CHUONG 3

Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1 ĐẠO HÀM 1.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b), x0  (a, b) Nếu tồn giới hạn lim x  x0 f ( x)  f ( x0 )  ¡ , x  x0 x  x0 Thì giới hạn gọi đạo hàm hàm số f (x) x0 , kí hiệu f '( x0 ) Hàm số f (x) có đạo hàm điểm x0 gọi khả vi điểm x0 Nếu hàm số f (x) khả vi điểm điểm x  ( a, b) ta nói f (x) khả vi khoảng (a, b) o Nhận xét Nếu đặt x = x  x0 biểu thức định nghĩa trở thành lim x  f ( x0  x )  f ( x0 ) : f '( x0 ) x Cách tính đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 định nghĩa: 1.2 B1 : Tính x = x  x0 y theo công thức y = f (x + x0)  f(x0) B2 : Lập tỉ số y x y x  x B3: Tìm giới hạn lim f (x)  f (x ) f (x  x)  f (x ) y  lim  lim x  x0 x 0 x x  x  x0 x Khi đó, f’( x0 ) = lim Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số y = f (x) = x x0 = Ta có: y = f ( x0 + x)  f ( x0 ) = f (1 + x)  f (1) = (1 + x)3  13= 3.x + 3.(x)3 + (x) y x   3.x  (x)     3.x  (x) x x y  lim 3  3.x  (x)   Vậy f’(1) = x x0 1.3 Ý nghĩa hình học đạo hàm lim x  Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 f’( x0 ) f’( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến đường cong y = f (x) điểm M0( x0 , f ( x0 )) Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 32 Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN f’(x0) = tan  1.4 Đạo hàm phía lim Nếu tồn giới hạn x  x 0 f ( x)  f ( x0 ) giới hạn gọi đạo hàm trái f (x) x0 x  x0 ' Kí hiệu: f ’( x0 - 0) hay f  ( x0 ) lim Nếu tồn giới hạn x  x 0 f ( x)  f ( x0 ) giới hạn gọi đạo hàm phải f (x) x0 x  x0 ' Kí hiệu: f ’( x0 + 0) hay f  ( x0 ) o Chú ý - ' ' f (x) có đạo hàm x0 f  ( x0 )  f  ( x0 ) - ' ' Nếu f  ( x0 )  f  ( x0 ) f (x) khơng có đạo hàm x0 - f (x) có đạo hàm đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b), có đạo hàm phải a đạo hàm trái b 1.5 Đạo hàm vô f ( x)  f ( x0 )   () ta nói hàm số f (x) có đạo hàm vơ hạn x0 Nếu xlim  x0 x  x0 1.6 Liên hệ tính liên tục tính có đạo hàm Định lý 3.1 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm x  x0 liên tục x0 o Chú ý : Điều ngược lại chưa Định lý 3.2 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm đoạn [a, b] liên tục đoạn 1.7 Các phép tính đạo hàm Định lý 3.3 Cho hai hàm số f (x) g(x) xác định khoảng (a, b), Giả sử f (x) g(x) có đạo hàm tai x  ( a, b) Khi : f ( x)  g ( x ), f ( x) g ( x), f ( x) có đạo hàm x g ( x) [f ( x)  g ( x )]'  f '( x)  g '( x) [f ( x) g ( x)]'  f '( x) g ( x)  f ( x) g '( x) ; [cf ( x )]'  cf '( x) , c : số  f ( x)  f '( x) g ( x )  f ( x ) g '( x ) '  , g ( x)   g ( x)  g ( x)  Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 33 Bài giảng Giải tích Ví dụ n n 1 Xét đa thức y  a0 x  a1 x   an2 x  an1 x  an n n 1 Theo định lý, ta có y '  ( a0 x )' ( a1x ) '  ( an x ) ' ( an1 x)' ( an )'  a0 ( x n )' a1 ( x n1 ) '  an2 ( x )' an1 ( x)' ( an )'  na0 x n1  (n  1) a1 x n2   2an2 x  an1 Cho y  y'   x sin x  cos x Theo định lý 3.3, ta có x cos x  sin x ( x sin x  cos x)'( x cos x  sin x)  ( x sin x  cos x)( x cos x  sin x)' ( x cos x  sin x) x cos x( x cos x  sin x)  ( x sin x  cos x)(  x sin x) x2  ( x cos x  sin x) ( x cos x  sin x) Định lý 3.4 (Đạo hàm hàm số hợp) Cho hàm số u  g ( x) , g : (a, b)  (c, d ) có đạo hàm x0  (a, b) hàm số y  f ( x) , f : (c, d )  ¡ có đạo hàm u0  g ( x0 ) Khi đó, hàm hợp y  f [ g ( x)] có đạo hàm x0 f '( x0 )  f '[g ( x)]g '( x0 ) Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số y  f ( x)  (1  x )100 Ta dùng cơng thức nhị thức Newton để khai triển tìm đạo đạo nó, cồng kềnh Nếu ta xem (1  x )100 hàm số hợp : y  u100 , u   x , ta có y '(u )  100u 99 , u '( x)  x Theo công thức đạo hàm hàm hợp ta có : y '( x)  100u 99 x  100(1  x )99 x  200 x(1  x )99 Định lý 3.5 (Đạo hàm hàm ngược) Cho hàm số f : [a, b]  [c, d ] song ánh liên tục, g  f 1 : [c, d ]  [a, b] hàm số ngược f Nếu f có đạo hàm x0  [ a, b] f '( x0 )  g có đạo hàm y0  f ( x0 ) g '( y0 )  f '( x0 ) Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp (C)’ = (Cu)’ = C.u’ (x)’ =  x-1 (u)’ =  u-1.u’ Đặc biệt: (x)’ =  x '  21x ( x  0)  u  '  2u 'u (u  0) Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 34 Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1  '   ( x  0) x  x u' 1  '   (u  0) u u  (ex)’ = ex (ax)’ = ax.lna (eu)’ = u’.eu (au)’ = u’.au.lna (ln x) '  ( x  0) x (log a x )'  ( x  0) x ln a (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx cos x (cot x) '   sin x u' cos u u' (cot u ) '   sin u (tan u ) '  1  x2 (arccos x)’ =  (arctan x)’ = u' (u  0) u u' (log a u) '  (u  0) u ln a (ln u ) '  (sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = -u’.sinu (tan x) '  (arcsin x)’ = (0 < a ≠ 1) 1  x2 1  x2 (arcsin u)’ = u 1 u2 (arccos u)’ =  u 1 u2 u 1 u2 u (arccot u)’ =  1 u2 (arctan u)’ = 1  x2 1.8 Đạo hàm cấp cao Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm x y’ = f’(x) Khi đó: y’ = f’(x) hàm số gọi đạo hàm cấp hàm số y = f (x) Nếu f’(x) có đạo hàm x đạo hàm gọi đạo hàm cấp hàm số y = f (x) Kí hiệu y’’ hay f’’(x) y’’ = f’’(x) = [f’(x)]’ Tương tự, ta định nghĩa đạo hàm cấp , , … , n kí hiệu : Đạo hàm cấp : y’’’ = f’’’(x) = [f’’(x)]’ Đạo hàm cấp : y(4) = f (4)(x) = [f (3) (x)]’ Đạo hàm cấp n : y(n) = f (n)(x) = [f (n-1) (x)]’ Qui tắc Leibnitz Cho u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm đến cấp n x Khi đó: (arccot x)’ =  (u  v)( n )  u ( n )  v ( n )  u.v  (n) n   Cnk u ( n  k )v ( k ) (*) k 0 k Trong đó: Cn  n! u (0)  u, v (0)  v k !(n  k )! Biên soạn: Vũ Hứa Hạnh Nguyên 35 Bài giảng Giải tích (*) gọi cơng thức Leibnitz * * * * * §2 VI PHÂN 2.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) liên tục x f ( x  x)  f ( x) : f '( x) x  x f ( x  x )  f ( x)  f '( x) x  o(x) , Theo định nghĩa đạo hàm: lim Nên Trong o(x ) VCB có bậc cao x x  Biểu thức f’(x)x gọi vi phân hàm số y = f (x) x Kí hiệu : dy df 2.2 Sự liên hệ vi phân đạo hàm Định lý 3.6 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a, b) Điều kiện cần đủ để y = f (x) khả vi (a, b) có đạo hàm (a, b) đó, df = f’(x)x (*) o Chú ý Nếu y = f (x) = x f’(x) =  df = dx = x = x Như vậy, biến số độc lập x, ta có dx = x Do đó, (*) viết là: 2.3 df = f’(x) dx : Công thức dùng để tính vi phân hàm số Ứng dụng vi phân vào tính gần Cho hàm số y = f (x) khả vi x0 Công thức tính gần giá trị f ( x0 + x) (với x bé) là: f ( x0 + x)  f’( x0 ).x + f ( x0 ) Ví dụ Cho biết giá trị ln , tính gần giá trị ln 2,00,; ln 2,002; ln 2,003; Vì (ln x) '  thay x0  2, x   vào công thức x ln( x0  x )  ln x0  Ta được: Từ đó: x x  ln 2,001  ln  0,0005 ln(2  )  ln  ln 2,002  ln  0,001 ln 2,001  ln  0,0015 Trường Đại học Kiến trúc Đà Nẵng 36 2.4 Vi phân cấp cao Cho hàm số y = f (x) khả vi (a, b) o Vi phân df  f '( x) dx gọi vi phân cấp f (x) x  ( a, b) o Vi phân vi phân cấp df gọi vi phân cấp hai hàm số f (x) Kí hiệu: df d f : d (df )  d ( f '( x)dx)  ( f ''( x)dx) ' dx  f ''( x)(dx ) Tương tự, ta định nghĩa vi phân cấp , , … , n hàm số y = f (x) kí hiệu : Vi phân cấp : d f : f (3) ( x)(dx )3 Vi phân cấp : d f : f (4) ( x )(dx ) Vi phân cấp n : d n f : f ( n ) ( x)(dx) n * * * * * §3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 3.1 Định nghĩa (cực trị) Giả sử f : X  ¡ hàm số xác định tập hợp số thực X  ¡ Ta nói f đạt cực đại (cực tiểu) điểm c  X tồn khoảng (a, b)  X cho c  (a, b) f ( x)  f (c) ( f ( x)  f (c) ) với x  ( a, b) Điểm cực đại điểm cực tiểu c hàm số f gọi chung điểm cực trị f 3.2 Các định lý giá trị trung bình 3.2.1 Định lý 3.7 (Định lý Fermat) Nếu hàm số f : (a, b)  ¡ đạt cực trị c  (a, b) có đạo hàm c f '(c)  3.2.2 Định lý 3.8 (Định lý Rolle) Cho hàm số f (x) xác định liên tục [a, b], khả vi khoảng (a, b) thỏa mãn điều kiện f (a) = f (b) Khi : Tồn điểm c  (a, b) cho f '(c)  Ý nghĩa hình học 3.2.3 Định lý 3.8 (Định lý Lagrange số gia hữu hạn) Cho hàm số f (x) xác định, liên tục [a, b] khả vi khoảng (a, b) Khi đó: Tồn điểm c  (a, b) cho f (b)  f (a )  f '(c) hay f (b)  f (a )  f '(c)(b  a ) ba Ý nghĩa hình học Nếu hàm số y = f (x) liên tục [a, b], khả vi [a, b] tồn điểm c  (a, b) cho tiếp tuyến với đường cong y = f (x) điểm M(c, f (c)) song song với dây cung AB o Chú ý • • Định lí Rolle trường hợp riêng định lí Lagrange Dạng khác công thức Lagrange: c  a  (b  a ) , (0    1) Vì c  (a, b) nên Do cơng thức định lý Lagrange trở thành: f (b)  f (a )  f '[a  (b  a )].(b  a ) Nếu đặt a = x0, b  x0  x ta có: f ( x0  x )  f ( x0 )  f '( x0  x ).x Công thức gọi công thức số gia hữu hạn 3.2.4 Định lý 3.9 (Định lý Cauchy) Cho hai hàm số f (x) g(x) xác định, liên tục [a, b] g (a )  g (b) ; Giả sử f (x) g(x) khả vi khoảng (a, b) g '( x )  0, x  (a, b) Khi đó: Tồn điểm c  (a, b) cho f (b)  f (a ) f '(c)  g (b)  g ( a) g '(c) Nhận xét : Định lý Lagrange trường hợp riêng định lý Cauchy 3.3 Công thức Taylor Định lý 3.10 (Mở rộng định lý Lagrange) Cho hàm f (x) xác định có đạo hàm đến cấp n liên tục [a, b], có đạo hàm cấp lần (a, b) Khi đó: Với c  ( a, b) ta có : f  x  f  c  f   c  f   c  x  c  x  c   1! 2!     f n  c  f n1  c  n n1   x c  x  c  n  1 ! n! ( c nằm x c) Công thức gọi công thức Taylor hàm f (x) c (n + 1) Chú ý: Khi n = cơng thức cơng thức Lagrange Nếu đặt Pn ( x )  f (c)  f '(c) f ( n ) (c ) ( x  c)   ( x  c) n cơng thức cho ta biểu diễn 1! n! gần băng đa thức Pn ( x ) lân cận c với sai số: Rn ( x )  f n 1  c   x  c  n 1  n  1 !   Rn ( x ) gọi phần dư bậc n công thức Taylor ( n 1) ( x)  M n 1 , x   a, b  , M n 1  Nếu f Rn ( x)  3.4 M n 1 n 1 xc (n  1)! Công thức Mac Laurin Nếu c =  (a, b) cơng thức Taylor gọi khai triển Mac Laurin hàm f (x) Khai triển Mac Laurin f (x):     f  c f   c  f n  c f n 1  c  n  x  c   x  c     x  c   x  c  n1 f  x  f  c   n  1 ! 1! 2! n!     f   0 f    f n   n f n1  x  n1     (    1) f x  f  x x   x  x  n  1 ! 1! 2! n! Khai triển Maclaurin vài hàm số sơ cấp thường gặp  Hàm y  f ( x )  (1  x) ,   ¡ , x  1        x      x     x       x   1! 2! 3!          n  n     1    n    n x n 1  x  11  x43  n  1 ! n! n 0( x )  * Đặc biệt, với   n  ¥  Rn ( x)  Do            x  n   n x  n n  x  n n  n  x   n n  n  k  x k   x n 1! 2! 3! k! (Khai triển viết dạng nhị thức Newton) Nếu thay x -x, ta có :      x  n   n x  n( n  1) x  n n  n  x   1! 2! 3!     n n  n  k  k  ( 1) k x   (1) n x n k!  Với   1 , ta có : 1 n n 1   x  x    1 x n   1 x n 1 n 1 1 x   x  Nếu thay x -x, ta có : 1   x  x  x n  x n1 n 1 1 x   x  Bài giảng Giải tích  Với   , ta có : 1 x  1  Với    1 x  x  x o( x) , ta có : 1   x  x  x o( x) 1 x Hàm y  f ( x)  ln(1  x) n x2 x3 n1 x n ln 1 x  x      1   1 xn1 n1 n n   1 x x ln 1 x  x   o(x2) Khi x VCB thì: x ln 1 x   x   o(x2) Hàm y  f ( x)  e x Khi x VCB thì: ex  1 x x2 xn ex     xn1   1! 2! n! n  ! ex  1 x x2   o(x2 ) 1! 2! Hàm y  f (x)  sin x sin x  x  n 1 2n x x5 x n 1 x  1 n   1 n x sin x      1  2n  1 ! 3! 5! 7! (2n)! sin x  x  Khi x VCB thì: x3  o( x ) 3! Hàm y  f (x)  cos x cos x   2n n 1 x2 x4 x6 n x n 1 x      1   1 cos x  2n  !  2n  1 ! 2! 4! 6! Khi x VCB thì: cos x   x2  o( x ) 2! §4 QUY TẮC L’HOSPITAL 4.1 Qui tắc L’hopital Định lý 3.11 Giả sử Các hàm số f (x), g(x) khả vi lân cận I a, (có thể khơng khả vi a), g’(x) ≠ lân cận ấy, x  I , x  a f ( x)  , lim g ( x)  lim x a xa Khi đó, lim x a f '( x) f ( x)  A lim  A x  a g '( x ) g ( x) Định lý 3.12 Giả sử Các hàm số f (x), g(x) khả vi lân cận I a, trừ a g’(x) ≠ lân cận ấy, x  I f ( x)   , lim g ( x)   lim x a x a Khi đó, lim x a f '( x) f ( x)  A lim  A x a g ( x ) g '( x ) o Chú ý Các định lý gọi quy tắc L’hospital, dùng để tính giới hạn có dạng vơ định ,   Các định lý áp dụng cho trường hợp A   x   () Khi áp dụng qui tắc L’hospital, tỉ số f '( x )  lại có dạng ta áp dụng g '( x)  qui tắc L’hospital lần nữa, cịn khơng tồn lim x a Ví dụ a x  xa a x ln a  ax a 1  lim  a a (ln a  1) xa x  a x a 1 lim e x  e x  x x 0 x  sin x lim Ta có: f ( x)  e x  e  x  x , f (0)  , f '( x )  e x  e  x  , f '(0)  , f ''( x)  e x  e  x , f ''(0)  , f '''( x)  e x  e  x , f '''(0)  , g ( x)  x  sin x , g (0)  , g '( x)   cos x , g '(0)  , g ''( x)  sin x , g ''(0)  , g '''( x)  cos x , g '''(0)  Do đó, giới hạn cần tìm 4.2 Khử dạng vô định    , 0. f '( x) f ( x) chưa kết luận lim x a g ( x ) g '( x ) Bài giảng Giải tích Việc khử dạng vô định thực cách chuyển dạng  áp  dụng quy tắc L’Hospital   Tìm lim   2 x0 x  cot x   Ví dụ Ta có: sin x  x cos x sin x  x cos x sin x  x cos x   x  cot x x sin x sin x x sin x Mặt khác: lim x 0 sin x  x cos x x    lim 1  cos x   x  sin x  sin x  sin x  x cos x sin x  x cos x  lim x 0 x 0 x sin x x3 Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta lim sin x  x cos x cos x  cos x  x sin x x sin x  lim  lim  x 0 x 0 x 0 x x 3x lim   Vậy lim  = x0 x  cot x    4.3 Khử dạng vô định , ,  Xét hàm số [f (x)]g(x) (f(x) > 0) [ f ( x)]g ( x ) có dạng vơ định 00 , 1 ,  Muốn tính x lim a () • • • Đặt y = [f (x)]g(x) Lấy ln hai vế: lny = ln[f (x)]g(x) = g(x)ln f (x) Lấy giới hạn hai vế (*) : (*) lim ln y  lim ( g ( x ) ln f ( x) ) (**) x a (  ) x a (  ) Mà hàm lny hàm số liên tục nên (**) trở thành: ln lim y  lim g ( x) ln f ( x) xa ( ) xa ( ) g ( x)ln f ( x ) lim  lim y e xa () xa ()  f ( x)  xa ( )  lim g ( x)  f ( x)  x a ( ) Vậy lim lim g ( x ).ln f ( x )  e x a (  ) g (x) lim g ( x ).ln f ( x )  e xa (  ) Việc khử ba dạng vô định đưa việc khử dạng vơ định 0. Ví dụ ln x Tìm lim    arctan x  x    ln x Đặt y     arctan x  , ta có 2    ln   arctan x   ln y   ln x Theo quy tắc L’hospital:  lim ln y  lim x  x  1  x2 x   x  arctan x  x2 (1  x )2  x2  lim  lim  lim  1 x x  x  x    arctan x x  x2 1 Từ suy ra: lim y  e  x  e o Chú ý Quy tắc L’hospital điều kiện đủ, điều kiện cần để tồn giới hạn Vì khơng tồn giới hạn lim x a giới hạn lim x a f '( x) khơng thể kết luận có tồn g '( x ) f ( x) hay khơng g ( x) * * * * * §5 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 5.1 Khảo sát chiều biến thiên hàm số 5.1.1 Tính tăng, giảm hàm số Định lý 3.13 Cho hàm số f xác định, liên tục [a, b] khả vi (a, b), đó: f '( x )  0, x  ( a, b)  f ( x)  c, x  [ a, b] , c: số f ( x) tăng (giảm) [a, b] f '( x)  ( f '( x)  0), x  (a, b) Nếu f '( x)  ( f '( x)  0), x  (a, b) f '( x)  ( f '( x)  0) điểm x f (b)  f ( a) ( f (b)  f (a )) Ví dụ Hàm số y  x3  3x  12 x  có đạo hàm y '  x  x  12  6( x  1)( x  2) Ta có: x y’  -1 +  - + Vậy hàm số cho tăng khoảng (,  1) (2,  ) , giảm khoảng (1, 2) Hệ 3.14 Cho hai hàm số f , g xác định, liên tục [a, b] khả vi (a, b), đó: Nếu f (a)  g ( a) f '( x )  g '( x) , x  (a, b) f ( x)  g ( x) , x  [a, b] Nếu f (a)  g ( a) f '( x )  g '( x) , x  (a, b) f ( x)  g ( x) , x  [a, b] 5.1.2 Tính cực trị hàm số Bài giảng Giải tích Định nghĩa Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục [a, b] khả vi (a, b) (có thể trừ số hữu hạn điểm) Giả sử x0  (a , b ) (có thể f không khả vi x  x0 ), đó: - Nếu điểm x  x0 , hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x0 )  , ta nói x  x0 điểm dừng y  f ( x) - Nếu điểm x  x0 , hàm số y  f ( x) có đạo hàm khơng khơng có đạo hàm ta nói x  x0 điểm tới hạn hàm số Định lý 3.15 Cho hàm số f xác định, liên tục [a, b] khả vi (a, b) (có thể trừ số hữu hạn điểm) Giả sử x0  (a , b ) (có thể f khơng khả vi x  x0 ), đó: Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm f (x) đạt cực đại x  x0 Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương f (x) đạt cực tiểu x  x0 Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) khơng đổi dấu f (x) khơng đạt cực trị x0 Ví dụ Tìm cực trị hàm số f ( x )  x ( x  5) Giải 13 2( x  5) 5( x  2)  Ta có: f '( x )  x  x ( x  5)  x  3 x 3 x Dễ thấy, hàm số y  f ( x) có hai điểm tới hạn: x  (tại hàm số khơng có đạo hàm) x  (tại đạo hàm triệt tiêu) Ta có bảng xét dấu x f’ (x)  + ||  - + Do đó, theo định lý 4.10 suy ra: Tại x  , hàm số có cực đại, x  hàm số có cực tiểu Tìm cực trị hàm số f ( x )  ( x  1)3 Giải Ta có: f '( x )  3( x  1) Tại điểm x  , đạo hàm triệt tiêu Nhưng f '( x )  0, x  nên hàm số không đạt cực trị điểm Hàm số tăng toàn trục số Định lý 3.16 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp n (a, b) giả sử x0  (a, b) có f '( x0 )  f ''( x0 )   f  n 1 ( x0 )  0, f ( n ) ( x0 )  Khi đó: (n) Nếu n chẵn f ( x0 )  f (x) đạt cực tiểu x  x0 , (n) Nếu n chẵn f ( x0 )  f (x) đạt cực đại x  x0 Nếu n lẻ f (x) khơng đạt cực trị x  x0 Ví dụ Xét xem hàm số f ( x )  e x  e  x  2cos x có đạt cực trị điểm x  hay không? Giải Ta có: f '( x )  e x  e x  2sin x , f '(0)   x  điểm dừng f (x) Mặt khác : f ''( x )  e x  e  x  2cos x , f ''(0)  f '''( x)  e x  e  x  2sin x , f '''(0)  f (4) ( x)  e x  e  x  2sin x , f (4) (0)  Như vậy, hàm số cho có cực tiểu điểm x  (do với n = chẵn, f (4) (0)  ) Hàm số f ( x)  x triệt tiêu có đạo hàm đến cấp hai triệt tiêu : f '(0)  0, f ''(0)  ; f '''(0)   nên hàm số khơng có cực trị x  Hàm tăng toàn trục số 5.1.3 Giá trị lớn nhỏ hàm số Theo tính chất liên tục hàm số: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục [a, b] đạt giá trị lớn nhỏ đoạn Tức là: x1 , x2  [a, b] cho x  [a, b], m  f ( x1 )  f ( x)  f ( x2 )  M , m gọi giá trị nhỏ nhất, M gọi giá trị lớn hàm số Giá trị lớn nhỏ hàm số y  f ( x) [a, b] kí hiệu M  max f ( x), m  f ( x) [a,b] [ a ,b ] Cách tìm giá trị lớn nhỏ hàm số liên tục [a, b]: B1 Tìm hoành độ điểm cực trị hàm số đoạn [a, b], giả sử điểm x1 , x2 , , xn B2 Tìm giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (a), f (b) , so sánh giá trị đó, suy giá trị lớn nhỏ hàm số: Giá trị nhỏ  min{ f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (a), f (b)} , Giá trị lớn  max{ f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (a), f (b)} Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y  f ( x)  x3  x  đoạn Giải Ta có y '  f '( x)  x  x , y '   x  x   x   x  1 f (0)  6, f ( 1)  5, f ( 2)  10, f (3)  75 f ( x)  f ( 2)  10 , max f ( x)  f (3)  75 Suy ra: [min  2; 3] [  2; 3] 5.1.4 Tính lồi, lõm, điểm uốn Định lý 3.17 [-2; 3] Bài giảng Giải tích Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục khoảng I đó, giả sử f có đạo hàm cấp hai I, đó: Nếu f ''( x)  , x  I hàm số f lồi I Nếu f ''( x)  , x  I hàm số f lõm I Định lý 3.18 Cho hàm số y  f ( x) xác định khoảng I đó, liên tục x0  I , giả sử f có đạo hàm cấp hai I (có thể khơng có đạo hàm x0 ), f ''( x) đổi dấu qua x0 điểm ( x0 , f ( x0 )) điểm uốn đồ thị hàm số y  f ( x) 5.1.5 Tiệm cận đường cong Định lý 3.19 - f ( x)   đường thẳng x = a tiệm cận đứng đường cong y  f ( x) Nếu xlim a - f ( x)  b đường thẳng y = b tiệm cận ngang đường cong y  f ( x) Nếu xlim  - Nếu lim x  f ( x)  a lim[f ( x)  ax]  b đường thẳng y = ax + b tiệm cận xiên x  x đường cong y  f ( x) Ví dụ Tìm đường tiệm cận đường cong: y  f ( x)  x  1  x x2   Ta có: lim f ( x)  lim  x      x0 x0  x x2 1   lim f ( x)  lim  x     x2 x 2  x x2 Nên đường thẳng x  x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f ( x)  tan x Đường cong y  tan x có vô số đường tiệm cận đứng x    k  (k  ¢ ) y  f ( x)   x  x • Đường cong cho khơng có tiệm cận đứng Ta tìm tiệm cận xiên Tìm tiệm cận đường cong x     f ( x)  x2  x a  lim  lim  lim      , x x  x  x x  x  b  lim  f ( x)  ax   lim x   lim x  x  1  x2  x    x  x  x  lim x     x  x  lim x  x2  x2  x2  x  Suy tiệm cận xiên đường cong y  3x Tương tự, x   , ta có tiệm cận xiên đường cong y  x 5.1.6 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Sơ đồ khảo sát B1 Tìm miền xác định B2 Xét chiều biến thiên hàm số + Xét tính chẵn, lẻ, tính tuần hồn (nếu có) + Xét tăng giảm, cực trị hàm số; xét lồi lõm tìm điểm uốn đường cong B3 Tìm đường tiệm cận B4 Lập bảng biến thiên B5 Vẽ đồ thị Ví dụ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  x3 x2 1 B1 Miền xác định: Hàm số xác định với giá trị x  1 B2 Chiều biến thiên Ta có: y '  x ( x  1)  x x ( x  3)  ( x  1) ( x  1)2 + y '  với x   x  nên hàm số tăng khoảng (,  3), ( 3,  ) + y '  với   x  1 1  x   x  nên hàm số giảm khoảng ( 3;  1), (1; 1), (1; 3) Hàm số đạt cực đại  3 3 x   đạt cực tiểu x  2 (4 x3  x)( x  1)  x( x  x ) x( x  3) y ''   ( x  1)3 ( x  1)3 Ta có: + y ''  với 1  x  x  nên đường cong lõm khoảng + y ''  với x   x  nên đường cong lồi khoảng Điểm (0; 0) điểm uốn Bảng biến thiên X  y’ y’’ Y  + | 3  Z - -1 || || 0 +  ] - || - || | +  + +  ]  ] Z Bài giảng Giải tích   3  B3 Tiệm cận + Đường cong có hai tiệm cận đứng x  1 x  + Tìm tiệm cận xiên a  lim x f ( x) x2  lim  1, x  x  x  x3  x b  lim  f ( x)  ax   lim   x   lim 0 x  x x  x x    Suy tiệm cận xiên đường cong y  x Đồ thị -5 -2 -4 BÀI TẬP CHƯƠNG Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y  x  x  x  b) y  x e x c) y  x arctan x d) y  x x (3ln x  2) e) y  f) y arcsin x x sin x  cos x sin x  cos x g) y  (2 x  5) h) y  ln tan x i) y  ln( x  x  1) j) 2x2 y  arcsin  x4 k) y  e x arctan e x  ln  e x l) y sin x  sin x  ln cos x cos x m) y  x x (2 x  1)3 3x  n) y  (5 x  4)  x 2 Cho y  x  x  3x  x  x  Tìm y ', y '', y ''' , … Cho y  ln x Tìm y ( n ) Cho y  sin x Tìm y ( n ) Cho y  x Tìm y ( n ) dy d2y Tìm y '  , y ''  , dx dx  x  a cos3 t   y  a sin t Tìm vi phân hàm số sau: a) y  arctan x b) y  et Tìm vi phân cấp một, hai ba hàm số y  (2 x  3)3 Tìm vi phân cấp hai hàm số y  e x 10 Tính giá trị gần arcsin 0,51 11 Tính giá trị gần diện tích hình trịn có bán kính 3,02m 12 Hàm số f ( x)  x  x  100 có thỏa mãn định lý Rolle hay không a  1, b  ? Nó thỏa mãn với giá trị c nào? 13 Hàm số f ( x)  x  x có thỏa mãn định lý Rolle hay không a  0, b  ? Nó thỏa mãn với giá trị c nào? 14 Chứng minh đạo hàm f '( x ) đa thức f ( x)  x  x  x  có nghiệm thực đoạn [-1, 1] 15 Biểu diễn hàm f ( x )  x dạng đa thức bậc năm nhị thức ( x  1) 16 Biểu diễn hàm f ( x)  a x dạng đa thức bậc ba x 17 Tính giá trị gần 29 với độ xác đến 103 18 Cho hàm y  x  3x điểm x  3, x  1, x  1, x  0,5 Tại điểm điểm kể hàm tăng, điểm hàm giảm? 19 Tìm khoảng tăng giảm hàm y  x(1  x ) 20 Tìm khoảng tăng giảm hàm y  21 Khảo sát cực trị hàm y  ( x  5)e x 22 Khảo sát cực trị hàm y  x  x 23 Khảo sát cực trị hàm y  ( x  1) x  sin x ,  x  2 Bài giảng Giải tích 24 Khảo sát cực trị hàm y   ( x  2) 25 Khảo sát cực trị hàm y  ( x  2) (2 x  1) 26 Tìm giá trị lớn bé hàm f ( x)  x  x3 đoan [-2, 3] 27 Tìm khoảng lồi, lõm đồ thị hàm số y  x  x  28 Tìm điểm cực trị điểm uốn đồ thị hàm số y  ( x  1)2 ( x  2) 29 Tìm điểm uốn đường cong y  ( x  5)  30 Tìm đường tiệm cận đường cong y  x3 x2 31 Tìm đường tiệm cận đường cong y  x  arctan x 32 Tìm đường tiệm cận đường cong y  x e  x x2  2x  33 Tìm đường tiệm cận đường cong y  x2 34 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  35 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  x3  x2 x3 , a  xa ... x3 x2 31 Tìm đường tiệm cận đường cong y  x  arctan x 32 Tìm đường tiệm cận đường cong y  x e  x x2  2x  33 Tìm đường tiệm cận đường cong y  x2 34 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  35 ... 3;  1), (1; 1), (1; 3) Hàm số đạt cực đại  3 3 x   đạt cực tiểu x  2 (4 x3  x)( x  1)  x( x  x ) x( x  3) y ''   ( x  1 )3 ( x  1 )3 Ta có: + y ''  với 1  x  x  nên đường cong... chung điểm cực trị f 3. 2 Các định lý giá trị trung bình 3. 2.1 Định lý 3. 7 (Định lý Fermat) Nếu hàm số f : (a, b)  ¡ đạt cực trị c  (a, b) có đạo hàm c f '(c)  3. 2.2 Định lý 3. 8 (Định lý Rolle)