − = Trích t ừ đề thi tuy ể n sinh Đạ i h ọ c kh ố i D-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho đường thẳng : 2 3 0 d x y − + = > viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho 2 AB CD = = 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 x y z d − + = = − và hai điểm ( ) ( ) 1; 1;2 , 2; 1;0 A B− − . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác AMB vuông tại M. TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - Hướng dẫn giải Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết phương trình Di I thuộc đường thẳng d nên tọa độ của I có dạng ( ) ;2 3 I t t + ( ) ( ) 1 ; , 2 3 3 t AB CD d I Ox d I Oy t t t = −  = ⇔ = ⇔ = + ⇔  = −  Với t = -1 ta được ( ) 1;1 I − , nên ( ) , 1 d I Ox = suy ra bán kính của đường tròn (C) là 2 2 1 1 2 + = . Do đó, ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 1 2 C x y + + − = Với 3 t = − ta được ( ) 3; 3 I − − nên ( ) , 3 d I Ox = suy ra bán kính của đường tròn ( ) C là 2 2 3 1 10 + = . Do đó ( ) ( ) ( ) 2 2 : 3 3 10 C x y + + + = 2. Do M thuộc đường thẳng d nên tọa độ của M có dạng ( ) 1 2 ; 1 ; M t t t + − − Ta có: ( ) ( ) 2 ; ; 2 , 1 2 ; ; AM t t t BM t t t = − − = − + −   Tam giác AMN vuông tại M . 0 AM BM =   ( ) ( ) 2 2 0 2 1 2 2 0 6 4 0 2 3 t t t t t t t t t =   ⇔ − + + + − = ⇔ − = ⇔  =   Do đó có có 2 điểm M thỏa mãn ( ) 1; 1;0 7 5 2 ; ; 3 3 3 M M −     −       Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho các đường tròn ( ) 2 2 1 : 4 C x y + = , đường tròn ( ) 2 2 2 : 12 18 0 C x y x + − + = và đường thẳng : 4 0 d x y − − = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc ( ) 2 C , tiếp xúc với đường thẳng d và cắt đường tròn ( ) 1 C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với đường thẳng d 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng 1 : 2 1 2 x y z d − = = − và hai điểm ( ) ( ) 2;1;0 , 2;3;2 A B − . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. H ướ ng d ẫ n gi ả i Đường tròn ( ) 1 C có tâm là gốc tọa độ O. Gọi I là tâm của đường tròn ( ) C cần viết phương trình , ta có AB OI ⊥ . Mà AB d ⊥ và O d ∉ và // OI d , do đó OI có phương trình y x = . Mặt khác I thuộc vào đường thẳng ( ) 2 C nên tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình ( ) 2 2 3 3;3 3 12 18 0 y x x I y x y x = =   ⇔ ⇒   = + − + =   Do ( ) C tiếp xúc với đường thẳng d nên ( ) C có bán kính ( ) , 2 2 R d I d= = Vậy phương trình ( ) C là ( ) ( ) ( ) 2 2 : 3 3 8 C x y − + − = TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - 2. Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của mặt cầu (S) Do I thuộc đường thẳng d nên tọa độ của điểm I có dạng ( ) 1 2 ; ; 2 I t t t + − Do A và B thuộc vào mặt cầu (S) nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 3 3 2 2 1 AI BI t t t t t t t = ⇒ − + − + = + + − + + ⇒ = − Do đó ( ) 1; 1;2 I − − và bán kính mặt cầu là 17 IA = Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 17 x y z + + + + − = Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD có 2 AC BD = và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình 2 2 4 x y + = . Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua các đỉnh A,B,C,D của hình thoi biết A thuộc Ox 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho ( ) ( ) 0;0;3 , 1;2;0 A M . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM H ướ ng d ẫ n gi ả i 1. Giả sử ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b + = > > . Hình thoi ABCD có 2 AC BD = và A,B,C,D thuộc (E) suy ra 2 OA OB = . Không mất tính tổng quát ta có thể xem ( ) ;0 , 0; 2 a A a B       . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB. Suy ta OH là bán kính của đường tròn (C) 2 2 4 x y + = Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 OH OA OB a a = = + = + Suy ra 2 2 20 5 a b = ⇒ = vậy phương trình chính tắc của (E) là ( ) 2 2 : 1 20 5 x y E + = 2. Do B và C lần lượt thuộc trục Ox và Oy nên tọa độ của B và C lần lượt có dạng ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 B b C c . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra ; ;1 3 3 b c G       Ta có ( ) 1;2; 3 AM = −  nên đường thẳng AM có phương trình 3 1 2 3 x y z − = = − Do G thuộc đường thẳng AM nên 2 2 4 3 6 3 b b c c =  − = = ⇒  = −  Do đó phương trình của mặt phẳng (P) là 1 4 4 3 x y z + + = , nghĩa là (P): 6 3 4 12 0 x y z + + − = Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm nằm trên cạnh CD sao cho 2 CN ND = . Giả sử 11 1 ; 2 2 M       và đường thẳng AN có phương trình 2 3 0 x y − − = . Tìm tọa độ của điểm A TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. , cho đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d + − = = và điểm ( ) 0;0;3 I . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB vuông góc tại I Hướng dẫn giải Gọi H là giao điểm của AN và BD. Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. Đặt HP x = . Suy ra , 3 , 3 PD x AP x HQ x = = = Ta có QC x = , nên MQ x = . Do đó AHP HMQ ∆ = ∆ suy ra AH HM ⊥ Hơn nữa ta cũng có AH HM = . Do đó, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 10 2 2 ; ; ;2 3 2 1 3 10 11 7 45 2 5 4 0 4 2 2 2 2 AM MH d M AN A AN A t t t AM t t t t T = = = ∈ ⇒ − =      = ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔      =      Vậy ( ) ( ) 1; 1 4;5 A A −     2. Vector chỉ phương của đường thẳng d là ( ) 1;2;1 a =  . Gọi H là trung điểm của AB suy ra IH AB ⊥ . Ta có H là điểm thuộc đường thẳng d nên tọa độ của H có dạng ( ) ( ) 1;2 ; 2 1;2 ; 1 H t t t IH t t t − + ⇒ = − −  1 2 2 2 . 0 1 4 1 0 ; ; 3 3 3 3 IH AB IH a t t t IH   ⊥ ⇔ = ⇔ − + − = ⇔ = ⇒ = − −        Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính của mặt cầu (S) Là 2 6 2 3 R IA IH= = = Do đó phương trình mặt cầu (S) cần tìm là ( ) ( ) 2 2 2 8 : 3 3 S x y z + + − = Trích t ừ đề thi tuy ể n sinh Đạ i h ọ c kh ố i A-2012: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho đường tròn ( ) 2 2 : 8 C x y + = . Viêt phương trình chính tắc của Elip(E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn đểm phân biệt tạo thành hình vuông. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. , cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z d + − = = , mặt phẳng ( ) : 2 5 0 P x y z + − + = và điểm ( ) 1; 1;2 A − . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN H ướ ng d ẫ n gi ả i Phương trình chính tắc của Elíp (E) có dạng 2 2 2 2 1 x y a b + = với 0 a b > > và 2 8 4 a a = ⇒ = . Do Elíp (E) và đường tròn (C) cùng nhận Ox và Oy làm TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - trục đối xứng và các giao điển là các đỉnh của một hình vuông nên Elíp (E) và đường tròn (C) có một giao điểm với tọa độ dạng ( ) ; A t t (t > 0) Do A thuộc đường tròn (C) nên ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 16 8 2 2;2 1 16 3 t t t A E b b + = ⇒ = ⇒ ∈ ⇔ + = ⇔ = Vậy phương trình chính tắc của Elíp (E) là 2 2 1 16 16 3 x y + = 2. M thuộc đường thẳng d suy ra tọa độ của điểm M có dạng ( ) 2 1; ; 2 M t t t − + MN nhận A là trung điểm , suy ra ( ) 3 2 ; 2 ;2 N t t t − − − − N thuộc mặt phẳng (P) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 5 0 2 3;2;4 t t t t M− − − − − + = ⇔ = ⇒ Đường thẳng ∆ đi qua A và M có phương trình 1 1 2 : 2 3 2 x y z − + − ∆ = = Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng - năm 2012 Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 4 1 0 C x y x y + − − + = và đường thẳng 4 3 0 x y m − + = . Tìm để đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho  0 120 AIB = , với I là tâm của đường tròn (C) 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hai đường thẳng 1 2 , d d có phương trình ( ) 1 : 2 1 x t d y t t R z t =   = ∈   = −  ( ) 2 1 2 : 2 2 x s d y s s R z s = +   = + ∈   = −  Chứng minh 1 2 , d d cắt nhau và viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng 1 2 , d d Hướng dẫn giải 1. Đường tròn (C) có tâm ( ) 1;2 I , bán kính 2 R = Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d, khi đó :  0 0 120 .cos60 1 AIB IH IA = ⇔ = = Do đó: 7 2 1 3 5 m m m = −  = ⇔  = −  2. Xét hệ phương trình ( ) 1 2 2 2 2 * 1 t s t s t s = +   = +   − = −  Giải hệ phương trình (*)ta được 1 2 1 , 0 t d d s =  ⇒  =  cắt nhau Đường thẳng 1 d có vector chỉ phương là ( ) 1 1;2; 1 u = −  Đường thẳng 2 d có vector chỉ phương là ( ) 2 2;2; 1 u = −  . Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua điểm ( ) 1 0;0;1 I d ∈ và có một vector pháp tuyến là ( ) 1 2 , 0; 1; 2 u u   = − −     Phương trình mặt phẳng cần tìm là 2 2 0 y z + − = TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng - năm 2012 Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC, các đường thẳng BC, BB’,B’C’ lần lượt có phương trình là 2 0 y − = , 2 0 x y − + = , 3 2 0 x y − + = , với B’ và C’ tương ứng là chân đường cao kẻ từ các đỉnh B và C của tam giác ABC. Biết pr các đường thẳng AB và AC. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. , cho đường thẳng 2 1 1 : 1 1 1 x y z d − + + = = − − và mặt phẳng (P): 2 2 0 x y z + − = . Đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d tại giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viêt pr đường thẳng ∆ Hướng dẫn giải 1. Tọa độ của điểm B’ là nghiệm của hệ phương trình 2 0 3 2 0 x y x y − + =   − + =  , giải hệ phương trình này ta được ( ) 2 ' 2;0 0 x B y = −  ⇔ −  =  Đường thẳng AC đi qua điểm B’ và vuông góc với BB’ nên AC có phương trình 2 0 x y + + = Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình ( ) 2 0 0;2 2 0 x y B y − + =  ⇔  − =  Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình ( ) 2 4;2 2 0 x y C y + +  ⇔ −  − =  Nếu 4 2 ' ; 5 5 C   −     thì đường thẳng AB có phương trình là 2 2 0 x y − + = Nếu ( ) ' 2;0 C − thì đường thẳng AB có phương trình là 2 0 x y − + = 2. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ( ) 1; 2;0 I − Mặt phẳng (P) có một vector pháp tuyến là ( ) 2;1; 2 P n = −  , đường thẳng d có một vector chỉ phương là ( ) 1; 1;1 d u = − −  ( ) ; 1;0; 1 P d n u   = − −     , đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d khi và chỉ khi ∆ có một vector chỉ phương là ; P d u n u ∆   =      Do đó phương trình đường thẳng ∆ là ( ) 1 2 x t y t R z t = −   = − ∈   = −  Trích t ừ đề thi tuy ể n sinh Đạ i h ọ c kh ố i D-2011: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có đỉnh ( ) 4;1 B − , trọng tâm ( ) 1;1 G và đường thẳng chứa phân giác trong của góc  A có phương trình 1 0 x y − − = . Tìm tọa độ các đỉnh A và C. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho điểm ( ) 1;2;3 A và đường thẳng ( ) 1 3 : 2 1 2 x y z d + − = = − . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox H ướ ng d ẫ n gi ả i TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - Gọi ( ) ; D x y là trung điểm của AC. Ta có: 3 BD GD =   . Tương đương ( ) ( ) 4 3 1 7 ;1 2 1 3 1 x x D y y + = −    ⇒    − = −     Gọi ( ) ; E x y là điểm đối xứng của B qua phân giác trong đường thẳng 1 0 x y − − = của góc  A . Ta có EB vuông góc với đường thẳng d và trung điểm I của EB thuộc d nên tọa độ của E là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 1 4 1 1 0 3 0 2; 5 4 1 7 0 1 0 2 2 x y x y E x y x y + + − = + + =   ⇔ ⇔ −   − + − − = − − =    Đường thẳng AC đi qua D và E, có phương trình 4 13 0 x y − − = Tọa độ ( ) ; A x y thỏa mãn hệ phương trình ( ) 1 0 4;3 . 4 13 0 x y A x y − − =  ⇒  − − =  Suy ra ( ) 3; 1 C − 2. Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với đường thẳng d, có phương trình 2 2 2 0 x y z + − + = Gọi B là giao điểm của trục Ox với mặt phẳng (P), suy ra ∆ là đường thẳng đi qua các điểm A, B. B Ox ∈ , có tọa độ ( ) ;0;0 B b thỏa mãn phương trình ( ) 2 2 0 1;0;0 b B+ = ⇒ − Phương trình đường thẳng ( ) 1 2 : 2 2 3 3 x t y t t z t = +   ∆ = + ∈   = +  ℝ Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2011: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho điểm ( ) 1;0 A và đường tròn ( ) 2 2 : 2 4 5 0 C x y x y + − + − = . Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tam giác AMN vuông tại A 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng ( ) 1 3 : 2 4 1 x y z − − ∆ = = và mặt phẳng ( ) : 2 2 0 P x y z − + = . Viết phương trình mặt cầu có tâm thộc đường thẳng ∆ , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P H ướ ng d ẫ n gi ả i Đường tròn (C) có tâm ( ) 1; 2 I − và bán kính bằng 10 Ta có: IM IN AI MN AM AN =  ⇒ ⊥  =  , suy ra phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y m = Hoành độ M, N là nghiệm của phương trình ( ) 2 2 2 4 5 0 1 x x m m− + + − = Phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt 1 x và 2 x khi và chỉ khi ( ) 2 4 6 0 * m m+ − < . Khi đó ta có ( ) ( ) 1 2 ; , ; M x m N x m TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - Từ đây ta có : ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 . 0 1 1 0 1 0 AM AN AM AN x x m x x x x m ⊥ ⇔ = ⇔ − − + = ⇔ − + + + =   Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) ta suy ra 2 1 2 4 6 0 3 m m m m =  + − = ⇔  =  thỏa mãn (*). Vậy phương trình ( ) 1 3 y y =  ∆  = −  2. Gọi I là tâm của mặt câu. Do I thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ của I có dạng ( ) 1 2 ;3 4 ; I t t t + + Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 4 2 2 , 1 1 1 3 t t t t d I P t + − + + =  = ⇔ = ⇔  = −  Suy ta ( ) 5;11;2 I hoặc ( ) 1; 1; 1 I − − − Vậy phương trình mặt cầu là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 5 11 2 11 S x y z − + − + − = hoặc ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 x y z + + + + + = Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2011: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai đường thẳng ( ) : 4 0 x y ∆ − − = và đường thẳng ( ) :2 2 0 d x y − − = . Tìm tọa độ của điểm N thuộc vào đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn . 8 OM ON = 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. , cho đường thẳng 2 1 2 : 1 1 x y z − + − ∆ = = và mặt phẳng ( ) : 3 0. P x y z + + − = Gọi I là giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MI vuông góc với đường thẳng ∆ và 4 14 MI = H ướ ng d ẫ n gi ả i Do N thuộc đường thẳng d và M thuộc đường thẳng ∆ nên có tọa độ: ( ) ( ) ;2 2 , ; 4 N a a M b b − − . O,M,N cùng thuộc một đường thẳng khi và chỉ khi : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 4 2 . 8 5 8 4 4 2 0 5 6 5 10 8 0 5 6 0 6 5 a a b a b b a b a OM ON a a a a a a a a a a a − = − ⇔ − = ⇔ = = ⇔ − + = − =   ⇔ − − + = ⇔ − = ⇔  =   Vậy có hai điểm N thỏa mãn có tọa độ là ( ) 0; 2 6 2 ; 5 5 N N −            2. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình ( ) 2 1 1;1;1 1 2 1 3 0 x y z I x y z − +  = =  ⇔ − −   + + − =  Gọi ( ) ; ; M a b c ta có: ( ) ,M P MI ∈ ⊥ ∆ và 4 4 MI = nên ta có hệ phương trình TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 0 2 1 2 2 0 3 4 ; ; 5;9; 11 1 1 1 224 1 2 2 3 3 224 a b c b a a b c c a a b c a b c a a a   + + − = = −     − − + = ⇔ = − + ⇔ = −     − + − + − = − + − + − + =     Hoặc ( ) ( ) ; ; 3; 7;13 a b c = − − Vậy có hai điểm M thỏa mãn ( ) 5;9; 11 M − và ( ) 3; 7;13 M − − Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2011: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có đỉnh 1 ;1 2 B       . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xức với các cạnh BC, CA,AB tương ứng với các điểm D, E, F. Cho ( ) 3;1 D và đường thẳng EF có phương trình 3 0 y − = . Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng 2 1 5 : 1 3 2 x y z + − + ∆ = = − và hai điểm ( ) ( ) 2;1;1 , 3; 1;2 A B− − − . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 H ướ ng d ẫ n gi ả i 1. 5 ;0 // 2 BD BD EF   = ⇒ ⇒ ∆      ABC cân tại A; Suy ra đường thẳng AD vuông góc với EF, có phương trình 3 0 x − = F có tọa độ dạng ( ) ;3 F t , ta có: 2 2 1 1 25 2 2 2 4 t BF BD t t = −    = ⇔ − + = ⇔    =    Với ( ) 1 1;3 t F= − ⇒ − suy ra đường thẳng BF có phương trình 7 : 4 3 5 0 3; 3 BF x y A   − − = ⇒ −     không thỏa mãn vì A có tung độ dương. Với ( ) 2 2;3 t F= ⇒ suy ra phương trình 13 : 4 3 1 0 3; 3 BF x y A   − + = ⇒     thỏa mãn Vậy có 13 3; 3 A       2. M thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ của M có dạng ( ) 2 ;1 3 ; 5 2 M t t t − + + − − ( ) ( ) ( ) ;3 ; 6 2 , 12; 6; 1; 2;1 AM t t t AM AB t t t AB  = − −    ⇒ = − − +    = − −       ( ) ( ) 2 2 2 0 3 5 12 6 180 12 0 12 MAB t S t t t t t t ∆ =  = ⇔ + + + + = ⇔ + = ⇔  = −  Vậy ( ) ( ) 2;1; 5 14; 35;19 M M − −  − −   Trích t ừ đề thi tuy ể n sinh Đạ i h ọ c kh ố i A-2011: Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho đường thẳng : 2 0 x y ∆ + + = và đường tròn ( ) 2 2 : 4 2 0 C x y x y + − − = . Gọi I là tâm của đường tròn (C), M là điểm thuộc ∆ . Qua M TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết rằng tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hai điểm ( ) 2;0;1 A và ( ) 0; 2;3 B − và mặt phẳng ( ) : 2 4 0 P x y z − − + = . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho 3 MA MB = = Hướng dẫn giải 1. Đường thẳng (C) có tâm ( ) 2;1 I bán kính 5 IA+ . Từ giác MAIB có   0 90 . MAIB MAI MBI S IA MA MA MB  = =  ⇒ =  =   Suy ra 2 2 2 5 5 MA IM IA MA = ⇒ = + = M thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ của M có dạng ( ) ; 2 M t t − − ( ) ( ) 2 2 2 2 5 2 3 25 2 2 12 0 3 t IM t t t t t =  = ⇔ − + + = ⇔ + − = ⇔  = −  Vậy có hai điểm M thỏa mãn là : ( ) ( ) 2; 4 3;1 M M −   −   2. Gọi ( ) ; ; M x y z , ta có M thuộc mặt phẳng (P) và MA=MB=3 nên từ đây ta có hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 ; ; 0;1;3 2 1 9 3 6 4 12 ; ; ; ; 7 11 4 0 7 7 7 2 3 9 x y z x y x y z x y z z y x y z y y x y z  − − +  = − =      − + + − = ⇔ = ⇔      = −      − + =     + + + − =   Vậy có hai điểm M thỏa mãn ( ) 0;1;3 6 4 12 ; ; 7 7 7 M M      −       Trích t ừ đề thi tuy ể n sinh Đạ i h ọ c kh ố i A-2011: Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao 1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy. Cho Elip ( ) 2 2 : 1 4 1 x y E + = . Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc Elip, có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu ( ) 2 2 2 : 4 4 4 0 S x y z x y z + + − − − = và điểm ( ) 4;4;0 A . Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết B thuộc (S) và tam giác OAB là tam giác đều. H ướ ng d ẫ n gi ả i Gọi ( ) ; A x y . Do A, B thuộc (E) có hoành độ dương và tam giác OAB cân tại O nên ( ) ; , 0 B x y x − > . Suy ra 2 2 4 AB y x = = − Gọi H là trung điểm cua AB, ta có: HO AB OH x ⊥   = 